Seminář z matematiky II – jaro 2025 – 8. písemka
Přímo z definice spojitosti a vlastností suprem a infim na reálných číslech dokažte,
že reálná funkce spojitá na intervalu 0, 1 nabývá na tomto intervalu v nějakém bodě
nejmenší hodnoty.
Řešení:
Mějme spojitou funkci f : 0, 1 → R. Uvažme množinu
M = { x ∈ 0, 1 | ∀y ∈ x, 1 : f(y) ≥ f(x) },
která je neprázdná, neboť obsahuje 1. Položme a = inf M ∈ 0, 1 .
Ukážeme sporem, že v bodě a nabývá f minima, tj.
∀z ∈ 0, 1 : f(z) ≥ f(a).
Pokud tomu tak není, existuje b ∈ 0, 1 splňující f(b) < f(a). Naším cílem je ukázat, že
poslední bod, v němž hodnota funkce f nepřekročí f(b), patří do množiny M, a proto
leží napravo od a, což není v souladu s tím, že díky spojitosti funkce f patří a do M.
Jelikož množina
N = { y ∈ 0, 1 | f(y) ≤ f(b) }
je neprázdná, můžeme položit c = sup N ∈ 0, 1 .
Nejprve využijeme spojitosti funkce f v bodě c k ověření, že f(c) ≤ f(b). Postupujeme
sporem. Předpokládáme, že f(c) > f(b), a zvolíme ε = f(c)−f(b). Potom existuje
δ > 0 takové, že
∀y ∈ (c − δ, c : f(y) > f(c) − ε = f(b),
což je ve sporu s tím, že c je supremem množiny N.
Jelikož c = sup N, tak pro všechna y ∈ (c, 1 platí f(y) > f(b) ≥ f(c), což dokazuje,
že c patří do množiny M. Jelikož a = inf M, dostáváme tedy a ≤ c. Navíc víme, že
f(c) ≤ f(b) < f(a). Nyní ověříme, že existence takového bodu c je vyloučená díky
spojitosti funkce f v bodě a. Zvolme ε = f(a) − f(c). Potom existuje δ > 0 takové, že
∀x ∈ a, a + δ): f(x) > f(a) − ε = f(c).
To mimo jiné znamená, že c ≥ a+δ. Proto všechny prvky x ∈ a, a+δ) splňují současně
x < c a f(c) < f(x), takže nenáležejí do M, což je ve sporu s tím, že a je infimem
množiny M.