Diferenciální operátory ve válcových souřadnicích
Válcové (cylindrické) souřadnice (r, , z):
x = r cos 
y = r sin  (1)
z = z
Jednotkové vektory



r0
0
z0


 =



cos  sin  0
- sin  cos  0
0 0 1






x0
y0
z0


 (2)
f ­ skalární pole
F = Fr r0 + F 0 + Fz z0 ­ vektorové pole
f =
f
r
r0 +
1
r
f

0 +
f
z
z0 (3)
.F =
Fr
r
+
1
r
Fr +
1
r
F

+
Fz
z
(4)
× F =
1
r
Fz

-
F
z
r0 +
Fr
z
-
Fz
r
0 +
F
r
+
1
r
F -
Fr

z0 (5)
f =
2
f
r2
+
1
r
f
r
+
1
r2
2
f
2
+
2
f
z2
(6)
F = Fr -
1
r2
Fr -
2
r2
F

r0 + F -
1
r2
F +
2
r2
Fr

0 + Fz z0 (7)
Besselovy funkce
Řešení diferenciální rovnice
x2
y + xy + (x2
- n2
)y = 0 (8)
se hledá ve tvaru
y(x) = x

j=0
aj xj
což vede k rovnici
a0(2
- n2
) + a1[( + 1)2
- n2
] +

j=2
{aj-2 + aj[( + j)2
- n2
]} = 0
a výsledkům
 =  n
a1 = 0
aj = -
aj-2
j(j  2n)
1
-0.5
0
0.5
1
-10 -5 0 5 10
Jn(x)
x
n=0
1
2 3 4
Obrázek 1: Besselovy funkce prvního druhu
celočíselných řádů 0 až 4.
-1
-0.5
0
0.5
1
-10 -5 0 5 10
Yn(x)
x
n=0
1 2 3 4
Obrázek 2: Besselovy funkce druhého druhu
celočíselných řádů 0 až 4.
Řešením rovnice (8) jsou tedy tzv. Besselovy funkce 1. druhu řádu n (obr. 1):
Jn(x) =

j=0
(-1)j x
2
2j+n
j! (n + j + 1)
(9)
s vlastnostmi
J-n(x) = (-1)n
Jn(x) pro n  Z (10)
Jn(x) = 
n
x
Jn(x) - Jn1(x) (11)
Dalším řešením rovnice (8) jsou tzv. Besselovy funkce 2. druhu řádu n (obr. 2):
Yn(x) = lim
n
J(x) cos() - J-(x)
sin()
(12)
Kombinací Jn(x) a Yn(x) vznikají Besselovy funkce třetího druhu (Hankelovy funkce):
H(1)
n = Jn(x) + iYn(x) (13)
H(2)
n = Jn(x) - iYn(x) (14)
Jejich význam spočívá v limitním chování pro komplexní argument z:
lim
|z|
H(1)
n (z) = 0 pro Im (z) > 0
lim
|z|
H(2)
n (z) = 0 pro Im (z) < 0
Výrazy in+1
H(1)
n (ix) a i-(n+1)
H(2)
n (-ix) jsou reálné pro reálná kladná x.
2
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
In(x)
x
n=0
1
2
3
4
Obrázek 3: Modifikované Besselovy funkce
prvního druhu celočíselných řádů 0 až 4.
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5
Kn(x)
x
0
1
2
3
n=4
Obrázek 4: Modifikované Besselovy funkce
druhého druhu celočíselných řádů 0 až 4.
Modifikované Besselovy funkce
prvního druhu (In, obr. 3) a druhého druhu (Kn, obr. 4) jsou řešením diferenciální rovnice
x2
y + xy - (x2
+ n2
)y = 0 (15)
Pro reálná x > 0 platí
In = i-n
Jn(ix) (16)
Kn(x) =

2
in+1
H(1)
n (ix) (17)
Limitní chování In a Kn popisují vztahy
In(x) -
x
1

2x
ex
Kn(x) -
x

2x
e-x
V optoelektronice mají význam rovnice
Kn(x) = 
n
x
Kn(x) - Kn1(x) (18)
K-n(x) = Kn(x) (19)
3


1
1
2
n
n
1
2
E
E
E
1
2
0
E0
Obrázek 5: Odraz a lom na rozhraní
Fresnelovy koeficienty odrazu a lomu
Pro amplitudy vlny dopadající z prostředí o indexu lomu n1 na optické rozhraní (E0) pod
úhlem 1, vlny odražené (E1) a lomené (E2) pod úhlem 2 (viz obr. 5) platí v případě
vlny s vektorem elektrické intenzity polarizovaným
1. kolmo k rovině dopadu:
E1
E0 
=
sin(2 - 1)
sin(2 + 1)
(20)
E2
E0 
=
2 cos 1 sin 2
sin(2 + 1)
(21)
R =
sin2
(1 - 2)
sin2
(1 + 2)
(22)
2. v rovině dopadu:
E1
E0
=
tg(1 - 2)
tg(1 + 2)
(23)
E2
E0
=
2 cos 1 sin 2
sin(1 + 2) cos(1 - 2)
(24)
R =
tg2
(1 - 2)
tg2
(1 + 2)
(25)
(R jsou koeficienty odrazivosti). Pro koeficienty propustnosti T platí R + T = 1, R +
T = 1.
4