7. HODNOST MATICE,
INVERZNÍ MATICE A ZMĚNA
BÁZE
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
bstrakt přednášky
této kapitole zavedeme pojem inverzní matice ; dané čtvercové matici a dáme jej do souvislosti ; pojmem inverzního lineárního zobrazení.
>ále se naučíme počítat inverzní matice a matice »řechodu z jedné souřadné báze do druhé.
lakonec prozkoumáme vliv změny báze na .íatici lineárního zobrazení.
Dřednáška začne pojmem hodnosti matice, :terý nám umožní rozhodnout o existenci nverzní matice.
celé kapitole K označuje pevné těleso, m. n. v jsou kladná celá čísla.
bsah přednášky
Hodnost matice a inverzní matice
7.1    Hodnost matice..........
7.2    Inverzní matice..........
7.3    Realizace ERO a ESO......
7.4   Výpočet inverzní matice.....
7.5    Matice přechodu.........
7.6    Mat. lin. zobr. vzhl. na různé báze
odnost matice I
Hodnost matice, inverzní matice a změna báze
i   Hodnost matice
' této části je potřebné rozlišovat mezi ektorovými prostory řádkových resp. loupcových vektorů. Prostor řádkových vektorů »udeme značit Klxn a prostor sloupcových "torů Knxl.
odnost matice II
i (A) G Klxn označuje ž-tý řádek a
7-(A) G Kmxl j-tý sloupec matice A = (a^')mxn uto matici můžeme zapsat blokově jako
n (A
r2(A
= (si(A),s2(A),...,sn(A
odnost matice III
ádkovou hodností hr(A) matice A nazýváme limenzi lineárního podprostoru vektorového »rostoru Klxn generovaného řádky matice A.
'odobně, sloupcovou hodností hs(A) matice ^ nazýváme dimenzi lineárního podprostoru ektorového prostoru Kmxl generovaného loupci matice A. Tedy
odnost matice IV
značme ip : Knxl ané předpisem w\
mxl lineární zobrazení
lodností lineárního zobrazení (p nazýváme imenzi jeho obrazu, t. j. h((p) = dimIvrup.
rejmě platí h(cp) = hs(A), protože lineární odprostor Imip c Kmxl je generovaný sloupci natice A.
odnost matice V
emma 7.1.1 Nechť A e K
mxn
a) Nechť matice B vznikne z matice A provedením jedné elementární řádkové operace (ERO). Pak
Nechť matice C vznikne z matice A vykonáním jedné elementární sloupcové operace (ESO). Pak
[si(A),s2(A),..., sn(A)] = [si(C),s2(C),..., sn(C)\
odnost matice VI
vrzem 7.1.2 Pro každou matici A e Kmxn platí
JA) = hs(A).
polečnou hodnotu řádkové a sloupcové odnosti budeme nyní značit h(A) a nazývat odnosti matice A. Zřejmě pro A e Kmxn j
(A) < min(m, n).
vržení 7.1.3 Nechť A e Kmxn. Potom
odnost matice VII
vržení 7.1.4 Nechťux,..., un e Kmxl jsou ibovolné vektory a A e Kmxn je matice taková, ze Sj(A) = Uj pro 1 < j < n. Potom
ui,..., Unjsou lineárně nezávislé právě tehdy, když h(A) = n;
[ui,..., un] = Kmxl právě tehdy když
h(A) = m.
řípad (a) může nastat tehdy, když n <m\ aopak, (b) může nastat jedině za předpokladu
n < n.
odnost matice VIII
vržení 7.1.5 Nechť A e Kmxn, B e KnxP„ >otom
nverzni matice I
Inverzní matice a inverzní lineární zobrazení
vlechť A g Knxn, t.j. A je čtvercová matice typu i x n. Inverzní maticí k matici A rozumíme natici B e Knxn tak, že
AB
BA.
řejmě k dané čtvercové matici A existuje íanejvýš jedna inverzní matice. Tuto matici
(pokud existuje) budeme značit A-1
nverzni matice II
ěta 7.2.1 Nechť U, V jsou vektorové prostory md tělesem K a dimU = diml/ = n. Nechť dále y., ß jsou nějaké báze v U, resp. ve V a L = (ip)aß je matice lineárního zobrazení o: V ->• U vzhledem na báze ß, a. Potom : matici A existuje inverzní matice A"1 právě ehdy když k zobrazení íp existuje inverzní
zobrazení y~x. V tomto případě A"1 je maticí ineárního zobrazení (p~x: U -^V vzhledem na mze öl, ß, t. j.
A-1 = (M^)-1 = (g-1 W
7. HODNOSľ
nverzni matice III
íkáme, že čtvercová matice A e Knxn} egulární, pokud k ní existuje inverzní matice
V-1; v opačném případě A je singulární.
'ěta 7.2.2 Matice A e Knxn lehdy když h(A) = n.
je regulární právě
rěta 7.2.3 Pro libovolné A, B e Knxn platí ĺ • B = In právě tehdy, když B • A = ln.
nverzni matice IV
vrzem 7.2.4 Nechť A, B e Knxn jsou regulárni
vatice. Potom i matice A-1, A • B a AT jsou 'egulární a platí:
i\-i
ealizace ERO a ESO I
.3   Realizace ERO a ESO pomocí násobení matic
vržení 7.3.1 Nechť   AeK
mxn
Nechť    B e Kmxn vznikne z A provedením jedné ERO. Označme E matici, která vznikne z matice Im provedením stejné ERO. Potom B = E  A.
ealizace ERO a ESO II
b) Nechť   C e Kmxn vznikne z A provedením jedné ESO. Označme F matici, která vznikne z matice In provedením stejné ESO. Potom C = A   F.
ealizace ERO a ESO III
čtvercové matice E e Knxn, které vzniknou jednotkové matice In provedením jediné ERO lebo ESO, nazýváme elementární matice.
.ibovolnou ERO (ESO) na matici A můžeme salizovat vynásobením matice A vhodnou lementární maticí E (F) zleva (zprava).
ýpočet inverzní matice I
.4   Výpočet inverzní matice
Jávod na výpočet inverzní matice k dané tvercové matici A e Knxn:
(A|I
ERO
vržení 7.4.1 Nechť A e Knxn ,
li, E2,..., Ejfe e Knxn jsou elementární matice
ak, že Ek •... • E2 • Ei • A = In. Potom
ýpočet inverzní matice I
\ stejnému cíli vede též postup reprezentovaný chématem:
ESO
vržení 7.4.2 Matice A e Knxnje regulární rávě tehdy, když ji můžeme rozložit na součin ĺ = Ei •... • E* konečného počtu elementárních
laticEi,...,Efc g Knxn.
ýpočet inverzní matice II
vrzem 7.4.3 Pro libovolné A, B e K
mxn
a)  Aye řádkově ekvivalentnís B právě tehdy
►  když existuje regulární matice P e Kmxm t že A = P  B;
b)  A je sloupcově ekvivalentní s B právě tehdy,
k   když existuje regulární matice Q e Knxn tak, že A = B  Q.
ýpočet inverzní matice IV
vržení 7.4.4 Nechť A e Kmxn, P e Kmxm, ) e Knxn, přičemž P, Q jsou regulární matice,
'0r0A77
ýpocet inverzní matice V
Násobení libovolné matice vhodného rozměru maticí A-1 (pokud existuje)
zleva resp. zprava
uď A g Knxn regulární a B g Knxm, C e Kmxn ibovolné. Pak
ERO /-   ■   ■    i    — ^
ESO
CA
ýpocet inverzní matice VI
Řešení soustavy lineárních rovnic
Alb
ERO
teré má pro regulární A e Knxn tvar
ERO
ýpocet inverzní matice VI
vržení 7.4.5 Nechť A e Knxn, b e Kn. Je-li A 'egulární, tak soustava A • x = b má jediné
éšeníx = A"1 • b.
atice přechodu I
.5   Matice přechodu
Jechť V je vektorový prostor nad tělesem K a
* = (ui,..., un), ß = (vi,..., vn) jsou jeho dvě >áze.
/lati c ípřechodu z báze ß do báze o. nazýváme natici identického zobrazení idy : V ->• V zhledem na bázi ß, a, kterou značíme Pavedy
P«,/3 = (idv)a,ß.
atice přechodu II
loupce matice přechodu ~Paß jsou tvořeny ouřadnicemi vektorů báze ß vzhledem na bázi -, t.j. Sj(Paß) = {vj)a pro 1 <j <n.
a, \y2)a, • • • j lVn)a),
a tato matice je jednoznačně určená podmínkou ransformace souřadnic
a,ß
pro libovolné x e V.
atice přechodu III
okud do rovnosti x = a • (x)a budeme za x ostupně dosazovat vektory ví,..., vn bázi ß, využitím vztahu pro sloupce součinu matic ostaneme
3)ol
atice přechodu IV
vržení 7.5.1 Nechť et, ß jsou báze -i-rozměrného vektorového prostoru V nad hlesem K. Potom pro libovolnou matici -y e Knxn jsou následujíc! podmínky ekvivalentní:
(i) P = (idy) aß, tj- Pye matice přechodu
z báze ß do báze a;
P • (x)^ pro každé x e V;
atice přechodu V
vržení 7.5.2 Nechť et, ß, 7 jsou báze konečně 'ozměrného vektorového prostoru V nad tělesem '(. Potom
<x,ct
a,7-
druhé z uvedených podmínek vidíme, že íatice přechodu Paß je vždy regulární. aopak, každá regulární matice P e Knxn laticí přechodu mezi vhodnou dvojicí baží
atice přechodu VI
vržení 7.5.3 Nechť V je n-rozměrný vektorový rostornad K a P e Knxn je libovolná regulární latice. Nechť ex = (ui,..., u„) je nějaká báze ve
1'. Položme Vj = ot- Sj(P), wj = a • Sj(P_1) pro < j <n, a dále
fotom P je maticí přechodu z báze ß do báze a. zároveň z báze a do báze 7, t. j.
7,a-
atice přechodu VII
peciálně, P je maticí přechodu z báze
si(P),..., sn(P)) do báze s = (e1}..., en) v Kn
í taktéž z báze e do báze (si(P_1),..., sn(P_1)J
atice přechodu VIII
[ávod na výpočet matice přechodu pro báze a, ß vektorového prostoru Kn
ERO
I      G
LZ vzhledem na různé báze I
.6   Matice lineárního zobrazeni vzhledem na různé báze
ěta 7.6.1 Nechť Ví, V2 jsou konečně rozměrné /ektorove prostory nad tělesem K, <p : Ví ->• V2 je ineární zobrazení, ol\, ßijsou dvě báze prostoru V\ a OL2, ß2Jsou dvě báze prostoru V2. Potom
P2,Ot2   '   VrjCt2,Ctí
LZ vzhledem na různé báze II
ýše uvedenou transformační formuli si můžeme apamatovat pomocí následujícího diagramu:
(Vh«l
(V2,Oí2
«i,A
P2,«2
LZ vzhledem na různé báze II
»říklad 7.6.2 Nechť (p : Kn -» Km je lineární zobrazení aoc, ß jsou nějaké báze prostorů K 'esp. Kn. Označme A = {(f)aß, M = (cp)
natice zobrazení cp vzhledem k bažím ß, ex resp.
'zhledem ke kanonickým bažím e^n\ e^m\ Pak )latí:
'     (m)   •  M  •  P
£("),/?
(m)a      A      P
LZ vzhledem na různé báze II
'okud ztotožníme každou bázi s regulární maticí, jejíž sloupce jsou vektory této báze, tak vše uvedené rovnosti získají tvar
A = ol~1 • Im • M • I"1 • ß = o.'1 ■ M • ß,
OL ■ A • ß
LZ vzhledem na různé báze IV
ěta 7.6.3 Nechť U je m-rozměrný a V je i-rozměrný vektorový prostor nad tělesem K. Dotom pro libovolné matice A, B g Kmxn jsou
ásledující podmínky ekvivalentní:
(i) A, B jsou matice toho stejného lineárního
t zobrazení <p :V ->> U vzhledem na nějaké dvě dvojice baží prostorů U, V;
existují regulární matice P g Kmxm. Q g Knxn tak, že B = P • A • Q;
LZ vzhledem na různé báze V
féta 7.6.4 Pro každé lineární zobrazení
p : V ->> U mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory nad tělesem K můžeme volit bázi ß prostoru V a bázi a prostoru U tak, že (p má vzhledem k bažím ß, a matici v blokovém tvaru
m—h,h
h<n—h
m—h,n—h