2. ZÁKLADY MATICOVÉHO
POČTU
Jan Paseka
Masarykova univerzita Brno
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.1/70
V teto kapitole se seznámíme s maticemi, t. j. obdélníkovými tabulkami, s jejichž pomocí budeme kódovat nejrůznější důležité údaje o vektorových prostorech, a naučíme se s nimi pracovat.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.2/70
Obsah přednášky I
Matice nad danou množinou
Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.3/70
Obsah přednášky I
Matice nad danou množinou
Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice
Matice nad daným tělesem
Vektorový prostor matic.
Násobení matic, operace s blokovými maticemi.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.3/70
Obsah přednášky I
Matice nad danou množinou
Typy matic, řádky a sloupce matice. Transponovaná matice, blokové matice
Matice nad daným tělesem
Vektorový prostor matic.
Násobení matic, operace s blokovými maticemi.
Matice nad daným vektorovým prostorem
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.3/70
Matice nad danou množinou I
l    Základy maticového počtu
1.1   Matice nad danou množinou
1.1.1   iy py matic
Nechť X je libovolná množina a m, n g N. Matici
typu m x n, nebo též m x n-rozměrnou maticí nad
množinou X rozumíme obdélníkovou tabulku
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.4/70
Matice nad danou množinou II
Cln     Clu
Q>2\     a22
^*ml    ^*m2
ran
sestávající z prvků množiny X.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.5/70
Matice nad danou množinou II
Cln     Clu
Q>2\     a22
^*ml    ^*m2
ran
sestávající z prvků množiny X. Zkráceně píšeme A = (a^)mxn nebo A = (<%).
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.5/70
Matice nad danou množinou III
Prvky aij E X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, se nazývají prvky matice A.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.6/70
Matice nad danou množinou III
Prvky aij E X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij, který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (iyj), resp. (i1 j)-týprvek matice A.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.6/70
Matice nad danou množinou III
Prvky aij E X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij, který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (iyj), resp. (i1 j)-týprvek matice A. Množinu všech m x n-rozměrných matic nad množinou X značíme Xmxn (též Matmn(X)).
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.6/70
Matice nad danou množinou III
Prvky aij E X, kde 1 < i < m, 1 < j < n, se nazývají prvky matice A. Prvek aij, který se nachází v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A nazýváme též prvek v místě (na pozici) (iyj), resp. (i1 j)-týprvek matice A. Množinu všech m x n-rozměrných matic nad množinou X značíme Xmxn (též Matm^n(X)). Pokud m = n, mluvíme o čtvercových maticích řádu n nad množinou X.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.6/70
Matice nad danou množinou IV
Poznamenejme, že v případě, když některé z
čísel m, n je O, množina Xmxn sestává z jediné
a to prázdné matice 0. Dále se budeme vždy bavit jen o maticích kladných rozměrů m x n.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.7/70
Matice nad danou množinou IV
Poznamenejme, že v případě, když některé z
čísel m, n je O, množina Xmxn sestává z jediné
a to prázdné matice 0. Dále se budeme vždy bavit jen o maticích kladných rozměrů m x n.
Dvě matice nad množinou X považujeme za navzájem stejné neboli totožné, pokud mají stejné rozměry a stejné prvky na příslušných místech.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.7/70
Matice nad danou množinou V
To znamená, že pro matice A
hj)pxq nad X klademe A
tehdy, když m = i = 1,...,ra, j
x jijjmxni
i X klademe A = B právě p, n = q a pro všechny = 1,..., n platí dij = bij.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.8/70
Matice nad danou množinou V
To znamená, že pro matice A
tehdy, když m =
i = l,...,m, j
B = (bij)pxq nad X klademe A = B právě tehdy, když m = p, n = q a pro všechny
i = 1,..., m, j = 1,..., n platí a^ = bjj.
Množina matic typu 1 x n nad X splývá s množinou Xn, pokud uspořádané n-tice prvků z X zapisujeme do řádku. Podobně, pokud uspořádané m-tice prvků z X zapisujeme do sloupce, tak množina matic typu m x 1 nad X ' "rvá s množinou Xm.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.8/70
Matice nad danou množinou VI
1.1.2   Radky a sloupce matice
Nechť A = (au) G Xmxn. Uspořádanou ra-tici
[P'iU ai2i • • • i din) £ X
lxn
matice A.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.9/70
Matice nad danou množinou VII
Podobně, uspořádanou m-tici
s, (A
, kde 1 < j < n
"mj
nazýváme j-tým sloupcem matice A.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.10/70
Matice nad danou množinou VIII
Matici A tak můžeme ztotožnit jak se sloupcem složeným z jejích řádků tak s řádkem složeným z jejích sloupců, t.j.
A  =
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU
Matice nad danou množinou IX
an     O12
ri(A
Ö21     a22
r2(A
Q"ml    ^vrtl
"mn
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.12/70
Matice nad danou množinou X
1.1.3   Transponovaná matice
Matici, kterou získáme z matice A = (a,ij)mxn záměnou jejích řádků a sloupců, nazývame transponovanou maticí k matici A a značíme
Ar.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.13/70
danou množinou XI
an   ö2i
am\
ď\2    a22
&m2
■mri
2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POCTU - p.14/70
Matice nad danou množinou XI
CLn    Ö21
CLml
ď\2    a22
&to2
■mri
rp
To znamená, že A   G Xnxm a prvek na pozici
T .
ž, j) matice A   je a,-«.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.14/70
Matice nad danou množinou XI
Zřejmě pro libovolnou matici A E X
mxn
wFslil
T\T
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.15/70
Matice nad danou množinou XI
Zřejmě pro libovolnou matici A E X
mxn

T\T
lxn
Transpozicí matic-řádků z X      dostaneme
nxí
matice-sloupce z Xn    a transpozicí
mxl
matic-sloupcu z X       matice-řádky z X
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.15/70
Matice nad danou množinou XII
Na základě této poznámky lze snadno vidět, že pro libovolnou matici A G Xmxn a 1 < i < rr< 1 < j < ti platí
s,-(A
Sj(A
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.16/70
Matice nad danou množinou XIII
Čtvercová matice A G Xnxn se nazýva
rp
symetrická, pokud A = A , t. j. pokud
ciij = CLji pľo všechny indexy i, j = 1,..
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.17/70
Matice nad danou množinou XIII
Čtvercová matice A G Xnxn se nazýva
rp
symetrická, pokud A = A , t. j. pokud
ciij = CLji pľo všechny indexy i, j = 1,..
. ,n
Posloupnost prvků (au, <222, • • •, annj nazýváme diagonálou čtvercové matice A.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.17/70
Matice nad danou množinou XIII
Čtvercová matice A G Xnxn se nazýva
rp
symetrická, pokud A = A , t. j. pokud
üij = a jí pro všechny indexy i, j = 1,..., n
Posloupnost prvků (au, <222, • • •, c^nn) nazýváme diagonálou čtvercové matice A.
Transponovanou matici k čtvercové matici A zřejmě získáme „osovou souměrností" jejich prvků podle diagonály.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.17/70
Matice nad danou množinou XIV
1.1.4   Blokové matice
Někdy bude užitečné spojit dvě matice
A G Xmxnij B G Xmxn2 SQ stejným počtem
řádků do jedné matice tak, že příslušné tabulky jednoduše napíšeme vedle sebe.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.18/70
Matice nad danou množinou XIV
1.1.4   Blokové matice
Někdy bude užitečné spojit dvě matice
A G Xmxnij B G Xmxn2 SQ stejným počtem
řádků do jedné matice tak, že příslušné tabulky jednoduše napíšeme vedle sebe.
Výsledná matice je typu m x (m + 7^2) a značíme ji (A, B), případně (A | B).
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.18/70
Matice nad danou množinou XV
Podobně můžeme spojit dvě matice
A G Xm1xnj B G Xm2xn SQ stejným počtem
sloupců do jedné matice tak, že příslušné tabulky napíšeme pod sebe.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.19/70
Matice nad danou množinou XV
Podobně můžeme spojit dvě matice
A G Xm1xnj B G Xm2xn SQ stejným počtem
sloupců do jedné matice tak, že příslušné tabulky napíšeme pod sebe.
Výsledná matice je typu (mi + m.2) x na značíme ji
gj případně
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.19/70
Matice nad danou množinou XVI
Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.20/70
Matice nad danou množinou XVI
Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky.
Samozřejmě můžeme vedle sebe resp. pod sebe zařadit větší počet bloků než pouze dva.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.20/70
Matice nad danou množinou XVI
Právě popsané konstrukce jsou příklady tzv. blokových matic. Původní matice, ze kterých takto vytváříme blokovou matici, potom nazývame jejími bloky.
Samozřejmě můžeme vedle sebe resp. pod sebe zařadit větší počet bloků než pouze dva.
Naopak, někdy může být účelné vyznačit v dané matici nějaké menší obdélníkové části jako její bloky.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.20/70
Matice nad danou množinou XVII
Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.21/70
Matice nad danou množinou XVII
Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice.
Příkladem toho byl zápis matice A G Xmxn jako řádku složeného z jejích sloupců, případně jako sloupce složeného z jejích řádků.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.21/70
Matice nad danou množinou XVII
Pak mluvíme o tzv. blokovém tvaru dané matice.
Příkladem toho byl zápis matice A G Xmxn jako řádku složeného z jejích sloupců, případně jako sloupce složeného z jejích řádků.
Uvedená dvě schemata vytváření blokových matic „vedle sebe" a „pod sebe" můžeme kombinovat.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.21/70
Matice nad danou množinou XVII
Např. z matic An G XmiXr\ Ai2 G Xm A21 G Xm2Xni, A22 G Xm2Xn2 můžeme vytvořit blokovou matici
typu (mi + 7712) x (m + ri2).
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.22/70
Matice nad danou množinou XIX
Tuto konstrukci můžeme zřejmým způsobem zevšeobecnit i na větší systémy matic a zapsat
ve tvaru
A
i j Jkxl
A
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.23/70
Matice nad danou množinou XX
přičemž jednotlivé bloky Aý jsou matice nad X
rozměrů m« x rij, kde (mi,..., m&),
(ni,..., n/) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.24/70
Matice nad danou množinou XX
přičemž jednotlivé bloky Aý jsou matice nad X
rozměrů m« x rij, kde (mi,..., m&),
(ni,..., n/) jsou nějaké konečné posloupnosti přirozených čísel.
Matici nad množinou X z této „matice matic" dostaneme tak, že si v A odmyslíme vnitřní závorky oddělující její jednotlivé bloky A^.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.24/70
Matice nad daným tělesem I
1.2   Matice nad daným tělesem
Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.25/70
Matice nad daným tělesem I
1.2   Matice nad daným tělesem
Na množině X, nad kterou jsme vytvářeli příslušné matice, jsme doposud nepředpokládali žádnou další strukturu.
v              v
Na množinách matic Xmxn sa nám poměrně bohatá struktura přirozeným způsobem objevila.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.25/70
Matice nad daným tělesem II
Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.26/70
Matice nad daným tělesem II
Všechny doposud zavedené maticové operace a vlastnosti však měly výlučně poziční charakter - zakládaly sa na reprezentaci každé matice jako příslušné obdélníkové tabulky.
Další maticové operace a vlastnosti, které hodláme zavést a později využívat, už budou podmíněné přítomností jisté struktury na množině X.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.26/70
Matice nad daným tělesem III
Nejdůležitější a, až na pár výjimek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.27/70
Matice nad daným tělesem III
Nejdůležitější a, až na pár výjimek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem.
V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.27/70
Matice nad daným tělesem III
Nejdůležitější a, až na pár výjimek, vlastně jediný druh matic, jimiž se budeme zabývat, tvoří matice nad nějakým tělesem.
V celém odstavci K označuje pevně zvolené, jinak však libovolné těleso.
V souladu s předešlým odstavcem Kmxn, kde m, n G N, označuje množinu všech matic typu m x n nad číselným tělesem K.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.27/70
Matice nad daným tělesem IV
1.2.2   Vektorový prostor matic
Pro pevné m, n e N budeme na množině matic Kmxn definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.28/70
Matice nad daným tělesem IV
1.2.1   Vektorový prostor matic
Pro pevné m, n e N budeme na množině matic Kmxn definovat po složkách operace součtu a skalárního násobku. Tedy pro matice
n j jmxn
ij Jmxn
nad K a c e K
cA
&ij    \    ®ij Ji
mxm
C&ij jmxn-
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.28/70
Matice nad daným tělesem V
Matice nad daným tělesem V
Součet matic A + B je definovaný jen pro matice A, B stejného typu a samotná matice A + B je téhož typu jako A a B.
Neutrálním prvkem operace sčítání na Kmxn je matice typu m x n, jejíž všechny prvky jsou nulové; nazýváme ji nulová matice typu m x n a označujeme ji 0mn, resp. 0, je-li její rozměr
jasný z kontextu nebo na něm nezáleží.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.29/70
Matice nad daným tělesem VI
Opačným prvkem k matici A
zřejmě matice —A = (—aij)n
&ij jmxn J®
@>ij )mxn-
2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POCTU - p.30/70
Matice nad daným tělesem VI
Opačným prvkem k matici A
zřejmě matice —A = (—a,ij)n
\
&ij jmxn J®
mxn
Matice pevného typu mxn nad tělesem K s takto definovanými operacemi součtu a skalárního násobku tvoří vektorový prostor nad
tělesem K tj. Kmxn bude dále označovat příslušný vektorový prostor.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.30/70
Matice nad daným tělesem VII
1.2.3   Násobení matic
Nejprve sa naučíme násobit některé dvojice vektorů.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.31/70
Matice nad daným tělesem VII
1.2.4   Násobení matic
Nejprve sa naučíme násobit některé dvojice vektorů.
Součinem x y řádkového vektoru
x = (xi,..., xn) G Klxn a sloupcového
2/1,..., yn)T G Knxl rozumíme
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.31/70
Matice nad daným tělesem VIII

x y
\Xij . . . 5 %n)
x\Vi
%ny'í
V tomto případě jde o běžný „skalární součin vektorů x, y G Kn.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.32/70
Matice nad daným tělesem VIII
Snadno se ověří, že pre všechna n e N, c e K a
nxl
x, x' G Klxn, y, y' G Knxl platí
x   y
x-y + x-y ,
x   -y  = x-y + x -y,
x   y
ex-y,
T       T
y  • xJ.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.33/70
Matice nad daným tělesem IX
Pro takto definovaný součin vektoru jsou splněné dobře známé vlastnosti ..skalárního součinu".
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.34/70
Matice nad daným tělesem IX
Pro takto definovaný součin vektoru jsou splněné dobře známé vlastnosti „skalárního součinu".
Říkáme, že násobení řádkových a sloupcových vektorů je distributivní (z obou stran) vzhledem ke sčítání a komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.34/70
Matice nad daným tělesem IX
Pro takto definovaný součin vektoru jsou splněné dobře známé vlastnosti „skalárního součinu".
Říkáme, že násobení řádkových a sloupcových vektorů je distributivní (z obou stran) vzhledem ke sčítání a komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku.
Poslední rovnost můžeme chápat jako „komutativitu" tohoto součinu; vděčíme za ni komutativitě násobení v tělese K.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.34/70
Matice nad daným
tělesem X
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.35/70
Matice nad daným tělesem X
ij Jmxm
Součinem matic A, B rozumíme matici
mxp-
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.35/70
Matice nad daným tělesem X
ij Jmxnj
Součinem matíc A, B rozumíme matici
mxp-
Všimněme si, že součin matic A, B je definovaný, pouze pokud se počet sloupců matice A rovná počtu řádků matice B, t.j. právě tehdy, když řádky matice A a sloupce matice B mají stejný rozměr.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.35/70
Matice nad daným tělesem XI
Součin matic typů m x nan x p\e matice typu m x p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru
připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.36/70
Matice nad daným tělesem XI
Součin matic typů m x nan x p\e matice typu m x p, což si můžeme lehce zapamatovat v symbolickém tvaru
připomínajícím rozměrové vztahy ve fyzice.
Součin dvou čtvercových matic typu n x n je tedy opět matice typu n x n.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.36/70
Matice nad daným tělesem XII
Prvek na pozici (i, k) matice A • B dostaneme
jako součin i-Xého řádku matice A a k-Xého sloupce matice B, tedy jako výraz
d{\ j ... j CLin)
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.37/70
Matice nad daným tělesem XIII
Snadno pak ověříme následující rovnosti
rí(A-B) = rí(A)-B
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.38/70
Matice nad daným tělesem XIV
Násobení matic je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání. To znamená, že pro libovolné m, n g N a matice A, A' e Kmxn, B, B' e KnxP platí
j
AÍB + B'
A   B + A   B'
A + AVB =A  B + Ar  B.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.39/70
Matice nad daným tělesem XV
Z distributivity součinu vektorů vzhledem k jejich součtu je totiž jasné, že (i, fc)-tý prvek matice A • (B + B') je
r,(A)-sfc(B + B,) = r,(A).(sfc(B) ! -'_
r,(A).sfc(B) + r,(A).sfc(B/),
tedy sa rovná (i, /c)-tému prvku matice
A • B + A • B;. Podobně pro druhou rovnost
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.40/70
Matice nad daným tělesem XVI
Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pre libovolný skalár c e K a všechny matice A e Kmxn, B e Knxp platí
A   cB = cfA   B) = cA   B.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.41/70
Matice nad daným tělesem XVI
Podobně, s využitím zaměnitelnosti součinu vektorů a skalárního násobku můžeme dokázat, že pre libovolný skalár c e K a všechny matice A e Kmxn, B e Knxp platí
A   cB = cfA   B) = cA   B.
Říkáme pak, že násobení matic komutuje, t. j. je zaměnitelné s operací skalárního násobku.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.41/70
Matice nad daným tělesem XVII
Násobení matic je též asociativní: pro
m,n,p,q G Na A G Kmxn, B G Knxp, C G Kpxq
platí
AÍBC
A   B)   C.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.42/70
Matice nad daným tělesem XVII
Násobení matic je též asociativní: pro
m,n,p,q G Na A G Kmxn, B G Knxp, C G Kpxq
platí
AÍBC
A   B)   C.
Pro důkaz toho si stačí uvědomit, že pro libovolné vektory x =  (xi,...,xn)   G  Klxn, y  -
{xll...,xn)   G   Kíxn,  y
?  •  •  •  ?
G i^xl platí:
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.42/70
Matice nad daným tělesem XVIII
*áj  I  *   •   •   •   *   *áj '
/j
n
j=\ X3
k=i bjkVk
Yfk=i bikDk
\ Yľk=l bnkVk J
ELi (Ľ"=i xJbjk) vk
[2^j=l X3®fii • • • •>
X    B
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.43/70
Matice nad daným tělesem XIX
pozici (i, 1) matice A • (B • C
rs(A). s,(B • C
rs(A) • (B • Sí(C
rt(A) • B) • s;(C
rs(A • B) • SJ(C),
tedy sa rovná (i, /)-tému prvku matice (A • B) • C
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.44/70
Matice nad daným tělesem XX
Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme In a nazývame jednotková matice řádu n.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.45/70
Matice nad daným tělesem XX
Čtvercovou matici řádu n, která má všechny prvky na diagonále rovné 1 a mimo diagonálu 0, označujeme In a nazývame jednotková matice řádu n.
S použitím tzv. Kroneckerova symbolu
1, pro % 0, pro i
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.45/70
Matice nad daným tělesem XXI
muzeme psat
ij jnxn
1  O  ...  O O O  1   ...  O O
O  O  ...   1  O O  O  ...  O  1
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.46/70
Matice nad daným tělesem XXII
Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.47/70
Matice nad daným tělesem XXII
Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic.
Pro každou matici A e Kmxn platí
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.47/70
Matice nad daným tělesem XXII
Jednotkové matice hrají úlohu neutrálních prvků pro násobení matic.
Pro každou matici A e Kmxn platí
Množina Knxn všech čtvercových matic řádu n je kromě struktury vektorového prostoru vybavená asociativní operací násobení, která je (z obou stran) distributivní vzhledem ke sčítání matic, komutuje s operací skalárního násobku a jednotková matice In je její neutrální prvek.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.47/70
Matice nad daným tělesem XXIII
To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matíc.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.48/70
Matice nad daným tělesem XXIII
To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matíc.
Pro A g Knxn, klademe A° = In a
/c-krát
pro 0 < k g N;
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.48/70
Matice nad daným tělesem XXIII
To nám, podobně jako pro prvky tělesa K, umožňuje zavést i mocniny čtvercových matíc.
Pro A g Knxn, klademe A° = In a
/c-krát
A  A, A3 = A • A • A, atd
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.48/70
Matice nad daným tělesem XXIV
Uvědomme si, že pro n > 1 - na rozdíl od komutativity násobení v tělese K - násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na
n x n
2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POCTU - p.49/70
Matice nad daným tělesem XXIV
Uvědomme si, že pro n > 1 - na rozdíl od komutativity násobení v tělese K - násobení matic z pozičních důvodů není komutativní na ^nxn. Například
1  1 0 1
0   1
1    1
1  1
0   1
1    1
1  1 0  1
1  1 + 1
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.49/70
Matice nad daným tělesem XXV
Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pre všechna m, n, p a matice A g Kmxn, B g Knxp platí rovnost
AB
B1 -A1.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.50/70
Matice nad daným tělesem XXV
Naproti tomu komutativita násobení v tělese K má za důsledek, že pre všechna m, n, p a matice A g Kmxn, B g Knxp platí rovnost
A   By = B1 -A1.
Totiž
rť(A) • sfc(B) = sfc(B
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.50/70
Matice nad daným tělesem XXVI
1.2.5   Operace s blokovými maticemi
Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.51/70
Matice nad daným tělesem XXVI
1.2.5   Operace s blokovými maticemi
Operace maticového součtu a skalárního násobku můžeme na blokových maticích rozložit na jednotlivé bloky.
Jsou-li A = (Aij)kxi, B = (Bij)kxi blokové matice nad číselným tělesem K a odpovídající si si bloky Aij, Bij se stejným typem m* x n j, tak jejich součet je opět
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.51/70
Matice nad daným tělesem XXVI
bloková matice
ij Jkxl
s bloky stejných typů
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.52/70
Matice nad daným tělesem XXVI
bloková matice
ij Jkxl
s bloky stejných typů.
S operací skalárního násobku je to ještě jednodušší, totiž nemusíme se starat o shodnost rozměrů jednotlivých bloků.
Ciiío
ij Jkxl
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.52/70
Matice nad daným tělesem XXVII
Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za podmínky, že sloupce první matice jsou ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet stejně velkých skupin, řekněme ni + n2 +... + nv, jako sloupce druhé matice.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.53/70
Matice nad daným tělesem XXVII
Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za
podmínky, že sloupce první matice jsou
ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet
stejně velkých skupin, řekněme ni + n2 +... + nv,
jako sloupce druhé matice. Tedy pokud
A = (Ai7-)uXI/, B = (B7-fc)I/x1? jsou blokové matice
nad K, přičemž blok Ay je typu m* x rij a blok
Bjk typu n j x pk,
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.53/70
Matice nad daným tělesem XXVII
Bloková struktura sa přenáší i na součin matic za
podmínky, že sloupce první matice jsou
ve stejném pořadí rozděleny na stejný počet
stejně velkých skupin, řekněme ni + n2 +... + nv,
jako sloupce druhé matice. Tedy pokud
A = (Ai7-)uXI/, B = (B7-fc)I/x1? jsou blokové matice
nad K, přičemž blok Ay je typu m* x rij a blok Bjk typu rij x pk, tak jejich součin je bloková matice tvaru A  B = (Cik)ßXU, kde blok
Cifc = Au • Bifc + Ai2 • B2fc + ... + Ain • Bnyt
je typu rriiXpk.
Ain • B,
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.53/70
Matice nad daným tělesem XXIX
Blokové matice násobíme stejně jako „obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.54/70
Matice nad daným tělesem XXIX
Blokové matice násobíme stejně jako „obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic.
Jednotkové matice In jsou příkladem tzv. diagonálních matic.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.54/70
Matice nad daným tělesem XXIX
Blokové matice násobíme stejně jako „obyčejné" matice, jen s tím rozdílem, že součet resp. součin v číselném tělese K nahradíme součtem resp. součinem matic.
Jednotkové matice In jsou příkladem tzv. diagonálních matic.
Čtvercovou matici A = (ai?)nxn nazýváme
diagonálni, pokud a^ = 0 pro všechy i ^ j, t. j. pokud všechny její prvky mimo diagonálu jsou nuly.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.54/70
Matice nad daným tělesem XXX
Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky di,d2,...,dn e K značíme diag(cři,GČ2, ...,dn).
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.55/70
Matice nad daným tělesem XXX
Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky di,d2,...,dn e K značíme diagfcři, dl-, • • •, dn). Tedy např.
diagfl,..., 1
n-krát
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.55/70
Matice nad daným tělesem XXX
Diagonální matici, která má na diagonále postupně prvky di,d2,...,dn e K značíme diagfcři, dl-, • • •, dn). Tedy např.
diagfl,..., 1
n-krát
Podobně můžeme definovat i tzv. blokově diago nální matice.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.55/70
Matice nad daným tělesem XXXI
Pokud Ai, A2,..., Ak jsou čtvercové matice řádů ni, n2,..., nk, tak blokově diagonální maticí s bloky Ai, A2,..., Ak nazýváme čtvercovou blokovou matici
/Ai   0   ...   0 ^
0   A2  ...    0
T   •                 /       A                    A                                            A\                        I                                                ^
0    ...   A
kde 0 nacházející se na pozici (i,j) označuje nulovou matici 0«.«..
TliUj
2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POCTU - p.56/70
Matice nad daným tělesem XXXI
Pravidlo o součinu blokových matic se redukuje na zvlášť jednoduchý tvar pro blokově diagonální matice - násobení funguje diagonálně po složkách.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.57/70
Matice nad daným tělesem XXXI
Pokud A = diag(Ai,..., Ajfc),
B = diag(Bi,..., Bk) jsou blokově diagonální matice, přičemž odpovídající si bloky Ait B^ jsou čtvercové matice stejného řádu n*, jejich součin je blokově diagonální matice tvaru
A   B = diag(Ai • Bx,..., Ak ■ Bk)
s čtvercovými bloky řádů nx,..., nk.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.57/70
Matice nad daným tělesem XXXI
Pravidlo o součinu blokových matic se redukuje na zvlášť jednoduchý tvar pro blokově diagonální matice - násobení funguje diagonálně po složkách. Pokud A = diag(Ai,..., Ak),
matice, přičemž odpovídající si bloky A*, B; jsou čtvercové matice stejného řádu n*, jejich součin je blokově diagonální matice tvaru
A   B = diag(Ai • Bx,..., Ak ■ Bk)
s čtvercovými bloky řádů nx,..., nk.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.57/70
Matice nad daným tělesem XXXII
Speciálně, pro „obyčejné" diagonální matice platí
diag(ai,..., an) • diag(&i, ...,bn) =
diag(oi6i,...,an6n)-
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.58/70
Matice nad daným tělesem XXXII
Speciálně, pro „obyčejné" diagonální matice platí
diag(ai,..., an) • diag(&i, ...,bn) =
diag(oi6i,...,an6n)-
Platí analogická pravidla pro součet a skalární násobek (blokově) diagonálních matic.
A   ' "       diagCAi + Bi,...^^".)
diag(cAi,..., cA
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.58/70
Matice nad vektorovým prostorem I
1.3   Matice nad vektorovým prostorem
Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.59/70
Matice nad vektorovým prostorem I
1.3   Matice nad vektorovým prostorem
Matice typu m x n nad tělesem K jsou speciálním druhem blokových matic.
rnxn
můžeme považovat
jednak za blokovou matici s bloky a^ typu 1 x 1, jednak se na ni můžeme dívat jako na řádek jejich sloupců resp. jako na sloupec jejích řádků.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.59/70
atice nad vekt. prostorem II
A pak chápeme jako matici typu m x 1 nad vektorovým prostorem Klxn, resp. jako matici typu 1 x n nad vektorovým prostorom Kmxl.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.60/70
atice nad vekt. prostorem II
A pak chápeme jako matici typu m x 1 nad vektorovým prostorem Klxn, resp. jako matici typu 1 x n nad vektorovým prostorom Kmxl.
Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V máme definovanou množinu ymxn všech matic nad množinou V.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.60/70
atice nad vekt. prostorem II
A pak chápeme jako matici typu m x 1 nad vektorovým prostorem Klxn, resp. jako matici typu 1 x n nad vektorovým prostorom Kmxl.
Pro libovolné m, n e N a libovolný (abstraktní) vektorový prostor V máme definovanou množinu ymxn všech matic nad množinou V.
mxn
Na množině vmxn můžeme zavést operace součtu a skalárního násobku po složkách. Vm> s těmito operacemi tvoří vektorový prostor nad tělesem K.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.60/70
atice nad vekt. prostorem III
Zobecníme nyní operaci skalárního násobku K x V —»• V na operaci součinu mezi maticemi vhodných typů nad K a nad V.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.61/70
atice nad vekt. prostorem III
Zobecníme nyní operaci skalárního násobku K x V —»• V na operaci součinu mezi maticemi vhodných typů nad K a nad V.
rnxn
j
[jk
e Vnxp klademe
A   ex = (vik) e Vmxp, kde
ĽÍ
Ci/? n LJ. n Je   •
j=l aij ujk
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.61/70
atice nad vekt. prostorem IV
Tedy součin A • a, definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku K x V —»• V.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.62/70
atice nad vekt. prostorem IV
Pro násobení matic nad V maticemi nad K platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.62/70
atice nad vekt. prostorem IV
Tedy součin A • a, definujeme z formálního hlediska stejně jako součin matic nad tělesem K, jen s tím rozdílem že operace součtu v K je nahrazená operací součtu ve V a operace součinu v K je nahrazená operací skalárního násobku K x V —»• V.
Pro násobení matic nad V maticemi nad K platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.62/70
atice nad vekt. prostorem V
To znamená, že pro všechna l,m,n,peN,
c G K, A, B G Kmxn, C G Klxm a,/3e Fnxp
platí:
A • (a
A-A B • a,
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.63/70
atice nad vekt. prostorem VI
Dle úmluvy, že xc = cx pro ce K,-x.eV, lze definovat i součin matic ß = (vy) e vmxn,
ijk) e Knxp v obráceném pořadí jako matici ß B = (wik) e vmxp takovou, že
i=i
i=i
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.64/70
atice nad vekt. prostorem VII
S využitím poslední definice můžeme pro
A G Kmxn, öl G Vnxp, ß G Vmxn, B G Knxp
dokázat rovnosti
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.65/70
atice nad vekt. prostorem VII
S využitím poslední definice můžeme pro
A G Kmxn, öl G Vnxp, ß G Vmxn, B G Knxp
dokázat rovnosti
Tedy i pro násobení matic nad K maticemi nad V platí distributivita (z obou stran) vzhledem ke sčítání, zaměnitelnost s operací skalárního násobku, asociativita a postavení jednotkových matic jako neutrálních prvků.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.65/70
atice nad vekt. prostorem VIII
To znamená, že pre všechna m, n,p,q g N,
c G K, c*, ß G Kmxn, A, B G Vnxp, C G Kpxq
platí:
o; • CA
/3-A,
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.66/70
atice nad vekt. prostorem IX
Vztahy pro řádky a sloupce součinu z odstavce 2.2.2 zůstávají zachované pre oba typu součinů matic nad K aV, t.j.
rť(A-
*(A) •
sfc(A • a) = A • sk((x
rz(ß • B) = Ti(ß) ■ B,        sk(ß ■ B) = ß ■ sfc(B
pre všechny A e Kmxn, ex e Vnxp ß e vmxn,
B G Knxp.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.67/70
atice nad vekt. prostorem X
Definice součinů A  ex, ß  B jsou ve shodě s původním násobením matic.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.68/70
atice nad vekt. prostorem X
Definice součinů A  a, ß  B jsou ve shodě s původním násobením matic.
Chápeme-li matici A e Kmxn jakožto řádek, t. j jakožto matici typu 1 x n nad prostorem sloupcových vektorů Km, tak pro B e Knxp
splývá matice (si(A),..., sn(A)) •'. vypočítaná podle „nové" definice s blokovým tvarem (A • si(B),..., A • sp(B)) matice AB.
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.68/70
Podobně, chápeme-li matici typu n x 1 nad vektorů Kp, tak
. prostorem XI
B jako sloupec, t.j. jako prostorem řádkových
ri(A).B
A)   B
2.  ZÁKLADY MATICOVÉHO POČTU - p.69/70
atice nad vekt. prostorem XII
Speciálně, lineární kombinaci aixi + ... anxn vektorů xi,...,x„eľs koeficienty ai,...,ane K můžeme s využitím vektorových matic zapsat ve tvaru součinů
V^-l? • • • i &n)
X]_, . . . , X,
2. ZÁKLADY MATICOVÉHO POCTU - p.70/70