Algebra II — Cvičení — podzim 2005
Cvičení 1 — 19. 9. — Ideály
Cil Určete podgrupu grupy (C, +) generovanou prvkem i. Určete podokruh, podtěleso a ideál okruhu (C, +, •) generovaný prvkem i. Totéž pro prvky \/2 a e.
C12 Popište svaz ideálů okruhu Z2 x Z4.
C13 Ukažte, že ideál (x, 2) není hlavní ideál okruhu Z[ar].
C14 Určete všechny ideály v okruhu M2(M) (okruh matic typu 2x2 nad reálnými čísly). Cl5 Určete maximální ideály v okruhu R[ar].
C16 Pro okruh R a jeho ideály i", J klademe I + J = {i + j \ i € I,j € J}. Dokažte, že n i + jsou operace na množině všech ideálů okruhu R.
Domácí úloha
Dia Pro okruh R a jeho ideály i", J klademe I o J = {i ■ j | i g 7, j g J}. Rozhodněte, zda o je operace na množině všech ideálů okruhu R.
Dlb Dokažte, že v okruhu Z„ je každý ideál hlavní.
Prémiové příklady
Pl Určete pro která n € N je v okruhu Z „[ar] každý ideál hlavní. P2 Dokažte, že každý ideál okruhu Z [ar] je konečně generovaný.
Cvičení 2 — 26. 9. — Faktorokruhy
C21 Dokažte, že množina všech polynomů, které mají součet koeficinetů dělitelný 3, tvoří v okruhu Z [ar] ideál. Určete čemu je izomorfní příslušný faktorokruh.
C22 Určete čemu je izomorfní faktorokruh Q[ar]/(ar — 2).
C23 Určete čemu je izomorfní faktorokruh Q[x,y]/(x,y — 1).
C24 Ukažte, že faktorokruh Q[ar,y]/(x2,y2) je izomorfní okruhu čtvercových matic:
C25 Označme pro prvočíslo p okruh Mp = s ^ \ m,n G Z, p \ n\. Popište všechny ideály tohoto okruhu.
Určete, které z nich jsou hlavní, které prvoideály a které maximální ideály. Domácí úloha
D2 Pro dané přirozené číslo n a celé číslo k označme I(k,n) = {/ € Z [ar] | n \ f(k)}. Dokažte, že I(k,n) je ideál okruhu Z [ar]. Rozhodněte, pro která n,k je tento ideál hlavní, pro která je maximální, pro která je to prvoideál. Nalezněte generátory tohoto ideálu.
Prémiové příklady
P3 Určete čemu jsou izomorfní faktorokruhy příslušné ideálům z příkladu C25.
<
'/d 0 0 0\
c d 0 0
b 0 d 0
\a b c d J
1
Cvičení 3—3.10. — Jednoduchá rozšíření a minimální polynomy
C31 Určete, které prvky patří do tělesa Q(i), Q(V2 + y/2). Určete dimenze příslušných rozšíření (nad Q).
C32 Buď a G C kořenem (ireducibilního) polynomu x3 — x — 2 G Q[x]. Určete stupeň rozšíření tělesa Q(a) nad tělesem Q a udejte bázi tohoto rozšíření. Vyjádřete prvky a-1, (1 + a)3 v této bázi.
C33 Určete, které prvky patří do tělesa Q(tt).
C 34 Určete minimální polynomy prvku \/2 + V2 nad Q a nad Q(\/2). C35 Určete minimální polynomy prvků
a=\fl+V2-l,   /? = \J\fl + y/Í + V2,   j = V2 + VŠ,   ô=^7 + 4VŠ+^7-4VŠ. Domácí úloha
D3a Určete všechny inkluze mezi následujícími podtělesy tělesa C: Q, Q(\/2), Q(\/3), Q(\/6), Q(\/2, VŠ), Q(V2, VE), Q(\/3, \/6), Q(\/2, \/3, \/6)- Určete stupně rozšíření těchto těles nad Q. Jsou tělesa Q(\/2) a Q(\/3) izomorfní?
D3b Určete minimální polynom prvku nad Q.
Prémiové příklady
P4 Určete minimální polynom prvku
Pl— varianta Dokažte, že je v okruhu Z„[ar] každý ideál hlavní právě tehdy, když n není dělitelné druhou mocninou prvočísla. Postupně dokažte, že:
• Pokud existuje prvočíslo p takové, že p2 \ n, pak ideál (x,p) není hlavní ideál v Z „[ar].
• Pokud n je prvočíslo, pak Z„[ar] je okruhem hlavních ideálů.
• Pokud n je součinem různých prvočísel Pi,P2, ■ ■ ■ ,Pk, pak okruh Z„[ar] je izomorfní součinu okruhů Zpi[ar], ZP2[ar], ...,ZPJ4
• Každý ideál i" v konečném součinu okruhů je součinem příslušných ideálů v jednotlivých komponentách součinu. Pokud jsou navíc tyto ideály hlavní, je hlavní i původní ideál i".
Cvičení 4 — 10.10. — Konečná rozšíření a rozkladové těleso
C41 Ukažte, že tělesa Q(\/2) a Q(\/3) nejsou izomorfní.
C42 Je-li ip : Q(a) —> Q(/3) izomorfismus, pak <p(a) má stejný minimální polynom jako a. Dokažte.
C43 Dokažte, že Q(\/2, VŠ) je jednoduché rozšíření Q.
C44 Určete všechny automorfismy (izomorfismy na sebe) tělesa Q(\/2).
C45 Určete stupeň rozšíření rozkladového tělesa polynomu ar4 — 2 nad Q.
C46 Určete stupeň rozšíření rozkladového tělesa polynomu ar™ — 1 nad Q, pro n = 3,4,5,6.
C47 Určete stupeň rozšíření rozkladového tělesa polynomu ar™ — 1 nad Q, pro n prvočíslo.
C48 Dokažte, že pro polynom stupně n nad Q, je stupeň rozkladového tělesa tohoto polynomu menší nebo roven n\.
2
C49 Uvažujme ireducibilní polynom f = x3 + x + 1 nad Z2. Popište těleso Z2[a;]/(/). Určete všechny jeho podtělesa.
Domácí úloha
D4a Určete všechny automorfismy tělesa Q(\/2, \/3).
D4b Určete stupeň rozšíření rozkladového tělesa polynomu a;3 — 5 nad Q.
D4c Uvažujme ireducibilní polynom / stupně 4 nad Z2. Popište těleso Z2[a;]/(/). Určete všechny jeho podtělesa.
Prémiové příklady
P5 Popište všechna konečná rozšíření tělesa C.
Cvičení 5 — 17.10. — Konečná tělesa, Grupy automorfismů
C51 Uvažujme šestnáctiprvkové těleso Fi6. Buď /? generátor jeho čtyřprvkového podtělesa.
a) Určete minimální polynom prvku /? nad Z2. Napište jeho rozklad na ireducibilní polynomy nad Z2(/3).
b) Určete všechny ireducibilní polynomy stupně 2 nad Z2(/3).
c) Nechť / je nějaký ireducibilní polynom stupně 2 nad Z2(/3). Nalezněte jeho kořeny v Fi6. Popište izomor-fismusF16 aZ2(/3)[aj]/(/).
C52 Uvažujme těleso Fp» o pn prvcích a jeho grupu auomorfismů (Aut(¥pn), o). Nechť zobrazení i: ¥pn —► Fp» je definováno vztahem i(x) = xp.
a) Dokažte, že i je automorfismus tělesa Fp» .
b) Ukažte, že i je prvek řádu n v grupě (Aut(¥pn), o).
c) Ukažte, že ¥pn je jednoduché rozšíření tělesa ¥p = Zp a proto existuje právě n automorfismů ¥pn. tzn. (Aut{Wpn), o) je n prvková cyklická grupa.
C53 Popište, kolik je homomorfismů z ¥pn do Fq™ a jak vypadají.
C54 Určete grupu automorfismů rozkladového tělesa polynomu x5 — 1 nad Q.
Domácí úloha
D5 Pro některou dvojici /, g různých ireducibilních polynomů stupně 2 nad Z3 popište všechny homomor-fismy z Z3[x]/(f) do Z3[x]/(g).
Prémiové příklady
P6 Určete grupu automorfismů rozkladového tělesa polynomu x4 — 2 nad Q.
Cvičení 6 — 24.10. — Symetrické polynomy
C61 Rozložte mnohočlen f(x,y,z) = (x + y)(x + z)(y + z) + xyz pomocí elementárních symetrických polynomů.
C62 Rozložte mnohočlen f(x, y, z) = x4 + y4 + z4 pomocí elementárních symetrických polynomů. C63 Řešte soustavu rovnic:
x1 + x2 = —
3
C64 Řešte soustavu rovnic:
X1+X2+ x3 2 ,   2 , 2
X-^ ~\~ X*^  \ Xq
0
X1X2X3
2
C65 O kubickém polynomu f(x) =i3li2-lE C[a;] víme, že má tři různé kořeny x\, X2, X3. Sestavte normovaný kubický polynom, jehož kořeny jsou x\, x\, x\.
Domácí úloha
D6 Buď A množina. Označme následující podmnožiny množiny V{A x A): S{A) množinu všech symetrických relací na množině A, T (A) množinu všech tranzitivních relací na množině A, R(A) množinu všech reflexivních relací na množině A, E{A) množinu všech relací ekvivalence na množině A, U (A) množinu všech uspořádání na množině A.
Rozhodněte, zda dané množiny uspořádané inkluzí tvoří svaz, resp. úplný svaz. Pokud ano, popište jak vypadají suprema a infima.
Prémiové příklady
P7 Dejte příklad polynomu více proměnných, který není symetrický, ale jeho třetí mocnina je symetrickým polynomem.
P8 Určete, pro které uspořádané množiny (B, <) platí, že množina všech podmnožin, které spolu s uspřá-dáním jsou svazem, tvoří vzhledem k inkluzi svaz. Své tvrzení dokažte.
Cvičení 7 — 31.10. — Svazy, úplné svazy, podsvazy
C71 V příkladu D6 určete, které podmnožiny tvoří podsvaz svazu (V(A x A), C). Popište maximální prvky U (A) a rozhodněte, zda U (A) U {T}, kde T je nový nej větší prvek, tvoří úplný svaz.
C72 Určete (až na izomorfismus) všechny pětiprvkové a šestiprvkové svazy.
C73 Určete svaz podsvazů svazu m5.
C74 Určete příklad podmnožiny některého pětiprvkového svazu, která není podsvazem tohoto svazu, přestože společně s indukovaným uspořádáním tvoří svaz.
C75 Obsahuje-li neprázdný svaz pouze konečné řetězce, pak je to úplný svaz. Dokažte.
C76 Uvažujme uspořádané množiny: (Vf(N),C) (konečné podmnožiny N), fP(N),C), (N, |), (Q,<), (M,<), (Sub(R3), C)) (podprostory vektorového prostoru M3). Rozhodněte, zda dané uspořádané množiny tvoří svaz, resp. úplný svaz. Pokud tvoří svaz, který není úplný, dejte příklad nějakého úplného svazu, do kterého lze daný svaz vnořit.
C77 Dokažte, že v konečném svazuje každý ideál (resp. filtr) hlavní. Dejte příklad svazu a nehlavního ideálu v něm.
C78 Pro libovolný svaz (5, <) určete všechny ideály, které jsou zároveň filtry. Domácí úloha
D7 Dokažte, že idempotence v algebraické definici svazu je důsledkem ostatních axiomů.
4
Prémiové příklady
P9 Nechť (S, <) je svaz. Prvek a G S se nazývá kompaktní, pokud platí:
(VX c S)(supX > a =>■ (3Y c X){Y konečná A supY > a)).
Dokazte, že konečná suprema kompaktních prvků jsou kompaktní.
Úplný svaz (S, <) se nazývá algebraický, pokud každý prvek je supremem kompaktních prvků. Ukažte, že
a) svaz všech nekonečných podmnožin N s prázdnou množinou, uspořádaný inkluzí (VooOty U {0},C) není algebraický svaz;
b) svaz všech komplementů konečných podmnožin N s prázdnou množinou, uspořádaný inkluzí (Vfc(N) U {$}> Q Je algebraický svaz;
c) svaz všech podgrup dané grupy je algebraický.
Cvičení 8—7. n. — Kongruence svazů, modulární svazy
C81 = C75
C82 Relace ekvivalence p na svazu L se nazývá kongruence, jestliže splňuje:
(Va,b,c,d £ L)(apb,cpd =£> (a A c)p(b A ď),   (a V c)p(b V d)).
Dokažte, že platí
a) p je kongruence -<=>■ (Va, b, c € L)(apb =>■ (a A c)p(b A c),   (a V c)/9(6 V c)),
b) p je kongruence (Va, 6 € L)(apb =>■ (a A 6)pa,   (a V b)pa),
c) p je kongruence (Va, 6, c € L)(a < b < c,   apc =>■ 6pa).
C83 Označme Con(L) množinu všech kongruencí svazu L. Dokažte, že množina Con(L) uspořádaná inkluzí tvoří úplný svaz. Dokažte, že pro libovolnou kongruenci p, která je různá od diagonály (identické relace ekvivalence), platí
p = sup{patb | a, b e L,apb},
kde pa>b je nejmenší kongruence pro niž jsou v relaci prvky a a b. (Z toho lze odvodit, že (Con(L),C) je algebraický svaz — nedělalo se.)
C 84 Popište svaz kongruencí svazů m5 a A^5.
C85 Dejte příklad izotonního zobrazení svazů, které není svazový homomorfismus.
C86 Ve svazu L označujeme [a, b] interval všech prvků mezi prvky a a b, tj. [a, b] = {x € L \ a < x < b}. Dokažte, že [a, b] je podsvaz svazu L.
Buďte a, b € L libovolné prvky modulárního svazu L. Definujme zobrazení a : [a, a V b] —> [a A b, b] předpisem a(x) = x A b a podobně zobrazení /? : [a A b, b] —> [a, a V b] předpisem (3(x) = iVa. Dokažte, že a a/3 jsou vzájemně inverzní izomorfismy svazů [a, a V b] a [a A b, b].
Domácí úloha
D8 Popište svaz kongruencí svazu, který je součinem dvouprvkového a tříprvkoveho řetězce. Prémiové příklady
P10 Svaz všech kongruencí svazu je distributivní svaz. Dokažte.
Cvičení 9 — u. 11. — Distributivní svazy a Booleovy algebry
5
C91 Ukažte, že svaz podgrup grupy A4 není modulární.
C92 Určete, pro které množiny A je svaz všech ekvivalencí na množině A distributivní, resp. modulární. Diskutujte tutéž otázku v případě svazu všech symetrických relací a v případě všech tranzitivních relací.
C93 Rozhodněte, zda je svaz všech podprostorů vektorového prostoru M3 komplementární.
C94 Dokažte, že interval v Boolově algebře je Boolova algebra. Je to Boolova podalgebra?
C95 Označme F množinu všech formulí výrokové logiky nad množinou atomických formulí X (např. X = {p, q.r}). Na množině F uvažujme relaci = ekvivalence výroků. (Tj. A = B právě tehdy, když výrok A -<=>■ B je pravdivý.) Dokažte, že (F | = , V, A je Boolova algebra. Popište uspořádání množiny F |=. Vysvětlete, jak lze chápat ohodnocení formulí. Určete kolik prvků má množina F | = .
C96 Dokažte, že konečně generovaný distributivní svaz L je konečný.
Domácí úloha
D9 Rozhodněte, zda svaz podsvazů libovolného svazu je distributivní. (Charakterizujte ty svazy, pro které je svaz jeho podsvazů distributivní.)
Prémiové příklady
Pil Konečný svaz L se nazývá \/—semimodulární pokud splňuje
(Vx,y,z)(x -< y =>■ xMz=yMz   V   a; V z -<yM z.
(Zde x -< y znamená, že prvek y pokrývá prvek x, tj. x -< y právě tehdy, když pro libovolný prvek a platí x <a <y =>■ a = x\/ a = y).) Analogicky se definuje pojem A—semimodulárního svazu.
a) Dokažte, že pokud je svaz V—semimodulární a zároveň A—semimodulární, pak je modulární.
b) Ukažte, že svaz všech relací ekvivalencí je V—semimodulární a není A—semimodulární.
c) Dokažte, že každé dva řetězce pokrývajících se prvků se společnýcm nejmenším a největším prvkem jsou v V—semimodulárním svazu stejně dlouhé, tj. pro a = ao -< ai -< • • • -< a„_i -< an = b a a = bo -< 61 -< • • • -< bm-\ -<bm = b platí n = m. (Diagram A—semimodulárního svazu, lze tedy kreslit „do pater".)
P12 Dokažte, že svaz všech podprostorů vektorového prostoru Q3 je generován následujícími 4 prvky (tj. jednodimenzionálními podprostory) ((1,0,0)), ((0,1,0)), ((0,0,1)), ((1,1,1)). (Z toho plyne, že konečně generovaný modulární svaz nemusí být konečný.)
Cvičení 10 — 21.11. — Podalgebry, homomorfismy a kongruence
C101 Buď dána unární algebra (A,f), kde A = {1,2,3,4,5,6, a, b, c} a operace / je dána takto: f (a) = b, f(b) = /(6) = 1, /(l) = 2, /(2) = 3, /(3) = 4, /(4) = /(c) = 5, /(5) = 6. Určete svaz všech podalgeber algebry (AJ).
C102 Buď dány unární algebry (A,f) a (B,g), kde A = {1,2,3}, /(l) = /(4) = 2,/(2) = 3,/(3) = 4, A = {p,q,r}, g(p) = g(r) = q,g(q) = r. Popište součin algeber (A,/) a (B,g).
C103 Buď dána 2-unární algebra (A,f,g), kde A = {1,2,3,4,5,6} a operace jsou dány takto: /(4) = g(2) = 1, /(l) = 5(3) = 2, /(2) = /(5) = /(6) = 5(4) = 3, /(3) = g(l) = 4,5(5) = g(6) = 6 . Určete svaz všech podalgeber algebry (A, f,g).
C104 Určete všechny podalgebry algebry (Z,+,0, —). Dejte netriviální příklady podalgeber algebry (Z,+) a diskutujte, zda se jedná o podalgebry algebry (Z,+,0). Ve všech případech určete, jak vypadá nejmenší podalgebra a jak vypadají podalgebry generované jedním prvkem. Popište typ těchto algeber.
6
C105 Nechť P'(N) značí množinu všech neprázných podmnožin množiny N. Rozhodněte, zda zobrazení a : P'(N) —> N, a(X) = minX je homomorfismus algeber (P'(N),U), (N,min). Diskutujte, jak se změní odpoveď pokud změníme operaci na průnik, sčítání a podobně.
C106 Na množině M definujeme relaci p vztahem apb -í=^ a — b € Z. Je tato relace kongruencí algebry
C107 Buď dána unární algebra (A, /), kde A = {1,2,3,4,5}, /(l) = /(5) = 2, /(2) = 3, /(3) = 4, /(4) = 1. Určete svaz všech kongruencí algebry (A,f).
Domácí úloha
D10 Určete svaz všech kongruencí algebry z příkladu C103. Prémiové příklady
P13 Buď P množina všech posloupností prvků z množiny NT = NU{T} uspořádaná po složkách dle velikosti (T je největší prvek v (NT, <)). Tj. P = {(aj)?^ |    € NT}. Ukažte, že se jedná o úplný svaz. Označme příslušné binární operace V a A a definujme dále relaci p na množině P takto:
Dokažte, že p je kongruence svazu (P, V, A). Ukažte, že příslušný faktorsvaz není úplný svaz.
Cvičení 11 —28. li. — Faktoralgebry, součiny, termy, rovnosti, variety
Clil Pro Cl = {/}, kde / je unární operační symbol, uvažme O-algebru N (tj. jejími prvky jsou právě všechna přirozená čísla), přičemž f(n) = n + 1. Určete všechny podalgebry N, homomorfismy N —> N, kongruence na N a jim příslušné faktoralgebry.
C112 Vysvětlete univerzální vlastnost součinu O-algeber. Ukažte, že tato univerzální vlastnost určuje součin jednoznačně až na izomorfismus.
C113 Ukažte, že součin konečně mnoha komutativních grup má i duální vlastnost (tj. je i součtem) a že i tato vlastnost jej určí jednoznačně až na izomorfismus. (Podrobněji, pro komutativní grupy G\ a G2 existují vnoření i\ : G\ —> G\ x G2, *2 : G2 —> Gi x G2 tak, že pro každou komutativní grupu C a každé homomorfismy /1 : G\ —> C a f2 ■ G2 —> C existuje jediný homomorfismus <p : G\ x G2 —> C tak, že <p o ix = fx a <p o i2 = /2.)
Cl 14 Pro 0 = 0 popište všechny termy typu Cl, rovnosti typu Cl, teorie typu Cl a variety O-algeber.
C114 Pro Cl = {•}, kde • je nulární operační symbol, popište všechny termy typu Cl, rovnosti typu Cl, teorie typu Cl a variety O-algeber.
C114 Pro Cl = {/}, kde / je unární operační symbol, popište všechny termy typu Cl.
Domácí úloha
Dli Pro Cl = {/}, kde / je unární operační symbol, uvažme O-algebru N (tj. jejími prvky jsou právě všechna přirozená čísla), přičemž f(n) = n — 1 pro n > 1 a /(l) = 1. Určete všechny podalgebry N, homomorfismy N —> N, kongruence na N a jim příslušné faktoralgebry.
Prémiové příklady
P14 Nechť Cl = {/}, kde / je unární operační symbol.
(a) Nechť t\, í2 jsou různé termy typu Cl. Vysvětlete, proč teorie {íi = í2} generuje stejnou varietu jako teorie složená z jedné z následujících rovností:
(1,+,.)?
(a»)£iP(&i)£i {i I o-i Ž fejkonečná.
Rk,d '■
nebo
fd(Xl) = fd(x2)
kde k,d£ Z, k > O, d> 0.
7
(b) Označme Vk,d, resp. Wd, varietu určenou rovností Rk,d, resp. R'd. Zjistěte všechny inkluze mezi těmito varietami.
(c) Rozhodněte, zda kromě variety všech O-algeber a variet z části (b) existuje ještě nějaká další varieta O-algeber.
Cvičení 12 — 5.12. — Teorie, variety, volné algebry
C121 Pro Cl = {•}, kde • je binární operační symbol, popište nějakou teorii, dávající varietu všech komutativních pologrup, resp. všech polosvazů.
C122 Pro Cl = {•}, kde • je binární operační symbol, popište O-algebry F (Cl) a Fr(Cl), kde r je celé nezáporné číslo.
C123 Ukažte, že ve varietě V všech pologrup je volná algebra s 1 generátorem i*i(V) izomorfní s (N, +). (Návod: například můžete pro každou pologrupu A a každé a € A nalézt homomorfismus N —> A zobrazující l4aa dokázat, že je jediný.)
C124 Nechť Cl = {V, A} a W je třída všech samoduálních svazů (tj. svazů splňujících 5 = 5, kde 5 značí svaz duální k S). Rozhodněte, zda je třída W uzavřená na podalgebry, homomorfní obrazy a součiny dvou, resp. libovolného počtu O-algeber.
Domácí úloha
D12 Pro daný typ Cl a danou třídu O-algeber W rozhodněte, zda je třída W uzavřená na podalgebry, homomorfní obrazy a součiny dvou, resp. libovolného počtu O-algeber:
(a) Cl = {+, •, —, 0,1} a W je třída všech oborů integrity;
(b) Cl = {+, •, —,0,1} alf je třída všech okruhů charakteristiky 0;
(c) Cl = {+, •, —, 0,1} a W je třída všech okruhů charakteristiky 1;
(d) Cl = {+,-,—,0,1} a W je třída všech okruhů charakteristiky 2;
(e) Cl = {•} a W je třída všech konečných grupoidů.
Cvičení 13 — 12.12. — Variety a volné algebry v nich
C131 Pro Cl = {a, b, •}, kde a, b jsou binární operační symboly a • je unární operační symbol, popište volnou O-algebru F0(Cl) generovanou prázdnou množinou. Mějme teorie T = {a(a(a(»))) = b(»),b(b(b(»))) = a(»)} a T" = {a(a(a(xi))) = b(xi),b(b(b(xi))) = a(xi)}. Nechť V a V jsou jim odpovídající variety. Rozhodněte, zda následující O-algebry patří do variety V, resp. V:
a) Z, kde •% = 0 a pro každé n € Z platí a(n) = n, b(n) = n.
b) Z, kde «z = 0 a pro každé n € Z platí a(n) = n — 1, b(n) = n — 3.
c) Zg, kde «z = 0 a pro každé n € Z platí a(n) = n — [l]g, b(n) = n — [3]g.
Rozhodněte, zda platí inkluze V C V a V C V. Pro obě variety V a V určete volné O-algebry F0(V) a Fq(V) generované prázdnou množinou.
8