1. (1b.) Uveďte příklad rozkladu množiny přirozených čísel na nekonečně mnoho nekonečných tříd. Je tento rozklad vytvořující vzhledem k operaci sčítání nebo násobení?

2. (1b.)  Uvažte faktorgrupu (Q/Z,+) a dokažte, že:
    a) každý prvek grupy Q/Z je konečného řádu
    b) pro každé přirozené číslo n existuje v Q/Z prvek řádu n

3. (1b.)  Sestrojte pomocí pravítka a kružítka pravidelný 5-úhelník (+1b. za důkaz konstrukce)

4. (3b.)  Zapište svaz (resp. hasseovský diagram) normálních podgrup grupy symetrií čtverce D₈ a určete příslušné faktorgrupy

5. (1b.) Nechť (G,.) je grupa a předpokládejme, že grupa G obsahuje jediný prvek řádu n, který označme a.
      Dokažte, že tento prvek patří do centra, tj. že komutuje s libovolným prvkem grupy G.
6. (4 b.)  Nechť (G,.)  je grupa a označme G'  (často též [G,G]) její podgrupu  generovanou množinou  prvků
                tvaru [x,y]=xyx^-1y^-1 (tzv. komutátorová podgrupa).
     Dokažte, že:
       a) G'  je normální podgrupa v G
       b) faktorgrupa G/G' je komutativní
       c) G/G' je největší komutativní faktorgrupa grupy G (přesněji: je-li H libovolná normální podgrupa G a G/H je komutativní, pak G' je podgrupou H).
       d) určete (GL₂(Q))'
7. (1b.) [později snad upravím do čitelnější podoby] Buď C množina spojitých funkcí  f: [0,1]->R. Dokažte, že zobrazení, které takové funkci přiřazuje
       hodnotu určitého integrálu v mezích od 0 do 1, je homomorfismus aditivních grup (C,+)->(R,+), ale nikoliv homomorfismus okruhů (C,+,*)->(R,+,*)
8. (1b.) Dokažte správnost  Archimédova postupu trisekce úhlu.
9. (2b.) Určete, které úhly (celé násobky 1 stupně) lze zkonstruovat pomocí pravídka a kružítka ("euklidovsky").
10.(3b.) Určete všechna přirozená čísla k, pro která je k nesoudělné se  všemi členy posloupnosti a_n=2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ-1 pro n>0.
       (Nápověda: pomůže počítač a vnoření do podílového tělesa)