-103-
KAPITOLA    ?.
Hěkteré úvahy o vydatnosti a optimalitě testů_
Doeud  jame popiaovali   testy vhodné  pro jednotlivé hypotézy proti různým alternativám ee stručným komentářem,   pro které rozdělení pravděpodobnosti,  tj.  pro které podtřídy al-ternatiVjjaou teaty vhodné. Našim úkolem bude zdůvodnit, proč je který test kdy vhodný a tam,   kde lze,testy mezi sebou z různých hledisek porovnat*
Samozřejmě.ideální případ nastane,  je-li teat stejnomčr— ně nejsilnější proti celé alternativě.  To však můžeme  oček^ jen v případě,  není-li množina rozdělení tvořící alternativu příliš bohaté.
Jostliže neexiatuje stejnoměrné nejsilnější test,  pale, jak jeme se zmínili na zafiátku textu, máme několik kompromisních mož noatí:
a)       Omezíme třídu testů:  nehledáme test,   optimální mezi v5r-nd    06-testy,  ale optimální pouze uvnitř vhodné podtřídy oC -teatů, např. ve třídě nestranných testů,  invariantních testů apod. Tento krok jsme* prakticky již provedli  tím,  že jsme s~ omezili na pořadové testy, které tvoří podtřídu invariantnísh testů.
b)       Omezíme  třídu alternativ: právě tuto možnost budeme podrobněji uvažovat v této kapitole.  O&ezíme se na alternativy blízké hypotéze a mezi pořadovými testy budeme hledat lo-kélné nejsilnější pro danou hypotézu.
-104-
tfinou možností je nahradit celou alternativu jediným,
jnini nejméně příznivým rozdělením a hledat maxatfllní test nebo maximalizovat střední hodnotu silofunkce stanovenou vzhledem ke vhodnému apriornímu rozdělení definovanému na alternativě a hledat nejsilnější bayesovský test^apod.
c)      zmírníme kriterium optimaljty testu; např. hledáme test asymptoticky nejsilnější   při    n-řoo      místo testu nejsilnějšího pro pevné    n.
Když nenajdeme nejlepší test,  snažíme se jednotlivé testy mezi sebou porovnávat pomocí různě definovaných relativních vydatností. Většinou se nám daří porovnat testy asymptoticky při    n£ oo     ,  kde    n    je počet pozorování. V této kapitole se zmíníme  o některých typech vzájemné vydatnosti testů a některé běžné testy srovnáme mezi  sebou» Důkazy příslušných tvrzení jen naznačíme. Obecně k odvození asymptotické vydatnosti potřebujeme znát asymptotické rozdělení testové statistiky za
platnoßti  alternativy  (tato rozdělení  lze  např.nalézt v knize
Héjek-Šidák  (1967)).
7.1.Lokálně nejsilaŽjší pořadové testy
Definice 1.    Kechí    d(Q)    je míra vzdálenosti alternativy    QfeK od hypotézy    H. Řekneme,  že   q(/ -test     ô      je lokálně nejsilnějším    (LN)  testem ve tříáěíIL eť-testů    H      proti    K,    jestliže k libovolnému jinému    or"testu               existuje     £>0    tak,že
(7.1)        /%<Q> a/%lQ>      Pro vš.    Q,    pro která      Oťd(Qk"£.
Poz U;::-:a.    Jastliže    H    je jednoduché hypotéza o parametru    9 tvar                     uroti    K :  ©>9r,      a předpokládaný systém rozdě-
lení  ,je takrový,  že silofunkce libovolného testu   H    proti    E
-105-
je diferencovatelné v bodě    9    (např. exponenciální systém), pak existuje    LN 06-test a je to takový test, který maximalizuje hodnotu derivace    /&(Q0)    mezi všemi    06 -testy        H« Protože vsak většinou uvažujeme rozsáhlejší alternativu, nelze hledat    Líí    testy tímto způsobenu
Naším úkolem bude nalézt testy, které  jsou lokálně nejsilnější ve  třídě Hi   pořadových testů (lokálně nejsilnější pořadové testy) pro některé ze standardních hypotéz,
7«1«1*      Lokálně nejsilnější pořadové testy hypotézy náhodnosti
Uvažujme hypotézu   H      lokálně proti  obecné třídě alternativ,  závislých na parametru    G,    který nabývá hodnot z  otevřeného intervalu obsahujícího    O;     "lokální" zde  odpovídá malým hodnotám    9.
Věta    1*      Nechí    Á    je množina hustot    A = /d(x,9):   9 € fj vyhovující  podmínkám
(a)      2é R      je  otevřený interval obasahujlcí    O .
(b)       d(x,9)€ A    je absolutně spojitá vzhledem k      9    pro skoro vš.    x.
(c)       Limita
d(x,0)   - lim    i fd(x,9)   - d(x,0)j 9-» O    y L                           J
existuje pro skoro vš»    x •
(d)       Platí  »
lim 9
im     \(ď(x,9)|  dx «     1 [d*(x,0)l dx <   *>   f kde    d(x,9)    znaoí parciální derivaci vzhledem k    9, uvažujme alternativu     K =j q    : A>0 j   ,    kde
-106-
n (7.2)           <lA(xi»---»3CQ>    - TT d(xi* ^ci   *
ͻl
c^,...,cn      jsou dané čísla. Pale test s kritickým oborem
(7.3).             Z.   c-   an(R.,d)  ž k
je lokálně nejsilnějším pořadovým testem    H0    proti   /q4:^>o/ na hladině významnosti
(7.4)                     oč* P(  z    Ci  an(Ri,d)   ž k)
kde    P    je libovolné rozdělení pravděpodobností splňující    H a kde
[«*£» ,0)1
(7.5)             an(i,d)  =E    -^—j        ,    i.l,...,n
a    X{^< ... < X(£}       jsou pořádkové statistiky příslušné náhodnému výběru rozsahu    n    z rozdělení s hustotou    d(x,0).
Důkaz :    Nechí    QA   je rozdělení pravděpodobností odpovídající hustotě    q £     •    Ukážeme,  Že pro libovolnou permutaci    v €. platí
(7.6)       lim   i fn!  Q.(R=r)-l|    »    Z    c.   an(r.,d).
Odtud pak plyne existence £, > O takového, že pro lib. ^ , O <4 < £ a pro libovolnou dvojici r,r'€ÍTÍ vyhovující nerovnosti
(7'7)          X ci Vri>a)  >,«.«!  Ví»«
-107-
platí
(7.8)                     Q4 (R=r)    >   QA(R=r')
dx-    . • • dxM  ■
i              n
Podle Neyman-Pearsonova leáätu nejsilnější test    HQ    proti
QA   zamítne    HQ    pro    rfilv   splňující nerovnost    Q^ÍRsr)^ k'
pro vhodné    k';     to vzhledem k (7.7)  a k (7.8) ekvivalentně
n anamena zamítnout    HQ  ,  jestliže platí    Z    n^ a (r-,d)>  k
pro vhodné    k.    Zbývá tedy dokázat konvergenci   (7.6). Platí i [q4(R-D - Q0(R=r)j    »
(7.9)    «    í--*/Wd(xi'4c.) -    TC  a(x.,0)]
Ä.r    T*                    i=1            J
n    r      f    ä(x.,Ac.)-d(x.,0) i-1                    n
*£   J...J -----i-----7------*— 7r<3(3ci4c1)7Td(xk,o)
i*l J      J             A           j*l      J      J k=i+l *
R=r                                                                                dx  ...dxn
kde  jsme použili identitu
(7.10)         U    Ä.   -    \\    B-  =     2. (A.-B.)     T   A,     U        Bv. i=l     *       j=l     J       i=l     x     x       j=l     J  k=i+l     *
«Jestliže je    ci = o,  je i-tý sčítanec na pravé straní (7.9)  roven    0.  vestliže   je     ci>0,     pak  vzhledem k  předpokladům  (a)-(d)  platí
EIS    \...\ ----i----^----*----    ird(x.1Äci)lTd(xkl0)   dxr.,dx^
(7.11) ^gj  iSy^^till ^^^j^^k.^r-^
■N \—\   ÍoCxi>0)i   U      d(xjr0)dxx ... dxn; O R=r°                     jti
■
-108-
analogickou nerovnost dostaneme pro    c*< O;    i=l,.«.,n.
Na druhé straně, rozdělme integrand na levé straně  (7-11) (bez absolutní hodnoty) na kladnou a zápornou část a na každou z nich použijme Pato.uovo lemma. Odtud a ze  (7*11)  dostaneme
n   r      r d(x4 ,ác- )-d(x, ,0)     i-1                 n
lim   Z    ...I -----i-----*-.------i-----     Trd(x,,4c.)7rd(x. ,0)dxv.. -> 0  i =1 % jf                   &                   j-1      J      Jk«i +1 *         x
dV
(7.12)
2     f..,f c.   a(x.fO).    H    atx-.Oldx,   •••dx_   . i=l J     J     x        x          j*i        J          x           n

Dale, rovnosti    d(x,0)  * O    a    d(x,0)  ^ O    mohou nastat zároveň jen na množině míry    O    (ge-li    d(x,0)>0,     je    d(x,t) rostoucí v bodě    t = O;    kdyby bylo    d(x,0)  = O,    musela by hustota    d(x,t)    pro      -<í<t<0    nabýt záporných hodnot,  což je spor. Podobně pro    d(x,0)< O.).    Pravou stranu (7«12) můžeme tedy psát ve tvaru
n        r       f d(x. ,0)      a,
,      n             fä(X.,0)  I             "1
(7.13)      -St ^«»ísItožtotÍ B=rJ   ■
i   n
nT iBl    i
r.    (*«> d(.X   *   .0)
"it j^ Ci an(ri,d)"
,d(X    *   ,0).
(7.6) pak plyne ae (7.9),(7.12)  a (7.13).                      O
Basledující lemmata budou užitečná pro aplikaci věty 1 na speciální případy.
-109-
Lenma 1«    Nechí    ŕ(x)    je absolutně spojitá hustota vyhovující v^tahu
(7.14)
•O
í
|f'(x)|   dx <oo    .
Pak množina hustot    A = |d(x,e)   :  ô € tyj ,    kde    d(x,Ô)  =
= f (x - e)       a    2 = R1,    vyhovuje předpokladům (a)-(d) věty 1.
Mkaz  :    Platnost (a)-(c) je zřejmé; déle platí
«o
j|d(x,Ö)|dx = Jlf'(x-Ö)ldx = jlf'(x)Idx
-flO                                       **0                                           -co
<oo
odkud plyne (d) .
a
2,    Nechí    f    je absolutně spojité hustota vyhovující podmínce
00
(7.15)                      J Ix ŕ'(x)ldx < oo     .
Pak mnoiina hustot    A ■ { d(x,Ö)   :  ö e}jt    kde    d(x,ô)  = = e"ef((x-i«/)e"e),    1^= R1,    vyhovuje předpokladům    (a)-(d)
dx
věty 1.
Pokaz,     (a)-(c)    jsou zřejmé;     (d)  plyne ze vztahů
\|d(x,ô)idx =   íle"9 ŕ&x-/U>)e~ô))+ e*2G(x->v)f'(x-ylí/)e"e|
-00                                      -00*
,   Jjr(x)  + x f'(x)|dx -o» Hyní popíšeme lokálně nejsilnější pořadové testy   HQ    proti nejdůležitějším alternativám:  alternativ! dvou výběrů liSÍ-cích se polohou, alternativě dvou výběrů liSících se rozptýle-
ností a alternativě regrese v poloze. Testy dostaneme snadno specializací věty 1«
-110-
H0 .proti dvěma, výběrům li5ícíc_bg_e ^posunutím v poloze.
Uvažujme    fí0    proti alternativě   j q^ : A> 0 /,    kde
m                  N
(7*-16)            ú.(x15...,xw)  =   7T fix* ).    Tí      f(x.-4),
*    X           N       1=1        *      i=m+l        2
kde    f    je známá absolutně spojitá hustota vyhovující (7.14) Pak    LK    pořadový   ct-test má kritický  obor
K
(7.17)                            I      a^CR. 9f)  = k
i=m+l    H   z
N kde    k    vyhovuje podmínce    P( r        aK(R. ,f)  = k) = <& ,    P€H
i=m+l    fl    *                                      '
r ŕ'(4i}> 1
(7.18)           a^I.f) *s|-    f(5*>j J  '      U1' —'*
a    X(^V-*-<X(^?    jsou pořádkové statistiky,  příslušné náhodnému výběru   Xlř...,^    2 rozdělení & hustotou    f . Hodnoty ajjíijf)    jsou tav. skóry příslušné    ŕ ;    lze je také psát ve tvaru
(7.19)             «Ä(i*f)  «S   y(U^i),f),      i=l,...,N, kde
(7.20)               f(u,f)=    - ^(g"VU ,      o<u<X '                        r(F~x(u))
a    y(^ř...řU^K?    jsou pořádkové statistiky příslušné výběru rozsahu   K   z rovnoměrného roadělení    B(0,1).    Jiné možné vyjádření skóru je
C7.21)      yiff)  = m(£J) j f'(x)CP(x))i":Líl-F(x))n'i dx.
-«0
-111-
Poznámka.       Výpočet skórů (7.19)(viz též  (7.21))  je pro některé rozdělení    f    obtížný. Proto neméme-li např.  k diapo-zici tabulky těchto skórů, nahrazujeme je tzv« přibližnými skóry
(7*22)       ajíi.f)     = f%I  ,f)   =   f(E  u£i},f),     i=l,...,N.
Lze ukázat,  že testové statistiky    S^    se skóry  (7.19) a testové statistiky    S«    s  přibližnými skóry(7»22)jsou asymptoticky ekvivalentní v tom smyslu,   že platí
lim
E(SN - 31)
var S
■ 0,
H
což mimo jiná znamená,   Že  obi statistiky mají za    H      stejné asymptotické rozdělení.
V kapitole 3  jsma popsali základní pořadové testy, které se používají pro testováni    H      proti alternativo dvou výběrů lišících se polohou. Na základě věty 1 můžeme nyní urSit, pro který  typ rozdělení jsou tyto testy případně lokálně nejsilnější.
a)      Wilcoxonův test    je lokálně nejsilnější proti alternativě  (7.16), kde    f    je hustota logistického rozdělení
(7.23)
-x
f(x)   =
(1+e-*)
=E2     '   "H
Skuteěně,  snadno ověříme,   že v tomto případě je   ^(u,f)= 2u-l; <Xu<l,       a     B^(l4i),f)  ■ 2 jpi - 1,    i=l,-.-,N.
b)       van der Waerdenův test je založen na přibližných skórech odpovídajících hustotě    f    normálního rozdělení    K(0,1)   :
-112-
skutečně, v tomto případě je      - -ýfe} * x «*   f(*,t) =^"1Cu)f <Xu<l.    lede  ^ je distribuční funkce    N(0,1).
c)      Mediánovy teat je založen na přibližných skórech odpoví-dajíc±ř^vojitě exponenciálnímu rozdělení s hustotou
(7.24)                             f(x) * \ e~,xl     ,      x€HX.
V tomto případe je     ir(u,f) = signCu - j), 0*u<l.
HQ   proti alternativě dvou výběrů li Sicích se rozpt.ýlenosti"*
4
Uvažujme    H0   proti alternativě   fqA : ů > O/ ,    kde
(7.25)        ^(xi.-'.x™) * TTí'Íx.-ä') TT    e"Af(^^),^>0
**                Ä       i=l         í     i=m+l                e^
kde    f    je absolutně spojité hustota vyhovující  (7.15) a je rušivý parametr. X*N pořadový test má kritický obor
(7.26)                             2      a1H (H. ,f)  ^ k,
irm+i    xa      x
H kde    k    je určeno podmínkou   Pí l        a-iwCR.-»ŕ) ± k)*cC .
ism+1    •"■    * PéH0   a skorý mají tvar
(7.27)        a^.f) =B[-l-4i> i^-j^cuü),*.,, kde
(7.28)                       tAíu.f) = -l-g~x(u) *'(*[.(■»??         o<u<í.
11                                    f ď x(u))    '
Podobnfi jako u testů polohy, i žde můžeme použít též přibližné skorý tvaru
-113-
(7.29)                 ^(itf)  «     fx (j£j ,f),          i»l,...fH.
Ze (7.27)-(7.29) vidíme, že Klotzův test je vhodný pro alternativy (7*25)f kde f je hustota normálního rozdělení, zatím co kvartilový test je založen na přibližných skórech odpovídajících hustotě
»"i
(7.30)                            f(x)
7T2   "•     'xi > x
H      proti  alternative regrese v poloze*
Uvažujme    H0    proti alternativě    [qá :  A > O J    , kde
N
(7.31)           qá (*!»•••.**)  * JI říXj-A^),   A> o,
i=l
kde    f    je známé absolutně spojitá hustota vyhovující  (7.14) m   Cp.».,C|    jsou známé regresní konstanty« Pak    LN    pořadový test má kritický obor
H
(7.32)                     I    c.   aK(R.,f) * k, i=l    x    a ■   *            l
H
kde    k    je dáno podmínkou   P(  2    c.   aMíft-,*)  * k)  = «sC .
i»l    x    fl    * P€HQ,    a skorý mají tvar (7.19).
Zde platí,  podobně jako  ^ alternativy posunutí v polozene lineární  íWilccxonovy) skóry jsou vhodná pro logistické idělení, skóry tvaru   a«(i;  = 0     («J^T^    JeQu vhodné pro normální rozdělení a nula-jedničkové skorý jsou vhodné pro 29043 P8
- 114-dvfcjité exponenciální rozdelení.
7»>o2.»       Lokálně nejsilnější  pořadové  testy hypotézy symetrie
Uvažujme hypotézu symetrie    H-^    proti nejčastější alter-native,  t j. alternativě posunutí     / q-  ;  A > 0 í   ,
n '33)              qA(xll...,xn)  *   TT  f(xi-A)   '. A > 0 }
kde    f    je známá symetrická hustota,    f (-x)  ■ f(x)> 0, x€R , odpovídá prípadu   4-0.
"-- 2±      Äech?    f      je a be olutně spojitá symetrická hustota vy; cvující podmínce  (7.14). Pak test e kritickým oborem
'V-4)                 Z    a*(R*,f). sign    X-   * k
LN    pořadový test    H^    proti  (7.33);    k    je dáno podmín-
-    P(  I     a^(Rt>f)sign X^  * k)   =06       pro    P6Hlf       R?    je
*dí     IxJ     meai     |X]J ,..., |xj     a skóry    ajj(i,f)    jsou tvaru
>+t*    *\    -  *     i«+/tt(Í>
C7.35)              V*f*> =B   ^»   (U>u,f),      i«l,...ftt)
•
.   :,6)               vP*(u,ř) = ^(ü+i ff)f             o<u<i.
i.4>.aka»     "Pořadový"  test v tomto případě znamená test,   za-
• ...
loženy °a pořadích    R^,.*«fR*    aDflolutllícn hodnot    |X,|,..#, '•Xn*     a na znaménkách    sign Xls...,sign XQ-
_n
29043 Z8
-115-
Důkaz.      Nechí    Q^     je rozdělení pravděpodobností 3 hustotou q^    -    Ukážeme,   že pro libovolnou permutaci    re.u'ô       a pro libovolný vektor    v ■ (Vh,..»,v  )    se složkami rovnými bu3    +1 nebo    -1 platí
(7.27)      lim   x Í2n n!  QA (sign X = v,    R* » r)-l]    -
" JlVi ön(ri'f)-
Odtud pak plyne^ podobně jako u věty lj existence    £.> 0    takového,  že pro lib. 4,    0<4<£     a pro libovolné    rtr«Ä a    v,v' vyhovující nerovnosti
(7.38)        Jk v.   a*(r.,f)>   í^ v.' a^ (r.'.f)
platí
(T*39)          «assign &=v, R+=r)> QA (sign X=ví R+=r')
a odtud podle Neyman-Pears onova lemmatu plyne tvrzení věty. Důkaz  (7-37)   (jednotlivé kroky jsou analogické jako v důkazu (7.6)):
lim    i [2n n!  Q^eign X=v, R+=r)-l] x
n      f        f f(x.-^)-f(x.)    n             i-1
=lim 2n n!     Z        ...J   -----i—^------k-  TT f (x J   TľtU^-A)
A* °           i=1    si*aX=v           A           J3i+1    J    k=1
R*=Ť                                                      dx1-...dxn
*2n n!     Z      J..J    (-f'(x.)) U f(x.)dxn...dxo * i=l si*nX=v              x    ,i4i      J      x          n
•gnX=v             x    j£
R"*=r
-116-
n       a    r     ľ r                 f'*W>    *        i
» 2n * .^   J — J  t-"«0 »i '   f d j)   J^VJ ^...a«!
aignX^ H+=r
= j^i an(ri'f)-                O
Poznámka. Z věty 2 vyplývá, že jednovýběrový Wilcoxonův test je LN pro logistickou hustotu ft znaménkový test j'e LN pro dvojitě-exponenciální hustotu a van der Waerdenův test je založen na přibližných skórech odpovídajících normálnímu rozděleni.
7*lo3*    Lokálně nejsilnější pořadové testy pro hypotézu nezávislosti
Uvažujme hypotézu   H2    nezávislosti ve dvourozměrném rozdělení proti  alternativě   J q,   ,46 R   |    , kde
n
(7.40)             <lA(xl>yľ'*#»xn»yn)  =   IT   V*!'*!*'
i»l
kde
00

(7.41)          hA(x,y)  » J r1(x-Az)f2(y-Az)dM(z),
-09
■cde    f\     a      fp    Js°u známé jednorozměrné hustoty a    M(z) je distribuční funkce taková,   Že
co                                                            «
(7.42)            0 <    (a-í)2a aí(zK<w9      z ■ 1 zdlí(z).
-K
Jinak řečeno,  za alternativy (7.40) platí
Xi = X? ♦ ů 2.:
(.7.43)        y§   = yo   . Az        i»!»...,»,
2i      *i + a Zi
-117-
kôe    X?, I?    a    Z-     jsou vzájemně nezávislé,     (x£,...,x£) resp.   (TÍ,...,Y°)    t-voří náhodné výběry z rozdělení    f,     resp fp    a    (Z,,...,Z  )    tvoří náhodný výběr s libovolnou distribuční  funkcí    H    s  konečným rozptylem.
Následující větu uvedeme bez důkazu, který lze např. nalézt v knize Hájek-Šidák (1967),kap.II.4.1.
VĚTA 3.      Nechí    f,     a    f^    jsou absolutně spojité hustoty,
obě vyhovující   (7.14) a nechí derivace    f/(x)    a    t?(x)
-test                   x                 *
jsou skoro vě.   spojité.   Pak\s  kritickým oborem
(7.44)                         2    an(Bi,f1)an(Silf2)  * k
je LN pořadový test    H^    proti alternativě (7.40); skóry jsou dány vztahsjn (7.19) resp.(7.21);      R1,...,Rn    jsou pořadí
X1,...,Xn    a    S1,...,Sn    jsou pořadí    I^,.*«,X
n
7o2.       Asymptotická relativní  vydatnost  testů
Nechí Q)« a u)« jsou 2 posloupnosti testů téáfe hypotézy H založené na N pozorováních X*,...,X». Předpokládejme, Že rozdělení testových statistik Tg- a T»J závisí na parametru 9 (např. parametr posunutí) a hypotézu a alternativu piěme ve  tvaru
h : g = ö0                                         k : e > e0.
Chceme-li porovnat účinnost 2 testů, musíme porovnat jejich silofunkce. Při pevném   N    je však obtížné silofunkce vypočítat.  Omezíme  se  tedy na  asymptotické srovnáni   testů při
-118-
N*oo    .    Sada testových statistik mé asymptoticky normální rozdělení  jak za hypotézy,  tak za některých alternativ. & usymptotického rozdělení můžeme odvodit asymptotickou sílu proti jednotlivým alternativám«
Uvažujeme-li pevnou jednoduchou alternativu, např.  že hustota náhodného vektoru    (X1,..«,XH)    je    qQ (x^...»*^ a zvolíme-li pevně hladinu významnosti  oU   ,    pak síla libovolného konsistentního testu proti této alternativě konverguje k 1 při    N-*<»    .    Vydatnost testu pak můžeme měřit rychlostí této konvergence   (Hodges-^ehmannova vydatnost),
Jestliže uvažujeme pevnou jednoduchou alternativu a pretest depíšeme limitní hodnotu  /S    síly,  které máVpróti této alternativě nabývat, pak hladina testu konverguje k nule při N*«J      a opět můžeme měřit vydatnost testu rychlostí této konvergence (Bahadurova vydatnost).
. hladinu Jestliže zvolíme pevně jak limitn;r/významnost}  tak sílu
ß , které má test nabývat,  a uvažujeme alternativy typu
{,Qe(zl>*« •»*]})» 9>ôoJ *    Pfillc hodnota    e >    Pro kterou   06-test dosáhne limitní síly ß ,  musí konvergovat k    9Q.    To je východiskem k definici      tzv* Pitmanovjy asymptotické relatívni vydatnosti testů,   která se nejěastěji užívá a kterou podrobněji vyšetříme.
_7_o2»l,      Pitmanova vydatnost
00
uvažujme posloupnost testových statistik    [t^J k=1    závislých na    N,     pozorováních, kde    lim Nfc = 00 .    Hypotézu
k-^oo a alternativu pišme ve tvaru
H 1 9 s e0                                 Z  ;  Ö >©0.
-119-
Omezíme se na posloupnosti parametrických hodnot   {övjv=i
takové,  že    lim Ö.   = ©„    a které splňují následující pře ti-
k*«> *        ° poklad;
(A)      Rozdělení statistiky
!k -a*v
0(9^)
je asymptoticky normální    N(0,1) pro    k-»oo    ,    kde funkce
{U/(9)    je diferencovatelná v bodě    6 = ©Q    a    /«''(Ô.)  £ O
a pro funkci    o(Ô)    platí      o*(6) > O      a        lim r=rrr\  = 1.
k+* ovwo'
Uvažujme posloupnost testů
*,. -Ai(e )
2-   * c,
1 •••   »*£       gTO
(7.45)   $1^,...,^ )"
*^)  ...      jinak.
Z předpokladu  (A)  vyplývá,   že  platí
(7.46)                     lim C.   =11^    =   S^a-ci/),
kde   í&     je zvolená hladina významnosti a     Ô    distribuční funkce    N(0,1).    Sílu testu    Q k    proti alternativě    9 = 0^ lze psát ve  tvaru
(7.47)      y3k - P^Kk -^gp-----    ^Ck -   -----37-5-5-------J
tf('-}   I -      - }   .
Zvolme pevně hodnotu ß   , 0</3<   1.    Zajímá nás, za jakých
-120-
podmínek bude platit      lim  A^ =/3  ♦ Označme    a    řešení rovnice
(7.48)                    £(»* - a)   = 1 -/3    ,
tj.    a *    u^ -   af^Cl-ya).    Pak z předpokladu  (A)  plyne,  že A "*/2      PrávS "tehdy,  jestliže
(7.49)                 lim p^  '-----S—i-----2_    = a.
a(90)
Odtud a z diferencovatelnosti Z*' (e>)    v bodě    0      vyplývá,   že 6^ - Öfi    je řádu     __!   ■   ,    což znamená,  že se  omezíme na
posloupnosti    |& j     tvaru tj.  posloupnosti splňující
(7.51)      líajBJ.  (9.   - ©e)  =cT                     Pro nějaké   cf> 0.
k-to»      *      *        °
Pro alternativy typu (7.50) platí věta:
VÍTA 4.      Nech? předpoklad (A) platí pro libovolnou posloupnost alternativ   {ö^j    vyhovující  (7.50). Pak platí
(7.52)                       lim/3k =   <£(c<f - Uod,   )   ,
ku*    ßk    jevila testu (7.45) proti alternativě    6^    (typu
-121-
(7.50))    a kde
-  <% •
Obráceně,  jestliže platí  (7-52), pak posloupnost   fo^j vyhovuje  (7o50K
Mkaz.      Nechí    ôk    vyhovuje  (7.50),  a tedy (7.51). ?ak platí
a ze  (7.49)  plyne    cí = a; první tvrzení plyne ze  (7.48).
o
i
Podobně se dokáže  obráceně tvrzení.
Par-rtámV^.      Věta 4 ukazuje,  že limitní síla testu (7.45) proti alternativám tyPu (7.50)  závisí na testové statistice jen prostřednictvím konstanty    c    a je rostoucí funkcí    c    pro libovolné pevné    <f> 0.    Charakteristika    c    dané vztahem (7*53) se nazývá efikace posloupnosti testu (7.45),
Příklad 1.    Nechí    \>****\.      *   Xlt...,Yn      jsou nezávislé výběry, kde
P(Xt<x)  = F(x), 1*1,...,*^   a    P(Xj<y)  » G(y)«ff(y-A ),
NechÍFmá hustotu    f    takovou,  že ((Uli)    f(x)dx<ŕoo. Předpokládejme,  že platí              "m
lim *r    *#,      lim Ír = 1-^   »       °< ^< *i k*oo wk                 k-*»flk
kde    N^ = mK+n^>    k=l,2,..* Nechí
Tk = i^-ívi WX>J>
-122-
]c43e    tf,     je statistika dvouvýběrového Wilcoxonova testu (3.15); položme    0^ = -A-    ,    ©0 * 0.    Pak % věty VT.2.3 v knize Héjek-Sidák (1967$ plyne,  že statistika
Tk - ÖkA (1-4) JV(x)dx
\fFk                            ~
má při    k-»oo     asymptoticky normální rozdělení    NC0,1).  Jsou tedy splněny předpoklady věty 4» kde    /W(Qk)  s ©• 3(1-/0. ■jV(x)dx      a        <j(9)   =   |/f£TTl^T)      .
Z téže věty dostaneme efikaci Wilcoxonova testu
(7.54)        cw = iGJTľl^Jľ   íf2(x)dx
a limitní eíla testu proti posloupnosti   1 Ô^j    je
co
(7.55)        lia/3,, =   Ö(Ahzli(l-A)%     ) f2(x)dx- u,  ). k-*«» I  *        1                                 Jíe                     ^
Přiklad 2,    Z« stajné situace jako v příkladu 1 hledejme efi-kaci a asymptotickou sílu    t-testu.    t-test zamítá   fí0 , jestliže platí
T~r->c*
VK'Si
cd«
< m krlX*-*1* * &?**>*]
a lim C' = u^,   .    Předpokládejme, že rozdělení    F    má konečný k-too
rozptyl    o*      a použijme větu 4 na statistiku
-123-
Statistika
má při    k-»oo      asymptoticky normální rozdělení,  což plyne
z konvergence    t-- rozdělení k    N(0,1)    při    V->°o    a z kon-
1        1 P vergence      $    - ~ —*   0      při    k-*oo    .
Efikace    t-testu je tedy rovna
„.s«         c = Epäľ
a asymptotická síla je
(7.57)               liay3k "    ^{ ~ÍÚl-A)    - »*>•
Příklad 3.    Analogicky najdeme efikaci a asymptotickou sílu Wilcoxonova testu symetrie. Nech?    X, ,..<.,X^      je náhodný výber z rozdělení s distribuční funkcí    F(x-4)j  kde    F(x)    mé hustotu    f (x)    symetrickou kolem O. Testujme    H :   A  = 0 proti    K í    A>Q      a položme    ©k =    If5£-A     •    Položme
"í
kde    Wv    je jednovtfběrová Wilcoxonova statistika ve tvaru
«k
w£ = 2 sign X. .ÄÍ. Pak podle věty VI.2.5 knihy Kájek-Ši-K  i=l     1 x
dák (1967) má statistika                          »
Tk - 2 ök Jf2(x)dx
R------■*
íf
asymptoticky rozdělení    5(0,1)    pro    k*»oo    ♦  Odtud dostaneme efikaci a asymptotickou sílu:
-124-
(7.58)
a
(7.59)
*  flľ Jfa(X)dx
OB
lim/3k =  J (A flF .   j ^(xjax -
-Off
v>
Věta      dává nejen jednoduchou aproximaci síly testu,ale je také východiskem r určení relativní asymptotické vydatnosti  jednoho testu vzhledem k druhému.
Nechí    T * {T^J    a    T'*íTkJ     JS0U 2 posloupnosti testových statistik pro tutéž hypotézu proti téže alternative,  za-ložené na výběrech rozsahu    N-    resp.    N^.    Pak limitu     s-podílu rozsahů výbéru potřebných k dosažení stejné limitní síly ß     proti stejná posloupnosti alternativ, pokud hladiny významnosti  obou testů konvergují k téže limitě   06    , nazveme Fitmanovou vydatností testu    $    vzhledem k    T ,     tj.
(7o60)
&
T,T
Ha
K
k->oo  "k
Jestliže např.    «m T' * *r '  palc P°slouPao8t testů    Ť potřebuje přibližně dvojnásobek pozorování než posloupnost testů    T' k dosažení stejné asymptotické síly,
YŽIk 5.    Nech?    Tai' jsou 2 posloupnosti testů pre    H:ô= « Ô0,    založené na výběrech rozsahů   Nfc    a    N^,    jejichž hladiny významnosti,    cC.     a   cL     obě konvergují k   č(/   a jejichž síly   /3k    a    /3k    proti posloupnosti alternativ   {\J    ob* konvergují k   /3    ,    0<«K/3<1.    Nechí oba testy splňují předpoklady věty 4 a nechí efikace testů jsou    c    a    c'  . Pak existuje Pitmanova vydatnost    T    vzhledem k    T' a je rovna
-125-
c      2 (7.61)                   eT>T- * (-£7 )
Důkaz.      Jestliže    lim/3 v = ß   ,      d><(h< 1,    pak podle vě-ty 1 posloupnost    {ö^J    vyhovuje  (7.50). *rotože také lim/V
Přiklad 4.      Stanovme Pitmanovu vydatnost dvouvýběrového Wilcoxonova testu vzhledem ke dvouvýběrovému    t-testu. Zt (7.54) a  (7.56)  dostaneme
00
(7.62)                 ew t(F)  » 12a2( J f2(x)dx)2.
-60
Tato vydatnost nezávisí na hodnotách  oO a   /3    . Speciální, jestliäe    f    je hustota    N(0,1),     je      a2 = 1    a Jf2(x)dx«
1        ,    tedy
2fF (7.63)                 eW,t($)  "fl7^   °*955#
Dá se ukázat,   Že tato vydatnost nezávis! na změně střední
hodnoty a rozptylu normálního rozdělení;   (7.63)  je vydatností
Wilcoxonova testu vzhledem k    t -testu při všech normálních
alternativách.
PříViady dalších vydatností    «w tCf)   :
f b £ © ~'si   (.d-ccjité exponenciální)   : e^ t(f) « £
-■
-x                                                                      -v":
Cl*e *)
—w        ..ogiátické)                 :  ew + = 4-W"1,
-126-
Hodges a Lehmann (1956)  dokázali,   že platí
(7.64)                     ew t(f)    * 0.864
o pro libovolnou hustotu    f    s konečným rozptylem    o .    Minimum v (7*64) je dosaženo    pro hustotu
20 fT
(5 - X2)                      ...     Ix!   ^ 5
J*l>5
Další numerické hodnoty relativních vydatností některých testů jsou uvedeny v následující  tabulce   (hodnoty převzaty á knihy Bttning-Trenkler (1978)).
		Fitmanovv vydatnoa		sní    F	f			
		Základní rozdöl						
l.test	2.teat	r    " ■ ~~     'i If or mó Iní	Rovnoměrné	Dvojité exponenciálni	Logiatické	)olnl    | jranice	Herní hmrrii?f 00	
I.  Jednovýběrové teaty		0.637	0.331	2.000	0.823	0		
(1)  znaménkový	t-teet							
(2)  znaménkový    tfilcoxonüv		0.667	0.333	1.333	0.750	0	x	
(3) Wilcoxonův	t-teat	0.955	1.000	1.500	1.097	0.864	00	
II.Dvouvýběrové teatr		0.637	x	x	x	x	z	
(1) Mediánový	t-teat							
(2) Wilcoxonův	t-teat	0.955	1.000	1.500	1.097	0.864	CO	
(3)  v.d.Waerdenôy  t-teat		1.000	X	1.273	1.047	1.000	oo	
(4) Siegel-Tukey	F-teat	0.608	0.600	0.940	x	0	00	
(5) Klotzúv	^-teet	1.000	x	x	x	0	oo	
III.Vice výběrů								
(1) Kruakal-Wallia F-teat		0.955	1.000	1.500	1.097	0.864	oO	
[V. Nezávislost								
(1) Kendall (Spearman)	t-teat 1	0.912	1.000	1.266	x	"	x.	
-128-
T a b u 1 Je #      1.     Ječnovýbirovf »ilcesonúv taet.
Tabulka udává kvantily etatietiky    W+   pro    a'* 0,4    vyhovující    P(W+*w^   ) *cO     a   P(W*^ w^, +l)>ar. Kvaotily   w^      odpovídající    ^ * 0,6    se vypočtou    odl© vstahu     w„   .ÄÍ^il    -^        .
w0*005 W0.01 w0.025 w0.05 w0#10 w0.20 W0.3C *0.40       "1 ~
4 5 6
7
B
9 10
11 12 13 U
15 16 17 18
20
0	0	0	0	0	Z	Z	3	10
0	0	0	0	2	3	4	5	15
0	0	0	2	3	5	7	8	21
0	0	2	3	5	8	10	11	28
0	1	3	5	8	11	13	15	36
1	3	5	8	10	14	17	19	45
3	5	8	10	14	18	21	24	55
5	7	10	13	17	22	26	29	66
7	9	13	17	21	27	31	35	78
9	12	17	21	26	32	37	41	91
12	15	21	25	31	38	43	47	105
15	19	25	30	36	44	50	54	120
19	23	29	35	42	50	57	62	136
23	27	34	41	48	57	54	70	153
27	32	40	47	55	65	72	79	171
32	37	46	33	62	73	81	V 3	190
:■''	*3	52	60	69	.	90	97	2X0
O
■f*
Tabulka.     2.      Wilcoxonův teat.
Tabulka udávé kvantily statistiky    Ww   Vilcozonova testu proti levostranným alternativa« vyhovující    P(W
N
^   W^   )    rfoC
'I
a    p(*w^ w*, +1) >#• Kvantily testu proti pravostranným alter-
nativám vypočteme podle vztahu    w
I-06
2EWN~W* * 2/ř'"w^ 5  rozsahy výběrů vyhovující 3*n*m*25.
			n « 3							n ■	4			
m	0.001	0.005	0.010 0	.025	3.05 0.10		2r	0.001	0.005	0.010	0.025	0.05 0.10 Z/U/		B
3					6	7	21							3
4				-	6	7	24			-	10	11	13    36	4
5				6	T	8	27		-	10	11	12	14    40	5
6			■*	7	8	9	30		10	11	12	13	15    44	6
7			6	7	8	10	33		10	11	13	14	16   46	7
8:		—	6	8	9	11	36		11	12	14	15	17    52	8
9		6	7	8	10	11	39	-	11	13	14	16	19    56	9
10		6	7	9	10	12	42	10	12	13	15	17	20    60	10
11		6	7	9	11	13	45	10	12	14	16	18	21    64	11
12		7	8	10	11	14	48	10	13	15	17	19	22     68	12
13		7	8	10	12	15	51	11	13	15	18	20	23    72	13
L4		7	8	11	13	16	54	11	14	16	19	21	25    76	14
15		8	9	11	13	16	57	11	15	17	20	22	26    80	15
16	_	a	9	12	14	17	60	12	15	17	21	24	27    84	16
17	6	8	10	12	15	18	63	12	16	18	21	25	28    88	IT
L8	6	8	10	13	15	19	66	13	16	19	22	26	30   92	l«f
19	6	9	10	13	16	20	69	13	17	19	23	27	31    96	19
20	6	9	11	14	17	21	72	13	18	20	24	28	32  100	20
21	7	9	11	14	17	21	75	14	18	21	25	29	33 104	21
22	1	10	12	15	18	22	78	14	19	21	26	30	35 108	22
23	li	10	12	15	19	23	81	14	19	22	27	31	36 112	23
	7	10	l?	,	19	■		15	20	23	27	32	3S 116	■''
	7	11	.	;.;-:	Z		8?	15	20	23	28	33	38 120	25 ----------------------------■
Ta b u )   ca    i •    - pokrajování
			11   a   J				
n	0*001	0.005	0.010 C	.02^	0.05	>.10	ZAť
5		15	16	17	19	20	55
6		16	M	18	20	22	60
7	-	16	18	20	21	23	65
8	15	17	19	21	23	25	70
9	16	IS	20	22	24	27	75
10	16	19	21	23	26	28	80
11	17	20	22	24	27	30	85
12	17	21	23	26	28	32	90
13	18	22	24	27	30	33	95
14	18'	22	25	28	31	35	100
15;	19	23	26	29	33	37	105
16	20	24	27	30	34	3e	110
17	20	25	28	32	35	40	115
18	21	26	29	33	37	42	120
19	22	2T	30	34	38	43	125
20	22	28	31	35	40	45	130
21	23	29	32	17	41	47	135
22	23	29	33	38	43	4a	140
23	24	30	34	39	44	50	145
24	25	31	35	40	45	51	150
25	25	32	36	:-2	47	53	155
č:
'.O
001  0.005  0.010 0.025  0.05 OolO       2/tfr     m
-	23	24	26	28	30	78	6
21	24	25	27	29	32	84	7
22	25	27	29	31	34	90	e
23	26	28	31	33	36	96	9
24	27	29	32	35	38	102	10
25	28	30	34	37	40	106	11
25	30	32	'  35	38	42	114	12
26	31	33	37	40	44	120	13
27	32	34	38	42	46	126	14
28	33	36	40	44	48	132	15
29	34	37	42	46	50	138	16
30	36	39	43	47	52	144	17
31	37	40	45	49	55	150	18
32	38	41	46	51	57	156	19
33	39	43	48	53	59	162	20
33	40	44	50	55	61	168	21
34	42	45	51	57	63	174	22
35	43	4?	53	58	65	180	23
36	44	48	54	60	67	186	24
37	45	50	56	62	69	192	25
Tabulka      2   . - pokračováni
			n -7							n  * 8					
m.	0.001	0,005	0.010	0.025	0,05 0.		Zff	0.001	0.005	0.010 c	t02?	0.05	D. 10	Z/Us	m
T	29	32	34	36	3*	41	105								
8	30	34	35	38	41	44	112	40	43	45	49	51	55	136	8
9	31	35	37	40	43	46	119	41	45	47	51	54	58	144	9
10	33	37	39	42	45	49	126	42	47	49	53	56	60	152	10
11	34	38	40	44	47	51	133	44	49	51	55	59	63	160	11
12	35	40	42	46	49	54	140	45	51	53	58	62	66	168	12
13	36	41	44	48	52	56	147	47	53	56	60	64	69	176	13
14	37	43	45	50	54	59	154	48	54	58	62	67	72	184	14
15	38	44	47	52	56	61	161	50	56	60	65	69	75	192	15
16	39	46	49	54	58	64	168	51	58	62	67	72	78	200	16
17	41	47	51	56	61	66	175	53	60	64	70	75	81	208	17
18	42	49	52	58	63	69	182	54	62	66	72	77	84	216	18
19	43	50	54	60	63	71	189	56	64	68	74	80	87	224	19
20	44	52	56	62	67	74	196	57	66	70	77	83	90	232	20
21	46	53	58	64-	69	76	203	59	68	72	79	85	92	240	21
22	47	55	59	66	72	79	210	60	70	74	81	88	95	248	22
23	48	57	61	68	74	81	217	62	71	76	84	90	98	256	23
24	49	58	63	70	76	84	224	64	73	78	86	93	101	264	24
2'.	50	60	64	72	78	86	231	65	75	81	89	96	104	272	25
Tabulka       Z       - pokračovaní
n = 9 m.      0.001 0.005  0.010 0.025  0.05 0.10      2^
9	52	56	59	62	66	70	171
10	53	58	61	65	69	73	180
11	55	61	63	68	72	76	189
12	57	63	66	71	75	80	198
13	59	65	68	73	78	83	207
14	60	67	71	76	81	86	216
15	62	69	73	79	84	90	225
16	64	72	76	82	87	93	234
17	66	74	78	84	90	97	243
18	68	76	81	87	93	100	252
19	70	78	83	90	96	103	261
20	71	81	85	93	99	107	270
21	73	83	88	95	102	110	279
22	75	85	90	98	105	113	288
23	77	88	93	101	108	117	297
24	79	90	95	104	111	120	306
25	61	92	98	107	114	123	315
		a *	lö				
0.001	0.005	0.010	0.025	0.05	0.10	Z/W	m
65	71	74	78	82	87	210	10
67	73	77	81	66	91	220	11
69	76	79	84	89	94	230	12
72	79	82	88	92	98	240	13
74	81	85	91	96	102	250	14
76	84	88	94	99	106	260	15
78	86	91	97	103	109	270	16
80	89	93	100	106	113	280	17
82	92	96	103	110	117	290	18
84	94	99	107	113	121	300	19
87	97	102	110	117	125	310	20
89	99	105	113	120	128	320	21
91	102	108	llů	123	132	330	22
93	105	110	119	127	136	340	23
95	107	113	122	130	140	350	24
98	HO	116	126	134	144	360	25

Tabulka       2- pokračování
--------------------------------------_rn----------------------------------
■       0.001  0.005  0.010 0.025  0.05  0.10    2/V
11	81	37	91	96	100	106	253
12	83	90	94	99	104	110	264
13	86	93	97	103	108	114	275
14	88	96	100	106	112	118	286
15	90	99	103	110	116	123	297
16	93	102	107	113	120	127	308
17	95	105	110	117	123	131	319
18	98	108	113	121	127	135	330
19	100	111	116	124	131	139	341
20	103	114	119	128	135	144	352
21	106	117	123	131	139	148	363
22	108	120	126	135	143	152	374
23	111	123	129	139	147	156	385
24	113	126	132	142	151	161	396
25	116	129	136	146	155	165	407
-------------5_T2-----------------------------
0.001  0.005  0.010 0.025  0.05 0.10    2/c    m
98	105	109	115	120	127	300	12
101	109	113	119	125	131	312	13
103	112	116	123	129	136	324	14
106	115	120	127	133	141	336	15
109	119	124	131	138	145	348	16
112	122	127	135	142	150	360	17
115	125	131	139	146	155	372	18
118	129	134	143	150	159	384	19
120	132	138	147	155	164	396	20
123	136	143	151	159	169	406	21
126	139	145	155	163	173	420	22
129	142	149	159	168	178	432	23
132	146	153	163	172	183	444	24
135	149	156	167	176	187	456	25
1/
n*— —
T a	bul	k a    .	l    - pokračování													
			i * 13								n *	14				■t
m	0.001	0.005	0.010	0.025	0.0?	0.10	2/14/	0.001	0.005	0.010	0.025	0.05	0«10	Z/tU	m	
13	117	125	130	136	142	149	351							— f     "		
14	120	129	134	141	147	154	364	137	147	152	160	166	174	406	14	
15	123	133	138	145	152	159	377	141	151	156	164	171	179	420	15	
16	126	136	142	150	156	165	390	144	155	161	169	176	185	434	16	
17	129	140	146	154	161	170	403	148	159	165	174	182	190	448	17	
18	133	144	150	158	166	175	416	151	163	170	179	187	196	462	18	
19	136	148	154	163	171	180	429	155	168	174	183	192	202	476	19	
20	139	151	158	167	175	185	442	159	172	178	188	197	207	490	20	
21	142	155	162	171	180	190	455	162	176	183	193	202	213	504	21	
22	145	159	166	176	185	195	468	166	180	187	198	207	218	518	22	
23	149	163	170	180	189	200	481	169	184	192	203	212	224	532	23	
24	152	166	174	185	194	205	494	173	188	196	207	218	229	546	24	
25	155	170	178	189	199	211	507	177	192	200	212	223	235	560	25	
. n * 15											n a	16				
15	160	171	176	184	192	200	465									
16	163	175	181	190	197	206	480	184	196	202	211	219	229	528	16	
17	167	180	186	195	203	212	495	188	201	207	217	225	235	544	17	
18	171	184	190	200	208	218	510	192	206	212	222	231	242	560	18	
L9	175	189	195	205	214	224	525	196	210	218	228	237	248	576	19	
^0	179	193	200	210	220	230	540	201	215	223	234	243	255	592	20	
21	183	198	205	216	225	236	555	205	220	228	239	249	261	608	21	
22	187	202	210	221	231	242	570	209	225	233	245	255	267	624	22	
23	191	207	214	226	236	248	585	214	230	238	251	261	274	640	23	
24	195	211	219	231	242	254	600	218	235	244	256	267	280	656	24	
25	199	216	224	237	246	260	615	222	240	249	262	273	287	672	25	
I
Tabulka        2    - pokračování
		n - li								n - 16					""—~i
m	0.001	O.OOJ	0.010	0.025	0.05	0.10	Z/K/	0.001	O.OO5	0*010	0.025	0.05	0.10	Z(4/	D
17	210	223	230	240	249	259	t 595							—r—	
IG	214	228	235	246	255	266	612	237	252	259	270	280	291	666	18
19	219	234	241	252	262	273	629	242	258	265	277	287	299	684	19
20	223	239	246	258	2 68	280	646	247	263	271	283	294	306	702	20
21	228	244	252	264	274	287	663	252	269	277	290	301	313	720	21
22	233	249	258	270	281	294	680	257	275	283	296	307	321	738	22
~:	238	255	263	276	287	300	697	262	280	289	303	314	328	756	23
24	242	260	269	282	294	307	714	26?	286	295	309	321	335	774	24
2 «5	247	265	275	288	300	JU	731	273	292	301	316	328	343	792	2<S
		n «19								n « 20					
19	267	283	291	303	313	325	741								
20	272	289	297	309	320	333	760	298	315	324	337	348	361	820	20
21	277	295	303	316	328	341	779	304	322	331	344	356	370	840	21
22	29A	301	310	323	335	349	798	309	328	337	351	364	378	860	22
23	288	307	316	330	342	357	817	315	335	344	359	371	386	880	23
24	294	313	323	337	350	364	836	321	341	351	366	379	394	900	24
	'.	;'		■	y	372	855	327	348	358	373	387	403	920	29
i i                                                   ** r * ' .■■   ■'
n * 21 e       0.001   C  005  0.010 0.025  0.05  0.10       2M>
n * 22 0.001  0„005  0.010 0.025 0.05  0*10
'./tu   m
21	331	3 19	353	373	385	399	903				
22	337	356	366	381	393	408	924	365	386	396	411
23	3í3	363	373	388	401	417	945	372	393	403	419
24	349	370	381	396	410	425	966	379	400	411	427
25	356	377	388	404	418	434	987	385	408	419	435
424    439      990    22
432    448    1012     23
441    457    1034    24
450    467    1056    25
f
n
23
n * 24
23	402	424	434	451	465	481     1081			
24	409	431	443	459	474	491    1104	440	464	475
25	416	439	451	468	483	500    1127	448	472	484
492      507    525    1176    24 501      517    535    *200    25
D
25
25      480      505      517      536      552    570    1275
-137-
Tabulka      3  .      Van der Waeraenův test
Kvsntily    x,          pro statistiku        r        CJJ "x (=£
x^<                                     i=m+l   x        K+
6*n+m*50,    0£n-H£5.
06		0A025			0,010			O.OO5._____	
m+n	n-m	| n-m	n-m	n-m	n-m	n-m	n-m	n-m	Bf-m
• —	-Oil.	!.2i3_	L4i5.	J>il-	-2i3_ ,	+i5.	. 2;1 Í	i;3 .	J 4;§ _
a	2,40	2,30	OO	OO	00	00	CO	00	OO
9	2,38	2,20	OO	2,80	OO	00	OO	OO	ao
10	2,60	2,49	2,30	3,00	2,90	2,80	3,20	3,10	OO
11	2,72	2,58	2,40	3,20	3,00	2,90	3,40	3,40	OO
12	2,86	2,79	2,68     3,29		3,30	3^0	3,60	3;58	3,40
13	2,96	2,91	2,78     3,50		3,36	3,18	3,71	3,68	3,50
14	3,11	3,06	3,00	3,62	3,55	3,46	3,94	3,88	3,76
15	3,24	3,19	3,06	3,74	3,68	3,57	4,07	4,05	3,88
16	3,39	3,36	3,32	3,92	3,90	3,80	4,26	4,25	4,12
17	3,49	3,44	3,36	4,06	4,01	3,90	4,44	4,37	4,23
18	3,63	3,60	3,53	4,23	4,21	4,14	4,60	4,58	4,50
19	3,73	3,69	3,61	4,37	4,32	4,23	4,77	4,71	4,62
20	3,86	3,84	3,78	4,52	4,50	4,44	4,94	4,92	4,85
21	3,96	3,92	3,85	4,66	4,62	4,53	5,10	5,05	4,96
22	4,08	4,06	4,01	4,80	4,78	4,72	5,26	5,24	5,17
23	4,18	4,15	4,08	4,92	4,89	4,81	5,40	5,36	5,27
24	4,29	4,27	4,23	5,06	5,04	4,99	5,55	5,53	5,48
25	4,39	4,36	4,30	5,18	5,14	5,08	5,68	5,65	5,58
26	4,50	4,48	4,44 ! 5,30		5,29	5,24	5,83	5,81	5,76
27	4,59	4,56	4,51	5,42	5,39	5,33	5,95	5,92	5,85
28	4,69	4,68	4,64	5,54	5,52	5,48	6,09	6,107	6,03
29	4,78	4,76	4,72	5,65	5,62	5,57	6,22	6,19	6,13
30	4,88	4,87	4,84	5,77	5,75	5,72	6,35	6,34	6,30
31	4,97	4,95	4,91	5,87	5,85	5,80	6,47	6,44	6,39
32	5,07	5,06	5,03	5,99	5,97	5,94	6,60	6,58	6,55
(33	5,15	5,13	5,10    6,09		6,07	6,02	6,71	6,69	6,64
34	5,25	5,24	5,21	6,20	6,19	6,16	6,84	5,82	6,79
35	5,33	5,31	5,28	6,30	6,28	6,24	6,95	6,92	6,88
36	5,42	5,41	5,38	6,40	6,39	6,37	7,06	7,05	7,02
37	5,50	5,48	5,45	6,50	6,48	6,45	7,17	7,15	7,U
38	5,59	5,58	5,55	6,60	6,59	6,57	7,28	7,27	7,25
39	5,67	5,65	5,62	6,70	6,68	6,65	7,39	7,37	7,33
140	5,75	5,74	5,72  | 6,80		6,79	6,77	7,50	7,49	7,47
tl	5,83	5,81	5,79  ! 6,89		6,88	6,85	7,62	7,60	1^Ä
42	5,91	5,90	5,88	6,99	6,98	6,96	7,72	7,71	7,69
43	5,99	5,97	5,95	7.08	7,07	7,04	7,82	7,81	7,77
44	6,06	6,06	6,04    7,17		7,17	7,14	7,93	7,92	7,90
45	6,14	6,12	6,10    7,26		7,25	7,28	8,02	8,01	7,98
46	6,21	6,21	6,19 |7,35		7,35	7,32	8,13	8,12	8,10
47	6,29	6,27	6,25	7,44	7,43	7,40	8,22	8,21	8,18
48	6,36	6,35	6,34	7,53	7,52	7,50	8,32	8,31	8,29
49	6,43	6,42	6,39	7,61	7,60	7,57	8,41	8,40	8,37
50	6,50	6,50	6,48	7,70	7,69	7,68	8,51	8,50	8,48
-138-
Tabulka      4*    Kolmogorov-Ssiirnovöv "'.est
Distribuöni funkce Kolmogorov-Smirnovovy st*t:stii£y
B^ * max n jFm(*> - Gn(*)], tj.    P(DC * r)    pro    Q&w*r&.$.
D
r	8	9	10	11	12
0	0,111111	0,100000	0,090909	0,083333	0,076923
1	0,377777	0,345454	0,318181	0,294871	0,274725
2	0,660606	0,618181	0,5*0419	0,546703	0,516483
3	0,858585	0,823776	0,790209	0,758241	0,728021
4	0,956487	0,937062	0,916083	0,894230	0,872010
5	0.990675	0,983216	0,973776	0,962669	0,950226
6	0,998756	0,996853	0,993829	0,989630	0,984281
7	0,999922	0,999629	0,998971	0,997816	0,996070
8	1,000000	0,999979	Os99989i	0,999672	0,999251
9		1,000000	0,999994	0,999968	0,999897
10			1,000000	0,999998	0,999991
11				1,000000	0,999999
12					1,000000
-139-
Tabulka       4-- pokračovaní
D
r	13	14	»	u
0	0,071428	0,066666	0,062500	0,058823
1	0,257142	0,241666	0,227941	0,215686
2	0,489285	0,464705	0,442401	0,422084
3	0,699579	0,672875	0,647832	0,624354
4	0,849789	0,827829	0,806308	0,785345
5	0,936753	0,922523	0,907765	0,892672
6	0,977863	0,970485	0,962267	0,953336
7	0,993675	0,990608	0,986875	0,982500
8	0,998562	0,997550	0,996172	0,994400
9	0,999750	0,999489	0,999081	0,998492
10	0,999968	0,999918	0,999823	0,999664
11	0,999997	0,999990	0,999973	0,999940
12	0,999999	0,999999	0,999997	0,999991
13	1,000000	1,000000	0,999999	0,999999
14		1,000000	1,000000	1,000000
15			1,000000	1?000000
16	L—  ■■     „■ ...  -,■■			1,000000
Tabulka      5    •            Spearmanův test
Tabulka udává kvantily    d^,     statistiky        J
kle   oL  m P(jfé doj ) tob
x                        1
kde   a$2 ■ *<«/* ůo6. > áo6
n
ľ.  (H,   -i=l    *
S,)
podle následujícího schématu:
2\	3	„   4		Počet chojic 5		7	8	9		10
0,005					0    OjOOl 2     0,008	4 0,003 6 0,006	10 0,004 12  0,005	20 0,004 22 0,005	34 36	0,004 0,005
P.oi			0 2	0,008 0,042	Z    0,008 4    0,017	6 0,006 8 0,012	14 0,008 16 0,011	26 0,009 28  0,011	42 44	0,009 0,010
0,05		0  0,042 2  0,167	2 4	0,042 0,067	6    0,029 8     0,051	16 0,044 18  0,055	30 0,048 32 0,057	48 0,048 50 0,054	72 74	0,048 0,052
0,95	6    0,333 8    1,000	16 0,833 18  0,958	34 36	0,933 0,958	60 0,949 62 0,971	92  0,945 94 0,956	134 0,943 136 0,952	188 0,946 190 0,952	254 256	0,948 0,952
0,99	6    0,833 8    1,000	18  0,958 20 1,000	36 38	0,958 0,992	64 0,983 66 0,992	102  0,988 104 0,994	150 0,989 152 0,992	210 0,989 212  0,991	284 2*6	0,990 0,991
fc>,995	6    0,833 8     1,000	18 0,958 20 1,000	38 40	0,992 1,000	66 0,992 68 0,999	104 0,994 106 0,997	154 0,995 156 0,996	216 0,995 218 0,996	292 294	0,995 0,996
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE
FAKULTA  MATEMATICKO-FYZIKALNi
POŘADOVÉ TESTY
RNDr. Jana Jurečková, CSc.
Státní pedagogické nakladatelství
Praha