-71-
KAPITOLA    4.
Testy hypotézy o symetriijednorozměrného a dvourozměrného rozděleni
Představme si, že chcené zjistit,  zda nový druh ošetřeni má kladný efekt nebo zda je lepši než standardní  ošetřen-Abychom co nejvíce vyloučili vlivy, které nesouvisí s ošetřením,  uspořádáme náhodný pokus tak,  že pokusné jednotky rozdělíme do dvojic;  přitom dvojice volíme tak, aby byly co nejvíce homogenní. Na jednoho Siena dvojice aplikujeme zkoumané oěetření,   zatímco druhý slouží ke kontrole (přiřazení uvniti dvojice Saato provádíme náhodně).  Jindy pokus uspořádáme t&&, že téhož jedince pozorujeme např« před a po podání léku.
Dvojice pozorování    (X^T^...»^»^),    kde    X^^    odpovídá ošetření a    X-       slouží ke kontrole, můžeme považovat za náhodný výběr ze dvourozměrného rozdělení s distribuční funkcí    F(x,y),    Na tuto funkci neklademe žádné zvláštní prsa-* poklady kromě toho, že je spojitá.
Hypotéza,  že ošetření nemá významný vliv,  je ekvivalente, předpokladu,   že distribuční funkce    F(x,y)    je symetrická podle          přímky    y m x,    tj.    H^ : F(x,y) * P(y,x)    pro
všecka    x£H  ,    yéR1.    Alternativa kledného vlivu ošetření obecně znamená,  že rozděleni vektoru    (X,X)    je posunuto Barrett k polorovině    y>í.
or
•72-
4»1.      Pérová    t-test
Jestliže lze předpokládat,   že    F(x,y)     je distribuční
funkce dvourozměrného normálního rozdělení se středem    ^A^\
M/z)     a s  kovarianční maticí     í °         a P 1  ,     0^0,-léf Él,
\ o2f>       a2/ pak problém testu významného vlivu oaetření se redukuje na
test hypotézy    ř^-x-f^z      Pr<>ti alternativě     /^ ^.    Nejvhodnějším teatem pro tuto situaci je párový    t-test. Ozna-číme-li    Zj = Í£ - ^i    isl,...,», pak test mé kritický ob
kde    t^íoíO    je kritická hodnota    t-rozdělení o    (N-l) stupních volnosti.
4o29       Testy    Hx     založené na  pořadích ProveSme transformaci
2i * W        wi Ä VXi>       i=X,.-.,N.
Pak    (Zj^.W,),» a.,ÍZN,W„)    tvoří  opět výběr z dvourozměného rozdělení ss spojitou distribuční funkcí» Za hypotézy    H^ je toto rozdělení symetrické vzhledem k ose    w  ,  zatímco za alternativy jo posunuto ve směru kladné poloosy    z.    Problém je invariantní vzhledem k transformacím proměnných    w, ,*..»Wjj typu    w^ ■ S^wi^»    kä*    S    J® vzájemně jednoznačná funkce, která má nejvýše konečně mnoho bodů nespojitosti. Maximální invariantou vzhledem k těmto teans^ormacím je vektor    Z^,...,
...,Z^.    Invariantní testy tedy budeu záviset jen na Z-p...^.
-73-
'1** **
tvoří náhodný výběr z nějakého jednorozměrné-
ho rozdělení se spojitou distribuční funkcí    D.    problém tes tu   H,    je pak ekvivalentní testu hypotézy
(4.2)
H^  : D(z)  + D(-z)  = 1        pro vé.    zfiR1,
že rozdělení    D    je symetrické kolem      0,    proti alternativě K^ : D(z+A)  + D(-z+A)  * 1    pro vě.    z€tR1,A>0.
Alternativa odpovídá tomu,  že rozdělení    D    je posunuto smě*-rem ke kladným hodnotám    z  .
Rozdělení    D    je  jedno^načně určeno trojicí    (p»^^*» kde       p = P(Z<0),    Fx(z) = P(|Z|<z j 2 < 0)    a    F2(z) = « P(Z< z I Z> O).    Hypotéza    H^    se pak dá ekvivalentně vyjádřit ve tvaru

P2 =FX
a chceme ji testovat proti alternativě
Kl  s p  * I *    P2 4 Fr Tento problém testu je invariantní vzhledem ke grupě    G í z/i s gCZj,),    i«l,...,N,    kde    g    je spojitá, liché a rostoucí funkce«  Najdeme maximální invariant©, vzhledem ke    Q ;    nechí
»iji    —   l*ia<   0<zj1»    a"   )zjn>    kt2s    ii-C.-^i,     a j1<,..<jn;    nechí    3i»#"jS      jsou pořadí    | z. I   ,.-•,[ z^'
B
mezi
*ii
z^l    a   R^,.««,Rn    pořadí | z . |,...,|z .|    mezi
*1
*Xl »•••»! *hi•    Pa3c    ^si»***»Sm» Ri»«»*>sn)    Je niaxiaélní invarianta.  Skutečně, nechí    z*,.».,zH   a    2{>-»»»aM    jsou 2 body takové,  že    m'= m, n'=n    a se stejnými    Si    a    R..    Pak existuje spojitá rostoucí funkce    g    na kladné poloos« taksfcé,
-74-
že    z^    = g^  ),  i=l,...,N    a    g(O)  ■ O,     Jestliže dodefinujme    g(-z)  = -g(z),    pak    gčG    a    »£ ■ gí^), i-1,•••,&.
Postačující statistikou pro vektor    (S- :...rS  $ R, ,..., ...fRn)    jsou vektory uspořádaných pořadí    S^< -•*<'sm    absolutních hodnot záporných pozorování a    R^.. = <;r'     hladných pozorování mezi     |zJ ,•••,|z«I;    tyto vektor?  jsou tiále jednoznačně určeny jedním z nich, např«    R^<C «..<£^»
Invariantní testy hypotézy    H,   (nebo    íO    se pak redukují na testy,  závislé jen na uspořádaných pořadích    R-T<*..<
Nechí    "V   je počet kladných pozorování mezi    Z,,..., . ..jZjj.    Pak   V    je náhodná veličina s binomickým rozdělením; za platnosti    H^    je parametr binomického rozdělení roven   £* Pro libovolné pevné    n ,  1 ^ n - N    dostaneme s použitím věty 4 kapitoly 2
P{R{ « rv...,R^ = rv»V«= ä )  = (4.3) - PH (RÍ=r1,...,B^rv|V =n). Pfl (V*n)  =
s 757 •  (n}  C5>    " (7> vn'
H    m         -
pro libovolnou z    l (")  ■ 2*   n-tic       (r^...,^)    takových,
n«o
ze    l*Tj<...4r    * N.    Kritický  obor libovolného pořadového testu velikosti cC = ^«    obsahuje právě    k    takových bodů (r,,...,r   )•    Mezi těmito testy neexistuje takový,  který by
byl stejnoměrně nejsilnější pro hypotézu   H^        proti alter-
š native   K^.
Obvykle se uvažují testy s kritickým oborem
-75-
(4.4)                        h(Hx  +  ...  ♦ h(Rv  )>C
kde     V     už není konstanta jako a    HQ  ,    ale náhodné veličina, které závisí na pozorováních;    b    je vhodná neklesající funkce. 2 testů typu (4.4)  probereme 2 nejběžnější. Budou se lišit volbou funkce    h    a budou vhodné proti různým alternativám.
4o20l      Wilcoxonův test symetrie
Ve  (4o4)  položme    h(i) =i, iri,...,N.    Výsledná testová státiatika
(4.5)                          W* «    2    B,
S     i=l    i
Je rovna součtu pořadí kladných    Z^    mezi    Iz^j ..•.Jz^l. Statistiku    Wg    lze  také vyjádřit v nesledujícím    tvaru
S
(4.6)      wJ5 * |   Z    sign Z^rJ + |n(N*1)
kde    R?    je pořadí    [Z-J   mezi  jzj ,... ,/Z^J   . Wilcoxonův test zamítá    Hx,    jestliže    W{J    překrofií příslušnou kritickou hodnotu. Tabulky kritických hodnot lze nalézt např.  v pracech:
F0Wilcoxon(194í?): "Probability tables for individual comparisons by ranking methods". Biometrics 3,119-122.(N*6(l)20); J.Héjek(1955):"Některá pořadová rozdělení a jejich použití", čas.pro pěst.matematiky 80,17-31.
R.L.MoCornack(1965):"Extended tables of the Wilcoxon matched pairs signed rank statistics".J.Aaier.Statist.Assoc.60,864-871*
-76-
Pro velké    N    použijeme normální aproximace rozdělení    wj. Střední hodnotu a rozptyl    W„    vypočteme např.  ze (4*6)  s použitím následujícího lemmatu:
Lemma 4*1«      Hechí náhodná veličina    Z    má spojitou distribuční funkci    F    takovou,  že    F(z)+F(-z)*l,     zeR1*    Pak      Z a sign Z    jsou nezávislé*
Důkaz.    Zřejmé platí    P(sign Z*l)   = P(sign Z=-l)  = j.    Déle platí
P(sign Z=l,/z|*z)  = P(0<Z< z)  * P(-z<íZ<0)  = PCsign Z«-l, Jz/<z)  s | P(|Zj<z).
Ze (4*6)   a z lemmatu 4*1 dostaneme    (( Z1   ,.. *, Z^ )    je náhodný výběr ze spojitého rozdělení,   tedy rozdělení náhodného vektoru    B, , ...,R„     je  dáno větou 4 kapitoly 2):
ElJ»| KÍH+1) j
(4*7)
N
var W* = i    £    E(Rt)2  * i- N(N+1) (2K+1). ä      4 i=1          x             <*
Stejně jako dvouvýběrový test,   i Wilcoxonův test symetrie je zvláétě vhodný, mají-li    Z-     rozdělení logistického typu«
4*2*2      znaménkový test
Uvažujme obecnější situaci, kdy    Z,,..«,Z«    jsou nezávislé veličiny,  kde    Z-     mé spojitou distribuční funkci    D. , přičemž    L^ ,•••,D»    nemusí být shodné*  Tato situace nastane, jestliže různá srovnávání provádíme za rušných experimentálních podmínek nebo různými metodami.
Za těchto předpokladů cheeme testovat hypotézu
-77-
Hx  : ^(a) + Di(-z)  = 1,      i-l,...,H
proti alternativě,  Že rozdělení jsou posunuté směrem ke kladným hodnotám.
Problém je invariantní vzhledem ke všem transformacím typu    z^ = f.(«£>',    i=l,...,N,    kde    f\     je  spojitá, rostoucí a liché funkce. Maximální invarianta je počet    n    kladných pozorování. Mezi všemi invariantními testy (tj. mezi testy závislými jen na počtu kladných pozorování)  existuje stejnoměrně nejsilnější, který mé tvar
.1      ...    n>C f      ...    n ■ C O      ...    n<C
(4.8)
J (n
kde    C     je určeno vztahem
jc<n><?>N + r<M>N
=  oL.
Test  (4.8)  zamítá,  je-li počet kladných pozorování příliš velký;   je  to tzv.   znaménkový   test.
Nejprve musíme ověřit, Že (4.8) je skutečně stejnoměrně nejsilnější mezi invariantními testy. Nechí p. « P(Z.? O) = ■ l~q* ,    i=l,..-,N.    Pak
P( V=n)  = q1
%
'n
qi.
kde sčítáme přes všech    (*])    kombinací      ÍvC*».<i      z    *»*"*» N'
m
Nejsilnější test pro hypotézu    H^   :   p-^ ■ • ••*!Pj|x
= j    proti pevné alternativě    (p^,...jP^)»  P^> jt  i=l,...fN
m zamítá    H      pro takové    n,  pro která
(q)"1   P^»nl p(,...řp')>C1, neboli kdy* platí
-78-
pi,              pi.
(4.9)            tin)* K   Z' -t1     ...-ra->Cp.
Dokážeme-li, že    f(n)    je rostoucí v    n,    bude (4.9) ekvivalentní nerovnosti    nXU    pro nějaké   C,,    tedy kritickému oboru znaménkového testu. Označme    lu« y > 1, ial,...,N.
<i
Pak
f(n+l) s é-----   Za.     ... a.
í»+1)          Xl           X*+l
.  Z                   a .  Z  a.      ...   a.   >
<n+i)(j[+1)   mi.....in   J      n.          lft
*
¥
Za.      ...   a.
1            ^                                   *
-g—    Za,     ... a.       = f(n),
(?)             Žl            Xn
což bylo třeba dokázat*
Znaménkový test je také testem typu (4.4);    odpovídající funkce je    h(t) s 1.    Testová statistika    V   mé za platnosti L    binomické rozdílení s parametrem   j ,  odkud vyplývají kritické hodnoty,  střední hodnota i rozptyl   V    za platnosti
E V    - I    ,    var V      x S    .
Pro velká    N    lze užít normální aproximace.
Znaménkového testu se pro jeho jednoduchost Často používá 5  pro testování hypotézy    K^    proti alternativě
K^   :  D1  s  ...   =DK   »Dj
D(z+A )   + D(-z+A)   = 1       pro vš.  ZAS1,  A>0.
-79-
Froti těmto alternativám už znaménkový  test není stejnoměrně nejsilnějším invariantním testem. Naproti tomu dovedeme vypočítat sílu testu proti pevné alternativě z   K^ :      za alternativy má   V     opět binomické rozdělení,  tentokrát s parametrem
P(Z>0) = 1 - D(0)
a tedy
/1(D)   =    Z  (^)(l-D(0))n(D(0)N-n-M/(N)(1.D(0))C(D(0))C^
kde   C    je kritická hodnota testu*
Později uvidíme,  že znaménkový test je lokálně nejsilnějším pořadovým testem pro    H^    proti    K^,    je-li    D    distribuční funkce dvojitě exponenciálního typu s hustotou
d(x) = | e-íx'A'     .       »ca1.
Poznámka.    K provedení znaménkového testu není třeba znát přesné hodnoty    Xi,Xi, i*l,««.,Hj ale stačí vědět,  zdali je rozdíl    Í^-X,    kladný nebo záporný. Proto je znaménkový test použitelný i v případě,  kdy jsou k dispozici pouze kvalitativní srovnání jednotlivých ošetření, např. výroky    typu "droga B utišuje bolesti lépe než droga A". Při podobných kvalitativních srovnáních ve skutečnosti nemáme k dispozici  jiný než znaménkový  test.
4«2»3«    Shody a nuly, v poiadových testech symetrie
Shoda dvou nebo více diferencí    Z.     nemá vliv na hodnotu testové statistiky znaménkového testu;   u Wilcoxonova testu řešíme tuto situaci podobně jako u dvouvýběrovóho Wilcoxonova testu.
-80-
U testů symetrie  se  však může vyskytnout další  jev,   kteří vede k nejednoznačnosti,  a to jsou-li některé rozdíly    Z. rovny nule. Napr«, u kvalitativních srovnání je    Z.=0    tehdy, není-li subjekt schopen se rozhodnout, které z ošetření mělo příznivější  vliv.
Uvažujme nejprve znaménkový test. Nechí    Z,,...,Z« jsou nezávislé a stejně rozdělené a nechí    p+ = P(Z,> O), p_ = P(Zi< 0)    a    p0 = PtZ^O).    Pak počet nul     V0    mezi Z^,...,Z«    je náhodné veličina s binomickým rozdělením b(p0>N).    V zásadě jsou 3 možnosti jak upravit znaménkový test:     (1)      uvažovat modifikovanou testovou statistiku ve tvaru   V+ j VQ;        (2)    každou nulovou hodnotu    Zi    považovat
s pravděpodobností    ^    za kladnou a s pravděpodobností    ^ za zápornou;       (3)    nulové hodnoty    Z.     vynechat.  Hemelrijk (1952)  a Putter  (1955)   ukázali,   že  varianta   (3)   je  z  hlediska silofunkce nejlepší.
Podobně  postupujeme  u Wilcoxonova  testu.   Zde   ovšem musíme  kombinovat  zpracování  nulových hodnot  se  zpracováním shodných hodnot (viz 3^7) •
4«3»      fToblémy a cvičení
(1)        (R.F.Harell   (1943):"Effect  of Added  Thiamine   on Learning", Contrib.Educ.877,table 10).        % skupině 24 dětí byl vyšetřován-dliv vitaminu B^ na  pokroky  v  učení.  Děti  byly rozděleny  do 12  homogenních  dvojic;   náhodně  zvoleoé dítě v každé dvojici dostávalo pravidelné dávky vitaminu B,,  druhé dítě dostávalo neutrální látku a sloužilo ke kontrole. Všechny děti  prošly  testem IQ    před  a  po provedení  pokutu»  který  trfal
-81-
6 týdnů.    Následující tabulka udává přírůstky iq      u všech dětí.
Dvojice	12       345     6789     10 11  12
Ošetřené	14 18    2    4 -5 14 -3 -1    1    6    3    3
Kontrolní	8 26 -7 -1    2    9    0 -4    13 3    3    4
Pomocí Wilcox on ova a  znaménkového  testu  ověřte,   zda  vitamin B-* má prokazatelný vliv na pokrok v učení dětí*
(2)       Lehmann(1975).    Vyšetřovala se účinnost nového proetřed-ku proti bolestem hlavy. 15 pacientů trpících bolestmi hlavy dostalo stejné množství tablet nového léku a standardního léku ve dvou lahvičkách označených náhodně    A    a    B. Pacienti dostali pokyn,   aby brali po jedné tabletě při každé bolesti hlavy,   střídavě  z lahviček     A    a B,   až  do využívaní  všech  tablet a pak sdělili lékaři,  který z prostředků považují   za účinnější   (lékař mé zaznamenáno přidělení léků do lahviček A a B pro každého pacienta).  10 pacientu se vyjádřilo ve prospěch nového léku.  Pomocí  znaménkového  testu  ověřte,   zda  tento počet potvrzuje  vyšší  účinnost  nového léku.
(3)       Ukažte,   že  pro  velká    N     lze  sílu znaménkového testu aproximovat hodnotou
\c*    +fíT(p-£>
/p(l-p)'
kde     p=P(Zi>0),  i=!,...,N;     (b    je  distribuční funkce  standardního normálního rozdělení.
(4)       Dokažte,   Že  pro Wilcoxonovu statistiku platí 29043 P6
-82-
w+   «   2     z     a(Z| * z.)
M       j=l i=l       x       J
kde    u(t)  = 1    pro    t ^ O    a    u(t) * O    pro      t<0. Pomocí tohoto vztahu dokažte, Že za platnosti    H,     je rozdělení statistiky    W*    symetrické kolem hodnoty   i N(N+1).
29043 26
-83-
KAPITOIiA    5.
lesty  hypotézy  o shodnosti  několika populaci   (ošetřeni)
5+1»      Model .jednoduchého tříděni
Chceme porovnat    p    různých typů ošetření nebo populací na základě    p    nezávislých výběrů    ^ii»#*»fXjn ,  i=l,...,p, po jednom z každé populace. Přesněji řečeno. X-t,...»X.
je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí    F^,     o které předpokládáme, 2e je spojitá, i=l,...,p;    výběry jsou vzá-
P jemně nezávislé. Označme    N * Z rw     celkový počet pozorování.
Chceme testovat hypotézu
(5.1)         H2   :  F-^x)   « F2(x)   =  ...   = F  <x),       x£ R1,
která tvrdí,  že není významný rozdíl mezi jednotlivými typy oietření, buS proti obecné alternativě
(5.2)         K2 : Fi f F.    alespoň pro jednu dvojici    i,j nebo proti speciálnější alternativě
(5.3)        K2  : F^x)  -F(x-Ai>>    i=l,...,p
^i ^^j    alQsP°» Pro J6<3nu dvojici    i,j j
která tvrdí,  2e  ošetření mají lineární vliv na hodnotu pozorované veličiny a alespoň dvě  ošetření se významně liší.
-84-
5.1.1.    F-test
Jestliže můžeme předpokládat,   že    F^    je distribuční funkce normálního rozdělení    NC^+cG^, a ),    i*l,...,p, dostáváme  obvyklý model analýzy rozptylu při .jednoduchém tříděni:
fXij = /^+oí,i + Eij»    j^l,...,^;      i=l,...,p,
1 Eii    Jsou oezévislé náhodné veličiny s rozdělením N(0,o2).
ifypotéza    H^    v tomto případě nabývá tvaru
H^  :   oí1 =  0Í2 ■  ...  =    ot     s 0.
Jak je známoj vhodným testem parametrické hypotézy    H«,    nejsilnějším v určité třídě invariantních testü,  je    F-test a kritickým oborem
(5.5)    F    =    —   -*=L-jg------------------------->Ce6)
P"1          í      Z1  (X.. -x.   )2
i=l j=l     1J     ím
kde kritickou hodnotu   C^     najdeme v tabulkách    F-rozdělení o    (p-1, N-p)    stupních volnosti;    přitom
1      ni                                    n     P      ni
i
j=l    XJ                  ••      M i=l j=l
5,1*2.    Kruskal-Wallisův pořadový test
Jestliže nemůžeme předpokládat,  že rozdělení pozorování jsou normální,  použijeme testu založeného na pořadích. Situace je podobné jako u testování  shodnosti dvou populací založeného na dvou nezávislých výběrech.
-85-
Nechí    Rii»'*->Rin.     «Jsou pořadí    ^»•••»3^0 j    stanovená vzhledem k vektoru všech pozorování
^xU'"#*'Xn  >  X21,*"»X2n2i*"J   Sl'""'^  *'
uechí    Rii^**«^Rin      Jsou tatáž pořadí uspořádané podle velikosti,    i=l,-..,p.    Pak za platnosti    Hp    pro libovolnou permutaci     ^rn»'**»rin  »   •••»  rr>l,*"#,It)n   '    čísel    lf...,N takovou,  že    v*^ •••^rin »    i=1»*«*»P»    platí
(5.6)     P^CR^  = tu.....B^  = rlBi;   ...;  R;x  = rpl,...,
n,I   •••  n  !
••••Rpnp = rpnp)  =            in-^    '
1      ni
Označme    B.-      = —    S    B. .,     i=l,...,p       a x*      ni j=l    10
r   =|   ! I B^.aa .
••       M    i-l .1»!    iJ     2
Dosadíme-li do testové statistiky (5-5)    F-testu   Ri *    místo
X- -,    R.       místo    X-       a    R        místo    X    ,      dostaneme ij *      i•                           i•                 *•                            ••
I    n- (R-     - R     ) i.     ± *             • •

p3ľ                n.                         p   »
i=l  j=l
z čehož po úpravě a vynásobení vhodnou konstantou doataneme testovou statistiku Kruskal-Wallisova  testu
K  * H(M+1)     {Lx VRi.   *    2     ) (5.7)
-86-
Jestliže je p=2, redukuje se statistika (5«7) na statistiku otoustranného Wilcoxonova testu« Test zamítá hypotézu H« , jestliže platí
(5.8)                             KíC^j
kde    C^       je  kritické  hodnota.  Kritické  hodnoty lze  stanovit z rozdělení pravděpodobností   (5»6);   jejich výpočet je věak velmi pracný. Kritické hodnoty Kruskal-Wallisova testu tabe-lovali W.H.Kruskal a W.A.Wallis(1952):   "Use  of ranks in one-criterion variance  analysis".   J.Amer.Statist.Assoc.47,582-612 (p=3,    n-=5);
C.Kraft a C.vanEeden(1968):MA Nonparametric Introduction to Statistics".Macmillan,N.York.
Pro    p>3    a    n.   - 5    používáme přibližných kritických hodnot stanovených na základě asymptotického rozdělení. Dá se ukázat, že  za  platnosti    Hp     a pro velké    n,,...,n      mají  né-hodné veličiny    y*2 nA   wíff  »  i=l»-»«iP    přibližně stejné sdružené  rozdělení  jako veličiny       /rT(2-   -Z     ),  i=l,...,p,     kde
Z- -, i=l,...,p;  j=l,...,n,     jsou nezávislé s rozdělením    N(Q1)< i j                                                               i
Z  toho plyne,   že    K    mé přibližně  stejné  rozdělení  jako
P              _      2                                     2
E    n. (Z.   -2    )   ,    což je rozdělení   X        o    p-1    stupních
i=l i    !•     ••                                      *
volnosti.
Poznámka 1  .    Jestliže platí    H2    a společné rozdělení veličin    X - -    má konečný rozptyl, pak pro velká    n-.,...,n      mé
i statistika
(N-p)    I n.(X.   -X    )2 i=l x    l#     •'
-87-
2 přibližné rozděleni  ř     ^    To znamená,  že velikost    F-testu
(5»5)  zůstane přibližně zachována, i když skutečné rozdělení
dat není normální.
Poznámka    2.       Jestliže  se  vyskytnou shodná  pozorování,   užijeme metody průměrných pořadí,   podobně jako u Wilcoxonova testu.
5.1.3«    Mediánový test
Nechí    U    je medián spojeného výběru    (%ii»»«*»%in
XDl'***,XDn ^*    Předpokládejme P^o jednoduchost,  že    N    je sudé.
1
Označme    A-     počet  pozorování     j-tého výběru,   která  jsou J
vÔtSí  než    U   ,   j=l,...,p.     Pak náhodný  vektor     (A,,...,A   ) má  za  platnosti     H~     rozdělení  pravděpodobností
1p
QO ■■■[:,
(5.9)        PH.Ul=al.....W*        ----^»
2    x     x               v    h                           (»,
i a-   = 2"
i=l Testová  statistika mediánového testu má  tvar
p    1                n.     2             p    A?
(5.10)          Q»4     I    r^"^       =4    £    n       "K
i«l ni       x        2                 i=l ni
a  test  zamítá    H2     při velkých  hodnotách    Q.
5«2»      Model dvojného tříděni   (náhodné bloky)
Chceme-li  porovnávat  účinnost     p    různých  ošetření  a  pozorované data vykazují velkou variabilitu způsobenou různými
-88-
dalšími vlivy,  je vhodné uspořádat experiment tak,   že pozorované subjekty rozdělíme do    n    co nejvíce homogenních skupin,  tzv.  bloků,  a srovnáváme účinnost ošetření pouze uvnitř bloků;   jednotlivé ošetření  přiřadíme jednotlivým členům bloku náhodné.
Budeme  uvažovat nejjednodušší  z  těchto modelů,   ve  kterém pozorované subjekty rozdělíme do    n    bloků o    p    členech a každé ošetření aplikujeme v každém bloku právě jednou.Předpokládáme,  že bloky jsou vzájemně nezávislé.
Formální  popis  modelu:     máme     n.p     pozorování,   která uspořádáme  do  tabulky:
"^^^uáe tření Blok ^^\^		1	2	P
	1	*L1	h.2	Xlp
(5.11)	2 • •	*21 ■ •	*22 • •	-       *2p
	n	*nl	Xn2      *	"      XnP
Pozorování    X. -    odpovídá i-tému bloku a j-tému ošetření. Předpokládáme,  že náhodné veličiny    Xí ^    jsou vzájemně nezávislé a    X- .    mé spojitou distribuční funkci    F- *, i=l,...,n; j=l,...,p.    Naším úkolem je testovat hypotézu,  že není významný  rozdíl  mezi   ošetřeními,   tedy
<5.12)        H3   :  Fu(x)   = Fi2(x)   =   ...  = Fip(x)»     xfeR1;
i=l,...,n .   proti alternativě
(5.13)        K.   :  Fi-  ^ Fik     alespoň pro  jedno    i     a  alespoň
pro jednu dvojici    j,k  ;
-89-
nebo proti méně obecné alternativy
(5.14)       K3'  :  Fi.(x)   =Fi(x-4j);     j=l,...,p; i=l,...,n
Áa f A ^    alespoň pro jednu dvojici    j,k .
5*2,1,      F-test
Jestliže  můžeme  předpokládat,   že  veličiny    X—     vyhovují vztahům
(5.15)         Xiá s/ft+c^i +/3j +eíj;    i=l,.--,n;     j=l,...,p,
kde    E- •    jsou nezávislé náhodné veličiny s rozdělením »(0,o )    a    fÁ/ »^i»/3j    jsou neznámé parametry  (/ť-hlavní aditivní efekt,   cC^ -efekt i-tého bloku a    /3 . -efekt    j-tého ošetření),  pak hypotéza    iU    nabývá tvaru
45.16)                        /31 =/?2 = ...  = ß p.
Kritický  obor testu,  vhodného pře hypotézu (5.16), mé tvar
(n-l)n Z    (X * - X##>2 (5.17)  F  =     p       n'1=1-------------------------—z   >   C+       ■
Z       £(X.,-X.     -X.+X     ) j=l  i«l   ^-J       ^-         *J
kde    C^ je kritická hodnota    F-rozdělení o    p-1 a    (p-D(n-l) stupních volnosti*
5.3.2«       Friedmanův pořadový  test
Uspořádejme pozorování v každém bloku podle velikosti a označme příslušná pořadí    Rii»...íRip;  i=l,--.,n.    Pořadí
-90-
můžeme uspořádat do tabulky
Ošetření				Řádkové
Blrtc^	1	2	...     p	průměry
1	Rll	R12	•"  Rlp	¥-
2 > •	R21 •	R22 •	...  R2p •	
• n	• Rnl	• Rn2	• np	¥
Sloupcové průměry	H.l	R.2	• • • tt _ • P	Celkový průměr
kde    R   . a J    Z R. .,
i      n     p
R       = ^r    Z       Z    R. , ••       np  i-1  j»l     XJ
Friedmanův  test  je  založen na  statistice
(5.18)     Q-pTFir A(r.ó-V>    -
a samíté    H^»     jestliže    Q ^ G&     .    Kritické hodnoty Fried-
manova testu tabelovali
M.Friedman (1937):   "The use  of ranks to avoid the assumption
of normality implicit in the analysis of variance". J.Amer.
Statist.Assoc.32,   675-701;
D.B.Owen (1962):" Handbook of Statistical Tables", Adiscn-
Wesle^Mass.;
C.Kraft aC.vanEeden (1968): "A Nonparametric Introduction to
Statistics", Macmillan,N.York;
M.G.Kendall  (1970):"Rank Correlation Methods",  4.vydání;
Griffin,London«
-91-
Pro větší hodnoty    pan    můžeme opět použít přibližných kritických hodnot.  Jestliže    n$oo    , konverguje rozdělení statistiky (5.18) za platnosti    H-,    k rozdělení     T o    (p-1)  stupních volnosti.
Jestliže     p=2,  redukuje  se  model náhodných  bloků na  model párových srovnávání,  který  jsme  uvažovali  v  kapitole  4* Friedmanův test se pak redukuje na oboustranný znaménkový test
Podobně jako znaménkového testu pro porovnání 2  ošetření    lze i Friedmanova testu pro porovnání    p    ošetření použít i  tehdy,  nejsou-li  k dispozici  přesné měření,  ale   jen uspořádání podle účinnosti.  Podobně jako u znaménkového testu je výhodou i tohoto testu snadné provedení. Nevýhodou je, jak  uvidíme,   jeho nízká asymptotické  vydatnost.
5«3.      Problémy a cvičení
(1)       Kruska^Wallisův   test  při  výskytu shodných pozorování.
Necht mezi pozorováními     ^xii»***»xin   »"••»Xnl'***'^pn ^      ^e právě    e    hodnot různých,  přičemž    t±    pozorování je rovno nejmenší z nich,  atd.,  až    t      pozorovaní je rovno největší z nich. Necht   **-n !•••»**.       jsou průměrné pořadí i-tého vý-
beru,       IC     = i-     E1 iff ..     Pak modifikovaná Kruskal-Walliso-i.      nt j=1    ij
va statistika má tvar

z (t£ - t) ■ FöTFI) ±lx ni(Ŕi. - -2-)    • [X------£T7^      J
Podmíněné rozdělení    K    při daných    tn,...,t_    je přibližně
x          e
Kli'
-92-
(2)       Srovnání 4 laboratoří  (Mandel  (1964):" The Statistical Analysis of Experimental Data", J.Wiley).
4 různé laboratoře měřily hladkost určitého typu papíru. Následující tabulka udává po 8 měřeních z každé laboratoře.
laboratoř
A               38.7 41.5 43.8 44-5 45.5 46.0 58.0 47.7
B               39.2 39.3 39.7 41.4 41.8 42.9 45.8 43.3
C                34.0 35.0 39.0 40.0 43.0 43.0 45-0 44.0
D               34.0  34.8  34.8  35.4  37-2  37.8 42.8 41.2
Pomocí Kruskal-Wallisova testu (modifikace uvedené ve cy.(l)) testujte hypotézu,  že nejsou systematické rozdíly v práci jednotlivých laboratoří.
(3)       (Beecher (1959):"Measurement of Subjective Responses", Oxford University Press), 7 pacientů trpících kaSlem postupně obdrželo neutrální látku a 3 uklidňující prostředky. Následující tabulka udává počet zakašlání za den u jednotlivých pacientů při jednotlivých ošetřeních.
""""^---Eacient OSetření^-^^	1	2	3	4        5	6	7
Heroin, 5mg Dextromethorphan 10 mg	251 207	126 180	49 123	45    233 85    232	291 208	1385 1204
Codein,10mg	167	104	63	147 233	158	1611
Neutrální látka	301	120	186	100 250	183	1913
Pomocí Friedmanova testu rozhodněte, zda je významný rozdíl
mezi  jednotlivými typy ošetření.
-93-
KAPITOLA     6.
Testy hypotézy nezávislosti ve dvourozměrné populaci
Nechí    (X1,Y1),...,(Xn,In)    je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení pravděpodobností se spojitou distribuční funkcí    F(x,y).    Chceme testovat hypotézu
(6.1)     H5  ; F(x,y)  = F-jUJF^y),
kde    F,     a    F~    jsou libovolné distribuční funkce,  tj. že náhodné veličiny    X    a    Y    jsou nezávislé. Hypotézu    Hc    uvažujeme proti nejrůznějším alternativám závislosti    X    a    X.    Nejčastějáí je alternativa kladné (záporné) závislosti    X    a    X.    Nechí    Xx    značí náhodnou veličinu,   jejíž rozdělení je shodné s podmíněným rozdělením   X    za podmínky    X = x.    Pak alternativa kladné závislosti znamená
(6.2)     K-   :  x< x' *$   Xx/ je stochasticky větší než    1^. Speciální případ alternativy kladné závislosti nastane,  jestliže    F(x,y)    má hustotu    fA(x,y)    tvaru
(6.3)    K5 : fÄ<x,y)  =   f f-^x-Az)f2(y-A*)ä*M(z), A>0
kde    M(z)    je libovolná nedegenerováná distribuční funkce s konežLným rozptylem a    íj_tf2    ^sou 1ÍD0volné hustoty.    (6.3)  znamená,  že platí
*i * Yi *^ Zi'          !»!>••• »a»
-94-
přičemž veličiny X?s Y°, 2^, i»l,...,n jsou nezávislé a jejich rozdělení nezávisí na i • Je-li A = 0, jsou Xi    a    Yi    QeaÄvislé»    i»l»« ••»*»•
Pořadové testy, se kterými se setkáme,  jsou vhodné právě proti alternativám (6.3)»
6.1.      t-test
Předpokládejme,  že    F(x,y)    je distribuční funkce dvourozměrného normálního rozdělení,  tj. má hustotu

>* +

eR1
<1
Icůe M/.,j&2    iBOa střední hodnoty a    o^iO-g    rozptyly    X    a    X a    P   je korelační koeficient    X    a    X.    Za tohoto předpokladu lze hypotézu    H-    přepsat ve tvaru
h;  :    f - O
a alternativa kladné závislosti má tvar P > O.
mestranný                     '        #
Stejnoměrně nejsilnějsTAkritickf obor pro    H~    proti jednostranným alternativám má tvar
kde                       n
E  (Xi-I)(Xi-f)
E  (X.-5)2     E  (X.-f)2 Lͻ1 ^          i=l    x       J
(6.5)            fň^ľ   7í==^>   Vn-2),
-95-
je výběrový korelační koeficient a      t^(n-2)    je kritická hodnota rozděleni    t    o    (n-2)     stupních volnosti.
6.2.    Permutačni    t-test
Chceme testovat hypotézu   H,-    proti alternativě kladné závislosti; máme podezření,   že    F(x,y)    je distribuční funkce normálního rozdělení, ale nejsme si tím stoprocentně jisti* Podobnou situaci  jsme uvažovali v § 3.3- Stejně jako tam bude vhodné hledat test, nejsilnějáí proti normálním alternativám,  ale mezi testy,  jejichž velikost nepřekročí předepsanou hladinu významnosti  06    nejen pro normální rozdělení,  ale i pro všecka rozdělení absolutně spojitého typu vyhovující hypotéze nezávislosti.
Nechí    X(1fc   ...<XCn)      a    X(1)<   ...<TX(n)    jsou pořádkové statistiky odpovídající výběrům   X1,-..,XQ    a    X^,..., •••,X •    Necht   f    je systém všech dvourozměrných hustot tva-
n
ru
f(x,y)   = f1(x).f2(y)                  x,y£ R1,
kde    fi»f2    ^30U libovolné »koro všude spojité hustoty. Podle věty 1 § 3.3 test     W =   Ó (xx,...fxn; ylt...,yn)    splňuje rovnost
(6.7)í-4^(x1,...fxJl; y1,...»yn)f1(x1)   ... ^1(xn)f2(y1)   ...
...  t2^n)áí^ a°°
pro vš.    f € Ír* právě tehdy,  jestliže
1               x      (ii)         (i„)       (Ji)         (Jn>
(6.8)      —L.      I   <Ď (X    X   .....X    n ; X    X  ,...,!    n  )  *o6
(nI)                    V
platí skoro jistě vzhledem k     $    ,
-96-
•> kde  sčítáme  přes všech     (n!)       permutací     (i^,*.MiB|  J1>-..,
...,j'n)    bodu    (l,.*.,n; l,...,n).    Mezi všemi testy, vyhovujícími   (6*8), hledáme  stejnoměrně nejsilnější  proti normálním alternativám,  za kterých má vektor     (X^,...,X^;  Y,,..., ...,Yn)     hustotu
(6-9) (2irv2ři^ '">{" üb?> [ k i!iUi"A)2 +
k&r^&afr-iv^-rd]' i°>0-
+
''2
n      p      n    -      n            n
Frotože       Z    z. ,     S  y.,     J) x. ,     Z y,     jsou konstantní na mne-i=l    x    i=l x    i=l x    i=l *
žinš vôech (ni)   permutací bodu    (X(1),...,X*n);  Y(1),. .. ,Y(n) vyplývá odtud,  že nejsilnější  test zamítá    He     pro     M  permutací     (ij,.••,!_;  jii*-»jjn),     kterým přísluší nejvyšší hodnoty výrazu
n      (iv)      (jv) (6.10)                               Z    X   k     I   *
k»l
kde      U   je  určeno tak,  aby platilo      -------0  *c&     (jestliže  tata!)*
to rovnost neplatí pro žádné    M     ,  je nutné bod na rozhraní randomizovat). Uezi hodnotami  (6,10) je pouze    n!    různých: můžeme  tedy říci,  Že nejsilnější  test  zamítá pro    H    permutací     jn»---iJn    Čísel    l,...,n,     vedoucí k největším hodnotám výrazu       n      (i)    (i)                 u*
Z    XUJ Y    x  ,      kde      -J.   ««6    .
Prakticky provedeme test takto:  získáme data    (x^,y^),..*, ...,(x ,y );      stanovíme    x1 í ...<x    ',    uspořádáme    ni hodnot    V x^'y* *'    podle velikosti a stanovíme kritický
-97-
obor (podmínäný jere«   X(1) »x(1),
.,X
(n)
x(n)}
(1)
y(1),
(n)
y(a)),
který obsahuje   H    permuta-
n      m     (j») cí  odpovídající nejvyšáím hodnotám   Z    xv   ' y        •    Jestliže
i'1
pak napozorované hodnota    £ x.y.     překročí hranici kritická*
i=l * %
ho oboru, zamítneme    Ke    ve prospěch alternativy kladné závislosti.
Test je tedy podmíněný vektorem pořádkových statistik T(X.I> « (X(1),...,X(n); X(1),...,X(n))    a kritický obor per-mutačního testu lze psát ve tvaru
nebo v ekvivalentním tvaru
tedy permutační test je verze standardního t-testu významnosti korelačního koeficientu,  podmíněná vektorem pořádkových statistik. Dá se ukázat,  že pokud    c^>0,    a2>03    EjxJ"*<oo a    B|X|3^<» ,    jsou oba testy asymptoticky ekvivalentní při
n-*oo
Pro velká    n,    kdy provedení permutačního testu zna-
mená velkou řadu výpočtu, tedy můžeme permutační test aproximovat standardním    t-testem.
6»3.      Pořadové testy nezávislosti
Necht    (X1,X1),...,(Xn,Tn)    je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení se spojitou distribuční funkcí    F(x,y). Označme   R,,...,R      pořadí    X,,...,X      a    S,,...,S      pořadí X^,...,!^      Jestliže platí hypotéza   Hc,    jsou vektory
(X,,...,X )    a    (X,,...,X  )    nezávislé a tedy i vektory po-29043 P7
-93-
*^4Í (Ri>*,#»Bn* Ä (si>»##iSL) jsou nezávislé; podlá vě-t* 4 kapitoly £ , mé každý z těchto vektorů rovnoměrné rořdě-lení na množině    $/ permutací    (l,-..»n).
fi«3»I.      Spearmanav korelačný koeficient
Za hypotézy   He    jsou vektory pořadí    (R-,.*.,IL)    a (S^,...,Sn)    nezávislé. DosaSme do výrazu (6»6) pro výborový Korelační koeficient místo   X|    a   Y,    pořadí    R., S-,      i* » lf*..,n.      Dostaneme Spearmanúv korelační koeficient
1      ?   HiS..fiS (6.11) r8 «
[i A^** i A ísi ■ 3,2J
1/2
Pretože    ff « 5 * ^ž1   a    £    2 (R,-ff)2 = i    I (S,-S)'2
d        a i=l    i         n i=l    *
-   =    r    i2 _ řfiíl)2 - n2 - 1 n i=l           2----&^ '
môžeme (6.11) vyjádřit také ve tvaru
(6.12)       r   =_4i~    z  »s, -iías^-   .
n(n2-l)   Úl   **        **
SpÄurmanôv test zamítá    He    ve prospěch alternativy kladné žáfislosti,    Jestliže platí
rs> k*C
ebot což je ekvivalentní,  jestliže
16,13)                        Jf =    £    Ri Si >  k^     .
r£ lze také vyjádřit ve tvaru
29043 Z7
-99-
(6ol4)                     r    = 1 - -ř-      Z (R.   - S.)
8             n3-n    i=l    x        x
ze kterého vyplývá,  Že při testováni mažeme též použít ekvi valentní statistiky
(6.15)
f' =      Z ( E.   - S.) J        i=l      x        *
přičemž test zamítá pro malé hodnoty   Jf'  •
Kritické hodnoty Spearmanova testu lze nalézt např. v pracech a.J.Glasser a R.F.Winter (1961):"Critical values of the coefficient of rank correlation for testing the hypothesis of independence*^ Biometrika 48, 444-448 (n=4(l)30)j D.B. Owen:  Handbook of Statistical Tables  (ruský překlad Moskva 1966).
Pro velká    n    stanovíme kritické hodnoty pomocí normální aproximace; střední hodnota a rozptyl    J      za    R,    jsou
(6.16)                 %y  » I n(n+l)2
var j» = ^ng)2(n-l?
Test (6.13)  je lokálně nejsilnější pro   H^    proti alternativám (6.3), kde    f*     a    r~    5soa hustoty logistického typu (viz kapitola    T   )•
-100-
j>«3»2.    Kvadrantová  teat
Tento test je založen na statistice
(6.17)      S*.jí [signíE.- ^l)+lj[eign (Sj- 1JÍJ+ i]
a zamítá při velkých hodnotách S* . Jestliže n je sudé, je S rovno počtu dvojic (3^,1^, pro které Xi je vět-ôí než medián (X1,...,Xn> a zároveň J^ je vôtôí než medián (Xif...fXn). Statistika S* má pak za platnosti H,-hypergeometrické rozdělení
/mj/mj P(S*=a) --^i™   .        a=o,....m,     . I m/
kde    m * 5 .
Odtud můžeme stanovit kritické hodnoty;     také můžeme použít
tabulek
0*-J. Lieberman, D.B.Owen (1961):   "Tables of the hypergeometri
cal probability distribution". Stanford Univ.Press;
pro velká    n    použijeme normální aproximace s parametry
* _ n
ES" = -
var S*
sudé
liché.
6.3.3.    Kendall&v pořadový korelační koeficient
Další  jednoduchý pořadový test nezávislosti je založen na
I
-101-
Kendallově korelačním koeficientu, který je dán vztahem
(6.18)   f = i-r t Z  sign (R.-R.)8ign(S,-S.). (n) i<j      * J     i J
Zřejmě    -1 Äf^ 1«    Hypotézu    H-    zamítáme ve prospěch alternativy kladné závislosti,   jestliže <f> k^  ,    kde      k«, je kritická hodnota; kritické hodnoty tabeloval M.G.Kendall (1948):"Rank correlation methods".Griffin & Co., London (3.vydání 1962).
Pro velká    n    použijeme přibližných kritických hodnot založe ných na asymptoticky normálním rozdělení   V s parametry
E«r = 0,        var V » fífgg}    .
6.4.      Problémy a cviCeni
(1)    Nesledující tabulka udává výšku a obvod hlavy 16 chlapců ve věku 48 týd.oa (Thompson (1951):"Data on the Growth of Children during the First Tear of Life", Human Biol.23,  75--92).
Výška (mm)	773	730	717	796	754	776	720
Obvod hlavy	475	469	463	475	474	471	473
Výška	764	756	705	716	733	709	750
Obvod hlavy	482	464	482	482	450	461	474
Testujte hypotézu nezávislosti proti alternativě kladné závislosti.

102-
(2)      Nechí    (X,X)    má dvourozměrné normální rozdělení s korelačním koeficientem   <^>0. Pak   X,¥   jsou kladně závislé ve smyslu definice (6.2)*
Névo4 : Podmíněné rozdělení    r   při daném   X = x    je normální 30 střední hodnotou
a rozptylem      ovCl-P ).    Přičteme-ii k veličině s tímto roz-dělením kladnou hodnotu    P ~(* "xh    dostaneme veličinu, jejíž rozdělení je rovno podmíněnému rozdělení    Y   při daném X = x '> x.
(3)      Spearmanöv test a Kendallav test jsou nestranné proti alternativám kladné závislosti.