Příklady z Fyziky plazmatu
1 Úvod
1.1 Příklad (2b.)
Uvažujme, že na počátku máme rovnoměrné plazma, ve kterém je hustota elektronů i iontů
stejná a rovna n0 (plasma je elektricky neutrální). Nyní předpokládejme, že se elektrony
na ploše y, z nějakým vnějším vlivem ze svých rovnovovážných poloh posunuly o malou
hodnotu s ve směru osy x.
(a) Použitím Gaussova zákona ukažte, že elektrické pole, které vznikne mezi náboji je dáno
vztahem
Ex =
n0e
0
s .
(b) Ukažte, že pohybová rovnice pro každý elektron pod vlivem tohoto elektrického pole je
d2
s
dt2
+
n0e2
me0
s = 0 .
Dokažte, že toto je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
pe =
n0e2
me0
1/2
.
1.2 Příklad (2b.)
(a) Odhadněte teplotu plazmatu, v němž se v kouli o poloměru 1 mm liší hustota elek-
tronů od hustoty iontů o 1 %. Hustota nabitých částic je 1020
m-3
. (Vyjděte z předpokladu
rovnosti kinetické (tepelné) a potenciální energie, vyplívající z Coulombovských sil.)
(b) Dosad'te zadané hodnoty a vypočtenou teplotu do vzorce pro výpočet Debyeovy délky
D a ukažte, jaké musí být fyzikální rozměry plazmatu L.
1.3 Příklad (2b.)
Mějme raketu, která je mimo působení gravitačního pole Země.
Označme:
v. . . konstantní rychlost plynů vyfukovaných z rakety vzhledem k raketě
u(t). . . okamžitá rychlost rakety
M(t). . . okamžitá hmotnost celé rakety
-dM(t)/dt. . . konstantní časová změna hmotnosti rakety, daná hmotou plynů vyvrže-
ných z rakety
(a) Dokažte, že pohybová rovnice rakety je
d
dt
[M(t)u(t)] =
dM
dt
[u(t) - v] .
a ukažte, že okamžité zrychlení rakety je
du
dt
= -
v
M(t)
dM
dt
.
1
(b) Zintegrujte pohybovou rovnici a ukažte, že
u(t) = u(t0) + v ln[M(t0)/M(t)] .
(c) Pokud raketa hoří po časový interval t = t - t0 a pokud M(t)  M(t0), ukažte, že
počáteční zrychlení rakety je
du
dt t0
=
v
M(t0)
M(t0) - M(t)
t

v
t
.
(d) Dosad'te do vztahů pro (du/dt)t0 a u(t) pro chemickou raketu v = 103
m/s a t = 10 s;
a také pro plazmový pohon s v = 104
m/s a t = 100 dní. Pro spočítání u(t) uvažujte
ut0 = 0 a M(t0) = 10M(t).
1.4 Příklad (1b.)
Z Maxwellových rovnic odvod'te rovnici pro zachování náboje

t
+   J = 0 .
Tento výsledek ukazuje to, že zachování elektrického náboje přímo vyplývá z Maxwellových
rovnic.
1.5 Příklad (2b.)
Z Maxwellových rovnic odvod'te následující zákon zachování energie v elektromagnetických
polích, který je známý jako Poyntingův teorém:

t V
1
2
E2
+
1
2
H2
d3
r +
S
(E × H)  dS = -
V
(J  E)d3
r ,
pro lineární izotropické médium, pro které platí D = E a H = B/. Fyzikálně interpretujte
každý člen této rovnice. Jaký je fyzikální rozměr těchto členů?
2 Základy kinetické teorie plazmatu
2.1 Příklad (1b.)
Uvažujme systém částic rovnoměrně rozdělený v prostoru s konstantní hustotou částic n0
a charakterizován rozdělovací funkcí rychlostí f(v) definovanou takto:
f(v) = K0 pro |vi|  v0 (i = x, y, z) ,
f(v) = 0 jinak ,
kde K0 je nenulová kladná konstanta. Určete hodnotu K0 pomocí n0 a v0.
2.2 Příklad (1b.)
Uvažujme pohyb nabitých částic v jednom rozměru za přítomnosti elektrického potenciálu
V (x). Ukažte přímým dosazením, že rozdělovací funkce
f = fce(
1
2
mv2
+ qV ) ,
je řešením Boltzmannovy kinetické rovnice pro stacionární stav.
2
2.3 Příklad (2b.)
Předpokládejme, že na každou částici ve fázovém prostoru působí vnější síla F. Bez in-
terakcí bude částice typu  se souřadnicemi (r, v) v čase t za časový interval dt nalezena
v souřadnicích (r
, v
) podle
r
(t + dt) = r(t) + v dt ,
v
(t + dt) = v(t) + a dt ,
kde a = F/m je zrychlení částice a m je její hmotnost.
Mezi novým elementem fázového prostoru a tím původním je tento vztah
d3
r
d3
v
= |J|d3
rd3
v ,
kde J je Jakobiánem této transformace. Dokažte, že pro Jakobián této transformace platí
|J| = 1.
2.4 Příklad (1b.)
Odvod'te tvar časového vývoje rozdělovací funkce f pro Krookův srážkový člen
f
t coll
= -
(f - f0)

,
kde f0 je rozdělovaci funkce lokální rovnováhy,  je relaxační doba srážek částic. Předpoklá-
dejte Boltzmannovu kinetickou rovnici (BKR) bez působení vnějších sil a bez přítomnosti
prostorových gradientů, f0 a  jsou na čase nezávislé.
3 Střední hodnoty a makroskopické veličiny
3.1 Příklad (2b.)
Ukažte. že počet částic, které dopadají z plazmatu na jednotku povrchu tělesa vnořeného
do plazmatu za jednotku času (tok částic), je pro kulově symetrické rozdělení rychlostí f
roven
 =
1
4
n <v> ,
kde <v> je střední rychlost částic.
3.2 Příklad (3b.)
Uvažujme systém částic charakterizován stejnou rozdělovací funkcí jako v příkladu 2.1.
(a) Ukažte, že absolutní teplota systému je dána vztahem
T =
mv2
0
3k
,
kde m je hmotnost každé částice a k je Boltzmannova konstanta.
(b) Spočtěte následující výraz pro tenzor tlaku
P =
1
3
mv2
0 1 ,
kde m = nm a 1 je jednotkový tenzor.
(c) Dokaže, že pro vektor toku tepla platí q = 0.
3