0 Chemická vazba
0.1 Délka van der Waalsovy vazby v Ar
Zadání: Určete rovnovážnou vzdálenost nejbližších sousedů v tuhém argonu. Meziatomový po-
tenciál se dobře aproximuje Lennard-Jonesovým potenciálem ve tvaru
U(r) = 4

r
12
-

r
6
,
a pro argon platí  = 3.405 °A. Argon krystalizuje v kubické plošně centrované mřížce (fcc). (Kittel,
3. kapitola).
Řešení: Celková energie krystalu je
Utot(R) = 2N

R
12
s12 -

R
6
s6 ,
kde R je vzdálenost nejbližších sousedů. Pro fcc mřížku je s12 = 12.13188, s6 = 14.45392. Derivací
dostaneme minimum pro R = 1.0902 × . Tabulková hodnota vzdálenosti je 3.7554°A (Brož,
Valouch).
0.2 Madelungova konstanta lineárního řetízku
Zadání: Určete Madelungovu konstantu  jednoroměrného iontového krystalu. V lineárním řetízku
se střídají kladně a záporně nabité ionty a vzdálenost sousedních iontů je R.
Řešení: Viz Kittel 3. kapitola. Součet je
 = 2 1 -
1
2
+
1
3
-
1
4
+ . . .
ln(1 + x) = x -
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+ . . .
 = 2 ln 2.
0.3 Teplotní roztažnost anharmonického potenciálu
Zadání: Určete střední vzdálenost mezi atomy v závislosti na teplotě je-li meziatomový potenciál
aproximován v okolí minima Taylorovým rozvojem do třetího řádu:
U(x) = U0 + cx2
- gx3
,
kde x = R - R0 je rozdíl meziatomové vzdálenosti od rovnovážné polohy. Pravděpodobnostní
rozdělení meziatomových vzdáleností předpokládejte Boltzmannovo.
Řešení: (Kittel, str. 120) Střední odchylka se spočte jako integrál
x =

- x exp(-U(x)/kT )dx

- exp(-U(x)/kT )dx
.
Exponenciální funkci v integrálu nahredíme následujícím rozvojem:
exp(-U(x)) = exp(-U0) exp(-cx2
) exp(gx3
) = exp(-U0) exp(-cx2
) 1 + gx3
,
kde  = 1
kT . Integrály v čitateli a jmenovateli najdeme spočtené v tabulkách (Bartsch)

-
x exp(-U(x)/kT )dx = exp(-U0)
3
4


g
c5/23/2
.
1

-
exp(-U(x)/kT )dx = exp(-U0)


1
c1/21/2
.
Podělením integrálů dostaneme výsledek
x =
3
4
g
c2
1

=
3
4
g
c2
kT,
který nám dává lineární závislost meziatomové vzdálenosti na teplotě.
2