Duktilní deformace, základní charakteristika Duktilní (plastická) deformace je taková deformace, při níž se materiál deformuje bez přerušení koheze (soudržnosti). Plasticita materiálu záleží na tzv. mezi plasticity (yield stress) -tj. kritickém napětí, při kterém se materiál přestává chovat (pouze) elasticky a začíná se chovat plasticky (začíná se plasticky deformovat). Je-li mez plasticity vyšší, než mez pevnosti, pak se materiál chová křehce - dříve, než se může deformovat duktilně, dojde k jeho křehkému porušení. Je-li mez plasticity nižší než mez pevnosti, pak se materiál chová Duktilně (plasticky). Duktilní deformace, základní charakteristika Deformační analýza diskutovaná v rámci této a následujících přednášek se zabývá duktilní deformací. Přitom ovšem sleduje deformaci pouze v daném měřítku, nezabývá se jejími příčinami, které plynou z procesů menších měřítek. Makroskopická duktilní deformace může být produktem mikroskopických křehkých deformačních procesů! Tyto vztahy budou ale v dalších úvahách zanedbány. Složky deformace Každý deformovaný objekt si lze vyjádřit pomocí polohových vektorů bodů, které tento objekt tvoří. Deformaci pak lze chápat jako proces vedoucí ke změně těchto polohových vektorů. Matematicky si lze proto deformaci vyjádřit ve formě transformační rovnice, která převádí složky původního polohového vektoru X (před deformací) na složky polohového vektoru x již deformovaného objektu. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace Deformaci lze současně chápat jako proces, který vede ke změně stavu objektu. Tento stav je obecně dán čtyřmi parametry: 1. poloha 2. orientace 3. objem 4. tvar Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace 1. poloha - změna polohy = translace Translace dobře popisuje např. křehkou deformaci, kdy dochází k vzájemnému posunutí (změně polohy) dvou bloků oddělených diskontinuitou. Složky deformace Matematicky lze popsat translaci jako změnu všech polohových vektorů objektu o vždy stejný vektor translace T: X je původní polohový vektor, x je polohový vektor po deformaci a T je vektor translace. Translaci tak lze popsat ve 3D prostoru vektorem T? tj. třemi nezávislými složkami vektoru T. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace 2. orientace - změna orientace = rotace Translace spolu s rotací úplně popisují pohyb jakékoli rigidní (tj pevné, neměnící svůj tvar a objem) částice. Složky deformace Matematicky lze popsat rotaci pomocí matice rotace R? kterou lze chápat jako transformační matice mezi dvěma souřadnými soustavami, které jsou vzájemně pootočeny: X je původní polohový vektor, x je polohový vektor po deformaci a R je matice rotace. Matice rotace má devět členů a není symetrická. Z podmínky ortogonality souřadných os ale plyne, že pouze tři parametry matice rotace i sou nezávislé. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace Složky deformace Matematicky lze popsat dilataci jako transformaci, při níž dochází pouze ke změně délky polohového vektoru (nedochází ke změně orientace polohového vektoru) a tato změna je dána poměrem, který je v každém bodě stejný: X je původní polohový vektor, x je polohový vektor po deformaci a a je míra natažení. Složky deformace V některých případech je užitečné popsat dilataci ve formě matice V 3 krát 3, která má prvky v hlavní diagonále rovny parametru a a prvky mimo hlavní diagonálu jsou nulové: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace 4. tvar - změna tvaru = distorze Ve velké míře se deformační analýza soustředí právě na tento deformační proces. Složky deformace Matematicky lze popsat distrozi jako transformaci popsanou maticí distorze S: X je původní polohový vektor, x je polohový vektor po deformaci a S je matice distorze. Matice rotace má devět členů. Nezahrnuje ale rotaci (lze ukázat, zeje proto symetrická) a nezahrnuje dilataci (lze ukázat, že je její determinant proto roven jedné). Proto má matice distorze pouze pět nezávislých parametrů. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace Obecně lze deformaci chápat jako proces skládající se z translace, rotace, dilatace a distorze: Deformaci tak matematicky úplně popisuje vektor translace T a tenzor deformace D, který zahrnuje rotaci, dilataci a distorzi: X je původní polohový vektor, x je polohový vektor po deformaci, D je tenzor deformace a T je vektor translace. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace Tenzor deformace má devět složek. Není symetrický a všech devět složek je nezávislých. Devět nezávislých parametrů lze rozdělit tak, že jeden popisuje dilataci, tři rotaci a pět distorzi. |x = D.X+T počet nezávislých parametrů dilatace 1 rotace 3 distorze 5 celkem 9 Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Složky deformace Protože je translace popsána třemi parametry, lze v každém bodě kontinua úplně popsat deformaci pomocí dvanácti nezávislých parametrů. počet nezávislých parametrů dilatace i rotace 3 distorze 5 translace 3 celkem 12 Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Pole vektoru přemístění Deformace je v každém bodě kontinua popsána transformační rovnici: Tato transformační rovnice definuje vztah mezi souřadnicemi bodu kontinua před a po deformaci. Vektor spojující tyto body pak lze chápat jako vektor přemístění, k němuž došlo v důsledku deformace. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Pole vektoru přemístěni Libovolnou deformaci pak lze vyjádřit pomocí pole vektorů přemístění. A. Undeformed x = /(X) xi = .//(X1,X2,X3) x = X + U B. Deformed y'=F2(x,y) displacement gradients C.Enlarged element at (x,y) D. Enlarged element at lx',y'j Figure 33.3. A Lagrangian view of the general transformation of a two-dimensional body. A, to its heterogeneously deformed state, B, according to two non-linear but continous displacement functions. The components of the displacement vector of an initial point (x, y) to final position (x', y') are u and v parallel to the x- and y-axes. C and D illustrate the details of changes taking place in a very small element of material around (x, y) and (x1, y'J respectively. |Q^_^Q^^|^m|^^^^^QM^^^^^1 Pole vektorů přemístění Přemístění lze pomocí transformačních rovnic popsat ze dvou pohledů - buď jako funkce definující konečné souřadnice v závislosti na původních souřadnicích, nebo naopak jako funkce definující původní souřadnice v závislosti na konečných. x = /(X) xi =/(Xi,X,,X3) A. Undeformed B. Deformed y'=F2{x,y) ♦ displacement /"/ vector Ám^J- '*,y> \<Ĺjjpl' lx,y) u displacement gradients C.Enlarged element at (x,yj D. Enlarged element at (x',y'j Figure 33.3. A Lagrangian view of the general transformation of a two-dimensional body. A, to its heterogeneously deformed state, B, according to two non-linear but continous displacement functions. The components of the displacement vector of an initial point (x, y) to final position (V, y') are u and v parallel to the x- and y-axes. C and D illustrate the details of changes taking place in a very small element of material around (x, y) and (x1, y'j respectively. S^^^Q^^m^^l^^^^mQM^S^^^] o v Pole vektoru přemístěni Funkce definující konečné souřadnice v závislosti na původních souřadnicích se označují jako Lagrangeuv popis přemístění. x = /(X) x1=/(X1,X2,X3) Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 x' - x + x2+_y 8 2 y'= x2+y (x,y) y k «y) Y ^^" i L -3 W >x 1 ~3 Figure 33.5. Lagrangian representation of the transformation of an initially orthogonal grid system according to Equations 33.21 (values of x from -3-0 to +3-0, and'yfrom -3-0 to +3-0). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I Pole vektoru přemístěni Funkce definující původní souřadnice v závislosti na konečných souřadnicích se označují jako Eulerův popis přemístění. X = /(x) X; =/i(Xl>X2>X3) Leonhard Euler 1707-1783 Figure 33.6. Eulerian representation of the same overall displacement pattern as that of Figure 33.5, according to the reciprocal displacement equations 33.20. ■H2^QSffi^^EE^^S^EO^Ki!i!2^^^SE^^EE5ilOEE^^^^^23 Elipsoid deformace V dalších úvahách se nyní budeme zabývat pouze tenzorem deformace a nebudeme tedy uvažovat translaci. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Elipsoid deformace Deformaci (s výjimkou translace) si lze geometricky vyjádřit pomocí tzv. elipsoidu deformace. Ten je definován jako tvar, který vznikne deformací původní jednotkové koule: Elipsoid deformace Deformaci (s výjimkou translace) si lze geometricky vyjádřit pomocí tzv. elipsoidu deformace. Ten je definován jako tvar, který vznikne deformací původní jednotkové koule: Elipsoid deformace Deformační elipsoid je pak popsán maticí vzniklou ze vztahu DT.D? která je vždy symetrická, třebaže matice deformace D obecně symetrická není. Hlavní osy elipsoidu deformace - dané charakteristickými vektory matice - se nazývají osy deformace. Označují se obvykle jako X (osa maximálního prodloužení), Y (střední osa) a Z (osa maximálního zkrácení). Lze je popsat třemi nezávislými parametry. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Elipsoid deformace Deformační elipsoid je pak popsán maticí vzniklou ze vztahu DT.D? která je vždy symetrická, třebaže matice deformace D obecně symetrická není. Charakteristická čísla matice - a tedy délky hlavních os deformačního elipsoidu - popisují velikost natažení či zkrácení ve směru paralelním s hlavní osou deformace. Elipsoid deformace Délky hlavních poloos deformačního elipsoidu odpovídají velikosti natažení s (stretch) v daném směru. Délky hlavních poloos deformačního elipsoidu jsou označovány jako X (dlouhá osa - ve směru maximálního prodloužení), Y (střední osa) a Z (krátká osa - ve směru maximálního zkrácení). Elipsoid deformace Přestože jsou délky hlavních os deformačního elipsoidu popsány třemi parametry, pokud zanedbáme objemové změny (dilataci), budou pouze dva z nich nezávislé. Tyto dva parametry popisují tvar deformačního elipsoidu (třetí parametr by popisoval velikost a tedy dilataci). Elipsoid deformace Tyto dva parametry popisují tvar deformačního elipsoidu. Tvar deformačního elipsoidu je obvykle popisován pomocí poměrů délek jeho hlavních os. Tyto poměry odpovídají elipticitě průřezů deformačního elipsoidu v řezech XY? XZ a YZ: Elipsoid deformace Poměry RXY a RYZ jsou vynášeny do tzv. Flinnova grafu (Flinn 1962).----------------------------------------------- Elipsoid deformace Poměry RXY a RYZ jsou vynášeny do tzv. Flinnova grafu (Flinn 1962). Lze rozlišit pět základních tvarů deformačního elipsoidu: 1. RXY = 1, jednoosé zkrácení 2. Rxy<^zy 3. RXY=RYZ, rovinná deformace (plane strain) 4. RXY>RZY 5. RZY=1, jednoosé protažení 2^^^H^^^E^^S^E^^^E2^^^^H^^ÄÖ^3^ffiH^^^^E Čistý a jednoduchý střih Stav tělesa po deformaci representuje konečnou deformaci (finite strain). Této konečné deformace bylo dosaženo v průběhu deformačního procesu, který obsahuje sérii po sobě jdoucích tzv. deformačních přírůstků (strain increments). Ke shodné konečné deformaci lze za určitých podmínek dospět pomocí různých deformačních procesů obsahujících deformační přírůstky různého charakteru. Na základě charakteru deformačních přírůstků lze ovšem rozlišit dva základní deformační režimy. Čistý a jednoduchý střih Ke shodné konečné deformaci lze za určitých podmínek dospět pomocí různých deformačních procesů obsahujících deformační přírůstky různého charakteru. Na základě charakteru deformačních přírůstků lze ovšem rozlišit dva základní deformační režimy: Koaxiální deformace ... nerotační deformace, při které hlavní osy deformačního elipsoidu zachovávají v průběhu celého deformačního procesu stále stejnou orientaci. Čistý a jednoduchý střih Koaxiální deformace ... nerotační deformace, při které hlavní osy deformačního elipsoidu zachovávají v průběhu celého deformačního procesu stále stejnou orientaci. Koaxiální deformací je tzv. čistý střih (pure shear). Tato deformace neobsahuje žádnou složku rotace. Čistý a jednoduchý střih Dvourozměrně lze čistý střih s hlavními osami deformace paralelními se souřadnými osami vyjádřit transformací: Čistý a jednoduchý střih Ke shodné konečné deformaci lze za určitých podmínek dospět pomocí různých deformačních procesů obsahujících deformační přírůstky různého charakteru. Na základě charakteru deformačních přírůstků lze ovšem rozlišit dva základní deformační režimy: Nekoaxiální deformace ... rotační deformace, při které hlavní osy deformačního elipsoidu v průběhu deformačního procesu rotují, jednotlivé deformační přírůstky tak jsou representovány různě orientovanými deformačními elipsoidy. Čistý a jednoduchý střih Nekoaxiální deformace ... rotační deformace, při které hlavní osy deformačního elipsoidu v průběhu deformačního procesu rotují, jednotlivé deformační přírůstky tak jsou representovány různě orientovanými deformačními elipsoidy. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Čistý a jednoduchý střih Dvourozměrně lze jednoduchý střih se směrem střihu paralelním s osou x vyjádřit transformací: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Homogenní a nehomogenní deformace Deformaci lze v každém bodě popsat pomocí 12 (případně 9 neuvažujeme-li translaci) nezávislých parametrů: Homogenní deformace je popsána v každém bodě kontinua stejnými parametry. Její popis je nezávislý na volbě počátku souřadné soustavy. Homogenní a nehomogenní deformace Heterogenní deformace je popsána v každém bodě kontinua obecně různými parametry. Parametry popisující deformaci jsou tedy také funkcí místa (závisí na souřadnicích či na polohovém vektoru). Funkční závislost parametrů deformace na poloze lze teoreticky matematicky popsat a lze tak odvodit transformační rovnice popisující heterogenní deformaci. Homogenní a nehomogenní deformace S heterogenní deformací se setkáváme poměrně běžně a to v různých měřítcích. Příkladem heterogenní deformace může být např. deformace ve vrásách (různá deformace v zámku a v rameni vrásy, různá deformace uvnitř vrstev a při vrstevním rozhraní, ...)? nebo deformace ve střižných zónách. Střižné zóny Střižnou zónu lze chápat jako zónu v níž se soustředí deformace, zatímco deformace mimo tuto zónu je zanedbatelná či homogenní. Uvnitř této zóny je pak deformace závislá na místě (obecně např. na vzdálenosti od středu zóny). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L Strižné zóny Obecně lze deformaci ve střižné zóně popsat jako kombinaci tří různých deformačních polí. A. Simple sheer Q 0 10 20 Y ' Original shape © 9 O Ô Ô B. Volume change © • O a\2 ->a2ľ> ^22 ^ J V* ) A. Simple sheer Original shape © O o Ô Ô B. Volume change © • O «B e © C. Homogeneous strain Q 0 10 20 Y ' -05 04 .0-5 á Figur« 26.4. Main types of strain factors that can exist in planar ductile shear zones. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I. Střižné zóny Celková heterogenní deformace střižné zóny je pak chápána jako kombinace uvedených tří deformací, jejichž parametry jsou hledány. Přitom je nutné si uvědomit, že při skládání dílčích deformačních polí záleží na pořadí! Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L řP'* shear s volume change 9 \\ v^ ^^*- \^s ■ ■ • AxC Simple shear Z homogeneous strain BxC Volume change Z homogeneous strain « AxBxC Simple shear Z volume change S homogeneous strain ?. Various combinations of the three strain factors can be found m planar ducjile shear zones. Střižné zóny Předpokládáme-li napr. nejprve homogenní deformaci, následovanou heterogenním jednoduchým střihem a nakonec pak heterogenní objemovou změnu, můžeme výslednou heterogenní deformaci vyjádřit j ako: B D Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace L 'P'* shear s volume change 9 \\ v^ ^^*- \^s ■ ■ • A x C Simple shear Z homogeneous strain BxC Volume change Z homogeneous strain « AxBxC Simple shear Z volume change S homogeneous strain ?. Various combinations of the three strain factors can be found m planar ducji/e shear zones. Střižné zóny Zvolíme-li jiné pořadí jednotlivých dílčích polí, získáme jinou heterogenní deformaci. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace I řP'* shear Z volume change 9 \\ v^ ^^*- \^s ■ ■ • AxC Simple shear Z homogeneous strain BxC Volume change Z homogeneous strain « AxBxC Simple shear Z volume change S homogeneous strain ?. Various combinations of the three strain factors can be found m planar ducjile shear zones.