Deformace v jednorozměrném prostředí V jednom rozměru lze deformaci chápat jako změnu délky úsečky (natažení, či zkrácení). Porovnání původní délky úsečky a délky po deformaci pak určuje míru deformace. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v jednorozměrném prostředí Používá se více parametrů popisujících jednorozměrnou deformaci, příkladem takového parametru je např. elongace e. Elongace (extension) e ... poměr rozdílu délek deformované (1) a původní (10) úsečky ku původní délce: Kladné hodnoty elongace znamenají prodloužení, záporné pak zkrácení délky úsečky. Deformace v jednorozměrném prostředí Chceme-li tedy kvantifikovat zkrácení či natažení, potřebujeme znát původní i konečnou délku úsečky. Pro vyčíslení velikosti natažení nám mohou posloužit např. budinované objekty. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v jednorozměrném prostředí Pro vyčíslení velikosti zkrácení nám mohou posloužit např. zvrásnené objekty. :■: , I Q^Q^^^í^^^n^KmK^^Qí^OTmQaQEQj^^^Q Deformace v dvourozměrném prostředí Ve dvou rozměrech lze popsat deformaci (nebudeme již uvažovat translaci) pomocí dvourozměrného tenzoru deformace: Deformace v dvourozměrném prostředí Tenzor deformace má v dvourozměrném prostředí tedy čtyři nezávislé parametry, z nichž jeden popisuje dilataci, jeden rotaci (úhel rotace co) a dva distorzi (elipticita deformace R; úhel <\> svíraný směrem dlouhé osy deformační elipsy - tj. směrem maximálního protažení - a osou x). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostředí Deformace - změna polohových vektorů - se nám obecně projeví v tělese dvěma různými způsoby (předpokládejme dále homogenní deformaci): 1. změny délek 2. změny úhlu Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí 1. změny délek Změna délek může být popsána jako změna délky úsečky vymezené dvěma body A[X15YJ a B[X2,Y2]. Délka úsečky má před deformací velikost: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Při deformaci dochází ke změně polohových vektorů podle transformační rovnice: Úsečka je pak po deformaci vymezena body A'Jx^yJ a Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Délka úsečky má po deformací velikost: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Změnu délky úsečky AB si pak lze vyjádřit např. pomocí elongace Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Zvolíme-li na přímce dané body AB libovolný další bod C[X3,Y3], pak lze z parametrického vyjádření přímky odvodit, že souřadnice bodu C mají tvar: kde k je reálné číslo x Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Velikost úsečky AC je tedy: AC =J{Xl-X3f+&-¥,) AC=Jk2{Xl-X2f+k2{Yl-Y2f =£AB Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Podobně po deformaci je velikost úsečky A4C4: A'C'1 = VtA,(Xx -X3) + D12ft -73)]2 + [D21 {X, -X3)+ D22ft -Y3)] A'C = ^„(jf, - Jf2)+tí)12ft -Y2jf +[kD21(X1 -X2)+kD22{Y, -Y2)f = k A'B' Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Elongace úsečky AC je tedy: e = AC-AC k A B'-k AB AC k AB Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IL Deformace v dvourozměrném prostředí Elongace je tedy funkcí matice deformace a směru (orientace deformované úsečky) - nezávisí na přesné poloze a velikosti úsečky. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí 2. zmenv úhlu Změna úhlů může být popsána jako změna velikosti úhlu svíraného dvěma přímkami, které byly původně vzájemně kolmé. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostředí Sledujeme-li změnu úhlu pro přímku p, pak je tato změna definována velikostí úhlu \|/, který po deformaci svírá přímka q6 (přímka původně kolmá k přímce p) a přímka kolmá k deformované přímce p6. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Uhel \|/ se nazývá úhlová střižná deformace (angular shear strain). Jeho tangens odpovídá velikosti veličiny y nazývané střižná deformace (shear strain). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Je-li původní kolmice (pnmka q) „rotovaná vuci kolmici t přímce p6 proti směru hodinových ručiček, nabývá úhel \|/ kladných hodnot. Je-li původní kolmice „rotována" vůči kolmici k přímce p6 po směru hodinových ručiček, nabývá úhel y záporných hodnot. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostredí Lze ukázat, že také střižná deformace je funkcí matice deformace a směru (orientace přímky p) a nezávisí na přesné poloze přímky p ani průsečíku přímek p a q (bod A). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostředí Uvažuj eme-li pouze distorzi, kterou lze popsat eliptickou deformace a směrem maximálního protažení - pak je úhlová střižná deformace \|/ funkcí pouze elipticity deformace R a orientace (odchylky od směru maximálního protažení ())4). Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Deformace v dvourozměrném prostředí V roce 1956 popsal německý geolog Hans Breddin (1900- 1973) techniku umožňující grafické ; vztahu - tzv. Breddinův graf. znázornění zmíněného 9 <ý ) 70° 60° 50° 40° 3ď 20° 10° IJJ 0° -10° -2ď -30° -4ďí -J Kn°\ ! ! ---- 1 \ 10-0 A~^5-oK l/ľ ^'vSv / / ! ^S --1 \ (\ /^~ 2 ^N '2-CU // / J*-""*" — 7- •7-4^ —7-;-—Tľľľrr $Ž>^^7i _ ^7 7___ Z^/lll "2-0. —----- N2'5 SN. -}.n J" \4-n Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní de ou -7ó\ -80\ \5 '0 R ^\J\ j -9 0°-80° ~70° -60°-50°-40°-30° -20° -10° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90° Mohrova kružnice pro deformaci Vraťme se nyní k tenzoru deformace D v 2D prostředí, Jakýkoli tenzor druhého řádu lze zobrazit pomocí tzv. Mohrovy konstrukce odvozené Otto Mohrem. Tedy i tenzor deformace lze v dvourozměrném prostředí vyjádřit pomocí této Mohrovy konstrukce. Otto Mohr (1835-1918) Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Mohrova kružnice pro deformaci Zvolíme-li souřadnou soustavu, kde na vodorovnou osu vynášíme velikosti složek deformační matice ležící na hlavní diagonále (D11? D22) a na svislou osu vynášíme velikosti složek ležících mimo hlavní diagonálu (-D21? D12)? lze ukázat, že body Xj [D11? -D21] a X2 [D22? D12] získané pro různě orientované souřadné osy (tj. pro různé hodnoty úhlu <\>) leží na kružnici. Navíc body Xx a X2 leží na úsečce, která prochází středem zmíněné kružnice. Mohrova kružnice pro deformaci Zmíněná kružnice odpovídá tzv. Mohrově kružnici pro deformaci. Spojnice jejího středu a počátku soustavy svírá s osou DH úhel odpovídající úhlu rotace (v případě přítomnosti rotační složky). Vzdálenosti bodů Sx a S2 (průsečíky Mohrovy kružnice a přímky spojující střed kružnice s počátkem soustavy) odpovídají velikosti distorze (plus případně dilatace). Mohrova kružnice pro deformaci Složky matice deformace lze vyjádřit také pomocí střižné a délkové deformace určené pro určitý konkrétní směr a to pomocí dvou veličin: Reciproká kvadratická elongace X' vyjadřuje délkové změny: Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Mohrova kružnice pro deformaci V Mohrově grafu pro deformaci tedy vynášíme na vodorovnou osu hodnoty reciproké kvadratické elongace X\ na svislou osu pak hodnoty střižné deformace y' • Mohrova kružnice pro deformaci Neuvažujeme-li rotaci - uvažujeme pouze distorzi, která je representovaná symetrickou maticí - pak střed Mohrovy kružnice leží vždy přímo na vodorovné souřadné ose. Mohrova kružnice pro deformaci Obsahuje-li však deformace také rotaci - matice deformace je asymetrická a střed Mohrovy kružnice leží vždy mimo na vodorovnou souřadnou osu. Velikost rotace ukazuje úhel co. Mohrova kružnice pro deformaci Hodnoty veličin X' a y' závisí pouze na parametrech matice deformace a na orientaci (na daném směru). Každý bod na Mohrově kružnici representuje hodnoty X' a y' v určitém směru popsaným úhlem <\>' - tj. úhlem, který svírá daný směr se směrem maximálního protažení. Mohrova kružnice pro deformaci Z Mohrova grafu je patrné, že parametr y' nabývá ve směrech 2(\>' = 0° a 2(\>' = 180° - tj. v tomto směru nedochází ke změně úhlů, ale jen délek. Dané směry odpovídají směrům hlavních os elipsy deformace. Ve všech dalších směrech má parametr y' nenulové hodnoty - ve všech dalších směrech tedy dochází ke změně úhlů. Mohrova kružnice pro deformaci Hodnotu úhlové střižné deformace \|/ lze z Mohrova grafu pro každý bod A (tj. pro každý směr daný pozicí bodu na Mohrově kružnici) odečíst jako úhel svíraný vodorovnou osou a spojnicí mezi bodem A a počátkem soustavy. Mohrova kružnice pro deformaci Breddinův graf nebo Mohrovu konstrukci pak s výhodou můžeme využít pro grafická řešení úloh založených právě na vztahu matice deformace (nebo některých z jejich parametrů) a velikostmi úhlové a střižné deformace v určitém směru. Známe-li složky matice deformace, pak můžeme snadno přímo odečíst z Mohrova grafu pro libovolný směr velikosti úhlové střižné deformace \|/ a reciproké kvadratické elongace X'. Naopak, známe-li velikosti úhlové střižné deformace \|/ a/nebo reciproké kvadratické elongace X' v některých směrech, můžeme z nich graficky odvodit matici deformace, respektive některé její parametry. Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace II. Mohrova kružnice pro deformaci Při těchto řešeních obvykle neuvažujeme rotaci, hledáme tedy tři parametry (počítáme-li také s dilatací), respektive dva (hledáme-li jen popis distorze, tj. elipticitu a směr osy maximálního prodloužení). Tvarovou a objemovou změnu (tři neznámé) tak lze snadno odvodit pomocí Mohrovy konstrukce ze tří údajů o délkových změnách ve třech různých směrech. Pouze tvarovou změnu (dvě neznámé) tak lze snadno odvodit pomocí Mohrovy konstrukce nebo Breddinova grafu ze dvou údajů o úhlových změnách ve dvou různých směrech.