Deformace eliptické nebo elipsoidální částice je popsána vztahem:
kde A je matice elipsy (či elipsoidu) před deformací A' je matice elipsy (či elipsoidu) a D je matice deformace.
Pouze z tvaru a orientace deformovaných eliptických částic nelze určit velikost deformace! Pro takové určení je nutné vyslovit doplňující předpoklad, který blíže specifikuje celkovou stavbu celého souboru částic.
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
Deformační analýza se pak soustředí nikoli na změnu parametrů popisujících geometrii jedné částice, ale na změnu parametrů popisujících celkovou stavbu.
e
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace TS
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Jedním z nejjednodušších předpokladů je předpoklad
rerei nra mih
částice měly původně eliptický tvar, jejich dlouhé osy byly ale orientovány chaoticky do všech směrů (neměly přednostní orientaci).
i—i—i—i—i—i—i—i—r
1-90     -60     -30       0       30      60
e
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Budeme-li uvažovat jednotnou původní elipticitu Ri? pak se nám tato stavba znázorní v R/(|) grafu jako vodorovná přímka (tvořena body popisujícími stav jednotlivých objektů).
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Body popisující stav objektů po deformaci pak bude v Rf/<\) grafu vymezovat křivku - při dostatečně velké deformaci jde o uzavřenou křivku cibulovitého tvaru a nazývá se proto „cibulová" křivka.
etormace eliptických častíc - vsesmerna stav
Tvar cibulové křivky (její „protažení" ve směru paralelním s hlavním směrem deformace) závisí na velikosti (elipticitě) deformace.
TiíiiiuiiiííMí iiniúýrziLj {ju&Ain 21)1)6.) Auíú'/iíKQ2Ql3fi0^^^^^3^9
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Opět si všimněme vztahu pro Rf a podívejme se, jak bude vztah zjednodušen pro elipsy, jejichž dlouhé osy byly původně paralelní se směrem maximálního protažení, nebo byly naopak na tento směr kolmé (0=0°, 0=90°).
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Předpokládáme koaxiální deformaci, pak také dlouhé osy těchto částic po deformaci jsou buď paralelní se směrem maximálního protažení, nebo jsou na tento směr kolmé ((|)=0o, (|)=90o):
0=0°:
0=90
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Předpokládáme koaxiální deformaci, pak také dlouhé osy těchto částic po deformaci jsou buď paralelní se směrem maximálního protažení, nebo jsou na tento směr kolmé ((|)=0o, (|)=90o). Lze ukázat, že:
0=90° a R <Rí: ... (|)=90 0=90° a R >Rí: ... i=0°
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Pak tedy pro 0=0° nabývá vztah pro Rf tvaru:
pro 0=90° je nutno vztah upravit (vzhledem k aplikaci funkce tangens), lze ale ukázat, že platí:
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Předpokládejme jednotnou původní elipticitu. Pak částice s původní dlouhou osou paralelní se směrem maximálního protažení bude mít po deformaci největší elipticitu (Rf.maximumX částice s původní dlouhou osou kolmou na směr maximálního protažení bude mít po deformaci nejmenší elipticitu (Rf.minimum).
llraT^nSffi^^SÍ^^^H^ESiSI^^^HÉ^ÄääUoEäi
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Přitom jsme před chvílí určili jednoduché vztahy pro velikosti těchto konečných elipticit částic:
R             = R   R
f-maximum            s*      i
Rs  > Ri => Rf-mimmum
R
__       s
Rs < R, => Rf_
minimum
R
tedy:	
RS<R,^RS	_   /o                   u V       f-maximum *     f-minimum __     1      f-maximum _ \l R V        f-minimum
maximum
Rf.
minimum
i—i—i—i—i—i—i—i—i—I—i—i—i—i—i—i—i—i—i -90     -60     -30       0       30      60      9(
[ÄR^JS^^^S^^SS^^^äž^^^E^^KoSiiäLäí
)rmace IV.
etormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Těchto vztahů využívá tzv. metoda extrémních tvarů.
^s > ^i ^ ^s — V     f-maximum'^ f
Rf R  <R;^R  =   '    f
maximum       i -minimum
maximum
s               i
R
f-minimum
maximum
minimum
I-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1       I-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1
■90     -60     -30       0       30      60      9*
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
elormace eliptických častíc - vsesmerna stavba
Podmínky platnosti této metody extrémních tvarů i sou:
-Soubor analyzovaných částic musí zahrnovat jak částici, jejíž dlouhá osa byla přibližně paralelní se směrem maximálního protažení, tak i částici, jejíž dlouhá osa byla na tento směr kolmá (tj. nejlépe původně všesměrná orientace částic)
- Původní elipticita částic s extrémními tvary, které jsou použity k analýze, byla vzájemně podobná; soubor neobsahuje částici s původně abnormálně eliptickým tvarem, případně je taková částice známa a proto vyloučena z dalších analýz (tj. nejlépe původně tvarově uniformní částice)
rumerna matice
Pouze z tvaru a orientace deformovaných eliptických částic nelze určit velikost deformace! Pro takové určení je nutné vyslovit doplňující předpoklad, který blíže specifikuje celkovou stavbu celého souboru částic.
Můžeme-li pak tento soubor částic jednoduše matematicky popsat (nějakou rovnicí), lze pak deformaci tohoto souboru částic vyjádřit také jako transformaci daného matematického popisu.
rumerna matice
Můžeme-li pak tento soubor částic jednoduše matematicky popsat (nějakou rovnicí), lze pak deformaci tohoto souboru částic vyjádřit také jako transformaci daného matematického popisu.
Toshihiko Shimamoto a Yukio Ikeda v roce 1976 navrhli popsat soubor eliptických či elipsoidálních částic jejich průměrnou maticí, která representuje tzv. průměrnou elipsu či průměrný elipsoid {averaged ellipse, averaged ellipsoid).
rumerna matice
Průměrná matice je definována jako matice, jejíž členy jsou aritmetickým průměrem příslušných členů všech matic popisujících jednotlivé objekty.
A        A A21    A
V^3i    A
A
22        ^23
A
32        ^33 J
n
f   n
Zjailk
k=l n
Zja21k
k=l
ii
Zai:
"33k k=l           J
1      n
A ... průměrná matice; ak ... matice popisující k-tý objekt
rumerna matice
Dlouhá osa průměrné elipsy odpovídají směru přednostní orientace jednotlivých eliptických částic.
rumerna matice
Elipticita průměrné elipsy je úměrná jednak elipticitě průměrných částic a jednak míře jejich uspořádání.
Při paralelním uspořádání všech dlouhých os jednotlivých částic je elipticita průměrné matice maximální - nemůže být ale větší, než elipticita nejvíce eliptické částice.
A+B
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
rumerna matice
Elipticita průměrné elipsy je úměrná jednak elipticitě průměrných částic a jednak míře jejich uspořádání.
Při všesměrném uspořádání jednotlivých částic je elipticita průměrné matice minimální - tvar průměrné elipsy odpovídá nebo se alespoň blíží kružnici.
rumerna matice
Všimněme   si   opět   transformační   rovnici   popisující deformaci eliptických či elipsoidálních částic:
Průměrnou matici A't popisující celý soubor deformovaných objektů sestavíme jako aritmetický průměr jednotlivých matic deformovaných objektů A'k.
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
rumerna matice
Průměrnou matici A't popisující celý soubor deformovaných objektů sestavíme jako aritmetický průměr jednotlivých matic deformovaných objektů A'k.
Aritmetický průměr matic jednotlivých objektů před deformací je ovšem průměrnou maticí At popisující celý soubor objektů před deformací.
rumerna matice
Pak tedy platí jednoduchá transformace:
kde A't je tzv. průměrná konečná matice, At je tzv, průměrná počáteční matice a D je matice deformace.
rumerna matice
Pokud je původní stavba všesměrná, pak její průměrná matice representuje kruh (2D) nebo povrch koule (3D) a lze jde tedy o C-násobek jednotkové matice:
Pokud byla původní stavba všesměrná (nebo také „náhodná stavba" - random fabric), pak průměrná konečná matice této stavby má tvar a směr deformační elipsy (či elipsoidu)!
rumerna matice
Ovsem pozor:
Pokud původní stavba nebyla všesměrná, pak průměrná konečná matice této stavby nemá ani tvar ani směr shodný s tvarem  a  směrem  deformační elipsy (či
elipsoidu)!
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Soubory částic, které měly před deformací všesměrnou stavbu, mají tendenci vykazovat v R^ grafu symetrické uspořádání kolem osy průměrné elpticity a osy průměrné orientace dlouhé osy.
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Naopak soubory částic, které měly před deformací výrazně přednostně uspořádanou stavbu, mají někdy (ne vždy!!!) tendenci vykazovat v R/(|) grafu asymetrické uspořádání kolem osy průměrné elpticity a osy průměrné orientace dlouhé osy.
původně všesměrná stavba
I harmonický průměr elipticit
O
vektorový průměr směrů dlouhých os
9
původně výrazně přednostně usměrněná stavba
harmonický průměr eliptici
Rf
•T^
••
vektor )vý průměr směrů dlouhých os
O
I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I        I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I 1-90     -60     -30       0       30      60      90   -90     -60     -30       0       30      60      9(
4>,e
M
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Asymetrické uspořádání bodů reprezentujících tvar a orientaci deformovaných objektů v R^<\> grafu tedy vylučuje možnost aplikaci předpokladu původně všesměrné stavby.
původně všesměrná stavba
yJvRf
V1
harmonický prumer elipticit_______K-J
O
°(
vektorový průměr směrů dlouhých os
původně výrazně přednostně usměrněná stavba
A-Rf
harmonický průměr eliptici
V
o
*ť3*
vektor )vý průměr i dlouhých os
I----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1             I----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1
-90     -60     -30       0       30      60      90   -90     -60     -30       0       30      60      9(
iraEfffflrareTmTm
0,e
Kza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
0,e
esty symetrie
Symetrické uspořádání bodů reprezentujících tvar a orientaci deformovaných objektů v R/(|) grafu tedy nevylučuje možnost aplikaci předpokladu původně všesměrné stavby. Nedokazuje však, že stavba původně všesměrná byla - pouze nevylučuje, že stavba původně všesměrná mohla být!
původně všesměrná stavba
yJvRf
V1
harmonický prumer elipticit_______K-J
O
°(
vektorový průměr směrů dlouhých os
původně výrazně přednostně usměrněná stavba
A-Rf
harmonický průměr eliptici
V
o
*ť3*
vektor )vý průměr i dlouhých os
I----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1             I----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1----1
-90     -60     -30       0       30      60      90   -90     -60     -30       0       30      60      9(
irafioTirareTmTm
0,e
Kza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
0,e
esty symetrie
Symetrické uspořádání bodů reprezentujících tvar a orientaci deformovaných objektů v R/(|) grafu tedy nevylučuje možnost aplikaci předpokladu původně všesměrné stavby. Nedokazuje však, že stavba původně všesměrná byla - pouze nevylučuje, že stavba původně všesměrná mohla být!
Přesto je velmi užitečné provést test symetrie uspořádání bodů v Rf/<\) grafu, abychom se vyhnuli nesprávné aplikaci předpokladu původní všesměrné stavby v případech, kdy tento předpoklad je zcela jistě nesprávný a vede k chybným výsledkům.
esty symetrie
Jednoduchým testem symetrie je tzv. Isym test. Test je založený na odvození parametru symetrie I . R/(|) graf je rozdělen osou harmonického průměru elipticit částic a osou vektorového průměru směrů dlouhých os částic na čtyři pole (A, B, C a D). Parametr Isym
je pak definován vztahem:
i =1-
sym
nA-nB
nc-nD
I harmonický průměr elipticit
>K'd
vektorový průměr směrů dlouhých os
i—i—i—i—i—i—i—i—r
-90     -60
i—i—i—i—i—i—i—i—i 30      60      9(
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Parametr symetrie I . nabývá hodnot od 0 do 1, čím vyšší je jeho hodnota, tím více je distribuce bodů v R/(|) grafu symetrická.
esty symetrie
Pokud je hodnota parametru I      větší než kritická hodnota,
sym
pak je distribuce bodů v R/(|) grafu symetrická. Pokud je hodnota parametru Isym menší než kritická hodnota, pak je distribuce bodů v R/(|) grafu symetrická.
i =1-
sym
nA"nB
+
nc-nD
n
o
I harmonický průměr elipticit
O
B
O
>K'd
vektorový průměr směrů dlouhých os
i—i—i—i—i—i—i—i—r 1-90     -60     -30       0
i—i—i—i—i—i—i—i—i 30      60      9(
',e
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Kritické hodnoty parametru Isym závisí na velikosti deformace (na elipticitě deformace Rs) a na počtu objektů (n) tvořících soubor.
R• 1.5
2.0
3.0
5.0
10.0
počet objektů:
20
0.3 (0.4)
0.5 (0.5)
0.5 (0.6)
0.5 (0.6)
0.6 (0.6)
0.51 (0.63)
0.63 (0.63)
0.63 (0.63)
0.63 (0.63)
0.63 (0.63)
60
0.60 (0.67)
0.73 (0.77)
0.73 (0.77)
0.73 (0.77)
0.73 (0.77)
100
0.74 (0.78)
0.80 (0.82)
0.80 (0.82)
0.82 (0.82)
0.82 (0.84)
200
0.82 (0.85)
0.86 (0.88)
0.87 (0.88)
0.87 (0.88)
0.87 (0.89)
kritické hodnoty I    pro 95% (90%) pravděpodobnost asymetrie.
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Důležitým testem symetrie je také tzv. test 9-distribuce. Je založený na sledování hodnoty %2 a jejím porovnání s kritickou hodnotou, která plyne z předpokladu náhodné distribuce v původní orientaci dlouhých os částic.
												Rs-1.00								
											20									
	'										5									
											3									
																				
											,									
																				
																				
																				
																				
						PH,														
Oje počet částic pozorovaný v dané části grafu
E je počet částic předpokládaný ve stejné části grafu na
základě modelu
Tektonická analýza, podzim 2006, Analýza duktilní deformace IV.
esty symetrie
Oje počet částic pozorovaný v dané části grafu
E je počet částic předpokládaný ve stejné části grafu na
základě modelu
Rs-4.00
■flR^mH^^^^n^^B^E^^^EÍIÍ^^^^S^^SOSilEÉE^^^^^SAlo
esty symetrie
Rf/(|) graf je rozdělen na části, které mají v případě splnění podmínky o původně náhodné stavbě obsahovat při správně určené velikosti deformace (ohraničení částí závisí na Rs) shodné počty prvků. Hodnota %2 by tak měla být nízká. Je-li hodnota pro některé elipticity deformace Rs podkritická, lze tuto elipticitu deformace pokládat za řešení deformační analýzy.
[W2^^TO^^^^u^^3^E^^^B2^^^^S^^Äö22^ffiS^^^^^2^B