Příklady na první cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2006
Příklad 1.: Je dán homogenní markovský řetězec { }0n Nn;X  s množinou stavů J = {0,1,2},
vektorem počátečních pravděpodobností p(0) = (, , ) a maticí přechodu














=
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
P .
Určete vektor absolutních pravděpodobností po jednom až po čtyřech krocích.
Řešení:






=




















==
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()1( Ppp






=






















=




















==
3
1
,
3
1
,
3
1
2
1
4
1
4
1
0
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()2(
2
2
Ppp






=






















=




















==
3
1
,
3
1
,
3
1
4
1
8
3
8
3
2
1
4
1
4
1
4
1
8
3
8
3
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()3(
3
3
Ppp






=






















=




















==
3
1
,
3
1
,
3
1
16
6
16
5
16
5
8
2
8
3
8
3
16
6
16
5
16
5
3
1
,
3
1
,
3
1
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
3
1
,
3
1
,
3
1
)0()4( 4
Ppp
4
Návod na řešení v MATLABu:
P=[0.5 0.5 0;0 0 1;0.5 0.5 0];
p0=[1/3 1/3 1/3];
p1=p0*P
p2= p0*P^2
p3= p0*P^3
p4= p0*P^4
Nebo:
p2=p1*P
p3=p2*P
p4=p3*P
Příklad 2.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání
do tří tříd: vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo,
že 80% synů vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10% kvalifikovanými a
10% nekvalifikovanými pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60% bude
kvalifikovanými pracovníky, 20% vědeckými a 20% nekvalifikovanými pracovníky. Konečně
v případě nekvalifikovaných pracovníků 50% synů bude nekvalifikovanými pracovníky, 25%
kvalifikovanými a 25% vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že každý muž má syna. Jaká
je pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?
Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec { }0n Nn;X  s množinou stavů J =
{0,1,2}, kde stav 0 znamená ,,vědecký pracovník", stav 1 ­ ,,kvalifikovaný pracovník", stav 2
­ ,,nekvalifikovaný pracovník". Náhodná veličina Xn nabývá hodnoty j, když muž v n-té
generaci má zaměstnání typu j. Nejprve sestavíme matici přechodu:










=
5,025,025,0
2,06,02,0
1,01,08,0
P . Zajímá nás pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka
se stane vědeckým pracovníkem. Hledáme tedy prvek p20(2) matice P2
.
p20(2) = p20p00 + p21p10 + p22p020 = 0,25.0,8 + 0,25.0,2 + 0,5.0,25 = 0,375.
Návod na řešení v MATLABu:
P=[0.8 0.1 0.1;0.2 0.6 0.2; 0.25 0.25 0.5];
P^2
Dostaneme
0.6850 0.1650 0.1500
0.3300 0.4300 0.2400
0.3750 0.3000 0.3250
Hledaná pravděpodobnost je tedy 0,375.
Příklad 3.: V příkladu 2 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8.
Zaveďte nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy ­ první tři jsou stejné jako
v předešlé úloze a čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je
pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?
Řešení: Matice přechodu bude nyní řádu 4.














=
1000
2,04,02,02,0
2,016,048,016,0
2,008,008,064,0
P .
Opět nás zajímá prvek p20(2) = 0,2.0,64 + 0,2.0,16 + 0,4.0,2 + 0,2.0 = 0,24
Příklad 4.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat
roky podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném
roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2.
Pravděpodobnost, že po průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je
postupně 0,2; 0,6; 0,2. Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný,
průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor
absolutních pravděpodobností pro rok 1967.
Řešení: Sestavíme matici přechodu










=
4,04,02,0
2,06,02,0
2,04,04,0
P . Vektor počátečních pravděpodobností je p(0) = (1, 0, 0). Hledáme
vektor p(2) = p(0)P2
= (0,28, 0,48, 0,24).
Příklad 5.: V příkladu 4 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je ,
průměrný  a neúrodný . Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?
Řešení: Vektor počátečních pravděpodobností nyní bude p(0) = (, , ). Vypočteme vektor
absolutních pravděpodobností p(1) = p(0)P = (, , ).