Příklady na pravděpodobnostní vytvořující funkce
a vlastnosti Galtonova ­ Watsonova procesu větvení
Příklad 1.: Nakreslete průběh pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X, kde
a) X ~ Po(),  = 0,5,  = 1,  = 1,5,  = 2
b) X ~ Bi(6,),  = 0,25,  = 0,5,  = 0,75
c) X ~ Ge(),  = 0,25,  = 0,5,  = 0,75
Návod:
ad a) Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X ~ Po() má tvar
)1z(
X e)z(g -
= . Pro její zobrazení na intervalu (-1, 1) v MATLABu napíšeme příkazy:
lambda=[0.5 1 1.5 2]';
z=[-0.99:0.01:0.99]';
y1=exp(lambda(1)*(z-1)); y2=exp(lambda(2)*(z-1)); y3=exp(lambda(3)*(z-1));
y4=exp(lambda(4)*(z-1));
plot(z,y1,z,y2,z,y3,z,y4)
ad b) Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X ~ Bi(n,) má tvar
( )n
X z1)z(g +-= . Pro její zobrazení na intervalu (-1, 1) (v případě, že n = 6)
v MATLABu napíšeme příkazy:
theta=[0.25 0.5 0.75];z=[-0.99:0.01:0.99];
y1=(1-theta(1)+z*theta(1)).^6;
y2=(1-theta(2)+z*theta(2)).^6;
y3=(1-theta(3)+z*theta(3)).^6;
plot(z,y1,z,y2,z,y3)
ad c) Pravděpodobnostní vytvořující funkce náhodné veličiny X ~ Ge() má tvar
)1(z1
)z(gX
--

= . Pro její zobrazení na intervalu (-1, 1) v MATLABu napíšeme příkazy:
theta=[0.25 0.5 0.75];z=[-0.99:0.01:0.99];
y1=theta(1)./(1-z*(1-theta(1)));
y2=theta(2)./(1-z*(1-theta(2)));
y3=theta(3)./(1-z*(1-theta(3)));
plot(z,y1,z,y2,z,y3)
Příklad 2.: Nechť je dán Galtonův ­ Watsonův proces větvení { }0n Nn;X  s množinou
stavů J = {0,1,2, ...} a vektorem počátečních pravděpodobností p(0) = (1/6, 1/2, 1/3, 0, ...).
Znázorněte graficky závislost střední hodnoty a rozptylu počtu potomků v n-té generaci na
pořadí generací, n = 1, 2, ..., 10.
Návod:
Střední hodnota počtu potomků v 1. generaci: ( )
6
7
3
1
2
2
1
1
6
1
0XE 1 =++== , střední
hodnota počtu potomků v n-té generaci: ( )
n
n
n
6
7
XE 





== .
Rozptyl počtu potomků v 1. generaci:
( ) ( ) ( )[ ]
36
17
6
7
3
1
2
2
1
1
6
1
0XEXEXD
2
2222
1
2
1
2
1 =





-++=-== , rozptyl počtu potomků
v n-té generaci: ( ) ( )








-











=
-
-
=
--
1
6
7
6
7
6
17
1
1
XD
n1nn1n2
n
Příkazy v MATLABu:
mi=7/6;sigmakv=17/36;
n=[1:10];
mi_n=mi.^n; sigmakv_n=sigmakv^2*mi.^(n-1).*(mi_n-1)/(mi-1);
plot(n,mi_n,'*')
figure
plot(n,sigmakv_n,`o`)