Téma 4: Korelace a regrese
Vzorový příklad: Pro následující datové soubory proveďte korelační, resp. regresní analýzu.
Postup ve STATISTICE:
1. Načtěte soubor znamky.sta. Vypočtěte Spearmanův korelační koeficient známek z
matematiky a angličtiny pro všechny studenty, pak zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy.
Získané výsledky interpretujte.
(Spearmanův korelační koeficient měří těsnost lineární závislosti dvou ordinálních
proměnných x, y a počítá se podle vzorce:
( ) ( )=
-
-
-=
n
1i
2
ii2S QR
1nn
6
1r ,
kde Ri je pořadí xi - tj. počet těch hodnot x1, ..., xn, které jsou  xi a Qi je pořadí yi.)
Hodnoty Spearmanova korelačního koeficientu (stejně tak hodnoty dále uvedeného
Pearsonova korelačního koeficientu) interpretujeme podle následující tabulky:
Absolutní hodnota korelačního koeficientu Interpretace hodnoty
0 lineární nezávislost
(0, 0,1) velmi nízký stupeň závislosti
[0,1, 0,3) nízký stupeň závislosti
[0,30, 0,50) mírný stupeň závislosti
[0,50, 0,70) význačný stupeň závislosti
[0,70, 0,90) vysoký stupeň závislosti
(0,90, 1) velmi vysoký stupeň závislosti
1 úplná lineární závislost
Návod: Po načtení souboru zvolíme Statistics ­ Nonparametrics ­ Correlations ­ OK ­
Variables First variable list X, Second variable list Y ­ OK ­ Spearman R. Počítáme-li rS pro
muže, vybereme v tabulce Nonparametric Correlation tlačítko Select Cases ­ Specific, select
by Z=1.
Řešení:
Pro všechny
Spearman Rank Order Correlations (zna
MD pairwise deleted
Marked correlations are significant at p <
Pair of Variables
Valid
N
Spearman
R
t(N-2) p-level
X & Y 20 0,688442 4,027090 0,000791
Pro muže (if Z=1)
Spearman Rank Order Correlations (zna
MD pairwise deleted
Marked correlations are significant at p <
Pair of Variables
Valid
N
Spearman
R
t(N-2) p-level
X & Y 10 0,373544 1,138990 0,287662
Pro ženy (if Z=0)
Spearman Rank Order Correlations (zna
MD pairwise deleted
Marked correlations are significant at p <
Pair of Variables
Valid
N
Spearman
R
t(N-2) p-level
X & Y 10 0,860314 4,773446 0,001402
Komentář: Ve skupině všech studentů je Spearmanův koeficient korelace roven 0,6884, což
svědčí o význačné těsnosti pořadové závislosti. U mužů nabývá tento koeficient hodnoty
pouze 0,3735, tedy mezi známkami z matematiky a angličtiny existuje u mužů pouze mírná
pořadová závislost. Naproti tomu u žen je sledovaná pořadová závislost vysoká, protože
Spearmanův koeficient je 0,8603.
2. Vysvětlení významu Pearsonova korelačního koeficientu: Načtěte soubor korkoef.sta, který
obsahuje proměnné X,Y1,Y2,Y3,Y4, X4. Vypočtěte Pearsonovy korelační koeficienty dvojic
proměnných (X,Y1), (X,Y2), (X,Y3), (X4,Y4) a pro každou z uvedených dvojic proměnných
nakreslete dvourozměrný tečkový diagram. Pro které dvojice proměnných se hodí Pearsonův
korelační koeficient jako vhodná míra těsnosti lineární závislosti?
Návod: Statistics ­ Basis Statistics/Tables ­ Correlation matrices ­ OK ­ One variable list X,
Y1 ­ OK ­ Summary: Correlation matrix ­ Návrat do Product-Moment and Partial
Correlations ­ Advanced/plot ­ 2D Scatterplots ­ OK ­ First X, Second Y1 ­ OK.
Analogicky pro ostatní dvojice proměnných.
Řešení:
Correlations (korkoe
Variable
X Y1
X
Y1
1,000000 0,816421
0,816421 1,000000
Correlations (korkoe
Variable
X Y2
X
Y2
1,000000 0,816237
0,816237 1,000000
Correlations (korkoe
Variable
X Y3
X
Y3
1,000000 0,816287
0,816287 1,000000
Correlations (korkoe
Variable
X4 Y4
X4
Y4
1,000000 0,816521
0,816521 1,000000
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81642
2 4 6 8 10 12 14 16
X
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y1
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81624
2 4 6 8 10 12 14 16
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y2
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81629
2 4 6 8 10 12 14 16
X
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14Y3
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81652
6 8 10 12 14 16 18 20
X4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Y4
Komentář: Ve všech čtyřech případech nabývá koeficient korelace hodnoty 0,816, což by
svědčilo o vysokém stupni těsnosti lineárního vztahu mezi sledovanými dvojicemi veličin. Při
pohledu na dvourozměrné tečkové diagramy je však zřejmé, že pouze v prvním případě je
použití Pearsonova korelačního koeficientu oprávněné.
3. Načtěte do STATISTIKY soubor ocel.sta. Vypočtěte kovarianci a Pearsonův koeficient
korelace meze plasticity a meze pevnosti. Porovnejte s výsledky ve skriptech Popisná
statistika (str. 30).
Návod: Po načtení souboru zvolíme Statistics - Multiple Regression - Variables Independent
X, Dependent Y ­ OK ­ OK ­ Residuals/assumption-prediction ­ Descriptive statistics ­
Covariances. Pro získání korelačního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances.
Vysvětlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak než ve skriptech, protože ve
STATISTICE se ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1).
Řešení:
Correlations (ocel)
Variable
X Y
X
Y
1,000000 0,934548
0,934548 1,000000
Covariances (ocel)
Variable
X Y
X
Y
1070,240 1002,471
1002,471 1075,125
Komentář: Kovariance meze plasticity a meze pevnosti vyšla 1002,471, tedy mezi těmito
dvěma znaky existuje určitý stupeň přímé lineární závislosti. Koeficient korelace meze
plasticity a meze pevnosti nabývá hodnoty 0,9345, což svědčí o velmi vysokém stupni přímé
lineární závislosti obou znaků (viz tabulku v úkolu 1).
4. Určete koeficienty regresní přímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index
determinace. Určete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete
regresní přímku do dvourozměrného tečkového diagramu.
Návod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y ­
OK ­ Summary:Regression results. Ve výstupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na
řádku označeném Intercept, koeficient b1 ve sloupci B na řádku označeném X, index
determinace pod označením R2.
Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict
dependent variable X:110 - OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako
Predictd.
Nakreslení regresní přímky: Návrat do Multiple Regression ­ Residuals / assumption /
prediction ­ Perform residuals analysis ­ Scatterplots ­ Bivariate correlation ­ X, Y ­ OK.
Jiný způsob: Do dvourozměrného tečkového diagramu nakreslíme regresní přímku tak, že
v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK.
Řešení:
Summary
Statistic
Value
Multiple R
Multiple R2
Adjusted R2
F(1,58)
p
Std.Err. of Estimate
0,9345
0,8734
0,8712
400,0641
0,0000
11,7677
Predicting Values for (ocel)
variable:Y
Variable
B-Weight Value B-Weight
* Value
X
Intercept
Predicted
-95,0%CL
+95,0%CL
0,936679 110,0000 103,0346
24,5881
127,6228
124,3063
130,9392
Regression Summary for Dependent Variable: Y (ocel)
R= ,93454811 R2= ,87338017 Adjusted R2= ,87119707
F(1,58)=400,06 p<0,0000 Std.Error of estimate: 11,768
N=60
Beta Std.Err.
of Beta
B Std.Err.
of B
t(58) p-level
Intercept
X
24,58814 4,740272 5,18707 0,000003
0,934548 0,046724 0,93668 0,046830 20,00160 0,000000
Regresní přímka me ze pevnosti na mez plasticity.
Y = 24,5881+0,9367*x
20 40 60 80 100 120 140 160 180
mez plasticity
40
60
80
100
120
140
160
180
200
mezpevnosti
Komentář: Regresní přímka meze pevnosti na mez plasticity má rovnici:
Y = 24,58814 + 0,93668 X.
Index determinace nabývá hodnoty 0,8734, tedy variabilita meze pevnosti je z 87,34%
vysvětlena regresní přímkou.
Je-li mez plasticity 110, je predikovaná hodnota meze pevnosti rovna 127,62.
Na dvourozměrném tečkovém diagramu je vidět, že regresní přímka je vhodná pro
modelování závislosti meze pevnosti na mezi plasticity ­ tečky jsou rozmístěny vcelku
rovnoměrně kolem regresní přímky.
5. U sedmi náhodně vybraných strojů v určitém podniku se zjišťovalo stáří stroje v letech
(proměnná x) a týdenní náklady v Kč na údržbu stroje (proměnná y). Data:
(1,35), (1,52), (3,81), (3,105), (5,100), (6,125), (7, 120)
Data znázorněte graficky. Vyzkoušejte následující čtyři modely:
y = 0 + 1 x, y = 0 + 1 x, y = 0 + 1 log10 x, y = 0 + 1 1/x. Vyberte ten model, který
poskytuje nejvyšší index determinace. Určete regresní odhad týdenních nákladů pro stroj starý
čtyři roky.
Návod: Datový soubor s proměnnými X a Y doplňte o proměnné SQRTX, LOGX a INVX.
Hodnoty proměnné SQRTX získáte tak, že do Long Name napíšete =sqrt(x). (Analogicky
pro ostatní proměnné.) Regresní analýzu provedete tak, že roli nezávisle proměnné bude hrát
proměnná X, pak SQRTX, LOGX a nakonec INVX.
Řešení:
Model s proměnnou X
Summary
Statistic
Value
Multiple R
Multiple R2
Adjusted R2
F(1,5)
p
Std.Err. of Estimate
0,91004
0,82817
0,79381
24,09909
0,00444
15,48711
Predicting Values for (stroje)
variable: Y
Variable
B-Weight Value B-Weight
* Value
X
Intercept
Predicted
-95,0%CL
+95,0%CL
13,14957 4,000000 52,5983
39,4444
92,0427
76,8676
107,2179
Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje)
R= ,91004028 R2= ,82817331 Adjusted R2= ,79380797
F(1,5)=24,099 p<,00444 Std.Error of estimate: 15,487
N=7
Beta Std.Err.
of Beta
B Std.Err.
of B
t(5) p-level
Intercept
X
39,44444 11,54341 3,417054 0,018898
0,910040 0,185379 13,14957 2,67862 4,909082 0,004439
Regresní přímka.
y=39,4444+13,1496*x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X = stáří stroje
20
40
60
80
100
120
140
Y=nákladynaúdržbu
Model s odmocninou
Summary
Statistic
Value
Multiple R
Multiple R2
Adjusted R2
F(1,5)
p
Std.Err. of Estimate
0,93924
0,88217
0,85860
37,43261
0,00169
12,82508
Predicting Values for (stroje)
variable: Y
Variable
B-Weight Value B-Weight
* Value
SQRTX
Intercept
Predicted
-95,0%CL
+95,0%CL
48,55972 2,000000 97,1194
-0,4774
96,6421
83,6962
109,5880
Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje)
R= ,93923698 R2= ,88216611 Adjusted R2= ,85859933
F(1,5)=37,433 p<,00169 Std.Error of estimate: 12,825
N=7
Beta Std.Err.
of Beta
B Std.Err.
of B
t(5) p-level
Intercept
SQRTX
-0,47736 15,29638 -0,031207 0,976312
0,939237 0,153515 48,55972 7,93690 6,118220 0,001691
Regresní přímka.
Y = -0,47736+48,55972*sqrt(x)
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
SQRTX
20
40
60
80
100
120
140
Y
Model s převrácenou hodnotou
Summary
Statistic
Value
Multiple R
Multiple R2
Adjusted R2
F(1,5)
p
Std.Err. of Estimate
0,94282
0,88891
0,86670
40,01016
0,00146
12,45245
Predicting Values for (stroje)
variable: Y
Variable
B-Weight Value B-Weight
* Value
INVX
Intercept
Predicted
-95,0%CL
+95,0%CL
-84,4832 0,250000 -21,1208
126,6192
105,4984
91,5231
119,4738
Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje)
R= ,94282234 R2= ,88891396 Adjusted R2= ,86669676
F(1,5)=40,010 p<,00146 Std.Error of estimate: 12,452
N=7
Beta Std.Err.
of Beta
B Std.Err.
of B
t(5) p-level
Intercept
INVX
126,6192 7,67327 16,50134 0,000015
-0,942822 0,149054 -84,4832 13,35627 -6,32536 0,001456
Regresní přímka.
y=126,6192-84,4832/x
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
INVX
20
40
60
80
100
120
140
Y
Model s logaritmem
Summary
Statistic
Value
Multiple R
Multiple R2
Adjusted R2
F(1,5)
p
Std.Err. of Estimate
0,95349
0,90915
0,89097
50,03321
0,00087
11,26153
Predicting Values for (stroje)
variable: Y
Variable
B-Weight Value B-Weight
* Value
LOGX
Intercept
Predicted
-95,0%CL
+95,0%CL
93,23472 0,602060 56,1329
44,6457
100,7786
88,9325
112,6247
Regression Summary for Dependent Variable: Y (stroje)
R= ,95349135 R2= ,90914576 Adjusted R2= ,89097491
F(1,5)=50,033 p<,00087 Std.Error of estimate: 11,262
N=7
Beta Std.Err.
of Beta
B Std.Err.
of B
t(5) p-level
Intercept
LOGX
44,64571 7,49541 5,956407 0,001907
0,953491 0,134799 93,23472 13,18100 7,073415 0,000874
Regresní přímka.
y=44,6457+93,2347*log(x)
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
LOGX
20
40
60
80
100
120
140
Y
Nejvyšší hodnotu indexu determinace vykazuje model s logaritmem.
Výsledky všech čtyř modelů:
y
yodh1
yodh2
yodh3
yodh4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
stáří stroje v letech
20
40
60
80
100
120
140
týdennínákladynaúdržbu(vKč)
Komentář: Abychom získali graf s výsledky všech čtyř modelů, musíme datový soubor ve
STATISTICE uspořádat podle hodnot proměnné X:
1
x
2
y
1
2
3
4
5
6
7
1 3
1 5
3 8
3 1
5
2
1
05
5 100
6 125
7 120
K tomuto datovému souboru přidáme další čtyři proměnné yodh1, yodh2, yodh3 a yodh4. Do
Long Name těchto proměnných postupně napíšeme =35,44+13,15*x, =-0,48+48,56*sqrt(x),
=126,62-84,48/x, =44,65+93,23*log10(x). Dostaneme soubor:
1
x
2
y
3
yodh1
4
yodh2
5
yodh3
6
yodh4
1
2
3
4
5
6
7
1 35 48,59 48,08 42,14 44,65
1 52 48,59 48,08 42,14 44,65
3 81 74,89 83,62839 98,46 89,13201
3 105 74,89 83,62839 98,46 89,13201
5 100 101,19 108,1035 109,724 109,815
6 125 114,34 118,4672 112,54 117,197
7 120 127,49 127,9977 114,5514 123,4385
a pomocí vícenásobného bodového grafu vytvoříme výše uvedený obrázek.