Téma 5: Výpočty pravděpodobností pomocí distribuční a
pravděpodobnostní funkce binomického rozložení
STATISTICA poskytuje hodnoty distribučních a pravděpodobnostních funkcí mnoha rozložení.
Omezíme se na binomické rozložení (funkce IBinom(x;p;n) a Binom(x;p;n), kde x ... počet
úspěchů, p ... pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu, n ... celkový počet pokusů).
Vzorový příklad na binomické rozložení: Pojišťovna zjistila, že 12% pojistných událostí je
způsobeno vloupáním. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 30 náhodně vybranými pojistnými
událostmi bude způsobeno vloupáním
a) nejvýše 6,
b) aspoň 6,
c) právě 6,
d) od dvou do pěti?
Řešení:
Náhodná veličina X udává počet pojistných událostí způsobených vloupáním,
X ~ Bi(30; 0,12).
ad a) P(X6) = (6) = 0,9393,
ad b) P(X6) = 1 ­ P(X5) = 1 - (5) = 0,1431,
ad c) P(X=6) = (6) = 0,0825,
ad d) P(2X5) = (5) - (1) = 0,7469.
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými a o jednom případu.
Řešení:
Do Long Name 1. proměnné napíšeme =IBinom(6;0,12;30).
Do Long Name 2. proměnné napíšeme =1-IBinom(5;0,12;30).
Do Long Name 3. proměnné napíšeme =Binom(6;0,12;30).
Do Long Name 4. proměnné napíšeme =IBinom(5;0,12;30)-IBinom(1;0,12;30).
a) P(X6) = (6) = IBinom(6;0,12;30) = 0,939393
b) P(X6) = 1­P(X5) = 1-(5) = 1­IBinom(5;0,12;30) = 0,143077
c) P(X=6) = Binom(6;0,12;30) = 0,082470
d) P(2X5) = P(1<X5) = (5)-(1) =IBinom(5;0,12;30)-
IBinom (1;0,12;30) = 0,746953
Příklady ze skript Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika, kapitola 4:
Příklad 4.10.: V rodině je 10 dětí. Za předpokladu, že chlapci i dívky se rodí s pravděpodobností
0,5 a pohlaví se formuje nezávisle na sobě, určete pravděpodobnost, že v této rodině je
a) právě 5 chlapců
b) nejméně 3 a nejvýše 8 chlapců.
n = 10, úspěch = narození chlapce, pravděpodobnost úspěchu  = 0,5
X udává počet narozených chlapců
Řešení:
a) P(X=5) = (5) = Binom(5;0,5;10) = 0,246094
b) P(3X8) = P(2<X 8) = (8)- (2) = IBinom(8;0,5;10) - IBinom(2;0,5;10) =
0,934570
Příklad 4.11.: Na dvoukolejném železničním mostě se potkají během 24 hodin nejvýše dva vlaky,
a to s pravděpodobností 0,2. Za předpokladu, že denní provozy jsou nezávislé, určete
pravděpodobnost, že během týdne se dva vlaky na mostě potkají
a) právě třikrát
b) nejvýše třikrát
c) alespoň třikrát.
n = 7, úspěch = potkání dvou vlaků během 24 hodin, pravděpodobnost úspěchu  = 0,2
X udává počet potkání dvou vlaků během týdne
Řešení:
P(X=3) = (3) = Binom(3;0,2;7) = 0,11468
P(X3) = IBinom(3;0,2;7) = 0,966656
P(X3) = 1 ­ P(X<3) = 1 ­ P(X2) = 1 ­ (2) = 1 - IBinom(2;0,2;7) = 0,148032
Příklad 4.12.: Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo pět
partií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé?
Úspěch je výhra partie se stejně silným soupeřem, když remíza je vyloučena
Pravděpodobnost úspěchu  = 0,5, X udává počet úspěchů
a) n = 4
b) n = 8
Řešení:
ad a) P(X=3) = (3) = Binom(3;0,5;4) = 0,250000
ad b) P(X=5) = (3) = Binom(5;0,5;8) = 0,218750
Příklad 4.13.: Dvacetkrát nezávisle na sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že
alespoň v jednom hodě padnou tři líce?
n = 20, úspěch je padnutí tří líců při hodu třemi mincemi,  = 1/8 = 0,125,
X udává počet úspěchů
Řešení:
P(X1) = 1 ­ P(X<1) = 1 ­ P(X0) = 1 ­ IBinom(0;0,125;20) = 0,930791
Příklad 4.14.: Pětkrát nezávisle na sobě házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že
právě dvakrát padnou tři jedničky?
n = 5, úspěch je padnutí tří jedniček při hodu třemi kostkami,  = 1/63
= 1/216 ,
X udává počet úspěchů
Řešení:
P(X=2) = (2) = Binom(2;1/216;5) = 0,000211