Téma 7: Výpočet číselných charakteristik náhodných veličin
Výpočet kvantilů pomocí systému STATISTICA:
První způsob: Statistica ­ Probability Calculator ­ Distributions
a) Normální rozložení
Ve volbě Distributions vybereme Z (Normal), do okénka mean napíšeme hodnotu  a do okénka
st. dev. napíšeme hodnotu . Hodnotu -kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p
napíšeme dané  a po kliknutí na Compute se v okénku X objeví hodnota tohoto kvantilu.
b) Pearsonovo rozložení chí-kvadrát s n stupni volnosti 2
(n)
Ve volbě Distributions vybereme Chi 2 a do okénka df napíšeme patřičný počet stupňů volnosti.
Hodnotu -kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané  a po kliknutí na
Compute se v okénku Chi 2 objeví hodnota tohoto kvantilu.
c) Studentovo rozložení s n stupni volnosti t(n)
Ve volbě Distributions vybereme t (Student) a do okénka df napíšeme patřičný počet stupňů
volnosti. Hodnotu -kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p napíšeme dané  a po
kliknutí na Compute se v okénku t objeví hodnota tohoto kvantilu.
d) Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n1 a n2 stupni volnosti F(n1, n2)
Ve volbě Distributions vybereme F (Fisher) a do okének df1 a df2 napíšeme počet stupňů
volnosti čitatele a jmenovatele. Hodnotu -kvantilu zjistíme tak, že do okénka označeného p
napíšeme dané  a po kliknutí na Compute se v okénku F objeví hodnota tohoto kvantilu.
Druhý způsob: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu. V Long
name této proměnné použijeme funkci
a) VNormal(x;mu;sigma) pro x-kvantil normálního rozložení se střední hodnotou mu a
směrodatnou odchylkou sigma
b) VChi2(x;nu) pro x-kvantil Pearsonova rozložení s nu stupni volnosti
c) Student(x;df) pro x-kvantil Studentova rozložení s df stupni volnosti
d) VF(x;nu;omega) pro x-kvantil Fisherova ­ Snedecorova rozložení s nu a omega stupni
volnosti.
Výpočet střední hodnoty a rozptylu diskrétní náhodné veličiny
Vzorový příklad 1. Postupně se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší jen tehdy,
když předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobností 0,8. Náhodná
veličina X udává počet zkoušených přístrojů. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné
veličiny X.
Řešení:
X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4 a její pravděpodobnostní funkce je
(1) = 0,2,
(2) = 0,8.0,2 = 0,16,
(3) = 0,82
.0,2 = 0,128,
(4) = 0,83
.0,2 + 0,84
= 0,512,
(0) = 0 jinak
( ) ( )=
=
4
1x
xxXE = 1.0,2 + 2.0,16 + 3.0,128 + 4.0,512 = 2,952
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2
4
1x
222
XExxXEXEXD -=-= =
=
= 12
.0,2 + 22
.0,16 + 32
.0,128 + 42
.0,512 ­ 2,9522
= 1,4697
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor o čtyřech případech a pěti proměnných, které nazveme x, pi(x),
x*pi(x), xkvadrat, xkvadrat*pi(x). První proměnnou naplníme hodnotami náhodné veličiny X,
druhou hodnotami její pravděpodobnostní funkce. Do třetí proměnné uložíme součin x(x) (do
Long name napíšeme =v1*v2), do čtvrté x2
(do Long name napíšeme =v1^2), do páté součin
x2
(x) (do Long name napíšeme v4*v2).
x pi(x) x*pi(x) xkvadrat xkvadrat*pi(x)
1 0,2 0,2 1 0,2
2 0,16 0,32 4 0,64
3 0,128 0,384 9 1,152
4 0,512 2,048 16 8,192
Výpočty E(X) a D(X) provedeme takto:
Statistics ­ Basic Statistics/Tables ­ Descriptive Statistics ­Variables x*pi(x), xkvadrat*pi(x) ­
OK, zaškrtneme Sum - Summary
Proměnnou Sum ve workbooku transponujeme: Data ­ Transpose ­ File.
Proměnou x*pi(x) přejmenujeme na E(X) (vidíme, že E(X) = 2,952). Přidáme
(ve workbooku) proměnnou D(X) a do jejího Long name napíšeme = v2-v1^2.
Vidíme, že D(X) = 1,4697.
Descriptiv
Variable
Sum
x*pi(x)
xkvadrat*pi(x)
2,95200
10,18400
Výpočet koeficientu korelace
Vzorový příklad 2. Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná
veličina Y příjem manželky (v tisících dolarů. Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce
(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X,Y): (10,10) = 0,2, (10,20) = 0,04, (10,30) = 0,01,
(10,40) = 0, (20,10) = 0,1, (20,20) = 0,36, (20,30) = 0,09, (20,40) = 0, (30,10) = 0, (30,20)
= 0,05, (30,30) = 0,1, (30,40) = 0, (40,10) = 0, (40,20) = 0, (40,30) = 0, (40,40) = 0,05,
(x,y) = 0 jinak. Vypočtěte koeficient korelace příjmů manžela a manželky.
Řešení:
Náhodná veličina X i náhodná veličina Y nabývají hodnot 10, 20, 30, 40. Stanovíme hodnoty
marginálních pravděpodobnostních funkcí: 1(10) = 0,25, 1(20)=0,55, 1(30) = 0,15, 1(40) =
0,05, 1(x) = 0 jinak, 2(10) = 0,3, 2(20) = 0,45, 2(30) = 0,2, 2(10) = 0,05, 2(y) = 0 jinak.
Spočteme E(X) = 20, E(Y) = 20, D(X) = 60, D(Y) = 70. Dosazením do vzorce pro výpočet
kovariance zjistíme, že C(X,Y) = 49, tedy koeficient korelace R(X,Y) = 49/6070 = 0,76.
Postup ve STATISTICE:
Budeme potřebovat dva nové soubory. První pro výpočet středních hodnot a rozptylů,
druhý pro výpočet kovariance a koeficientu korelace. První soubor bude mít 4 případy a 10
proměnných. Zde jsou pro výpočet středních hodnot a rozptylů použity dva soubory vzhledem
k přílišné délce tabulky pro obě náhodné veličiny.
x pi(x) x*pi(x) xkvadrat xkvadrat*pi(x)
10 0,25 2,5 100 25
20 0,55 11 400 220
30 0,15 4,5 900 135
40 0,05 2 1600 80
Descriptiv
Variable
Sum
x*pi(x)
xkvadrat*pi(x)
20,0000
460,0000
y pi(y) y*pi(y) ykvadrat ykvadrat*pi(y)
10 0,3 3 100 30
20 0,45 9 400 180
30 0,2 6 900 180
40 0,05 2 1600 80
Descriptiv
Variable
Sum
y*pi(y)
ykvadrat*pi(y)
20,0000
470,0000
Nyní vytvoříme nový datový soubor o 16 případech a 4 proměnných, které nazveme
x, y, pi(x,y) a x*y*pi(x,y). Do první proměnné napíšeme 10, 10, 10, 10, 20, 20, 20, 20, 30, 30,
30, 30, 40, 40, 40, 40 a do druhé proměnné 10, 20, 30, 40, 10, 20, 30, 40, 10, 20, 30, 40, 10, 20,
30, 40.
Do třetí proměnné zapíšeme hodnoty simultánní pravděpodobnostní funkce (x,y) a do čtvrté
proměnné uložíme součin xy(x,y) (do Long name napíšeme =v1*v2*v3).
x y pi(x,y) x*y*pi(x,y)
10 10 0,2 20
10 20 0,04 8
10 30 0,01 3
10 40 0 0
20 10 0,1 20
20 20 0,36 144
20 30 0,09 54
20 40 0 0
30 10 0 0
30 20 0,05 30
30 30 0,1 90
30 40 0 0
40 10 0 0
40 20 0 0
40 30 0 0
40 40 0,05 80
Statistics ­ Basic Statistics/Tables ­ Variables x*y*pi(x,y) ­ OK , zaškrtneme
Sum ­ Summary.
Descriptiv
Variable
Sum
x*y*pi(x,y) 449,0000
Proměnnou Sum ve workbooku přejmenujeme na E(X,Y) a přidáme k ní 6 nových
proměnných E(X), E(Y), D(X), D(Y), C(X,Y), R(X,Y). Do proměnných E(X), E(Y), D(X), D(Y)
napíšeme vypočtené střední hodnoty a rozptyly. Do Long name proměnné C(X,Y) napíšeme=v1-
vv2*v3 a do Long name proměnné R(X,Y) napíšeme =v6/sqrt(v4*v5).
E(X,Y) E(X) E(Y) D(X) D(Y) C(X,Y) R(X,Y)
x*y*pi(x,y) 449 20 20 60 70 49 0,756086
Příklady k samostatnému řešení:
1. Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Pomocí systému STATISTICA
vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl.
(Výsledek: E(X) = 21/6 = 3,5, D(X) = 35/12 = 2,9167)
2. Diskrétní náhodný vektor (X1,X2) má simultánní pravděpodobnostní funkci s hodnotami
(0,-1) = c, (0,0) = (0,1) = (1,-1) = (2,-1) = 0, (1,0) = (1,1) = (2,1) = 2c, (2,0) = 3c,
(x,y) = 0 jinak. Určete konstantu c a pomocí systému STATISTICA vypočtěte R(X1,X2).
(Výsledek: c = 0,1, E(X) = 1,4, E(Y) = 0,3, D(X) = 0,44, D(Y) = 0,41. Dosazením do vzorce pro
výpočet kovariance zjistíme, že C(X,Y) = 0,18, tedy koeficient korelace R(X,Y) =
0,18/0,440,41 = 0,42379)