Důkaz 17 vlastností pravděpodobnosti:
oo
P14 Položme A0 =   \J Ai. Pak jevy A0, Ai,A2,... jsou neslučitelné a je-
i=l
jich sjednocením je celý základní prostor, tedy podle axiómu P10 dostáváme:
oo                    co
1 = P(fž) = P( \J Ai) = J2 P(Ai), přičemž poslední rovnost vyplývá z axi-
i=0                 i=0
oo
ómu P15.  Yl P(Ai) tedy absolutně konverguje, tudíž bude konvergovat také
i=0
oo
^3 P(Ai), kde jsme vynechali první člen.
i=l
co
PÍ Položme Ax = 0, A2 = 0,... Pak  [j Ai = 0, tedy podle axiómu P15
i=l
oo                 co
0 = P(0) =P(U0) = £ P(&), což je možné jen tak, že P(0) = 0.
i=l              i=\
co
P6 V axiómu P15 položíme A3 = 0, A4 = 0,..., tedy P( |J A{) = P(AX U A2) =
i=l
oo
EP(Ai)=P(A,) + P(A2).
i=l
_P11 Plyne z vlastnosti P6 a axiómu P10: P(A ul)= P(íž) = 1 = P(A) + P(A).
P12 Plyne okamžitě z axiómu P2 a vlastnosti Pil.
Pro důkaz vlastností P3, P4 a P5 jevy Ai U A2, A\ a A2 rozložíme na součet disjunktních sčítanců:
iiUA2 = {Ax \ A2) U (Ai n A2) U (A2 \ Ax) Ai = (A1\A2)\J(A1r\A2) A2 = (A2\A1)U(A1nA2)
P3 Podle P6 dostáváme: P(A1UA2)+P(A1r\A2) = P(A1\A2)+P(A1 n A2) + P(A2 \ Ax) + P(Ai n A2) = P{A±) + P(A2).
Protože podle P12 je P(AX U A2) < 1 a podle P2 je P(AX n A2) > 0, dostáváme z P3 okamžitě P4 a P5.
P7 Opět vyjádříme A2 jako sjednocení neslučitelných jevů: A2 = (A2 \ A{) U (Ai n A2). Podle P3 pak dostaneme: P(A2) = P(A2 \ A±) + P(Aľ n A2), tedy P(A2\A1) = P(A2)-P(A1nA2).
P8 Jelikož A1CA2, platí A1ni2=Aia P8 plyne z P7.
P9 Plyne z P8, protože podle P2 je P(A2\Aľ) > 0, tudíž P(A2)-P(A1) > 0, tj. P(Ai) < P(A2).
1
P13 Položíme  |J Ai = A1 U (A2 \ Ax) U (A3 \ (Aľ U A2)) U ... Tím jsme
i=í
dostali sjednocení posloupnosti neslučitelných jevů a aplikujeme axióm P15 a
oo
vlastnost P7: P{ \J A{) = P(Ai) + P(A2 \ Ax) + P(A3 \ (Aľ U A2)) + ... <
i=l
oo
P(Al) + P(A2) + P(A3) + ... = E P(Ai).
i=l
oo
P16 Jev (J Ai vyjádříme jako sjednocení neslučitelných jevů. Z předpokladu
i=l
oo
A1CA2C... plyne |J Ať = A1U(A2\A1)U(A3\A2)U.. .U(Ať Wi)U..., tedy
i=l
oo
podle axiómu P15 a vlastnosti P8 dostáváme: P( \J Ai) = P(Ai)+P(A2 \ Ai) +
P(A3 \A2) + ... + P(Ai \ At.!) + ... = P{A^ +\p(A2) - P(^)] + [P(A3) + P(A2)] + ... + [P(Ai) + P(Aí_i)] + ... = lim P(Ai).
P17 Podle vlastnosti P16 dostáváme P( \J A{) = lim P(Ai). Z de Morgano-
______ i=i            í^°°
oo                            oo ___                             oo  ___                                        __
vých pravidel plyne P( f] Ai) = P([J Ai) = 1 - P({J A{) = l - lim P(AŽ) =
%=\                       i=\                                %=\                          í—5-00
1 - lim [1 - P(Ai)] = lim P(Ai
2