ANOVA

 F = (vážený rozptyl mezi průměry skupin)/(rozptyl mezi jedinci v téže skupině)









•      Pevné (fixed effect model) = model I

            normalita reziduí, y

•      Náhodné (random effect model) = model II

            normalita reziduí, y a faktory



                                           One-way ANOVA
                                        (jednoduché třídění)

H[0]:       μ[1] = μ[2] = … =μ[k

               ] α[1] = α[2] = ... = α[k] = 0 [  



]H[1]:       alespoň jeden průměr se liší od ostatních 



= omnibus test,

sleduje pouze

porušení globální

hypotézy

rovnosti průměrů.

                                           One-way ANOVA
                                        (jednoduché třídění)

Neprůkazný výsledek testu znamená:

    

     1) střední hodnoty se neliší (α[j] = 0)

     2) důsledek chyby II. Druhu





ANOVA pro k=2

     odpovídá oboustranné variantě t-testu

                                           One-way ANOVA



                                        Základní předpoklady

•      Nezávislost měření uvnitř i mezi skupinami.



[•      ] Měření mají normální rozdělení s průměrem μ[i.

]

•      Ve všech skupinách mají měření stejný rozptyl kolem průměru.



•      Aditivita efektů hladin jednotlivých faktorů (vlivy se sčítají, odchylky od součtu =
interakce)

                  

(pomocí testů, graficky)



                                     Efekty v analýze rozptylu

Aditivní účinek:



Pozorování = vliv faktoru A + celkový průměr + náhod. variabilita

                                                                (formální podobnost s lineární
regresí!!!)



Multiplikativní účinek:



Pozorování = celkový průměr x vliv faktoru A x náhod. variabilita



Log(pozorování) = log(celkový průměr) + log(vliv faktoru A) + log(náhod. variabilita)



                                    (Tukeyův test neaditivity)

                                    Analýza reziduálních hodnot

•      Výpočet reziduí            



•      Grafické znázornění reziduí a jejich absolutních hodnot proti hodnotám faktorů a hodnotám
závisle proměnné, zjišťování změn, trendů a konfigurací bodů.



•      Ověření normality reziduí: graficky či testem



                                    Analýza reziduálních hodnot

•      Transformace dat:



  –   Logaritmická (rozptyl se zvětšuje úměrně s průměrem).

  

  –   Arcsinová (pro relativní četnosti)

  

  –   Druhá odmocnina (pro četnosti)

  

  –   Box – Coxova transformace





•      Přítomnost odlehlých hodnot = nutno použít neparametrický postup (Kruskal – Wallisův test)

                                Bartlettův test homogenity rozptylů

Testuje shodu několika rozptylů, měl by předcházet analýzu rozptylu.

                                       Simultánní porovnávání

Plánované srovnání



t-test (modifikace hladiny významnosti podle Bonferroniho):     α’ = 0,05/k                  
k = počet porovnávání

     nepříliš vhodný = rostou šířky intervalu spolehlivosti a pravděpodobnost chyby II. druhu!! Aby
bylo možno spočítat korekci, už musíme předem vědět které dvojice chceme srovnávat. 



Post hoc testy



Fisherův LSD test



Scheffeho test



                                       Simultánní porovnávání

                                       Simultánní porovnávání

POZOR!!!!

  

   Simultánní porovnávání lze použít pouze pro model I (pevné efekty) !!!!!!!



    Pro model II (náhodné efekty) se někdy odhadují podíly vlivu na varianci (poměr variability
uvnitř tříd a mezi třídami)

                                       Kruskal-Wallisův test

= neparametrická varianta jednoduché analýzy rozptylu, kritérium je založeno na rozptylu
standardizovaných pořadí.

                                           Two-way ANOVA
                                          (dvojné třídění)

H[0]:



•      α1 = α2 = ... = αi = 0

•      β1 = β2 = ... = β i = 0

•      α1 β1 = α2 β2= ... = αi β i = 0



            model I (pevné efekty)

            model II (náhodné efekty)

            model III (smíšené efekty)



                                           Two-way ANOVA
                                          (dvojné třídění)

                                    Two-way ANOVA bez opakování

                                          Friedmanův test

= neparametrická varianta dvoufaktorové analýzy rozptylu, určuje se pořadí hodnot v každém bloku,
shodným hodnotám přiřazujeme průměrné pořadí skupiny.

                                     Two-way ANOVA s opakováním

•      Vyvážený model

    

     Stejný počet opakování pro každou kombinaci faktorů, nejjednodušší výpočet, největší síla testu
pro daný počet pozorování.



•      Nevyvážený model

                                           Two-way ANOVA

                                       Interakce mezi faktory

Hlavní efekt = přímý efekt faktoru na závisle proměnnou

Interakční efekt = spojený efekt kombinace dvou a více faktorů na závisle proměnnou



                                           Two-way ANOVA

•      Podmínky:

•           shoda rozptylů

•              shoda kovariancí v kovarianční matici různých úrovní faktorů

                                           Two-way ANOVA

•      Mnohonásobné porovnání

           

    

     Tukeyův test

    

     Dunnettův test

                                      Analysis of means (ANOM)

Hybrid analýzy rozptylu a regulačních diagramů, překročení konfidenčních pásů indikuje statisticky
významný vliv daného faktoru. Lze testovat:





Shodu průměrů



Shodu rozptylů



Shodu korelačních koeficientů



                                      Analysis of means (ANOM)

•       HANOM – pro heteroskedastická data



•       ANOMR – pro pořadové hodnoty



•       Compass plot

                                    Analýza kovariance (ANCOVA)

•      Na závisle proměnnou může mít vliv i rušivá proměnná (na intervalové škále), ANCOVA eliminuje
její vliv.



•      Kombinuje ANOVU s regresní analýzou