2.Elektromagnetická teorie světla

   

   2.1. Maxwellovy rovnice a materiálové vztahy

   2.2. Komplexní permitivita, komplexní index lomu

   2.3. Závislost Maxwellových rovnic

   2.4. Maxwellovy rovnice pro rovinnou vlnu

   2.5. Vztah mezi optickými konstantami a vlnovým vektorem k

   2.6. Vlnová rovnice

   2.7. Hustota energie, tok energie, intenzita světla

   2.8. Kramersovy – Kronigovy relace

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   2.Elektromagnetická teorie světla

   

   2.1. Maxwellovy rovnice a materiálové vztahy

   

   Završení vlnového modelu.

   Maxwellovy rovnice dávají obecný vztah mezi vektory E, D, H, B a materiálové vztahy souvislost
   mezi E a D, respektive H a B pro konkretní prostředí.

   E(r,t) intenzita elektrického pole

   D(r,t) elektrická indukce

   H(r,t) intenzita magnetického pole

   B(r,t) magnetická indukce

   

   Diracovy symetrizované Maxwellovy rovnice

   (uvádíme pro krásný symetrický tvar)

   

                                                                                                 
                                                                              (2.1.1)            

                                                                                          (2.1.2)

   

                                                                                          (2.1.3)

                                                                                                 
                                                                                          (2.1.4)

                                                                                                 

   Kde

   je elektrický náboj

   je magnetický náboj

    je hustota elektrického proudu

    je hustota magnetického proudu.

   

   Protože není potvrzena existence magnetického náboje ani magnetického proudu použijeme
   Maxwellovy rovnice ve tvaru

   

                                                                                          (2.1.5)

                                                                                          (2.1.6)

                                                                                          (2.1.7)

                                                                                          (2.1.8)

   

   K těmto rovnicím v konkrétním případě je nutno přidat okrajové a počáteční podmínky. Závažným
   problémem je odezva prostředí na působení elektrického a magnetického pole. To jsou tzv.
   materiálové vztahy mezi D a E, B a H, j[e] a E.

   

   Konkrétní tvar materiálových vztahů je závislý na skutečném chování prostředí. Budeme
   předpokládat dosti obecný lineární tvar, který je dobře splněn ve slabých polích:

   

                                                                                          (2.1.9)

                                                                                         (2.1.10)

                                                                                         (2.1.11)

   Tato volba odezvových funkcí znamená, že na odezvu má vliv nekonečné prostředí a celá historie
   i budoucnost prostředí. Ve skutečnosti odezva v bodě (r,t) je dána pouze minulostí, tj.
   t´(-∞,t) a oblastí prostoru omezeného podmínkou (r-r´)^2 ≤c^2 (t-t´)^2 tzv.
   časoprostorovým kuželem určeným konečnou rychlostí šíření signálu. Mimo dané intervaly
   předpokládáme nulovou odezvovou funkci. Volba integračních mezí je především ovlivněna
   formálními matematickými důvody.

   Tento typ odezvových funkcí je někdy nazýván nelokální a nesynchronní.

   Použijeme Fourierovu transformaci funkce více proměnných, respektive tzv. Laplaceovu
   transformaci (L.T.)(viz Apendix).

   

   L.T. odezvových funkcí:

   

                                                                                         (2.1.12)

                                                                                         (2.1.13)

                                                                                         (2.1.14)

   Protože můžeme předpokládat, že odezvové funkce f nezávisí na volbě prostorového a časového
   počátku platí:

   

                                                                                         (2.1.15)

   

   Pak lze dokázat (viz Apendix),( značíme L.T.příslušných funkcí F):

   

                                                                                         (2.1.16)

                                                                                         (2.1.17)

                                                                                         (2.1.18)

   

   Kde je permitivita, permeabilita, elektrická vodivost příslušného prostředí. Obecně jsou tyto
   funkce komplexní. Příslušné rovnice lze pokládat za materiálové vztahy v proměnných
   (k,ω).

   Výhodné je používat relativní permitivitu a relativní permeabilitu  :

                                                                                         (2.1.19)

   Kde  a je permitivita a permeabilita vakua:

                                                                                         (2.1.20)

   

   L.T. vede k:

   

                                                                                         (2.1.21)

   Podobně pro Maxwellovy rovnice po L.T.dostaneme:

   

                                                                             (M.r.1)     (2.1.22)

                                                                                      (M.r.2)    
                                                                                         (2.1.23)

                                                                             (M.r.3)     (2.1.24)

                                                                             (M.r.4)     (2.1.25)

   

   Závislost na vektoru reprezentuje prostorovou disperzi, závislost na frekvenci  reprezentuje
   časovou disperzi. Jevy spojené s prostorovou disperzí jsou poměrně vzácné a méně výrazné a
   proto dále závislost na zanedbáme. Naopak jevy spojené s časovou disperzí, tj. se závislostí
   na frekvencijsou velmi výrazné a důležité.

   

   

   2.2.Komplexní permitivita, komplexní index lomu

   

   (V literatuře o elektrických vlastnostech látek se zpravidla používá permitivita a elektrická
   vodivost , v optické literatuře spíše komplexní permitivita  nebo komplexní index lomu N.)

   

   Z M.r.3 (2.1.24) po dosazení za  z materiálových vztahů dostaneme:

                                                                                          (2.2.1)

   nebo

                                                                                          (2.2.2)

   Výraz v závorce označíme jako komplexní permitivitu

                                                                                          (2.2.3)

   spíše používáme relativní komplexní permitivitu

                                                                                          (2.2.4)

   Zavedeme komplexní index lomu N

                                                                                          (2.2.5)

   Kde n je index lomu a k index absorpce a platí (dále budeme používat zjednodušený zápis):

                                                                                          (2.2.6)

   nebo

                                                                                          (2.2.7)

   nebo

                                                                                          (2.2.8)

   

   

   

   

   

   

   2.3 Závislost Maxwellových rovnic

   

   Druhou Maxwellovu rovnici dostaneme úpravou M.r.3 (2.1.24) respektive (2.2.2),  kterou
   vektorově vynásobíme k:

                                                                                                 
                                                                                                   (2.3.1)

   Dosadíme ze M.r.4 (2.1.25) a po skalárním vynásobením vektorem k:

                                                                                          (2.3.2)

   nebo

                                                                                          (2.3.3)

   Odtud prakticky vždy platí

                                                                                          (2.3.4)

   Což je M.r.2, která v tomto tvaru platí vždy.

   Analogicky dostaneme upravenou první Maxwellovu rovnici z M.r.4 (2.1.25) jejím vektorovým
   vynásobením k:

                                                                                        (2.3.5)  

   Dosadíme z M.r.3 (2.1.24) a obdobnou úpravou, skalárním vynásobením vektorem k:

                                                                                          (2.3.6)

   nebo   

                                                                                          (2.3.7)

   Opět prakticky vždy platí ( je speciální případ plasmových kmitů zmíníme později)

                                                                                          (2.3.8)

   Což je upravená M.r.1 a navíc , což je důsledek volby odezvových vztahů.

   Dále budeme používat tento tvar Maxwellových rovnic:

                                                                   ( M.r.1)               (2.3.9)

                                                                     (M.r.2)             (2.3.10)

                                                                     (M.r.3)             (2.3.11)

                                                                     (M.r.4)             (2.3.12)

   Pozn.: obvykle oblast frekvencí 0-Hz patří do kapitoly elektřina a magnetismus, oblast
   frekvencí Hz do optiky, kde prakticky platí .

   

   2.4.Maxwellovy rovnice pro rovinnou vlnu

   

   Speciální, ale velmi užitečný je případ rovinných vln, např. ve tvaru:

                                                                                          (2.4.1)

   Kde jsou komplexní veličiny, k vezmeme ve tvaru (obecně lze předpokládat i , ale to by
   znamenalo nereálné tlumení vlny v čase), pak:

                                                                                          (2.4.2)

    určuje tlumení vlny v prostoru (je kolmý k rovině konstantní amplitudy a  k rovině konstantní
   fáze).

   Podobně platí:

                                                                                          (2.4.3)

   Pro L.T. respektive F.T. (viz Apendix) rovinné vlny (2.4.1) platí:

                                                                                          (2.4.4)

   a podobně pro . Pak materiálové vztahy mají tvar:

                                                                                          (2.4.5)

                                                                                          (2.4.6)

   a po vynásobení faktorem :

                                                                                          (2.4.7)

                                                                                          (2.4.8)

   

   Maxwellovy rovnice dostaneme v poměrně jednoduchém tvaru:

                                                                   (M.r.1)                (2.4.9)

                                                                    (M.r.2)              (2.4.10)

                                                                    (M.r.3)              (2.4.11)

                                                                    (M.r.4)              (2.4.12)

   

   Obdobný tvar Maxwellových rovnic platí pro vektory E a H.

   Přímým důsledkem jsou tzv. podmínky transverzality:

                                                                                         (2.4.13)

   Které v případě komplexního tvaru:

                                                                                         (2.4.14)

   lze rozepsat:

                                                                                         (2.4.15)

                                                                                         (2.4.16)

                                                                                         (2.4.17)

   Obr.2.1.1 Rovinná elektromagnetická vlna postupující ve směru y.

   Pozn.:podmínky transverzality potvrzují známou skutečnost, že elektromagnetická vlna je příčná
   a vektory E a H jsou na sebe kolmé. Určitou výjimkou je případ ,kdy vlnění pro intenzitu
   elektrického pole může být podélné. Jedná se o tzv. plazmové kmity, které budou popsány
   později).

   

   2.5. Vztah mezi optickými konstantami a vlnovým vektorem k

   

   Vyjdeme z (M.r.4) (2.4.12), kterou násobíme vektorově k:

                                                                                          (2.5.1)

   Nebo po úpravě:

                                                                                          (2.5.2)

   Dosazením z (M.r.1) (2.4.9)a (M.r.3) (2.4.11) po úpravě dostaneme:

                                                                                          (2.5.3)

   Svírají-li vektory úhel , pak

                                                                                          (2.5.4)

   Porovnáme reálné a imaginární části:

                                                                                          (2.5.5)

                                                                                          (2.5.6)

   Pro častý případ homogenních vln je  a platí:

                                                                                          (2.5.7)

                                                                                          (2.5.8)

   Pro neabsorbující prostředí (k=0) a libovolné :

                                                                                          (2.5.9)

   

   2.6. Vlnová rovnice

   

   Někdy je obvyklé vycházet z vlnové rovnice. Pro rovinnou vlnu je možné přepsat Maxwellovy
   rovnice ve tvaru:

                                                                     (M.r.1 )             (2.6.1)

                                                                     (M.r.2)              (2.6.2)

                                                                     (M.r.3)              (2.6.3)

                                                                     (M.r.4)              (2.6.4)

   (M.r.3) (2.6.3) derivujeme podle času:

                                                                                          (2.6.5)

   Dosadíme ze (M.r.4) (2.6.4)

                                                                                          (2.6.6)

   využitím (M.r.1) (2.6.1) a úpravou dostaneme vlnovou rovnici

                                                                                          (2.6.7)

   Nebo v obvyklém tvaru:

                                                                                          (2.6.8)

   Kde v je fázová rychlost pro kterou platí

                                                                                       (2.6.9)   

                                                                                                 

   

   2.7. Hustota energie, tok energie, intenzita světla

   

   Pro hustotu energie elmag. pole U v jednotkách  platí:

                                                                                          (2.7.1)

   a pro tok energie v jednotkách :

                                                                                          (2.7.2)

   Kde E, H, D, B jsou reálné veličiny. Tyto vztahy umožňují výpočet U a S v libovolném
   prostředí. Z praktických důvodů se dále omezíme na jejich využití pouze při detekci světla.

   

   Vzhledem k fyzikálním vlastnostem optických detektorů  můžeme měřit pouze střední časovou
   hodnotu  toku energie, méně častěji střední časovou hodnotu hustoty energie
   elektromagnetického pole. To je dáno pomalou odezvou detektorů, ta je i u velmi rychlých
   detektorů asi , zatím co světlo v optické oblasti má frekvenci , to je rozdíl nejméně 5 řádů.
   Tyto detektory reagují na tok energie nebo hustotu energie nikoliv na amplitudy elmag. pole.
   Intenzitou světla se většinou rozumí přímo střední hodnota toku energie nebo veličina jemu
   úměrná. Ve většině případů neměříme absolutní hodnotu toku energie, ale jen relativní hodnoty.

   

   Detektor je zpravidla umístěn v neabsorbujícím prostředí (k=0) a pak a . Pak (M.r.4) (2.4.12)
   pro absolutní velikosti vektorů má tvar

                                                                                          (2.7.3)

   Dostali jsme jednoduchý vztah mezi velikostmi amplitud.

   

   Bez újmy na obecnosti zvolíme směr šíření vlny ve směru y, elektrické pole ve směru z a
   magnetické pole ve směru x. Pak:

                                                                                          (2.7.4)

   a pro tok energie:

                                                                                          (2.7.5)

   Dále budeme používat místo časové střední hodnoty toku energie pouze pojem intenzita světla I:

                                                                                          (2.7.6)

   Případně

                                                                                          (2.7.7)

   Kde T je integrační doba detektoru, v limitním případě odezva detektoru  a s jednotkový vektor
   ve směru S. Po integraci dostaneme:

                                                                                          (2.7.8)

   V případě rovinné vlny v praxi využíváme rovnosti:

                                                                                          (2.7.9)

   Pozn: v případě představy částicového modelu světla použijeme vztahy:

                                                                                         (2.7.10)

                                                                                         (2.7.11)

   Kde V je objem,  počet fotonů, spektrální funkce, A plocha, p impuls pro který platí:

                               .                                                         (2.7.12)

   

   

   2.8. Kramersovy – Kronigovy relace

   

   V případě zanedbání prostorové disperse, nezávislosti volby časového počátku odezvy a
   především respektováním skutečnosti, že odezva souvisí pouze s přítomností a minulostí lze
   napsat odezvovou funkci pro elektrické pole ve tvaru:

                                                                                          (2.8.1)

   Po substituci  dostaneme

                                                                                          (2.8.2)

    Pro permitivitu platí

                                                                                          (2.8.3)

   Protože pro vysoké frekvence se permitivita blíží  je výhodnější uvažovat funkci  respektive
   funkci . Pak

                                                                                          (2.8.4)

   Odezvová funkce f musí být z fyzikálních důvodů vždy reálná a ohraničená, navíc se blíží nule
   pro dávnou minulost, tj. pro, člen  je ohraničený vždy, člen  je ohraničený pro , protože ,
   můžeme tedy uvažovat pouze horní část komplexní roviny. Tím jsou splněny předpoklady (viz
   Apendix) kladené na funkci  pro integrální závislost mezi její reálnou a imaginární části , a
   podobně pro nejčastěji užívané funkce:

                                                                                          (2.8.5)

                                                                                          (2.8.6)

   kdese bere ve smyslu Cauchyho hlavní hodnoty (viz Apendix). Vynikající vlastností těchto tzv.
   Kramersových – Kronigových (KK) relací je skutečnost, že znalost jedné optické funkce v celém
   intervalu frekvencí dovolí určit druhou pro každou hodnotu frekvence. Obdobně platí:

                                                                                          (2.8.7)

                                                                                          (2.8.9)

   Zvláště z praktického hlediska je užitečná možnost výpočtu optických konstant pro libovolnou
   frekvenci ze znalosti kolmé odrazivosti v celém intervalu frekvencí. Pro kolmou odrazivost
   (poměr odražené a dopadající  intenzity elektrického pole) lze napsat:

                                                                                         (2.8.10)

                                                                                         (2.8.11)

   a pro kolmou odraženou intenzitu:

                                                                                         (2.8.12)

   Předpokládáme, že funkce  je analytická a splňuje požadované vlastnosti, pak KK vztahy mají
   tvar:

                                                                                         (2.8.13)

                                                                                         (2.8.14)

   Z experimentálně zjištěné kolmé odražené intenzity určíme fázi  a ze vztahu

                                                                                         (2.8.15)

   vypočítáme optické konstanty pro libovolnou frekvenci.

   V praxi lze naměřit   kolmou odrazivost vždy pouze v konečném intervalu , ve zbývajících
   částech spektra je nutné zvolit vhodnou, fyzikálně zdůvodněnou extrapolaci a spokojit se
   s určitou chybou v určení optických konstant. Je dobré si uvědomit, že průběh spekter obou
   optických konstant je vzájemně svázán integrálními KK vztahy a tak např. je správné tvrzení,
   že disperze je úzce spojena s absorpcí (i když v jiné části spektra), že nárůst absorpce je
   v blízkosti maxima disperze nebo, že disperze klesá v blízkosti maxima absorpce.

   Chyba! Chybné propojení.

   

   Př.: Si, Ge, GaAs atd.