4. Optické vlastnosti prostředí

   

   4.1. Polarizovatelnost prostředí

   4.2. Lorentzův model

   4.3. Drudeho model

   

   

   

   

   

   4. Optické vlastnosti prostředí

   

   Předpokládáme izotropní, absorbující prostředí. Smyslem této kapitoly je spojit dosavadní
   představu spojitého prostředí s jeho mikroskopickou strukturou. Omezíme se na pevné látky.
   Přesný popis mikroskopického prostředí a jeho optického chování patří do kvantové fyziky,
   která je v tomto směru velmi úspěšná. Zde se pokusíme o popis pomocí klasické fyziky, který
   v mnoha ohledech je užitečný, někdy dokonce postačující a kupodivu v řadě případů se docela
   dobře blíží kvantovému popisu.

   

   4.1. Polarizovatelnost prostředí

   

   Jako vhodný model pevné látky zvolíme soubor molekul ve stálých rovnovážných polohách.
   Molekula může mít svůj vlastní dipólový moment

                                                                                          (4.1.1)

   Kde q celkový náboj a r je výchylka těžišť kladných a záporných nábojů. Dále pro jednoduchost
   budeme předpokládat molekuly s nulovým vlastním dipólovým momentem. Podobně má každá molekula
   indukovaný dipólový moment vlivem elektrického pole E

                                                                                          (4.1.2)

   kde  je polarizovatelnost molekuly a E v místě molekuly, tzv. lokální pole.

   Pozn.: Elektrické pole se skládá z vnějšího pole a pole od sousedních molekul E[m]. Výpočet
   tohoto pole E[m] není snadný a to zvláště v případě molekul s vlastním dipólovým momentem a
   složitou strukturou pevné látky. V našem případě, často oprávněně, toto pole zanedbáme. Navíc
   i kvantový model pracuje s představou delokalizovaných částic (např. elektronů) v celém objemu
   krystalu a pak pojem lokálního pole ztrácí význam.

   Polarizace prostředí je definována jako

                                                                                          (4.1.3)

   a pro látku složenou ze stejných molekul

                                                                                          (4.1.4)

   kde V je objem a n[0] koncentrace molekul. Po dosazení z ( 4.1.2) dostaneme

                                                                                          (4.1.5)

   kde  je susceptibilita.

   Pak pro elektrickou indukci dostaneme

                                                                                          (4.1.6)

   A po dosazení z (4.1.5) a pro

                                                                                          (4.1.7)

   

   Obr. 4.1.1  Schematická představa stavby molekul s různou symetrií.

   

   4.2. Lorentzův model

   

   V tomto případě si představujeme atom jako klasický oscilátor, kde elektron kmitá kolem
   relativně nepohyblivého jádra. Přitažlivá síla je úměrná výchylce a tlumení rychlosti
   elektronu.Tato síla je určena vnějším elektrickým a magnetickým polem. K této představě je
   dobré si uvědomit, že hmotnost jader je mnohem větší než hmotnost elektronu a tedy odezva na
   vnější periodické pole je mnohem pomalejší pro jádra () než pro elektrony ().

   Pohybová rovnice elektronu v obvyklém tvaru (A  ) je:

                                                                                          (4.2.1)

   kde

                                                                                          (4.2.2)

   Magnetická složka je mnohem menší než elektrická, pak

                                                                                          (4.2.3)

   Vnější síla je určena pouze elektrickou složkou dopadající vlny o frekvenci . Řešení pohybové
   rovnice předpokládáme ve tvaru:

                                                                                          (4.2.4)

   Po dosazení do (4.2.1) dostaneme

                                                                                          (4.2.5)

   a ze vztahu ( 4.1.2)

                                                                                          (4.2.6)

   nebo

                                                                                          (4.2.7)

   respektive

                                                                                          (4.2.8)

   a po jednoduché úpravě

                                                                                          (4.2.9)

   kde jsme označili tzv. sílu oscilátoru

                                                                                         (4.2.10)

   Pak je možné přejít jednoduše k funkcím n a k, respektive vypočítat odrazivost R.

   Obr. 4.2.1 Závislost permitivity na frekvenci pro zvolené parametry

   Obr. 4.2.2 Závislost optických konstant na frekvenci (parametry jako v obr.4.2.1).

   Obr. 4.2.3 Závislost odrazivosti na frekvenci (parametry jako v obr.4.2.1).

   Vztahy pro optické konstanty splňují dokonale KK vztahy a jsou dobrou ilustrací jejich
   vzájemné závislosti. Je zřejmé, že poloha maxima funkce určuje vlastní frekvenci , šířka této
   funkce určuje parametr  a f velikost.

   Prakticky se postupuje tak, že naměřené hodnoty porovnáme s modelem a určíme vlastní frekvenci
   oscilátoru , tlumení , případně f. V reálném případě se jedná obvykle o více druhů molekul a
   tedy o superpozici podobných křivek s různými parametry.

   Pozn.: v kvantově mechanickém popisu odpovídá vlastní frekvence energii přechodu  a tlumení
    době trvání excitovaných stavů .

   

   4.3. Drudeho model

   

   Je speciálním případem obecnějšího Lorenzova modelu případ, kdy látka obsahuje velké množství
   volných  respektive slabě vázaných elektronů. To odpovídá skutečnosti , pak pohybová rovnice
   má tvar

                                                                                          (4.3.1)

   a pro permitivitu dostaneme

                                                                                          (4.3.2)

   nebo

                                                                                          (4.3.2)

   kde místo f jsme použili označení , je tzv. plazmová frekvence (kolektivní kmity volných
   elektronů)

                                                                                          (4.3.3)

   Obr. 4.3.1 Závislost permitivity na frekvenci (Drudeho model) pro uvedené parametry.

   Obr. 4.3.2 Závislost optických konstant na frekvenci (Drudeho model) pro uvedené parametry.

   Obr. 4.3.3 Závislost odrazivosti na frekvenci (Drudeho model) pro uvedené parametry.

   

   

   Tento model je v dobré shodě s chováním optických vlastností kovů. Typický je monotónní pokles
   k nule pro vysoké frekvence a chování  od záporných hodnot k číslu 1. Zajímavá je závislost n
   a k, plazmová frekvence je poblíž n=k nebo . Odrazivost je vysoká pro nízké frekvence a prudce
   klesá v okolí  pro vysoké frekvence. Vztahy pro permitivitu rovněž splňují KK relace.

   

   

   http://web.ct.astro.it/weblab/opticalc/cosmall.gif

                  IR Optical Constants of solid CO and CO[2] (resolution=2 cm^-1 )

                     G.A. Baratta and M.E. Palumbo, JOSA A, 15, 3076-3085, 1998