II. Vlny 1. Harmonické vlny v 1dm 1.1. Základní vlastnosti harmonické vlny 1.2. Princip superpozice 1.3. Interference vln 1.4. Grupová rychlost 1.5. Vlnová rovnice 1.6. Energie a tok energie vlny 1.7. Matematická poznámka 1.8. Tlumená harmonická vlna 1.9. Podélné vlny 1.10. Vlny v disperzním prostředí 2. Harmonické vlny ve 3dm 2.1. Rovinná vlna 2.2. Kulová vlna 2.3. Vlnová rovnice 3. Obecná vlna 3.1. Příklady složitějších vln 3.2. Periodická funkce 3.3. Neperiodické funkce 3.4. Vlnové klubko v čase a prostoru II. Vlny Vlnami rozumíme šíření změny fyzikální veličiny v čase a prostoru. Na rozdíl od kmitů, které do jisté míry můžeme považovat za speciální případ vln, je vlna zpravidla nelokalizovaná. V této souvislosti je možné připomenout, že za základní fyzikální objekty můžeme považovat částice a vlny. Ty se liší zpravidla právě představou, že částice je silně lokalizovaná a naopak vlna zcela delokalizována. Ve skutečnosti mezi nimi existuje velmi těsný vztah a dokonce v kvantové fyzice představa jejich vzájemné ekvivalence. U vln je vždy podstatné co se vlní, může to být např. intenzita elektrického pole, hustota prostředí, poloha částice atd. Tvar vln může být velmi různý, ale zpravidla se snažíme vlnové jevy popsat harmonickou vlnou, případně sumou harmonických vln. V kapitole I. Kmity jsme v případě soustav o více stupních volnosti již zavedli pojem vlny, respektive stojaté vlny. Studovali jsme však především ohraničený systém. Kmity takového systému lze popsat jako superpozici stojatých vln. Tvar a vlastnosti takových vln jsou především určeny okrajovými podmínkami a disperzními vztahy. Základní vlastností stojatých vln je, že všechny elementy soustavy kmitají se stejnou fází a jejich energie je lokalizována uvnitř tohoto systému. V případě vln nebo přesněji v případě pohybujících se vln, používá se termín postupná vlna, volíme zpravidla neohraničený systém. Pro takové vlny je typické, že jednotlivé elementy soustavy mají různé fáze. Lze ukázat, že příslušné disperzní vztahy zůstávají stejné pro oba typy vln. Postupná vlna přenáší energii a impulz v prostoru, ve kterém se šíří. 1. Harmonické vlny v 1dm 1.1. Základní vlastnosti harmonické vlny Harmonickou vlnou rozumíme vlnu, kterou lze popsat pomocí funkcí typu sin a cos. Její základní matematický popis v 1dm má tvar (1.1.1) Tvar velmi připomíná funkci při popisu kmitů. Obr. 1.1.1. Harmonická vlna, prostorová a časová závislost. Příslušná fyzikální veličina (např. mechanická výchylka) je funkcí dvou proměnných x a t (viz. obr. 1.1.1.), je amplituda, je časová frekvence (úhlová frekvence) s časovou periodou T (1.1.2) a k je prostorová frekvence ( úhlový vlnočet) s prostorovou periodou (vlnová délka) (1.1.3) je posuv fáze, výraz se nazývá fáze vlny. Obr.1.1.2. Posuv harmonické vlny v prostoru a čase. Chceme-li určit rychlost posuvu takové vlny je nutné sledovat jeden bod vlnění (např. maximum) a pro ten platí (1.1.4) Pak (1.1.5) Rychlost tohoto bodu, označujeme ji jako fázovou rychlost v[f], je (1.1.6) Vlna se pohybuje touto rychlostí ve směru osy x, pro fázi (1.1.7) bude rychlost záporná a vlnění se šíří na opačnou stranu. V kapitole o kmitech jsme zjistili, že obecně vztah mezi a k (disperzní vztah) může být složitá funkce. Pokud platí vztah ( 1.1.6 ) jedná se o nedisperzní vlny, pokud je závislost složitější, mluvíme o disperzních vlnách. (Příkladem jsou systémy s více stupni volnosti studované v kapitole I. Kmity nebo prostředí, kdy index lomu závisí na vlnové délce, , protože n=c/v, je respektive v(k)). Podobně jako u kmitů, může být vlnění podélné (výchylka x je směru šíření vlny) nebo příčné (výchylka x je kolmo na směr šíření). Obr. 1.1.3. Zobrazení harmonické vlny v časoprostoru (osy horních obrázků jsou stejné, spodní obrázky jsou řezy v polovině stupnice). 1.2. Princip superpozice Podobně jako v případě kmitů předpokládáme platnost principu superpozice, který dovoluje sčítání jednotlivých vln. Platí (1.2.1) Jeho platnost je dána experimentální zkušeností a neplatí vždy samozřejmě. V prostoru a čase, kde se vyskytují dvě nebo více vln, dojde ke vzniku nové vlny, jako součtu jednotlivých částí. Velkou výhodou, jak uvidíme později, je možnost vyjádřit i velmi složité formy vln pomocí Fourierovy analýzy, jako součet harmonických vln o různých amplitudách a fázích. 1.3. Interference vln Princip superpozice dovoluje studovat sečítání – interferenci dvou a více vln ve velmi různých situacích. Tento jednoduchý postup má celou řadu vynikajících aplikací. Podrobně probereme tyto jevy v akustice a optice. Pro dvě vlny obecně platí (1.3.1) Pro jednoduchost se omezíme na diskusi dvou speciálních, ale důležitých případu. 1. Dvě vlny se stejnými amplitudami, frekvencemi, vlnovými délkami, lišící se pouze fázovým posuvem. (1.3.2) Pak platí (1.3.3) Označíme (1.3.4) Pak výsledek silně závisí na tomto rozdílů fází viz. obr.1.3.1. Pro je amplituda maximální – konstruktivní interference (1.3.5) je amplituda nulová – destruktivní interference. (1.3.6) Podobně budeme postupovat i ve složitějších případech. 2. Dvě stejné vlny lišící se pouze směrem postupu. Pak analogicky k (1.3.2) (1.3.7) A po úpravě (1.3.8) Dostáváme vlnu, která se nepohybuje, tedy tzv. stojatou vlnu (obr.1.3.2.), kterou jsme podrobně studovali v kapitole o kmitech v souvislosti se strunou. Obr. 1.3.1. Destruktivní a konstruktivní interference. Obr. 1.3.2. Stojaté vlnění v prostoru pro různé časové okamžiky. 1.4. Grupová rychlost Samotná harmonická vlna nenese žádnou informaci, protože se stále stejně opakuje. K přenosu informace je nutná její modulace (amplitudy, fáze, frekvence… ). Velmi složité formy vln můžeme dostat interferencí různých harmonických vln. Pro jednoduchost zvolme dvě vlny se stejnými amplitudami typu (1.3.1) (1.4.1) Po běžné úpravě (1.4.2) Kde (1.4.3) Můžeme tuto vlnu přepsat do tvaru (1.4.4) Kde pro modulovanou amplitudu platí (1.4.5) Zřejmě tato amplituda přenáší možnou informaci. Hledáme rychlost tohoto přenosu, pak analogicky k hledání fázové rychlosti (1.1) položíme (1.4.6) Pak po diferenciaci (1.4.7) Pak příslušná rychlost, nazveme ji grupová, v[g ] (1.4.8) Pro dvě vlny vystačíme s rozdílem frekvencí a vlnočtů, v obecném případě spojité disperzní závislosti platí (1.4.9) Připomeňme, že pro fázovou rychlost (1.1.6) platí (1.4.10) A tedy pro jednoduché disperzní vztahy platí (1.4.11) Obecně je souvislost mezi ω a k určena příslušným disperzním vztahem (viz I.Kmity). 1.5. Vlnová rovnice Vlnovou rovnici rozumíme diferenciální rovnici jejímž řešením je vlna. V případě struny jsme odvodili tvar vlnové rovnice (3.1.12), která dává řešení pro obecný pohyb struny, např. pro šíření jednoduchého pulzu na struně – viz obr.1.5.1. Obr. 1.5.1. Pohyb pulzu na struně (ve směru šipky). Předpokládáme, že tvar pulzu se nemění ani v čase ani v prostoru, pouze se mění jeho poloha s rychlostí v. Takové obecné řešení pro postupnou vlnu, respektive pulz, má v 1dm tvar (1.5.1) kde znaménko určuje směr pohybu pulzu. V případě platnosti (1.4.10), tj. v[f]=ω/k má řešení tvar (1.5.2) Pro harmonické vlny (1.1.1) má řešení tvar (1.5.3) V obecném případě (1.5.1) budeme tuto funkci derivovat podle času a souřadnice a označíme (1.5.4) Porovnáním dostaneme rovnici platnou pro postupné vlny (1.5.5) Někdy se používá název rovnice postupné vlny. Postup opakujeme pro druhou derivaci, pak (1.5.6) Podobně dostaneme (1.5.7) Tím spíše má tato rovnice stejný tvar pro (1.5.2) nebo (1.5.3). Podobně jako v případě struny tuto rovnici budeme nazývat vlnovou, případně bezdisperzní vlnovou rovnicí. 1.6. Energie a tok energie vlny S pohybem struny, respektive s pohybem pulzu na struně je spojen přenos energie. Pro hustotu kinetické energie E[k] platí (1.6.1) Potenciální energie souvisí s napětím struny T a se změnou délky elementu Δx. Tato změna délky, viz obr.I. 3.1.1. bude (1.6.2) Pak hustota potenciální energie E[p ] (1.6.3) a hustota celkové energie w(z,t) (1.6.4) Vzhledem k rovnosti (1.5.5) je zřejmé, že v libovolném bodě struny v daném čase jsou hodnoty hustoty kinetické a potenciální energie stejné. Podle I (3.1.10) působí v každém bodě na strunu síla (1.6.5) kde jsme využili (1.5.5), Veličina Z=T[0]/v se nazývá impedance. Pak výkon, přenášený strunou, se bude rovnat (1.6.6) Kde jsme využili vztah (1.5.5). Zcela analogické výsledky dostaneme pro podélné kmity. Jen jako dříve nahradíme veličinu T[0] výrazem Ka. Využitím (1.5.5) ve vztahu (1.6.4) můžeme pro výkon předávaný ve směru pohybu vlny dostat (1.6.7) Znaménko + znamená, že přenášený výkon pro vlnu šířící se zleva doprava je kladný a naopak pro vlnu v opačném směru (-) je záporný. V konkrétním případě postupné vlny, pulzu na obr.1.5.1, je průběh výkonu na obr.1.6.1. Obr.1.6.1. Postup pulzu a přenášeného výkonu (hodnoty jsou v relativních jednotkách). Pro případ harmonické vlny (1.6.8) Je výkon podle (1.6.6) (1.6.9) viz obr. 1.6.2. Obr.1.6.2. Postup harmonické vlny a přenášeného výkonu (hodnoty jsou v relativních jednotkách). Pro stojaté vlnění platí (1.6.10) A pro výkon (1.6.11) Celkový přenesený výkon se skládá ze dvou stejných, které směřují, stejně jako postupné vlny, proti sobě a tedy se navzájem ruší. 1.7. Matematická poznámka Někdy je výhodné použít poněkud jiný tvar zápisu harmonických funkcí. 1. Vyjádření pomocí komplexních čísel Vyjdeme ze známého tvaru komplexního čísla (1.7.1) Pak harmonickou funkci (1.1.1) je možné psát ve tvaru (1.7.2) Běžně počítáme s výrazem (1.7.3) Což má řadu praktických výhod. V závěru výpočtu přejdeme vždy k reálné části výsledku. 2.Fázory Pro názorné sečítání vln se používají někdy tzv. fázorové diagramy. Fázorem vlny ve tvaru (1.1.1) se rozumí vektor o velikosti amplitudy (pro x=konst (např. x=0) ) svírající s osou souřadné soustavy úhel . Vektor tedy rotuje s úhlovou rychlostí a jeho průmět do osy je okamžitá výchylka, viz. obr.1.6.1. Pak vlny typu (1.3.2) jsou zobrazeny vektory, které trvale svírají úhel . Výsledná vlna je vektorový součet obou složek. Analogicky můžeme postupovat při sečítání vln v prostoru, kdy zvolíme t=konst. Obr. 1.7.1. Fázor harmonické vlny a jejich sečítání. 1.8. Tlumená harmonická vlna V reálném prostředí vždy dochází ke ztrátě energie vlivem např. tření a výsledkem je vlna u které klesá amplituda. Analogicky k pohybové rovnici netlumené vlny I(3.1.12) můžeme napsat pohybovou rovnici, kde k vratné síle přidáme sílu, která způsobuje ztráty. Stejně jako u tlumeného oscilátoru předpokládáme, že je úměrná rychlosti a koeficient útlumu označíme Γ. Pak výsledná pohybová rovnice, kterou můžeme považovat za vlnovou, má tvar (1.8.1) Předpokládáme řešení ve tvaru (1.7.3), ale budeme předpokládat, že k ke komplexní číslo ve tvaru (1.8.2) Tedy po dosazení do (1.7.3) dostaneme (1.8.3) Volba znaménka ve výrazu pro k je dána požadavkem, aby amplituda se vzdáleností klesala (opak je nerealistický). Jedná se tedy o harmonickou vlnu s exponenciálně klesající amplitudou, viz obr. 1.8.1. Obr 1.8.1. Vlna (1.7.3) s hodnotami (ψ[0]=1, ω=2s^-1,k´=2m^-1, k´´=0.2m^-1) v čase t=0,2,4 a pro souřadnici x=0,2,4. Je vhodné obrázek srovnat s netlumenou harmonickou vlnou (1.1.1). Dosadíme-li (1.7.3) do (1.8.1) dostaneme (1.8.4) porovnáním reálných a imaginárních částí (1.8.5) odkud je možné získat vztahy mezi k´, k´´ a ω, Γ. Pro velmi slabý útlum (Γ<<ω) upravíme (1.8.4) (1.8.6) (1.8.7) porovnáním získáme (1.8.8) Tomu dobře odpovídá obr. 1.8.1. Jedná se prakticky o původní harmonickou vlnu s nezměněnou frekvencí, navíc slabě tlumenou. Pro velmi silný útlum (Γ>>ω), podobně jako pro tlumený oscilátor, se ztrácí vlnový charakter funkce ψ a výchylka rychle klesá k nulové hodnotě. 1.9. Podélné vlny Dosud jsme vycházeli z představy příčných vln a to především příčných vln na struně. Analogicky k podélným kmitům je možné studovat podélné vlny, kdy směr šíření vlny a amplitudy jsou rovnoběžné. Obr. 1.9.1. Část struny v klidu a v případě podélné deformace. Předpokládáme strunu ve formě tenkého drátu. Uvažujeme element struny o délce Δx , který se při deformaci posune o ψ a deformuje o Δψ (Δψ<<Δx), průřez S předpokládáme neměnný. Zrychlení elementu způsobí síla ΔF. Podle Hookova zákona, pro malé deformace, platí (1.9.1) kde E je Youngův modul pružnosti a Δψ/Δx relativní deformace elementu. Pak (1.9.2) pak podle 2. Newtonova zákona a pro hmotnost elementu Δm=SΔxρ[0 ] (1.9.3) Po úpravě dostaneme vlnovou rovnici (1.9.4) kde pro rychlost podélných vln v (1.9.5) Číselné odhady dávají dobrou shodu se skutečností. Např. pro ocel je ρ[0]=800kg m^-3, E=2.10^11N m^-2 odtud v je asi 5000m s^-1. Příčné vlny mají prakticky vždy hodnoty nižší. Podobně lze odvodit vlnovou rovnici a rychlost šíření vln pro akustické vlny – viz část III. 1.10. Vlny v disperzním prostředí Reálné prostředí, zejména pevné látky případně kapaliny, přinášejí při studiu šíření vln řadu komplikací. To je dáno složitým vztahem mezi deformací a napětím ve formě tenzoru. Dosud jsme předpokládali vesměs platnost Hookova zákona, tedy jednoduchý skalární lineární vztah. Rovněž jsme dostali jednoduchý lineární vztah mezi prostorovou frekvencí k a časovou frekvencí ω. To je tzv. nedisperzní chování vln. Důležitým důsledkem je, že všechny harmonické vlny se šíří stejnou rychlostí a tedy i složitější vlny, jako např. pulzy nemění svůj tvar. V případě struny je detailní výpočet poměrně složitý, spokojíme se s odhadem, že jedna z významných složek vratné síly souvisí s křivostí deformované struny a nutí ji zaujmout původní tvar. Křivost je úměrná a příslušná složka (1.10.1) pak pohybová, respektive vlnová rovnice bude mít tvar (1.10.2) kde α je příslušná materiálová konstanta. Předpokládáme řešení ve tvaru harmonické vlny (1.10.3) Po dosazení získáme disperzní vztah (1.10.4) Pro fázovou rychlost v[f ] (1.10.5) která závisí na prostorové frekvenci k, respektive vlnové délce, nelineárně. Jedním z důsledků je deformace vlnového pulzu při pohybu na struně. Ve slabě disperzním prostředí předpokládáme αk^2<<1, rovněž zvolíme směr šíření (tedy znaménko +), pak (1.10.6) V tomto případě pro fázovou rychlost dostaneme (1.10.7) a pro grupovou rychlost (1.10.8) Na rozdíl od bezdisperzního prostředí jsou obě rychlost různé a dojde k postupnému rozplývání pulzu. Obecně α, respektive c, může nabývat různé znaménko a tím se mění i vzájemná velikost obou rychlostí. V případě v[f]>v[g] se někdy hovoří o normální disperzi a v opačném případě v[f]