Kmity, vlny, optika 2007/2008 ­ zápočtové příklady, 1. část
1. Sestavte program, který najde a ve vhodné podobě vypíše do souboru časovou závislost
výchylky tlumených anharmonických kmitů. Závislost vratné síly na výchylce má tvar Fv(x) =
-kx(1+x2
), závislost tlumící síly na rychlosti má tvar Fo(x) = - ˙x. Silové konstanty k, ,
, hmotnost systému m a počáteční podmínky budou volitelné. Vyšetřete závislost chování
systému na volitelných parametrech, zejména pro harmonické netlumené kmity, harmonické
slabě tlumené kmity, harmonické kriticky tlumené kmity a kladné a záporné hodnoty anharmonického
parametru . Součástí řešení budou grafy časové zavislosti výchylky pro výše
uvedené případy.
2. Určete vlastní frekvence a kmitové módy příčných kmitů soustavy na obrázku. Všechny
kuličky mají hmotnost m a všechny pružiny příčnou tuhost k.
3. Struna délky L je napjata mezi pevnými body a vychýlena ze své rovnovážné polohy tak, jak
je znázorněno na obrázku. V čase t = 0 strunu uvolníme. Najděte funkci u(x, t) popisující
časový vývoj tvaru struny. Fázová rychlost vlnění ve struně je c.
x
h
u
L/4 3L/4 LL/2
4. Jednoduchý seismometr se skládá z hmoty pověšené na pružině, připevněné k pevné kostře
která je upevněna k zemi. Pohyb hmoty je kriticky tlumený. Zaznamenává se svislá výchylka
hmoty vůči kostře. Ukažte, že naměřená amplituda ustélených kmitů, které jsou vyvolány
svislou výchylkou H cos t zemského povrchu, je dána vztahem A/H = (/20)[R()]1/2
,
kde 0 je úhlová frekvence vlastních kmitů hmoty, R() = 2
2
/[(2
0 - 2
)2
+ 2
2
] je
odezvová funkce a  je útlumová konstanta. Nakreslete graf A/H jako funkce frekvence
otřesů .
Kmity, vlny, optika 2007/2008 ­ zápočtové příklady, 2. část
5. Na neabsorbující podložku o indexu lomu n je nanesena tenká neabsorbující vrstva o tloušťce
d a indexu lomu n1. Vypočítejte odrazivost systému při kolmém dopadu koherentního světla
v závislosti na vlnové délce. Uvažujte přitom násobné odrazy a předpokládejte, že index lomu
je na vlnové délce světla nezávislý. Navrhněte způsob stanovení veličin n, n1, d z naměřené
spektrální závislosti. Nakreslete graf spektrální závislosti odrazivosti systému pro parametry
n = 1.5, n1 = 1.3 a d = 150 nm ve viditelné oblasti spektra.
6. Mezi bodový monochromatický zdroj světla a pozorovací stínítko vložíme difrakční stínítko
rovnoběžně s pozorovacím. Na difrakčním stínítku jsou rozmístěny obdélníkové otvory s délkami
stran a1, a2. Otvory tvoří pravoúhlou mřížku, jejich středy mají polohu R = n1d1 + n2d2,
kde 0  n1 < N1, 0  n2 < N2 a n1, n2 jsou celá čísla. Čísla N1, N2 určují makroskopické
rozměry systému. Vektory d1, d2 jsou navzájem kolmé a jsou rovnoběžné se stranami otvorů.
Vypočítejte výslednou amplitudu a intenzitu na pozorovacím stínítku. Ukažte, že výsledek je
součinem dvou výrazů, z nichž jeden závisí pouze na uspořádání otvorů (geometrický faktor)
a druhý závisí pouze na tvaru otvoru (strukturní faktor). Nakreslete rovněž graf rozložení
intenzity na stínítku pro vhodně zvolené parametry.
7. Nakreslete optická schémata tří základních typů dalekohledů ­ Galileiho, Keplerova a Newtonova.
Pro Galileiho a Keplerův dalekohled řešte následující úlohu. Dalekohled je zaostřený
tak, že okem akomodovaným na nekonečno v něm vidíme ostrý obraz Měsíce. Ve vzdálenosti d
od okuláru umístíme stínítko. Jak musíme posunout okulár, který má ohniskovou vzdálenost
fok , aby se ostrý obraz Měsíce objevil na stínítku? Jak velký bude vzniklý obraz Měsíce,
je-li ohnisková délka objektivu fob? řešte nejprve obecně, pak pro hodnoty fok = 2 cm,
fob = 30 cm, d = 16 cm.
8. Malá rybka se nachází ve válcovém akváriu s poloměrem křivosti R = 40 cm orientovaném
na výšku na spojnici střed akvária-pozorovatel ve vzdálenosti x = 7,5 cm a plave rychlostí
v = 3,0 cm.s-1
kolmo na tuto spojnici a vodorovně. Najděte polohu obrazu rybky, jeho příčné
zvětšení a rychlost, s níž se obraz pohybuje. Index lomu vody je n = 1,33, skleněné akvárium
lze v prvním přiblížení zanedbat.
Obrázek 1: Dva žraloci ve válcovém akváriu. Ilustrační foto.