Příklady z Fyziky plazmatu
1 Úvod
1.1 Příklad (2b.)
Uvažujme, že na počátku máme rovnoměrné plazma, ve kterém je hustota elektronů i iontů
stejná a rovna n0 (plasma je elektricky neutrální). Nyní předpokládejme, že se elektrony
na ploše y, z nějakým vnějším vlivem ze svých rovnovovážných poloh posunuly o malou
hodnotu s ve směru osy x.
(a) Použitím Gaussova zákona ukažte, že elektrické pole, které vznikne mezi náboji je dáno
vztahem
Ex =
n0e
0
s .
(b) Ukažte, že pohybová rovnice pro každý elektron pod vlivem tohoto elektrického pole je
d2
s
dt2
+
n0e2
me0
s = 0 .
Dokažte, že toto je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
pe =
n0e2
me0
1/2
.
1.2 Příklad (1b.)
(a) Odhadněte teplotu plazmatu, v němž se v kouli o poloměru 1 mm liší hustota elektronů
od hustoty iontů o 1 %. Hustota nabitých částic je 1020
m-3
. (Vyjděte z předpokladu
rovnosti kinetické (tepelné) a potenciální energie, vyplívající z Coulombovských sil.)
(b) Dosadťe zadané hodnoty a vypočtenou teplotu do vzorce pro výpočet Debyeovy délky
D a ukažte, jaké musí být fyzikální rozměry plazmatu L.
1.3 Příklad (2b.)
Mějme raketu, která je mimo působení gravitačního pole Země.
Označme:
v. . . konstantní rychlost plynů vyfukovaných z rakety vzhledem k raketě
u(t). . . okamžitá rychlost rakety
M(t). . . okamžitá hmotnost celé rakety
-dM(t)/dt. . . konstantní časová změna hmotnosti rakety, daná hmotou plynů vyvržených
z rakety
(a) Dokažte, že pohybová rovnice rakety je
d
dt
[M(t)u(t)] =
dM
dt
[u(t) - v] .
a ukažte, že okamžité zrychlení rakety je
du
dt
= -
v
M(t)
dM
dt
.
1
(b) Zintegrujte pohybovou rovnici a ukažte, že
u(t) = u(t0) + v ln[M(t0)/M(t)] .
(c) Pokud raketa hoří po časový interval t = t - t0 a pokud M(t)  M(t0), ukažte, že
počáteční zrychlení rakety je
du
dt t0
=
v
M(t0)
M(t0) - M(t)
t

v
t
.
(d) Dosadťe do vztahů pro (du/dt)t0 a u(t) pro chemickou raketu v = 103
m/s a t = 10 s;
a také pro plazmový pohon s v = 104
m/s a t = 100 dní. Pro spočítání u(t) uvažujte
ut0 = 0 a M(t0) = 10M(t).
1.4 Příklad (1b.)
Z Maxwellových rovnic odvodťe rovnici pro zachování náboje

t
+   J = 0 .
Tento výsledek ukazuje to, že zachování elektrického náboje přímo vyplývá z Maxwellových
rovnic.
1.5 Příklad (2b.)
Z Maxwellových rovnic odvodťe následující zákon zachování energie v elektromagnetických
polích, který je známý jako Poyntingův teorém:

t V
1
2
E2
+
1
2
H2
d3
r +
S
(E × H)  dS = -
V
(J  E)d3
r ,
pro lineární izotropické médium, pro které platí D = E a H = B/. Fyzikálně interpretujte
každý člen této rovnice. Jaký je fyzikální rozměr těchto členů?
2 Pohyb částic v elektrických a magnetických polích
2.1 Příklad (3b.)
Analyzujte pohyb nabité částice (s nábojem q, hmotností m, rychlostí v) v homogenním
magnetickém poli a pohyb nabité částice v homogenním elektromagnetickém poli.
a) formální řešení
b) řešení v kartézských souřadnicích
2.2 Příklad (2b.)
Mějme magnetické zrcadlo viz obrázek jehož magnetické pole podél osy z je dáno vztahem
B(z) = B0 1 +
z
a0
2
,
kde B0 a a0 jsou kladné konstanty a zrcadlící roviny jsou na pozicích z = -zm a z = zm.
2
a) Pro nabitou částici zachycenou v zrcadle ukažte, že z složka rychlosti je dána vztahem
v (z) =
2|m|B0
m
1/2
zm
a0
2
-
z
a0
2 1/2
b) Průměrná síla působící na částici letící směrem ke středu podél osy z je
< F >= -|m|
B
z
^z
Ukažte, že částice se pohybuje harmonickým pohybem mezi zrcadlícími rovinami s periodou
danou tímto vztahem
T = 2a0
m
2|m|B0
1/2
3 Základy kinetické teorie plazmatu
3.1 Příklad (1b.)
Uvažujme systém částic rovnoměrně rozdělený v prostoru s konstantní hustotou částic n0
a charakterizován rozdělovací funkcí rychlostí f(v) definovanou takto:
f(v) = K0 pro |vi|  v0 (i = x, y, z) ,
f(v) = 0 jinak ,
kde K0 je nenulová kladná konstanta. Určete hodnotu K0 pomocí n0 a v0.
3.2 Příklad (1b.)
Uvažujme pohyb nabitých částic v jednom rozměru za přítomnosti elektrického potenciálu
V (x). Ukažte přímým dosazením, že rozdělovací funkce
f = fce(
1
2
mv2
+ qV ) ,
je řešením Boltzmannovy kinetické rovnice pro stacionární stav.
3
3.3 Příklad (2b.)
Předpokládejme, že na každou částici ve fázovém prostoru působí vnější síla F. Bez interakcí
bude částice typu  se souřadnicemi (r, v) v čase t za časový interval dt nalezena
v souřadnicích (r
, v
) podle
r
(t + dt) = r(t) + v dt ,
v
(t + dt) = v(t) + a dt ,
kde a = F/m je zrychlení částice a m je její hmotnost.
Mezi novým elementem fázového prostoru a tím původním je tento vztah
d3
r
d3
v
= |J|d3
rd3
v ,
kde J je Jakobiánem této transformace. Dokažte, že pro Jakobián této transformace platí
|J| = 1.
3.4 Příklad (1b.)
Odvodťe tvar časového vývoje rozdělovací funkce f pro Krookův srážkový člen
f
t coll
= (f
- f0)

,
kde f0 je rozdělovaci funkce lokální rovnováhy,  je relaxační doba srážek částic. Předpokládejte
Boltzmannovu kinetickou rovnici (BKR) bez působení vnějších sil a bez přítomnosti
prostorových gradientů, f0 a  jsou na čase nezávislé.
4 Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.1 Příklad (2b.)
Ukažte že počet částic, které dopadají z plazmatu na jednotku povrchu tělesa vnořeného
do plazmatu za jednotku času (tok částic), je pro kulově symetrické rozdělení rychlostí f
roven
 =
1
4
n <v> ,
kde <v> je střední velikost rychlosti částic.
4.2 Příklad (3b.)
Uvažujme systém částic charakterizován stejnou rozdělovací funkcí jako v příkladu 3.1.
(a) Ukažte, že absolutní teplota systému je dána vztahem
T =
mv2
0
3k
,
kde m je hmotnost každé částice a k je Boltzmannova konstanta.
(b) Spočtěte následující výraz pro tenzor tlaku
P =
1
3
mv2
0 1 ,
4
kde m = nm a 1 je jednotkový tenzor.
(c) Dokaže, že pro vektor toku tepla platí q = 0.
5 Rovnovážný stav
Pro výpočty různých integrálů je užitečné si zapamatovat následující relace:
(x) =

0
e-t
tx-1
dt pro x > 0 ,
(x + 1) = x! pro celočíselné x, (x) = (x - 1)(x - 1), (1/2) =

 .
5.1 Příklad (3b.)
Určete konstantní koeficienty C, a2 a v0 v Maxwellově rozdělovací funkci
f = C exp[-
1
2
ma2(v - v0)2
] . (1)
Tyto konstanty mohou být vyjádřeny pomocí pozorovatelných fyzikálních vlastností
systému, jako je hustota částic n, střední rychlost u a kinetická teplota T.
(a) Vyjděte z definice hustoty částic
n =
v
fd3
v ,
a ukažte, že
n = C
2
ma2
3/2
. (2)
(b) Vyjděte z definice střední rychlosti částic
u =<v>=
1
n v
fvd3
v ,
a ukažte, že
u = v0 . (3)
(Rychlost částice v se dá vyjádřit jako součet náhodné (tepelné) rychlosti V a střední
rychlosti u, tedy v = V + u)
(c) Vyjděte z termodynamické definice kinetické teploty T
3
2
nkT =
1
2
nm <V 2
>=
1
2
m
v
fV 2
d3
V ,
a ukažte, že
kT =
C
na2
2
ma2
3/2
. (4)
Vyjádřete z rovnic (2) a (4) konstanty C a a2. Ty dosadťe do vztahu (1) a dostaneme
Maxwellovo rozdělení náhodných rychlostí:
f(V) = n
m
2kT
3/2
exp -
mV2
2kT
. (5)
5
5.2 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete střední velikost rychlosti částic.
5.3 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete střední kvadratickou velikost rychlosti částic.
5.4 Příklad (1b.)
Pro Maxwellovo rozdělení rychlostí určete nejpravděpodobnější velikost rychlosti částic.
5.5 Příklad (1b.)
Rozdělovací funkce (tepelných) kinetických energií E pro plyn popsaný Maxwellovou rozdělovací
funkcí je dána vztahem:
G(E) =
2nE
1
2

1
2 (kT)
3
2
exp -
E
kT
.
Spočtěte nejpravděpodobnější energii a ukažte, že velikost rychlosti částic, které mají tuto
energii, je rovna (kT/m)1/2
.
5.6 Příklad (1b.)
Máme plazma s jedním typem iontů v termodynamické rovnováze s neutrálním plynem.
Určete jeho teplotu, pokud z experimentu známe hustotu iontů (rovna hustotě elektronů) a
neutrálů. Ionty s hustotou ni = 1020
m-3
jsou v rovnováze s neutrály ve stavu s ionizačním
potenciálem 2 eV, jejichž populace je 1015
m-3
.
6 Interakce částic v plazmatu
6.1 Příklad (1b.)
Nechť je známa velikost vzájemné rychlosti g a úhel rozptylu  v souřadné soustavě spojené
s těžištěm. Vyjádřete velikost změny rychlosti molekuly A |vA
i | při srážce s molekulou B.
Napište složky vA
i v těžištové soustavě souřadnic.
6.2 Příklad (3b.)
Uvažujte srážku mezi molekulami A a B, kdy molekula B byla původně v klidu. Úhel
odchýlení (v systému spojeném s těžištěm) je .
(a) V laboratorním systému souřadnic (spojen s pozorovatelem v klidu) ukažte, že úhel L
udávající úhel, o který je molekula A odchýlena při pozorování pozorovatelem v klidu, je
dán vztahem
tan L =
sin 
cos  + mA/mB
.
6
(b) Ukažte, že vztah mezi diferenciálním účinným průřezem v laboratorním systému souřadnic
L(L) a v souřadné soustavě spojené s těžištem () je
L(L) = ()
[1 + 2(mA/mB) cos  + (mA/mB)2
)]
3/2
1 + (mA/mB) cos 
.
Všimněte si, že když je mB = , dostaneme L =  a L(L) = ().
(c) Dokažte, že když mA = mB, dostaneme L = /2 a L(L) = 4 cos(/2)().
6.3 Příklad (2b.)
Nechť se částice o hmotnosti mA
srazí z částicí s mB
, která byla původně v klidu. Jestliže
známe úhel , který svírá původní rychlost částice A, vA
, se směrem daným spojnicí částic,
kdy jsou si nejblíže, vyjádřete poměr kinetických energií částic po srážce. Dále vyjádřete
poměrnou ztrátu energie částice A.
6.4 Příklad (2b.)
Pro difernciální rozptylový srážkový průřez s úhlovou závislostí, který je dán vztahem:
() =
1
2
0(3 cos2
 + 1) ,
kde 0 je konstanta, spočítejte celkový účinný průřez a účinný průřez pro přenos hybnosti.
6.5 Příklad (4b.)
Mějme dvě částice, jejichž interakci lze popsat pomocí následující potenciálové jámy:
U(r) = -U0 pro r  a ,
U(r) = 0 pro r > a .
(a) Spočítejte diferenciální rozptylový účinný průřez () a ukažte, že za předpokladu b < a,
je dán vztahem:
() =
p2
a2
[p cos(/2) - 1] [p - cos(/2)]
4 cos(/2)[1 - 2p cos(/2) + p2]2
,
kde
p = 1 +
2U0
g2
.
(b) Ukažte, že pro celkový rozptylový účinný průřez platí vztah:
t = 2
a
0
bdb = a2
.
7 Makroskopické transportní rovnice
7.1 Příklad (2b.)
Prozkoumejme vliv srážkového členu v makroskopickém pohybu kapalin. Uvažujte rovnoměrnou
směs rozdílných kapalin, kde nepůsobí žádné vnější síly. Díky tomu se pohybová rovnice
pro částice druhu  redukuje na
du
dt
= -

(u - u) .
7
Určete z této rovnice u(t) pro směs dvou kapalin. Všimněte si, že v rovnováze (du/dt = 0)
musí být velikost rychlostí všech částic stejné.
8 Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu
8.1 Příklad (1b.)
Ukažte, že celkovou hustotu energie všech částic v kapalině lze napsat jako součet hustoty
tepelné energie celé kapaliny a kinetické energie částic jako:

1
2
m <v2
>=
3p
2
+

1
2
mu2
,
kde
3p
2
=

1
2
m <c2
0 >=

1
2
m <c2
 > +

1
2
mw2
.
8.2 Příklad (2b.)
Vyjděte ze vztahu pro hustotu elektrického proudu v plně ionizovaném plazmatu, které
obsahuje elektrony a jeden typ iontů s nábojem e:
J =

nqu = e(niui - neue),
a ze vztahu pro driftovou rychlost celého plazmatického útvaru:
u =
1
m
(meue + miui).
Odvodťe vztahy pro driftové rychlosti iontů ui a elektronů ue. Tyto vztahy zjednodušte tak,
že předpokládejte makroskopickou neutralitu nábojů ne = ni = n. Nakonec ještě vztahy
zjednodušte předpokladem mi  me.
9 Vodivost plazmatu a difúze
9.1 Příklad (3b.)
Předpokládejte, že pro průměrné rychlosti elektronů a iontů v plně ionizovném plazmatu
za přítomnosti konstantního a neproměnného elektrického (E) a magnetického (B0) pole
platí následující pohybové rovnice:
me
ue
t
= -e(E + ue × B0) - me(ue - ui) ,
mi
ui
t
= e(E + ui × B0) - me(ui - ue) .
Určete vztah pro stejnosměrnou vodivost H,  a 0 v ustáleném stavu.
8
10 Základní jevy v plazmatu
10.1 Příklad (2b.)
Spočítejte záporný elektrostatický potenciál w, který se objeví na nekonečné rovinné stěně
vnořené do plazmatu v ustáleném stavu, který se skládá z elektronů s nábojem -e a z iontů
s nábojem Ze. Teplota elektronů je Te a iontů Ti.
9