Kapitola 10
Některé základní jevy v plazmatu
10.1     Elektronové plazmové oscilace
Pro studium charakteristických plazmových oscilací elektronů použijeme model studeného plazmatu, tj. nebudeme uvažovat tepelný pohyb částic a gradienty tlaku. Dále zanedbáme pohyb iontů a uvažujeme velmi malou perturbaci v koncetrace elektronů:
ne(r,í)=n0 + <(r,í),                                                (10.1)
kde no je konstantní hustota elektronů a \n'e\ ^ uq. Podobně uvažujeme, že vzniklé el. pole E(r,í) a průměrná rychlost elektronů ue(r, ť) jsou perturbace prvního řádu, takže můžeme použít linearizované rovnice - linearizovanou rovnici kontinuity a rovnici hybnosti
eV ' ;+n0V-ue(r,í) = 0.                                           (10.2
dt
duJr,t)          e
dt             m(
■E(r,í)                                                (10.3
V rovnice hybnosti jsme předpokládali, že změna momentu hybnosti elektronů v důsledku srážek je zanedbatelná. Za předpokladu jedenkrát ionizovaných iontů je hustota náboje
p(r, t) = —e [n0 + nfe(r, t)] + en0 = — enfe(r, í),                               (10.4
kde jsme předp. konstantní a homogenní hustotu iontů rovnou no- Proto
V • E(r, t) = ^-^- =-----<(r, t)                                        (10.5
Rovnice (10.2),(10.3) a (10.5) tvoří kompletní sadu, kterou je třeba vyřešit pro neznámé n'e(r,t ue(r,í) a E(r,í). Uděláme divergenci (10.3), abych ji mohli dosadit do (10.2
dt2          me
Kombinujeme (10.5) a (10.6), abychom vyloučili V • E
eV ' ;         uV-E(r,í) = 0                                           (10.6
dt2            pe eV '
kde
d'XM,     2  ,                                                    _7
2 \ 1/2 Wpe=( — 1                                                         (10.8
mee0
se nazývá elektronová plazmová frekvence. Rovnice (10.7) ukazuje, že n'e(r,t) se mění harmonicky v case s plazmovou frekvencí
rig(r,č) = n'e(r) exp(—iujpet)                                             (10.9
Všechny perturbace prvního řádu se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí ujpe. Abychom to dokázali, je vhodné začít s předpokladem, že se tyto veličiny mění harmonicky v čase jako exp(—icot Rovnice (10.2) a (10.3) jsou pak
ríe = --n0V-ue                                                   (10.10
což můžeme zkombinovat jako
oj
ic
ue =--------E,                                                     (10.11
ujme
< = --^-V-E.                                                  (10.12
Nahrazením tohoto výrazu pro n'e do (10.5) dostáváme
1-^    V-E = 0.                                               (10.13
ujz I
Netriviální řešení této rovnice vyžaduje uj = u)pe. Perturbace navíc nemění fázi v prostoru, takže se nešíří žádná vlna a oscilace jsou stacionární a podélné (rychlost ve stejném směru jako pole).
Elektronové plazmové oscilace mají také elektrostatický charakter. Uvažujme Maxwellovy rovnice rotace
V x E = iuB                                                     (10.14
V x B = ^o (J - iueoE)                                             (10.15
Hustota el. proudu je
J = -en0ue = ^^E                                                10.16
(jJTTLr,
kde jsme použili (10.11) pro ue. Proto
V x B = -iufi0606ľE                                               (10.17)
kde definujeme relativní permitivitu
/ >2 er = 1 - -^                                                       (10.18)
V případě el. plazmových oscilací uj = cjpe, takže er = 0 a (10.17) se redukuje na
V x B = 0                                                       (10.19)
Protože rotace gradientu je rovna nule, můžeme psát
B = Vip                                                         (10.20)
kde íp je magnet, skalární potenciál. Dosazením (10.20) do (??) a divergencí obou stran dostáváme Lablaceovou rovnici
v • (w>) = vV = °                                           (10-21)
Jediné řešení této rovnice, které není singulární a konečné v nekonečnu je ip = konst., takže B = 0.
Elektronové plazmové (Langmuirovy) oscilace jsou tedy stacionární, podélné a elektrostatické. Pokud by se uvažovala existence gradientů tlaku a sada rovnic doplnila adiabatickou rovnicí energie, staly by se tyto oscilace šířícími se vlnami (vlny prostorového náboje nebo také Langmuirovy vlny).
10.2    Problém Debyeovského stínění
Uvažujme vliv el. pole přidané nabité částice. Testovací částice nechť má kladný náboj +Q. Zvolíme sférické souřadnice. Zajímá nás el. potenciál <fr(r). Blízko částice bude ne(r) a nj(r) mírně odlišné,
zatímco ve velkých vzdálenostech elstat. potenciál mizí ne(oo stav a konzervativní pole
E(r) = -V0(r
a platí
ne{r) = no exp
ecpyv ~kŤ
nur) = no exp
eo r
kT
kde předpokládáme stejnou elektronovou i iontovou teplotu T. Celková hustota náboje p(r) včetně testovacího náboje Q
p(r) = -e [ne(r) - m(r)] + Q ö(r kde ô (r) je Diracova delta funkce. Použitím (10.23) a (10.24
= — eno < exp
e<f)(r)	— exp	e<f)(r)
kT		kT
p[Y
Substitucí (10.22) a (10.26) do následující Maxwell, rce
V-Eír
p[v_
dává
V
r  -
eno eo
exp
e(f)(r)	— exp	e(f)(r)
kT		kT
+ QS(r
------ô (r
eo
ni(oo) = no- Protože jde o ustálený
10.22
10.23
10.24
10.25
10.26
10.27
10.28
která umožní vyjádřit elstat. potenciál <fr(r).
Abychom mohli postupovat analyticky, předpokládáme, že rušivý náboj je slabý, takže potenciální energie je mnohem menší než střední tepelná energie
eó(r) < kT
10.29
Za těchto předpokladů
exp
±-
e® r
a tedy
kde Ad je Debyeova délka
V20[r
kT
2
~ 1±
e<p{r ~kŤ
10.30
AD
Sir
X
D
V noez J
1/2
Ur
= _Q
1   íkTA1/2 \meJ
10.31
Protože problém má sférickou symetrii, elstat. potenciál závisí jen na velikosti r. Vztah může přepsat (pro r^O) jako
10.32 10.31) se
r2ár
2 d r — 0(r ar
2
AD
0
r^0
10.33
Abychom to vyřešili, uvědomme si, že el. pole izolované částice je
Er
47ľ€o r:
10.34
takže elstat. Coulombovský potenciál
Mr) = -^                                                     (10.35
47ľ€o r
Ve velmi těsné blízkosti testovací částice má být potenciál přibližně stejný jako okolo textovací částice ve vakuu. Takže je vhodné hledat řešení v tomto tvaru.
r) = <j)Jr) F(r) = -9-^-                                         (10.36
47T€o     r
kde F(r) —► 1 pokud r —► 0. Dále se vyžaduje, aby 0^0 pro r —► oo. Substitucí předpokládaného tvaru potenciálu (10.36) do (10.33)
Tato jednoduchá diferenciální rovnice pro F(r) má řešení
F{r) = A exp í ^-^ | + 5 exp í -^-^ ) •                               (10.38
Podmínka, že <f)(r) vymizí pro velké hodnoty r vyžaduje A = 0. Podmínka, že F(r) se blíží jedniččce pro r jdoucí k nule vyžaduje B = 1. Řešení rovnice (10.33) je tedy
^ = ^^{-^)=^^{-^)-       (ia39)
Tento výsledek je všeobecně známý jako Debyovsky potenciál, protože toto řešení bylo poprvé ukázáno pány Debye a Huckel v jejich teorii o elektrolytech. Z tohoto řešení vyplývá, že <f>(r) je mnohem menší než Coulombovský potenciál, jestliže vzdálenost r překročí vzdálenost Ad, nazývanou Debyova délka.
Náboj Q je neutralizován rozložením náboje v okolí. Z (10.26) a (10.30) dostáváme hustotu náboje
ve tvaru
p(r) = -2^gM+Qá(r).                               ^
Dosazením <p(r) Debyovského potenciálu (10.39) dostáváme
Q            f   y/2
r
PÍrH-^exp^-— )+QS(r).                                  (10.41
Celkový náboj zísáme integrací přes celý prostor
qt=  / / / p(r) d3r =-----^y /    - exp    --^—    4vrr2 dr + Q / / / č(r) d3r           (10.42
Q_   ľ°°l        (_V2r 2*\lJ0    ŤeXI){     AD
První integrál je roven —Q zatímco druhý dává +Q. Celkový náboj je tedy qt = 0. Měli bychom si uvědomit, že Debyevský potenciál se stává zančně velký pro r —► 0 a podmínka
e<p(r) ^ kT již zřejmě není splněna. Abychom ověřili platnost této aproximace a tedy vztahu (10.39), poznamenejme, že za použití (10.39) pro Q = e máme
ecf)      e2exp(-V/2r/AD) _   AD exp (-y/2r/\D)
kT              47T60rkT              3NĽ             r
kde Nd je počet částic v Debyově sféře. Protože tento počet je v plazmatu velmi velký, je zřejmě, že poměr e<j)/kT C 1 s výjimkou r < X^/N^. Musíme se tedy omezit na vzdálenosti od testovací
částice větší než Xd/Nd
r
1   Q
47ľ€o r
exp (-r/Ad
10.2.1    Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice
V-V/e + —(V0)-V,Je = O
v-V/,------(V0) ■ Vv/ť = 0
^«(r
/a(r,t;)d3t;
p{r) = -e f(fe - f i) á3v + Qô(r
J v
7V-£/(/«-/<) d3« =-^í(:
V2(^-
e
exp
/«(r, v) = /o«(^)exp
/oed3t; - exp
kT
kT
kT
foi^V
m
foa(v)d3v       a = e,i
J v
Ol č

<u
-e-
10.2.2    Stěnová vrstva
Když je nějaký pevný povrch vnořen do plazmatu, získává automaticky záporný náboj, a tedy záporný potenciál vzhledem k plazmatu. Blízko tohoto povrchu je tzv. stěnová vrstva, v níž je rozdílná hustota elektronů a iontů. Uvnitř stěnové vrstvy roste potenciál monotónně ze záporné hodnoty u stěny až na hodnotu plazmového potenciálu. Tloušťka vrstvy, v niž není splněna kvazineutralita je řádově rovna Debyově délce.
Řešení problému silně závisí na geomterii. Ukážeme si aproximativní řešení pro nekonečnou plochu x = 0.
Fyzikální mechanismus jejího vzniku
Nabité částice, které dopadají z plazmatu na stěnu, jsou většinou ztraceny. Ionty rekombinují a vrací se do plazmatu jako neutrály. Elektrony buď rekombinují nebo vstupují do vodivostního pásu pevné látky, pokud jde o kov. Již dříve jsme odvodili, že tok částic na jednu stranu desky, je v případě izotropní rozdělovači funkce dán vztahem:
rQ. = ^f^,                                                      (10.45
kde {v)a je střední rychlost částic a. Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení jsme zjistili, že
vK = \l-\—                                           (10-46
a tok částic je tedy
ra = naX/-^.                                                   (10.47
27T777
Je zřejmé že, pokud je hustota elektronů a iontů stejná, tok elektronů na plochu značně převýší tok iontů protože clen ^/Te/me je mnohem vyšší než y/Ti/rrii. Pro nejméně hmotný iont, tj. iont vodíku, je me/mi = 1836. Proto stěna v kontaktu s plazmatem rychle akumuluje záporný náboj, protože na počátku na ni dopadne mnohem více elektronů. Záporný potenciál začne elektrony postupně odpuzovat až se tok elektronů a iontů vyrovná a stěna získá záporný potenciál, který se nazývá plovoucí
Záporný potenciál na stěně
Chceme odhadnout potenciál na stěně v ustáleném stavu, kdy se vytvořila stěnová vrstva. Tento potenciál pro x = 0 označíme
'0) = </>w.                                                                           (10.48
Referenční potenciál v nekonečnu:
oo) = 0.                                                        (10.49
Elektrony a ionty budou v termodynamické rovnováze, mají teplotu T, a působí na ně pole konzervativních sil nabité desky. V x —► oo je plazma neporušené a jeho hustota je no- Platí tedy
ne(r) = n0 exp ( -j^- ) ,                                             (10.50
n,(r) = n0 exp í ——— j .                                            (10.51
V těchto vztazích nebereme v úvahu driftovou rychlost částic, ačkoliv nabité částice jsou na stěně ztraceny, takže musí existovat jejich ustálený tok vyrovnávající hustotu. Později, když budeme apro-
ximativně studovat vnitřní strukturu stěnové vrstvy pomocí hydrodynamických rovnic, vezmeme tuto driftovou rychlost do úvahy.
Jedna z okrajových podmínek problému je skutečnost, že v ustáleném stavu se nesmí měnit potenciál stěny, takže
Je(0) = Ji(0).                                                      (10.52
Použijeme rovnice (10.47), (10.50) a (10.51
1         /e<f)w\           1         (   eYw \
exp    -—    = \ —exp    —-—    ,                                 (10.53
mP        V kT J      Vm,        V    kT
což přepíšeme jako
a dále
2ecj)w\          mi                                               (
eXP I --ÜF) = Íme                                      (10'54
kT\ ,    /i7ij\
--  '^)lnU)-                           (1()'55
Ačkoliv jsme udělali zanedbání driftove rychlosti, tento výsledek souhlasí s přesnějším odvozením pro případ Te = Ti.
Poznamenejme, že velikost potenciální energie blízko stěny \e<pw\ je stejného řádu jako střední tepelná
energie částic v plazmatu, neboť
\e(/)w\      1,    (m
ln   —    .                                                  10.56
kT       4     \meJ                                           v
Např. pro vodíkový iont je tento poměr roven dvěma, zatímco pro těžší ionty se blíží třem.
Vnitřní struktura stěnové vrstvy
Abychom něco zjistili o vnitřní struktuře stěnové vrstvy vezmeme do úvahy rovnici zachování částic a hybnosti pro elektrony a ionty za ustálených podmínek a s prostorovou závislostí pouze ve směru osy x. Rovnice kontinuity zapíšeme pro a = e, i
áÍTlryU
a^a
áu
Ur
a
+   Ur
án
a
0.
10.57
áx              áx          áx
V rovnici hybnosti zanedbáme viskózni jevy, takže aproximujeme tenzor tlaku skalárem. Použijeme ideální rovnici plynu pa = nakTa) abychom zavedli teplotu, o které předpokládáme, že je konstantní. Zanedbáme srážky, protože tkoušťka stěnové vrstvy je mnohem menší než střední volná dráha částic. Za těchto předpokladů, bez magnetického pole a uvážíme-li E(r) = — V0(r D/Dt = d/dt + uJphaV = uad/dx
áu
W^a^a
a
kTryán
a ^>ua
áx
I v/y        \XtAJ
Qi
áx
10.58
Pro zjednodušení ještě uděláme dvě aproximace. Ze vztahu (10.57) máme
ána        Ur, áur
Ua   VAOt/Q,
\XtAJ                       Uj' ry   \X * *Aj
Pak můžeme poměr levé strany rovnice (10.58) a prvního clenu její pravé strany vyjádřit jako
10.59
rriryU
áUr
a^a áx
TYla^a
I hry       yxJL
kTr
10.60
a
Dvě aproximace, které uděláme:
• pro elektrony zanedbáme levou stranu (10.58), tj. setrvačnost elektronů:
kT áne       dó
-e—- = 0                                                10.61
ne dx        dx
• pro ionty zanedbáme 1. clen na pravé straně (10.58), tj. jejich teplotu:
duj       dó mlul—1 + e-r- = 0                                              (10.62
dx       dx
Podle poměru (10.60) jsou tyto dvě aproximace splněny pouze pokud tepelná energie elektronů je mnohem větší než jejich kinetická energie a pokud tepelná energie iontů je mnohem menší než jejich kinetická energie, tj.
meul ^C kT ^C nriiU?.                                                (10.63
Tento předpoklad dokážeme později.
Pro elektrony integrujeme (10.61) a dostáváme
e<p(x) = kT'ln ne(x) + (konst).                                         (10.64
Za předpokladu, že ne = n^ a pro 0 = 0 máme
í e<P\xj \ ne{x) = n0 exp í ——- J .                                             (10.65
Tento výraz je identický k (10.50), což není překvapující, protože podmínka meu2e ^ kT odpovídá zanedbání setrvačnosti elektronu (me = 0) a následně jeho kinetické energie.
Pro ionty nejprve integrujeme (10.57) a dostáváme
rii(x)ui(x) = C\.                                                    (10.66
Pak integrujeme (10.62) a máme
l
ecj)(x) + -miU^(x) = C2,                                              (10.67
kde C\ a C^ jsou konstanty. Okrajové podmínky vyžadují, že pro že pro x —► 00 musí 0(oo) = 0
7^(00) = no a ^i(oo) = uoí. Takže
1       2 Ci = n0uoi]        C2 = -mzu0l                                          (10.68
a využitím těchto rovností v (10.66) a (10.67) dostáváme
ni(x)ui(x) = noUoi,                                                  (10.69
1                  1
e(j)(x) + -miU^(x) = -m^oř                                           (10.70
Tyto dvě rovnice můžeme zkombinovat, abychom eliminovali UiyX) a získali rii(x)\
m(x) = n0    1 - ^V        •                                    (10.71
Tento vztah se podstatně liší od vztahu (10.51) pro n^(x), protože se projeví vliv driftové rychlosti iontů. Odtud pak vyplývá, že rii(x) ve stěnové vrstvě, kde plattí <p(x) < 0, pomalu klesá ačkoliv vztah (10.51) předpovídal růst. Fyziálně to znamená, že záporný potenciál na stěně zvyšuje Ui(x), jak se ionty ke stěně přibližují, a protože tok iontů ni(x)ui(x) musí zůstat podle vztahu (10.69) konstantní, musí se rii(x) snižovat. Ttot chování je znázorněno na obrázku.
Abychom dostali rovnici pro potenciál <p(x) dosadíme (10.65) a (10.71) do Poissonovy rovnice
r2
e
V> = -(ne - m)                                                  (10.72
co
a dostáváme
ď
dx2
npe
exp
kT
1
2e
in
"2
™iUli.
10.73
Musíme nějak určit u^ daleko od stěny. Navíc je rovnice nelineární, takže abychom ji mohli analyticky vyřešit, je nutné udělat další aproximaci. Viděli jsme, že | ecj) | nabývá hodnot od nuly (v plazmatu) do hodnot řádu kT (na stěně). Dále jsme předpokládali, že je rriiU^ větší než kT. Proto se budeme zabývat jen oblastí blízko hranice plazma-stěnová vrstva a předpokládat dále, že | ecj) | je malé ve srovnání s kT i uiiU^. Proto můžeme nahradit členy na pravé straně (10.73) pro e e0/(m^oi ^ 1 vztahy
fcľ « 1 a
exp
kT
~ 1 +
kT
1
2e
™>iu0i.
~ 1 +
™>iu0i
10.74
10.75
a diferenciální rovnice se zjednodušuje na
d5
dx2
kde
X2 = X2D
1-
X2'
kT
miuli.
10.76
10.77
Řešení s okrajovou podmínkou 0(oo
= 0je
x) = A exp í —— j , kde
10.78
A je konstanta. Protože jsme předpokládali, že kT ^ tíhUm, je X reálné číslo přibližně rovné A^>.
Z řešení rovnice vyplývý, že absolutní hodnota <p(x) exponencielně klesá (protože je A záporné, <p(x vlastně roste), jak se pohybujeme stěnovou vrstvou směrem k plazmatu a asymptoticky se bliží k nule. Protože X ~ A^, dějí se tyto variace na vzdálenostech řádově Debyovy délky. Řešení je striktně řečeno platné jen pro hranici plazma-stěnová vrstva, ale pokud bychom jej extrapolovali až na stěnu s okrajovou podmínkou 0(0) = <pw, platí A = <pw.
Kdyby kT bylo větší než m^j^, bylo by X imaginární a el. potenciál by osciloval. Proto pro vytvoření stěnové vrstvy platí
kT < rriiuli,                                                          (10.79)
tzv. Bohmovo kritérium.
Určit potenciál na stěně za použití hydrodynamických rovnic není triviální záležitost. Všechny přibližné metody navržené pro případ Te = Ti dávají řešení (??) již dříve odvozené za velmi zjednodušených předpokladů. Navíc neexistuje konzistentní způsob jak určit driftovou rychlost iontů pro x = oo, ale můžeme ji aproximovat následovně. Tok iontů musí být konstantní, takže se rovná uqUqí toku na stěnu. Odtud
^ = ^expl-^i-                       (ia80
Podobně pro elektrony
^^Ä^Ikt1-                         (10'81
a použitím (10.53
u0e = u0l                                                         (10.82
Ještě bychom měli ověřit platnost předpokladu (10.63). Tok částic na(x)ua(x) je konstantní pro všechna x a je roven iíiqUq. Z (10.65) vidíme, že minimální hodnota ne(x) je no exp(e0w//cT), protože je záporné. Proto
ue = —u0e < u0e exp í --^ )                                         (10.83
a s použitím (10.81
nebo
kT
ue<\l-------                                                      (10.84
2irm,
kT
> 2tt                                                       (10.85
meu2e
v souhlasu s (10.63). Podobně pro ionty
Ui = —uqi > uqi                                                              (10.86
Tli
u^^^{~w)                       (10-87
—2 <27rexp |-^r J -0,1                                         (10.88
nriiuf                V  kT