Kapitola 11 Boltzmannuv a Fokker-Planckův srážkový člen Odvodíme Boltzmannuv srážkový člen pro binární srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizované plazma. Coulombovske interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen. 11.1 Boltzmannova rovnice 11.1.1 Odvození Boltzmannova srážkového integrálu Srážk. člen (ôfa/ôt)^^ představuje změnu rozděl, fee v důsledku srážek. Jde o bilanci částic AN, uvnitř objemového elementu d?rd?v kolem (r, v) za cas dt ANa= [ 5-j^\ ďrďvdt. í 11.1 srazk Je výhodné separovat ANa do dvou částí ANa = AN+-AN-, (11.2) kde A7V+ označuje přírůstek částic ležících v d3r, které mají po srážce rychlost ležící v objemu d3v a AN~ označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d3v. Vyjádříme AN~. Uvažujme částice ležící v d3r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d3v\ kolem ví. Uvažujme, že jde o částice ß a jejich tok dopadající na částice a je Tß = /^(r,vi,í)d3t;i|vi - v| = fß(r,v1,t)d3v1g. (11.3) Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu db je Tßbdbdedt = fß(r1vi1t)d3vigbdbdedt1 (H-4) kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b+db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas db je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic ß se všemi částicemi a ležící v d^rd^v kolem (r, v) za cas db je dán součinem /a(r, v, t)d3rd3vfß(r1 vi1t)d3vig b db de dt. (H-5) Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu a(r, v, í) //?(r, vi,í). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci =>• molekulárni chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací AiV" = }a{v^,t)d3)rd3)vdtYJ í í ífpir^u^vxgbdbde (11.6) Podobně vyjádříme A7V+. Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní rychlostí v d3v' kolem v' sráží s částicemi ß majícími původní rychlost z d3v[. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi fß(r, vi, t)d3v[g' b db de dt. (11.7 Potom AAľa+ = /a(r,v',í)d3rďVdí^ í í ífß(r, w'^d^g'bdbde. (11.8 n Jv[ Jb Je Vime, že g' = g = |vi — v| a z teorie Jakobiánu d3v'd3v[ = |J|ďWV (11.9 V následující podkapitole ukážeme, že | J\ = 1, takže d3vfd3v[ = d3vd3vi. (11.10 Vztah (11.11) můžeme tedy zapsat jako AÍV+ = fa{ry,t)d3rd3vdt^ í í ffßiry^d^gbdbde. (11.11 n J V\ Jb J t Nyní zkombinujeme výrazy pro A7V~ a A7V+ a výraz b db de nahradíme výrazem a(Q)dQ, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál 5fa\ /AJV+ - AN, a 5t /srazk V d3rd3vdt 11.12 = E / A/X - fafßi)d3viga(U)dU, o J V\ Jí} kde jsme použili označení fa = /.(ry,i) (11.13 fln = //j(r,V!',ť) (11.14 /„ = /„(r.v.ť) (11.15 /si = /a(r,vi,í) (11.16 11.17 Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako ^ + v • V/Q. + a • V„/Q = E / [(Mín - /a/si)dW(íí)díí, (H-18 takže jde o integro-diferenciální rovnici 11.1.2 Jakobián transformace Transformace použitá v předchozí podkapitole je d3v'd3v[ = \J\d3vdvh (11.19 kde J= dCv'Xi) = d(v'x,v'rv'z,v'lx,v[rv[z/ o ö(v,vi) d(vx,Vy,vz,vix,viy,vizy což můžeme vyjádřit jako dví, J dv- f dVy dVy dvx \ dv\z dv\z Hz . dvíz / 11.21 Pomocí vztahů zavedených v kapitole o interakcích částic můžeme d3vd3v\ vyjádřit pomocí tepelné V[) a vzájemné g rychlosti před srážkou d3vd3vi = \Jc\d3V0d3g, kde Jc je Jakobián transformace. Uvažujme nejprve pouze x-komponentu v (11.22 a a \di^2V±±±_\AAr A avxavix = 1^777-------\dVoxdg, d(V0x,g X x- Vypočítáme determinant naznačené matice 2x2 dvx dvíx = (------1-----) dV0x dgx = dV0x dg, m\ m Součin všech tří komponent odpovídajících x j y a z složkám dává d3v d3vi = d3V0 d3g. x- Podobně 73,./ j3„V 3ta/ j3 / ď v' ďv[ = ďVi ď g 11.22 11.23 11.24 11.25 11.26 Viděli jsme, že Vq = Vq . Vektory g a g' se liší pouze směrem, ale mají stejnou velikost, takže d3g = d3g'. V důsledku tedy d3vd3vi = d3v'd3v[ (11.27 11.1.3 Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek Rychlost změny fyzikální veličiny x(v) na jednotkový objem v důsledku srážek vyjádříme jako 'ö(na(x). ^ J srazk J v Za použití Boltzmannova srážk. integrálu dostáváme 'ö(na(x) X UJa\ 73 oi y srazk ^ V. 11.28 'a st E // [(f'J'ßi- faMxgaWMitŕv^v. n Jí} J Vy J V 11.29 srazk a jejich rozděl, fee není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní • za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fee je homogenní a izotropní 11.2.1 Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu Označíme (v, 0, 6) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v, t) na ) • [fmn(r,v,t)cos(m()>) + gmn(r,v,t)sm(m(l>)], (11.32) m=0 n=0 kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje. • První člen v (11.32) odpovídá m = 0an = 0, a protože Pq(cos6) = 1, je roven /oo(r, v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fee odpovídající rovnovážnému stavu. • Člen s m = 1 a n = O se rovná nule, protože PqH000 #) — 0 • Další vyšší clen je pro m = 0 a n = 1, přičemž Pj^cos 6) = cos 0, takže je to /oi(r, v, ť) cos 6 Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové cleny rozvoje v • vz /(r,v,í) = /oo(r,M) +-------/oi(r,i;,í), (11.33 kde jsme cos# nahradili výrazem (v • vz)/v 11.2.2 Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu Boltzmannův srážkový clen je dán vztahem (11.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako ^W = / / / (féfni - Mgbdbdecrv!, (11.34 kde jsme a(Q)dQ nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a fn je izotropní rovnovážná rozděl, fee neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy ví = v; = 0 (11.35 /ni = f ni (11-36 a rovnici (11.34) přepíšeme jako >2tt roo Sfe c i jsrazk vl PZ7T /»OO fniďvx / de / (fe-fe)gbdb. (11.37 Jo Jo Protože hustota neutrálních částic je nn= / fnid?vl (11.38 vl dále upravíme f»27T 'e n /sraz */e Rozdělovači fee pro elektrony před srážkou je r2ir /»oo k = nn / de / (fe-fe)gbdb. (11.39 JO JO /e = /e(r,v,í) = /oo(r,t;,í) + ^^/oi(r,t;)í) (11.40 V a po srazce v' • v. f'e = /e(r, v7,*) = /oo(r,i/,í) + -^/oi(r,i/,í) = (11.41 v' • vz = /oo(r, v, í) +--------/oi(r, v, t). v V posledním vztahu jsme předpokládali, že v' = v, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutraly jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme v' — v) • v. f'e-fe = --------J-^f0i(r,v,t). (11.42 V Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu takže V - v) • vz = (g' - g) • vz = #(cosx - 1) = ^(cosx - 1), (11-43 kde x Je rozptylový úhel (úhel mezi gag'). Dosazením (11.43) do (11.42) dostáváme f'e-fe = "(1 - cosx)/oi(r, v, t), (11.44 takže srážkový člen můžeme zapsat jako Sfc r, Jsrazk r2ir /»oo nngfoi(r,v,t) de (l-cosx)bdb. (11.45 Jo Jo '0 JO Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako >2vr Cm / Jq rin /»oo 1-cos x)cr{tydtt= / de (l-cosx)bdb (11.46 Jo Jo můžeme (11.45) psát takto ("ČTU// = -nng (?m foi(r, v, t). (11.47 Pokud substituujeme /oi(r,v,í) v (11.47) pomocí (11.41) a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v • vz)/v = (g • vz)/g = 1, pak (-tt)co// = -nnvam(fe - /eo) = -vr(y)(fe - /e0), (11.48) kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti vr(v) = nnvam a /oo byla nahrazena symbolem /eo, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (11.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti. 11.2.3 Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek Podle definice srážkového členu Ae v transportní pohybové rovnici máme v Dosadíme (11.48) a dostáváme Ae = [----j----Uli = me v{—)cou ďv. (11.49 Ae = — me / vr(v)vfed3v + me / vr(v)vfeo(rv. (11.50 J v J v Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj. 1 UeO = — / vfeodáV = 0, (11.51 n ,je Jv máme Ae = -nemeisrue = -pmevruei (11.52 kde ue je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici. 11.3 Fokker-Planckova rovnice Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým deflekčním úhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým úhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a ß. 11.3.1 Odvození Fokker-Planckova srážkového členu ij J Dosazením f 11.56) do f 11.53) dostáváme dt In L ./„ t-r* dvi v )2 1 F)* +- Yl d^AvAv^9 a^dn d'vi d3yi ij % J Veličina %(v) je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je X(v)(^W d3v = í í f(fjßl - fafßl)Xgv(n) du divl d3v = (11.53 I í f Ußi()i-X)9^)düdivl£'v Jí} J V\ JV , kde x' — x(v0 Je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát v' = v + Av, (11.54 kde A v je malá veličina. Protože x' = x(v') = X(v + Av), (11.55 můžeme rozvinout y7 do Taylorovy řady X(v + Av) = X(v) + J2 |£a«í + \ E lĚLAv'A^ + ■ ■ ■ i11'56 ^U<ř»= / / I fafßiCElrAv*+ (1L57 kde jsme zanedbali vyšší členy rozvoje. Nyní se musíme snažit vyloučit libovolnou fci x- Integrujeme jedenkrát per partes první skupinu integrálů obsahující dx/dvi a dvakrát per partes druhou skupinu obsahující d2x/(dvidvj). Pro x-komponentu první skupiny integrálů obsahujících dx/dvi máme dX^Avxfa(v)fßl(v1)ga(n)dnd3v1d3v= (11.58 'Q J vi J v &vx [ dvydvz—----dvx(v'x - vx).fa(v)ga(n) dft]//?(vi) d3vh J Q JVA J V ÜVX •vi Ve členu v hranaté závorce můžeme substituovat Jx a dV = -^-^dvx (11.59 ov U=(v,x-vx)fa(v)ga(n)dn (11.60 a integrovat přes vx per partes, takže dostáváme <9x(v dvn dvx(v'x - vx)fa(v)ga(n) dQ = (11.61 d x(v)^-[(4 - vx)fa(v)ga(n) du] dvXl ■'x kde integrovaný člen je roven nule, protože / musí jít k nule pro ±oo. Takže integrál (11.58) je ■A^/a(v)/^(vi)^(fi)ffidV^ = (11-62 'Q J vi J v &vx XW^WatvWíí) ^]//3(vi) diVl d3V. Podobným způsobem integrujeme per partes ostatní integrály v (11.57) a dostaneme srážkový člen v tomto tvaru d?v ==- í f [xY. 4-[^Jaga(ü) dü]fßl d\ d3v + (11.63 X V oi ysrazk 'v Ot J\l JV\ i jJ^Ľ ö^rVlAV3fa9a{Ü) dÜ]fm d3Vld3v 'VI JV ^ ij ^v^uj Jx[J2 ^ľ(/« / / Am<7(ÍJ) dQfm d\}d3v + vi j2 + J^l E d^{ía J J AviAvjf"9°(Q) dQfßi d3vi)]d3v. '%wj JU J vi v\ a Definujeme veličiny &Vi)av = í í Aviga(Q)dQfßld3v1 (11.64 Jí} J V\ AvzAvj}av = í í AvzAvjg(j(n) düfßl d3vh (11.65 JOJm vi což jsou vlastně modifikované střední hodnoty přes úhel rozptylu a rozděl, fee narážejících částic. Pomocí těchto veličin dostáváme x(psra!ká:!s = -/xE^(/«(A"')-)+ í11-66 ij J Protože tato rovnice platí pro libovolnou fci %, pro x = 1 platí (^f w = - E ^-(/«(^u + \ E Är(/"(A^A^)-)- f11-67) i ij J Toto je srážkový člen Fokker-Planckovy rovnice. Střední hodnoty {Avi)av a {AviAvj)av jsou tzv. Fokker-Planckovy koeficienty dynamického tření a difúze v rychlostním prostoru. Vyjadřují střední rychlost změny Aví a AvíAvj v důsledku mnoha po sobě následujících Coulombovských srážek.