Kapitola 3 Základy kinetické teorie plazmatu 3.1 Úvod Plazma je systém obsahující velké množství interagujících částic, takže je vhodné využít pro jeho analýzu statistický přístup. 3.2 Fázový prostor V každém časovém okamžiku je částice plazmatu lokalizována pomocí polohového vektoru r r = xx + yý + zz, (3.1) kde x, ý a ž označuje jednotkové vektory ve směru os x, y a z. Rychlost těžiště částice je dána vektorem v = t;xx + vyý + vzz, (3.2) kde v^ = dx/dt, vy = dy/dt avz = dz/dt. Analogicky ke konfigurační prostoru definovaném souřadnicemi poloh (x,y,z) zavedeme rychlostní prostor (vx,Vy,vz). 3.2.1 Jednočásticový fázový prostor Klasická mechanika - dynamický stav každé částice určen polohovým vektorem a vektorem rychlosti =>• zvádíme fázový prostor (x,y,z,Vx,vy,vz) (/i-prostor). Dynamický stav každé částice reprezentován jedním bodem. Když se částice pohybuje, její reprezentativní bod opisuje trajektorii ve fázovém prostoru. Systém TV částic je v každém okamžiku popsán TV body fázového /i-prostoru. 3.2.2 Vícečásticový fázový prostor T-prostor: systém TV částic bez vnitřních stupňů volnosti reprezentován jedním bodem v 67V-dim prostoru, 37V souřadnice poloh (ri, r2,..., r^) a 37V souřadnice rychlostí (ví, v2,..., vn). Jeden bod v T-prostoru koresponduje s mikroskopickým stavem celého systému částic. 3.3 Objemové elementy Malý objemový element v konfiguračním prostoru je dán jako (ŕr = dx dy dz. Zde konečně velký objemový element obsahující dostatečné množství částic. Na druhou stranu dostatečně malý ve srovnání s charakteristickými rozměry prostorových změn fyzikálních veličin. Pokud v plynu obsahujícím 1018 molekul/m3 vezmeme v úvahu např. d3r = 10~12 m3 (bod), nachází se v objemu d3r stále ještě 106 molekul. Ve fázovém prostoru (/i-prostoru) je diferenciální objemový element zobrazen jako šestidimenzionální kostka: d3r d3v = dx dy dz dv^ dvy dvzi (3.3) Počet bodů uvnitř objemového elementu d3r d3v je obecně funkcí času a polohy objemového elementu ve fázovém prostoru. Souřadnice r a v fázového prostoru jsou navzájem nezávislé, protože představují polohu individuálních objemových elementů ve fázovém prostoru. 3.4 Rozdělovači funkce d6Na(r,v,t) počet částic typu a uvnitř objemového elementu d3rd3v kolem souřadnic fázového prostoru (r,v) v čase t. Rozdělovači funkce ve fázovém prostoru je hustota bodů reprezentujících částice a d6Na(r,v,t, /a(r'V't)= cPrcPv {3A /a(r, v,č) je kontinuální, kladná a konečná funkce svých argumentů. Klesá k nule, když se rychlost blíží k nejonečnu. Rozdělovači funkce je obecně funkcí polohového vektoru r => nehomogenní plazma. V rychlostním prostoru může být rozdělovači funkce anizotropní, pokud závisí na orientaci vektoru rychlosti v, nebo izotropní pokud nezávisí na orientaci v, ale pouze na jeho velikosti, tj. na rychlosti částice v =\ v |. Plazma v termodynamické rovnováze je popsáno homogenní, izotropní a časově nezávislou rozdělovači funkcí. Jeden ze základních problémů kinetické teorie je určení rozdělovači funkce daného systému. 3.5 Hustota a průměrná rychlost Hustota na(r,t na(r,t) = — dár ďWa(r,v,í 3.5 nebo za použití definice (3.4 na{v,t) = I /a(r,v,í 3.6 Průměrná (driftová) rychlost ua(r, ť) je definovaná jako makroskopická rychlost toku částic a v okolí bodu s polohým vektorem r v čase t 1 UrJrA ay1-1 no,(r,í)(i3r Jv Použijeme-li definici rozdělovači funkce (3.4) dostáváme 1 vďN^r.v.t 3.7 uJr.t) = —t----- / vfa(r,v,t)d3v. V ; na{r,t)Jv JaK J 3.8 Tento vztah reprezentuje obvyklý statistický postup pro vyjadřování průměrných hodnot veličin. na(r,t) a ua(r,í) jsou makroskopické proměnné, které závisí pouze na souřadnicích (r a t. 3.6 Boltzmannova kinetická rovnice Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných (r, v) a t se řídí tzv. Boltzmannovou kinetickou rovnicí (BKR). Zde odvodíme bezsrážkovou BKR i obecnou podobu BKR zahrnující vliv interakcí mezi částicemi, aniž bychom explicitně odvodili konkrétní výraz pro srážkový člen. 3.6.1 Bezsrážková BKR Připomeneme si, že ďNa{r, v, t) = /a(r, v, t)d3r d3v (3.9) Předpokládejme, že na každou částici působí vnější síla F. Bez interakcí bude částice za čas dt v bodě: r'(t + dt) = r{t) + vdt (3.10) vf(t + dt) = v(í)+adí, (3.11) kde a = F/ma je zrychlení částice a ma její hmotnost. =>• částice a nacházející se v čase t v okolí (r, v) uvnitř d3r d3v budou za čas dt zaujímat objem d3r' d3v' v okolí bodu (r;, v'). Jde o stále stejné částice a neuvažujeme žádné srážky: /a(r;, v', t + dt)d3rf ďV = /a(r, v, t)d3r d3v. (3.12) Objemový element d3r d3v může mít zdeformovaný tvar v důsledku pohybu částic: ďVďV =| J\ d3rd3v, (3.13) kde J označuje Jakobián transformace z (r, v) na (V, v'). Platí | J |= 1, takže <řr' d?v' = d?r (řv a z rovnice f3.12) dostáváme 3„ j3. [/a(r', v', t + dt)- /a(r, v, í)]ďV ořt; = 0. 3.14 3.15 První člen na levé straně rovnice (3.15) rozvineme do Taylorovy řady okolo /a(r, v, t 9 fa dfa d fa fa(r + vcří, v + acří, t + dt) = /a(r, v, í) + [—^ + K-7^- + %~ä^~ + OJoi\ . ( O Ja . O Ja . CJJa -,, Vz^^) + [a*------\- ay—-----h az——)\dt, dz dv X dv, dv7 přičemž zanedbáváme členy řádu (dt)2 a vyšší. Použijeme-li operátor nabla V = x d d d dx dy dz a podobně definujeme nabla operator v rychlostním prostoru V, _d_ _d_ dvv dv y _d_ dv' dostáváme z (3.16, fa(r + vdt, v + adt, t + dt) = /a(r, v, t) + 'dfg(r,v,t dt 3.16 3.17 3.18 + v • V/a(r, v, t) + a • Vyfair, v, t dt. 3.19 Po dosazení do vztahu (3.15) máme d/a(r,v,í dt + v • V/a(r, v, t) + a • Vv/a(r, v, ŕ) = 0, (3.20 což je Boltzmannova kinetická rovnice v bezsrážkovém případě. Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru Vt v kde operátor — + v • V + a • Vv (3.22 Vt dt představuje úplnou derivaci vzhledem k času, ve fázovém prostoru. =>• zákon zachování hustoty bodů ve fázovém prostoru, tzv. Liouvilluv teorém - srážky stejně jako radiační ztráty a procesy vzniku a zániku částic nepovažujeme za důležité. 3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru 3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi Vliv interakcí mezi částicemi? => modifikace vztahu (3.20). Díky srážkám mohou během času dt některé částice a, které byly původně v d3rd3v, z tohoto elementu zmizet a obráceně jiné částice, které byly mimo tento objemový element, se v něm mohou objevit. Čistý zisk nebo úbytek částic a z d3r d3v způsobený srážkami v průběhu časového intervalu dt označíme SMl2llŘ) cľrcPvdt, (3.23 ot ) i / srazk kde (£/a(r, v, ť)/5t)srazk představuje rychlost změny /a(r, v, ť) díky srážkám. Pokud tedy uvažujeme srážky, musíme vztah (??) přepsat jako [/a(r'; v',t + dt)- fa(r,v,t)]d3rd3v = ľ1^'t}) d3rd3vdt (3.24 V / srazk a Boltzmannova rovnice modifikována pro tento případ má tvar ------^------+ v • V/a(r, v, í) + a • Vv/a(r, v, t) = I-------------- 1 . (3.25 \ / STCLZK Za použití operátoru úplného diferenciálu podle času definovaného vztahem (3.22) můžeme tento vztah přepsat do kompaktní podoby P/g(r,v,ŕ) = (Sfa(r,v,t)\ 26 Přesná podoba srážkového členu není známa. 3.7 Relaxační model pro srážkový člen Uvažujeme velmi jednoduché vyjádření srážkového členu, tzv. Krookův model nebo relaxační model. Existuje i mnohem propracovanější vyjádření, např. Boltzmannův srážkový integrál nebo Fokker-Planckův srážkový člen. Předpokládá se, že srážky obnovují lokální rovnováhu (lokálně rovnovážná rozdělovači fee /ao(r, v))-Pokud nepůsobí externí síly, systém, který původně není v rovnováze a je popsán rozdělovači funkcí /a(r,v,č), dosáhne v průběhu času díky srážkám lokální rovnováhy podle exponenciálního zákona. Doba charakteristická pro tento proces je tzv. relaxační doba r. Relaxační doba řádově odpovídá době mezi dvěma srážkami a může být rovněž vyjádřena jako v~l, kde v je relaxační srážková frekvence. Model byl původně vyvinut Krookem: 'č/a(r,V,č)\ = (fg - faO) °t / srazk T Podle tohoto vztahu pro srážkový člen platí, že když fa = fao máme (öfa(r, v, t)/ôt)srazk = 0, takže ve stavu lokální rovnováhy se rozdělovači funkce díky srážkám nemění. Fyzikální smysl relaxačního modelu? Uvažujme BKR se srážkovým členem bez vnějších sil a prostorových gradientů, fao a r jsou na čase nezávislé: 9fa (fa - /«O dt t což můžeme přepsat jako 3.28 O Ja Ja _ Ja" /q ^q dt T T Řešení této jednoduché nehomogenní diferenciální rovnice dostaneme pomocí řešení příslušné homo genní rovnice, tj. C é^T (C je konstanta). Kompletní řešení rovnice je tedy /«(V, í) = fa0 + [/«(V, 0) - f^e^. (3.30 Tedy, rozdíl mezi fa a fao exponencielně klesá v čase rychlostí, která odpovídá relaxační srážkové frekvenci v = 1/r. Užitečný srážkový model, v mnoha případech vede k výsledků téměř identickým s těmi, které získáme pomocí Boltzmannova srážkového integrálu. Především vhodný pro slabě ionizované plazma (pouze srážky iontů s neutrály). Ale relaxační model se dá použít pouze pro srážky částic přibližně stejných hmotností. 3.8 Vlasovova rovnice Aproximace - pohyb částic plazmatu je řízen jednak vnějšími silovými poli a jednak makroskopicky vystředovanými Vlasovova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje časový vývoj rozdělovači funkce ve fázovém prostoru a která přímo využívá makroskopicky vystředovaných elektromagnetických polí. Tuto rovnici můžeme získat z Boltzmannovy rovnice (3.20), když zahrneme do silového členu makroskopická pole df 1 -^ + v • V/« + — [Fext + qa(Emt + v x Bmt)} • Vvfa = 0. (3.31) at ma Zde Fext představuje vnější síly včetně síly Lorentzovi odpovídající externě přiloženým elektrickým a magnetickým polím a E^, B^ jsou vystředované vnitřní elektrické a magnetické pole vznikající v důsledku přítomnosti a pohybu všech nabitých částic uvnitř plazmatu. Aby byly vnitřní makroskopické elmag pole Fjint a B^ konzistentní s makroskopickým nábojem a proudy existující v plazmatu, musí V • ~Eint = — (3.32 splňovat Maxwellovy rovnice V-Bmt = 0 (3.33 V x Emt =----^ (3.34 V x Bmt = fi0(j + £o^-J , (3.35 kde hustota náboje v plazmatu p a hustota proudu v plazmatu J jsou dány výrazy p(r,t) = ^2qana(r,t) = ^2qa fa(r,v,t)d3v (3.36 J(r,í) = ^2qana(r,t)ua(r,t) = ^2qa vfa(r,v,t)d3v, (3.37 a a kde sumace probíhá přes různé nabité částice v plazmatu a ua(r,í) je makroskopická průměrná rychlost pro částice typu a daná vztahem (3.8). Rovnice (3.31 až (3.35) představují kompletní soustavu self-konzistentních rovnic, které se musí řešit zároveň. Takže např. v iterativní postupu začneme s nějakými přibližnými hodnotami E^(r,í) a Bjní(r,í). Vyřešíme rovnici (3.31 a získáme /a(r,v,í) pro různé typy částic. Z rovnic (3.36) a (3.37) pak za použití vypočítaných rozdělovačích funkcí fa dostáváme hustotu náboje a proudu (p a J) v plazmatu. Jejich velikosti pak substitujeme do Maxwellových rovnic, které řešíme pro E^(r,í) a Bjní(r,í). Nyní hodnoty vystředovaných makroskopických elmag polí opět dosadíme do Vlasovovy rovnice a pokračujeme v postupu znovu dokola, abychom získali self-konzistentní řešení pro rozdělovači funkce jednotlivých typů částic. Ačkoliv Vlasovova rovnice explicitně nezahrnuje srážkový člen na pravé straně, tj. nebere v úvahu krátkodosahové srážky, není až tak v tomto směru restriktivní, jak by se mohlo zdát, protože část efektů spojených s interakcí částic je už zahrnuta v Lorentzově síle přes vnitřní self-konzistetní vystředované elmag pole.