Kapitola 4
Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.1     Střední hodnota fyzikální veličiny
Ke každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost x(r5 v, t
Celková velikost veličiny %(r, v, t) pro částice a uvnitř objemového elementu fázového prostoru d3r d3v je
X(r, v, t)ďNa(r, v, t) = X(r, v, í)/a(r, v, t)ďr d3v.                             (4.1
Velikost této veličiny uvnitř objemového elementu d3r nezávisle na rychlosti
ďV /\(r,v,í)/a(r,v,í)d3i;.                                              (4.2
Střední hodnota
< X(r, v, í) >a= ——- / x(r, v, í)/a(r, v, r)ďV                             (4.3
na{r,t) Jv
4.2    Driftová a tepelná rychlost
Nechť x(r5 v5^) — v =>• střední neboli driftová (unášivou) rychlost ua(r,í
ua(r, t) =< v >a=               / v/a(r, v, r)ďV                                 (4.4
na{r,t) Jv
Pokud x(r, v, í) je nezávislá na rychlosti částic
<x(r,t) >a=x(r,t),                                                   (4.5
takže např. < ua >= ua.
Rychlost tepelného neuspořádaného pohybu neboli náhodná (zvláštní) rychlost je definována vzhledem k ua(r,í) takto
Va = v- ua.                                                         (4.6
Následně vždy platí, že < Va >= 0, neboť < v >a= ua.
4.3     Tok
Makroskopické veličiny hustota proudu částic (nebo tok částic), tenzor tlaku a vektor toku tepla (nebo tok tepelné energie) zahrnují vždy tok nějaké mikroskopické veličiny %(r, v, t). Tok %(r, v, í) je definován jako velikost veličiny %(r, v, í) přenesené skrze daný povrch na jednotku plochy a jednotku
času.
Uvažujme povrchový element
dS = dSh,                                                           (4.7
kde h je normála povrchového elementu: otevřený povrch => dvě možnosti orientace normály, uzavřený povrch => kladná normála konvenčně ven.
Částice v plazmatu se pohybují skrz povrchový element dS nesouce s sebou vlastnost %(#*, i/, t). Počet těchto částic typu za cas dtl
Částice mající rychlost < v, v + d v > a projdou skrze dS v časovém intervalu < t,t + dt > musí ležet v objemu hranolu o základně d S a stěně v dt. Objem hranolu:
d?r = dS • vdt = n • vdS dt.                                              (4.8
Počet těchto částic v tomto objemu:
/a(r, v, t)d3r d3v = /a(r, v, t)n • vdS dt d3v,                                  (4.9
=>• celkovou přenesená velikost %(r, v, č):
/ x(r, v, í)/a(r, v, t)n • vořt; dS dí.                                       (4.10
J v
Čistý zisk transportu (tok) veličiny %(r, v,č) ve směru n:
$an(x) = / x(r, v, í)/a(r, v, í)n • vořt;                                    (4.11
nebo za použití symbolů pro střední hodnotu
®an(x) = ria(r, t) < x(r, v, t)n • v >a= na < xvn ><*,                         (4.12)
kde vn = n • v označuje komponentu v ve směru jednotkového vektoru n.
•  x(r, v,í) je skalární veličina =>• $an(x) komponenta vektoru toku &an(x) ve směru n, tj.
<Mx) = "-*<m(x),                                               (4.13)
kde
*a(x) = na < xv >« .                                             (4.14)
•  x(r, v,í) je vektorová veličina, správně X(r, v,í) =>• tenzor (2. řádu) toku
éa(x)=na<X^v>a.                                           (4.15)
•  x(r, v,í) tenzor 2. řádu =>• íoA; ve ryarn tenzoru 3. řádu a tak dále.
Můžeme oddělit příspěvek díky driftové rychlosti ua(r, ť) a příspěvek související s náhodnou tepelnou rychlostí Va:
^cmfx) = na < X^an > +na < XUan >,                                            (4-16)
kde V^ = n • Va a uan = n • ua.
Je-li ua = 0 nebo zvolíme dS v souřadném systému, který se pohybuje driftovou rychlostí ua
$an(x) = na<xVan>,                                          (4.17)
4.4     Tok částic
Tok částic: počet částic, které projdou daným povrchem na jednotku plochy za jednotku času. Vezmeme-li xivi v5^) = 1 ve vztahu (4.12):
ran(r, t) = na < vn >a= nauan,                                          (4.18)
protože < Van >= 0.
Jestliže ua = 0, můžeme uvažovat tok pouze z kladného směru místo celkového čistého toku
r+,(r, t) =  í    n   Va/a(r, v, t)d3v,                                      (4.19)
M+)
kde integrujeme pouze přes rychlosti n • Va > 0.
Náhodný tok hmoty v kladném směru n je tedy dán vztahem maľ+n, kde ma je hmotnost částic a.
4.5     Tenzor toku hybnosti
• • • celková hybnost přenesená skrze povrchový element ndS na jednotku plochy a času.
Xj = mav-j1                                                        (4.20)
kde7 jednotkový vektor =>• složka Ilajn(r, ť) tenzoru toku hybnosti
Uajn(r,t) = na< ma(j • v)(n • v) >a= gma < v3vn >a,                        (4.21)
kde gma = nama je hustota hmotnosti částic a. Platí (< uaVa >= ua < Va >= 0)
*-*-ajn\^7 t)        Q ma ^   *jVn >   ^Qma^j^n                                                 [Q.ZZ
nebo v tenzorové podobě
n«(r, t) = gma < Va (g) Va > +Qmaua (g) ua.                                (4.23
V kartézských souřadnicích (x, y, z) můžeme tenzot toku hybnosti zapsat
na  = x (g) xľlaxx + x (g) yľlaxy + x (g) zľlaxz                                (4.24
+ y (g) xnay;r + y (g) yllayy + y (g) zUayz + z (g) xilaz;r + z (g) yll^ + z (g) zilazz.
nebo podle pravidel maticového násobení
*-*-axx   *-*-axy   *-*-axz   \    f  *
na = (x,y,z) ( nay;r nayy uayz      y I                                   (4-25
*-*-azx    *-*-azy    *-*-azz /      \ Z.
Obvykle ovšem tenzor 2. řádu zapisujeme jen jako matici 3x3 obsahující prvky II
aij-
Uaij = Uaji =>• matice 3x3 je symetrická =>• pouze 6 prvků tenzoru toku hybnosti na sobě nezávislých.
4.6     Tenzor tlaku
4.6.1    Definice tlaku
Tlak plynu - síla na jednotku plochy vytvářená molekulami plynu díky srážkám se stěnou nádoby obsahující plyn. Tato síla je rovna rychlosti přenosu hybnosti molekul na stěnu nádoby.
Definici tlaku zobecníme na jakýkoliv bod uvnitř plynu (myšlený plošný element dS = ndS pohybující se střední rychlostí toku uvnitř plynu). Tlak na dS - tok hybnosti na plochu dS díky náhodnému pohybu částic.
Definujeme parciálni tlak každého druhu částic a.
Vezmeme-li x(r5 v, t) = maVaj, dostaneme prvek Pajn tenzoru tlaku
-Lajn       Qma ^   •/ aj * an -> •                                                             [Q.Zvj
Tenzor tlaku je tedy dán jako
Va = Qma < V.V. > .                                                (4.27)
Z (4.25) získáme vztah mezi tenzorem tlaku Va a tenzorem toku hybnosti Ua
-Lajn       *-*-a       Qma^-a^-a-                                                               \f±.£o)
4.6.2    Síla na jednotku plochy
Mějme malý objemový element ohraničený uzavřeným povrchem S a dS = ndS jako element povrchu patřící k S, jehož normála n směřuje ven.
Předpokládejme na okamžik, že všechny částice a mají stejnou rychlost Va.
•  Va svírá úhel menší než 90° s«^
na(Va • n)dS je počet částic, které opouštějí objem =>• pokles hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —nama(Va • n)dS, protože (Va • n) > 0
•  Vq, svírá úhel větší než 90° s«^
na(Va • n)dS je počet částic, které přicházejí do objemu =>• vzrůst hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —nama(Va • n)^^, protože (Va • n) < 0
Zobecněním, rychlost změny hybnosti plazmatu v uzavřeném objemu S, díky výměně částic a skrz povrchový element ndS:
-nama < VJVa -n)>dS= -Va • ndS                                  (4.29
Süa na jednotku plochy ía působící na plošný element ndS jako výsledek náhodného pohybu částic
je
ía = -Va-n = -gma < Va(Va • n) > .                                    (4.30
Jestliže vezmeme n = x, máme
' a ' "          X±axx       Y-Layx       Zrazx,                                                 ^4.Ol
kde Paxx Je normála k ploše =>• hydrostatický tlak, zatímco prvky Payx a Pazx jsou tlaky díky tangenciálním silám.
4.6.3    Síla na jednotku objemu
Sílu na jednotku objemu uvnitř plazmatu způsobená náhodným pohybem získáme integrací (4.29
v a z Gaussova teorému
lim [i / VandS] = -V-Va                                  (4.32
v^o v j s
Vry.ndS = - I VVnd3r                                           (4.33
'S                             JV
4.6.4    Skalární tlak a absolutí teplota
Důležitá makroskopická veličina je skalární tlak neboli střední hydrostatický tlak:
2  _                  2  _-v            1
h j                                 i
kde ôij je Kronekerovo delta. Ze vztahu (4.26)
Pa = g Ana < ^ + ^ + ^ >                                         t4"35
Protože V^ = V^ + V^2y + V^z) dostaneme
1              2
Pa = -/W < V^ >                                                   (4.36
Dalším důležitým makroskopickým parametrem je teplota. Absolutní teplota Ta pro částice a je mírou střední kinetické energie náhodného pohybu částic. Z termodynamiky: střední tepelná energie kTai/2 přísluší každému translačnímu stupni volnosti (i = x, y, z):
\kTm = X-ma < Vcl >                                                 (4.37
Jestliže je rozdělení izotropní (např. Maxwell-Boltzmannovo)
P a       ^axx          oiyy       ±azz       Pma ^   * ai ^                                               ^4.00
a tedy dostáváme stavovou rovnici pro ideálni plyn
pa = nakTa                                                         (4.39
Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělelní
Va = (xx + yy + zz)pa = lpa,                                          (4.40
kde 1 je jednotkový tenzor
(4.41
V o o i y
V tomto případě
d              d              d
-V • Va = -(X—pa + y—Pa + Z—Pa) = ~Vpa,                           (4.42
ox           oy           oz
takže pro izotropní rozdělení rychlosti je síla na jednotkový objem způsobená náhodným pohybem dána gradientem skalárního tlaku.
V některých praktických příkladech předpokládáme, že
' a       XX±axx -\- yy±ayy   <   ZZrazz                                               (^4.40
nebo
(*axx   U          U          \
0        Payy   0          ,                                            (4.44
o       o       Pazz J což vyjadřuje anizotropii náhodných rychlostí, ale nepřítomnost tangenciálních sil, tj. viskozity. V tomto případě máme rozdílnou absolutní teplotu Tai pro každý směr.
4.7    Vektor toku tepla
Komponenta vektoru toku tepla qan je def. jako tok náhodné neboli tepelné energie skrz povrch s normálou n. Vezmeme %(r, v, ť) = maV^/2 a dostaneme
l
Qan = q«-" = -pma < V% Va./I >                                                 (4.45)
Vektor toku tepla je tedy
l
q« = 7;Pma < Vi y a > ■                                               (4.46)
4.8     Tenzor toku tepelné energie
Standardně můžeme zavést tenzor 3. řádu toku tepelné energie
Qa = Pma < Va <g) Va <g) Va >                                          (4.47
a jeho složky
^oaijk       Pma ^  ^ai^aj^ak ->                                                               ^4.40
Za použití kartézských souřadnic
Qa = QaxX + QayY, +Qaz*                                                               (4-49
kde každý tenzor 2. řádu Qan (n = x, y, z
zzlaxxn    zzlaxyn    ^zlaxzn ^zlan        |    ^zlayxn    ^layyn    ^layzn    \                                                           ^4.011
^lazxn    z&azyn    ^lazzn
Abychom získali vztah mezi vektorem toku tepla qa a tenzorem toku tepelné energie Qa) přepišme
vztah (4.45) jako
1
2
a tedy
Qan = ^Pma(< VaxVan > + < V^Van > + < V^zVan >)                                  (4.51
1
2
Qan        n v^caxxn   <   ^cayyn   <   ^cazzn)                                                           \f±.oZ
4.9     Tenzor toku celkové energie
Analogicky jako při definici tenzoru toku tepelné energie
Eaijk(r,t) = pma < ViVjVk >cn                                                        (4.53
což představuje jednu z 9 složek tenzoru toku celkové energie £a(r, ť). Tato složka je vlastně součtem tří výrazů
< ViVjVk >a   =    < VmVajVak + UmVajVak + UajVakVai                                 (4.54
~r   l^ak v ai * aj   <   ^ai^aj * ak   <   ^aj^ak * ai ~r   ^ak^ai^aj   <   ^ai^aj^ak-
Nebot < uai >= uai a < Vai >= 0 a za použití (4.48) a (4.26
Pma ^ ViVjVk >a      Pma^ai^aj^ak   <   [}^ai ' ajijk   <   ^oaijki                                [f±.oo
kde jsme použili zápis
v^O!5 ' ajijk       ^ai-^ajk   <   ^aj-^aki   <   ^ak-^aij-                                            ^4.00
Takže vztah (4.53) můžeme zapsat ve tvaru tenzoru 3. řádu
£a(r, t) = pma < vvv >a= pmauauaua + (ua, Va) + Qa                       (4.57
Tenzor celkového toku energie je tedy součtem toku energie přenesené konvektivním pohybem částic 1. dva členy) a toku tepelné energie Qa způsobeného náhodným tepelným pohybem částic.
4.10    Vyšší momenty rozdělovači funkce
První čtyři momenty rozdělovači funkce jsou hustota na(r,í), driftová rychlost uai(r,t), tenzor 2. řádu toku hybnosti Ilmj(r,í) a tenzor 3. řádu toku celkové energie Eaijk(r,ť
na(r,t)  =    //a(r,v,í)d3i;                                                                (4.58
Jv
uai(r,t)  =  <v%>a=—-—-     vja(r,v,t)d3v                                  (4.59
na{r,t) Jv
nmj(r,í)  = pma < v%Vj >a= ma I vlvJfa(r,v,t)d3v                            (4.60
Jv
Eaijk(r,t)   =   pma < V%VjVk >a=ma   I ViVjVkfa{r,V,ť)(řv                          (4.61
J v
Jestliže uai(r,ť) = 0, máme v = Va =>• z tenzoru toku hybnosti IIaij(r,í) se stane tenzor tlaku V, a z tenzoru toku celkové energie Eaijk(r,t) se stane tenzor toku tepelné energie Q
a a-
Jako formální rozšíření výše uvedených definicí, můžeme, pokud je to nutné, zavést vyšší momenty rozdělovači funkce
M$...k(*<l) = [ Wj-Vkfa(T, v, t)d3v,                                    (4.62
Jv
kde složky rychlosti v i se v integrálu objeví TV-krát.