Kapitola 6 Interakce částic v plazmatu 6.1 Úvod Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na • elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic. • neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit =^ excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace. V plazmatu musí především rozlišovat • interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =>• dalekodosa-hové interakce =>• mnohonásobné interakce • interakce mezi nabitou částicí a neutralem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu =>• krátkodosahové interakce =>• neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz =>• především binární srážky Mnoha-částicové Coloumbovské interakce můžeme popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabě ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektavně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole. 6.2 Binární srážky Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti m & mi o rychlostech vavi před srážkou a v' a v[ po srážce. V následujícím textu budou veličiny s čárkou označovat veličiny po srážce. Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice m je v klidu a částice mi se přibližuje relativní rychlostí g = vi-v. (6.1 Po srážce je relativní rychlost g' = vi - v'. (6.2 Záměrná vzdálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je x a úhel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e. Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je rav + raivi c0 =--------■---------- (6.3 m + mi a po srážce , mv' + mi vi c0 =---------------- (6.4 m + mi Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí c0 a g /i v = c0------g (6.5 m m\ kde /i označuje redukovanou hmotnost ví = c0 H------g, (6.6 m + mi Podobně obdržíme i rychlosti po srážce m -o mrm \i =----------. (6.7 v' = c0 - ^g' (6.8 v'i = c'0 + JLg. (6.9 m\ Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky mv + raiVi = mv' + mív^ (6.10 nebo ze vztahů (6.3) a (6.4 [m + mijco = (m + mi)CQ, (6.11 takže co = c0 (6.12 Ze zákona zachování energie během pružné srážky máme -(mv2 + m\v\) = -[m(vr)2 + mi(v[)2] (6.13 a přímou úpravou vztahů (6.5), (6.6), (6.8) a (6.9 -(mv2 + m\v\) = -{m + míjel + -\ig2 (6.14 z_t z_j z_t -[mft;')2 + miK)2] = -(m + míjej2 + -^'2. (6.15 Protože c0 = c0 dostáváme g = g', (6.16 tedy velikost, ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách. Uhel x mezi g a g' je úhel rozptylu nebo také deflekčm úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory gag', zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 kde e určuje relativní orientaci roviny srážky. Pokud tedy známe počáteční rychlosti a úhel rozptylu x můžeme určit rychlosti po srážce. Opačně, pokud známe konečné rychlosti a %, můžeme určit původní rychlosti. Tento fakt umožňuje jednoduše uvažovat o inverzní srážce, protože x Je stejné jako pro přímou srážku (6, vzájemná síla a g jsou stejné). #x = gy = o gz = g = g' á- = g sin x cos e 9'y = g sin x sm £ gí = geosx, Úhel rozptylu je jediná veličina, která závisí na detailech srážkového procesu. V případě vzájemné síly, která závisí pouze na vzdálenosti mezi interagujícími částicemi, x závisí na následujících parametrech: 1. zákon vzájemného silového působení 2. velikost vzájemné rychlosti g 3. záměrná vzdálenost b. 6.3 Dynamika binární srážky Dynamika binární srážky je řízena zákonem vzájemného silového působení. Pro každé b existuje odpovídající x a jejich vztah je nezávislý na zákonu vzájemných sil. Tento vztah je obsažen v diferenciálním, účinném, průřezu definovaném v odstavci 6.5. Uvažujme srážku dvou částic m a mi v souřadném systému částice m. Polohový vektor částice mi bude r. Předpokl., že síla interakce je centrální síla, tj. F(r) = F(r)r (6.22 a poteniální energii lze tedy vyjádřit takto dU(r F(r) = -W(r) = -^Q^r. (6.23 or Pro centrální sílu je torze N = r x F (r) nulová. Torze je časová změna momentu hybnosti L = r x p N = — = 0, 6.24 dt K J => moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L => pohyb leží v rovině. Použijeme polární souřadnice (r, 6) a uvědomíme si, že jednotkové vektory r a 6 závisí na 6: dr dr „ dr dr „ dr dQ . — = —r + r— = —r + r——. (6.25 dt dt dt dt du dt Protože dr/dO = 6 dr dr ^ dO % . — = —r + r—6 6.26 dt dt dt nebo jinak zapsáno r = ŕf + rÔé. (6.27 Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočásticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je 1 1 Ek = -fiř-ř = -fi(ř2 + r262). (6.28 ZeZZE 1 • 1 -fi(ř2 + r2#2) + U(r) = -lig2. (6.29 Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán L = r x (/iŕ) = jir29(r x 9). Původní hodnota momentu hybnosti je b [ig, a tedy r29 = bg. Pomocí předchozích vztahů získáme diferenciální rovnici pro dráhu r(9). Napíšeme dr dr d9 dt d9 dt' použijeme (6.31) a (6.29) k eliminaci dO/dt a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie: dr\ r4 což přeskupíme takto de d9 = ±— b2 b2 2U(r 1 --r--------V iy* á m b2 2U(r 1 --r--------V ■1/2 dr. 6.30 6.31 6.32 6.33 ;6.34 9 > 9 Víl) r- fig-Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro záporné pro 9 < 9m) kde 9m je úhel v bodě největšího přiblížení (vertexa trajektorie). Polohový vektor v tomto bodě označíme rm. Vzdálenost největšího přiblížení rm dostaneme z (6.33), když si uvědomíme dr jd9 = 0 a r = r b2 2U(r 1 m 0 r m m 6.35 tedy r m 2U(r. m m -1/2 6.36 Abychom určili úhel rozptylu x, uvědomme si, že X = vr - 29m a integrujme vztah (6.34) od 9m po jiný úhel 9: 9 — 9 m. = i m X' X2 2U(x m -1/2 KXitXj • stejná konvence znamének). Pro r —► oo máme #(_) —► 0, zatímco 0(+) —► 2#m, takže *oo (9, m (Y* Á b2 2U(r 1--T-------------V iy*A m -1/2 dr a úhel rozptylu je f°° b x(b,g) = 7T-2 -2 J Trn, b2 2U(r 1 --r-------V iy*Á W -1/2 dr. 6.37 6.38 6.39 6.40 Abychom mohli vypočítat \ musíme znát záměrnou vzdálenost 6, počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii intergajících částic U(r] 6.4 Vyjádření úhlu rozptylu Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (6.40) k určení úhlu rozptylu \ pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g. 6.4.1 Dvě perfektně elastické tuhé koule Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru R\ a i?2- Potenciální energie je dána U(r) = 0 pro r > Rx + R2 = oopror < i?i + i?2- 6.41 Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > R\ + R2 a tedy zjednodušíme vztah 6.40) jako \-b- ■1/2 dr. 6.42 Použijeme substituci y = b/r: X = K rb/rm 2 (l-y2r1/2dy, Jo 6.43 což dává X = 7T-2sin 1(b/rm 6.44 Pro b > R\ + i?2 nedochází k žádné interakci rm = Ri + R2. r. m b. Pro b < R\ + i?2 se koule sráží X = vr — 2 arcsin t ill + il2 0 pro 6 > Ri + i?2 pro b o2/ ty. 6.49 Použijeme standardní vztah pro integraci (Rektorys): ax2 + ßx + /y)~1'2dx v= arcsin a —2ax — ß ^2-4a7)1/2 6.50 kde v našem případě a = —62, ß = — 260 a 7 = 1. Použijeme meze integrálu, kde rm je dáno vztahem ??): bo x(b,g) = 2arcsin Tato rovnice se ekvivalentně dá přepsat jako bl + 62)1/2 7o 6.51 , A x ^0 tan -v = — V2A; 6 6.52 • X = vr/2 ^ 6 = 60 •x = o 00 • znaménko náboje částic stejné =>• 60 a x Jsou kladné • znaménko náboje částic různé =>• 60 a x jsou záporné 6.5 Účinný průřez Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč => mějme svazek částic o hmotnosti mi rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g = vi — v na částici m. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + d\- Počet částic rozptýlených za ls do (%, x + dx) závisí na toku částic I\ 6.5.1 Diferenciální účinný průřez Počet částic rozptýlených za jednotku času do prostorového úhlu dVt vyjádřeného pomocí úhlů x a £ dN dt cr(x,e)rda 6.53 kde cr(x,£) je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (6, b + db) a (e, e + de): oft Tb db de. A tedy Protože dQ = sinxdxcfe: a dále a(x,£)dQ = b db de. o-(x,£)smxdx = bdb db £ sinx ^X 6.54 6.55 6.56 6.57 Absolutní hodnota je použita, protože b klesá, když x stoupá ALE dif. účinný průřez vyjadřuje kladnou veličinu - počet rozptýlených částic. Veličinu db/dx vyjádříme ze vztahu (6.40), jestliže budeme znát U(r). a(x, s) má rozměr plochy. 6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu at je definován jako počet částic rozptýlený za jednotku času a jednotku toku částic do všech směrů od rozptylového centra >2vr at = ŕn Jo Jo Účinný průřez samozřejmě závisí na relativní rychlosti g. Ve speciálním případě, kdy je interakční poteciál izotropní (např. Coulombovský), máme p2tt pn a(x,£)dQ= de cr(x,e)sinxdx. (6-58 Jo Jo pír at = 2tt / a(x)smxdx- (6-59 Jo 6.5.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti Účinný průřez lze definovat pro různé interakční procesy. Jeden z důležitých je přenos hybnosti: prenos hybnosti za sekundu . m dopadající tok hybnosti kde hybnosti před srážkou je T/ig. Po srážce je hybnost ve směru dopadu /ig cos x, takže přenesená hybnost je /ig(l — cos^)- Celkový přenos hybnosti všemi dopadajícími částicemi V lig / (1 - cos x)cr(x> e)dQ, (6.61 Jn a protože celkový tok hybnosti dopadajících částic je T [ig am= / (1 - cos x)cr(x,e)cříl (6.62 Jq V případě izotropní interakce a využitím dQ = sin x^X^s am = 2tt / (1 - cos x)°(x) sin xdx- (6-63 'o Protože a(x) můžeme chápat jako úhlovou rozdělovači funkci lze ji brát jako váhovou funkci pro výpočet střední hodnoty jakékoliv funkce F(x) závislé na úhlu rozptylu: což můžeme psát jako = fnffy (6.64 2tt r {F(x)} = — / F(x)o-(x)^XdX (6-65 ^í Jo a podle definice střední hodnoty am = at(l -cosx). (6.66 6.6 Další srážkové parametry Uvažujme tok T = nv částic o hmotnosti m, hustotě n a konstantní rychlosti v dopadajících z jedné strany na terč složený z "nekonečně" hmotných částic o hustotě ng, které jsou v klidu. Pak g = v. Nechť dn je počet dopadajících částic na jednotku objemu ve vzdálenosti x, které interaguji s částicemi terče na vzdálenosti dx a jsou tedy odstraněny ze svazku dopadajících částic (proto znaménko mínus): dn = —atnngdx, (6.67 kde konstanta úměrnosti at je celkový účinný průřez. Podobný vztah pro tok získáme vynásobením 6.67) rychlostí v dT = — atTngdx (6.68 neboli a po integraci kde dT dn —— = — = —nKatdx (6.69 ľ n r(x) = roexp(—ngatx) = Toexpf—x/A), (6.70 A =------ (6.71 ngat je střední volná dráha úbytku částic v dopadajícím svazku. Střední doba mezi interakcemi je r = -. 6.72 v Její převrácená hodnota je interakční neboli srážková frekvence v = t~1 = rigO-tV, (6.73 což je počet interakcí za jednu sekundu, které má dopadající částice, s částicemi terče. Můžeme také definovat srážkovou frekvenci na jednotku hustoty K = atv, (6.74 což se nazývá rychlostní konstanta. Samozřejmě v = Kng. (6.75 6.7 Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí 6.7.1 Diferenciální účinný průřez pro rozptyl Využijeme vztah (6.45) pro úhel rozptylu a b < R\ + R2 a tedy b={Rx + R2) cos(^x) (6-76 db l 1 ' /R1 + R2)sm(-X). (6.77 Dosazením do vztahu (6.57 dXl 2V *' v2 1 6.7.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl a = -(R1 + R2y (6.78 at = 2tt f -ÍRi + R2f sinXdX = ^(Ri + R2f (6.79 jo 4 'o Dva speciální případy: elektron s molekulou o poloměru R,a = R2/4 a crt = ttR2] dvě stejné molekuly o průměru D, a = D2/4 a crt = 7tD2. Uvědomme si, že pro srážku tuhých koulí existuje mezní hodnota 6, nad kterou nedochází ke srážce. Právě toto způsobí, že celkový účinný průřez at není nekonečná hodnota. G. 6.7.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti Ze vztahu (6.63) pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.78 r \ 1 r = 2tt -{Ri+R2)2{l-cosx)smxdx = -7r{Ri+R2)2{ / smxdx~ Po integraci am = 7v(Ri + R2)2 Střední hodnota změny hybnosti na jednu částici je dána vztahem (6.65 2tt r {fig(l - cos x)> = — / /itf(l - cos x)cr(x) sin xdx °t Jo a dle vztahu (6.63 (/i0(l -cosx)> = M a. m °t což zjednodušíme za použití výrazů pro účinné průřezy (6.81) a (6.79 {fig{l -cos*)) = M 6.8 Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál 6.8.1 Diferenciální účinný průřez Derivací vztahu (6.52 db_ dx 260cos2(x/2 takže diferenc. účinný průřez je nedochází k interakcím pro částice ve vzdálenostech b > bc Rozptyl pro úhly (7r/l, irrangle, tj. (0, bo) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme 0í,velke = 7T&0 ] (vľ/2 A^ je to téměř nula. Výpočet at za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: Coulombovský potenciál pro r < A^ a nula pro r > Xp =>• bc = A^ - obecně totiž XD > b0. (6-98) Rozptyl pro bo < b < Xd vedoucí k x < tt/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je <7t,male = 2tí / ^ b db = 7t(A^ - tí*) ] (X < 7t/2). (6.99 Porovnáme-li rr \2 \2 Pomale _ Ad _ -i ^ Ad °í, velké ^o ^0 důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly at = ttád Zavedeme max. hodnotu bc = A^ i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.92 .. A2 protože Použijeme označení přičemž A ^> 1, takže Um — Z/l ( JQ LLLyi ' b2h sinf^c) = = (1 + h2 °c\-l/2 u2) u0 A Xd i O m 47vb20] nA 6.100 6.101 máme 6.102 6.103 6.104 6.105 Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je lnA = 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně: T/n2 103 106 109 1012 1015 1018 1021 ÍO2 12.8 9.43 5.97 103 16.3 12.8 9.43 5.97 104 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 105 23.2 19.7 16.3 12.8 9.43 5.97 106 26.3 22.8 19.3 15.9 12.4 8.96 5.54 107 28.5 25.1 21.6 18.1 14.7 11.2 7.85 108 30.9 27.4 24.0 20.5 17.0 13.6 10.1 • q = -e, qi = e • no hustota elektronů a iontů • T teplota obou • Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftova rychlost {a- 2 j3. /e/ii(vi-v)^Ví;i 3kT a tedy tj- A 4:7V6Q[i{g2) l27V6()kT ------Í^XD = 127rn0\3D = 9ND, kde N d je počet částic v Debyově kouli. Hodnoty parametru A pro teploty T v K a ne v cm-3: