Kapitola 10 Vodivost plazmatu a difúze 10.1 Langevin rovnice Předtím než budeme diskutovat dva důležité jevy v plazmatu, vodivost a difúzi, uvedeme si velmi jednoduchou pohybovou rovnici pro slabě ionizované (ne ^ ng) studené plazma - Langevinovu rovnici Předpokládáme, že co se týče interakcí, bude dominantní interakce nabitých částic s neutraly. Dále uvažujeme pouze el. a mg. sílu (zanedbáváme gravitační pole a sílu způsobené gradienty tlaku). Dříve uvedená pohybová rovnice Pma-j^- = naqa(E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa (10.1 se tedy zjednodušuje jako me—— = -e(E + uexB) + -, (10.2 Dt y J ne v Makroskopický srážkový člen Ae/ne můžeme vyjádřit — = -iscmeuei (10.3 nP kde vc je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými neutrálními částicemi. V tomto vztahu jsme zanedbali střední rychlosti neutrálních částic, protože tyto částice jsou mnohem hmotnější než elektrony (ALE nezanedbáváme jejich tepelnou rychlost). Dosadíme srážkový člen a dostáváme Langevinovu rovnici Due me-—- = -e(E + ue x B) - iscmeue (10.4 Fyzikální smysl srážkového členu? Pokud nepůsobí el. a mg. síla Due —-— = —iscue. (10.5 Dt v což můžeme vyřešit ue(t) = ue(0)exp(—vcť). (10.6 Tedy srážky elektronů s neutrály snižují střední rychlost elektronů exponencielně rychlostí odpovídající srážkové frekvenci. Rovnici analogickou k (??) můžeme napsat pro ionty Du ™>i-ryT = ^e(E + Ui x B) - pinmluh (10.7 kde Ze je náboj iontu. V mnoha případech jako je např. vysokofrekvenční plazma, můžeme zanedbat pohyb iontů, tj. u^ = 0. Plazma, v němž je důležitý pouze pohyb elektronů se obvykle nazývá Lo-rentzův plyn. 10.2 Linearizace Langevinovy rovnice Langevinova rovnice ve tvaru (10.4) obsahuje nelineární členy - součin dvou proměnných. V mnoha případech můžeme situaci zjednodušit linearizací těchto členů, která je použitelná v případě změn o malých amplitudách. • Totální diferenciál ue obsahuje člen (ue • V)ue. Zanedbání tohoto členu je možné pokud jsou střední rychlost a její prostorové změny malé nebo pokud je střední rychlost kolmá na svůj gradient (transverzální vlny) • V nelineární členu ue x B budeme separovat mg. indukci B(r, t) na dva členy B(r,í) = B0 + B'(r,*), (10.8 takže q(E + ue x B) = q(E + ue x B0 + ue x B'). (10.9 Pokud můžeme předpokládat, že |ue x B'| < IEI (10.10 můžeme člen |uP x B'I v f 10.9) zanedbat. le S využitím dvou výše uvedených linearizačních zjednodušení získáváme následující Langevinovu rci due me—— = -e(E + ue x B0) - vcmeue (10.11 ot V mnoha praktických problémech se proměnné E, B' a ue mění harmonicky v čase i prostoru. Využijeme rovinných vln, protože jde o jednoduchý případ a jakákoliv fyzikálně realizovatelná vlna se dá vyjádřit jako superpozice rovinných vln. E, B', ue oc exp[z(k • r - cjt)], (10.12) kde uj je kruhová frekvence, k vlnový vektor ve směru šíření vlny. Diferenciální operátory V a d/dt se pak transformují na ik a — íuj. Dosazením (10.8) do Maxwell, rce V x E = —dB/dt dostaneme žk x E = ^B', (10.13 takže , k x E B' =--------. (10.14 üü Nyní můžeme ověřit nerovnost (10.10) |ue x (kx E)/(jj\ < IEI. (10.15 Velikost nelineárního členu |ue x B'| může být tedy rovna nebo menší než \(uekE)/uj\. Nelineární člen můžeme zanedbat pokud \ue(k/uj)\ < 1 (10.16 nebo ekvivalentně \ue\ < \u/k\, (10.17) kde u/k představuje fázovou rychlost rovinné vlny. Protože tento člen obvykle dosahuje rychlosti světla, zatímco amplituda střední rychlosti elektronů ue je mnohem menší, můžeme skutečně nelineární člen zanedbávat. Pokud ale dojde k rezonanci, je u/k velmi malé, zatímco ue se stává velké. V tomto případě se pak nelineární člen zanedbat nedá. 10.3 Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů Použijeme Langevinovu rovnici pro ustálený stav, abychom odvodili stejnosměrnou vodivost plazmatu. V této kapitole předpokládáme slabě ionizované homogenní plazma, ve kterém můžeme použít model Lorentzova plynu. Předpokládáme, že aplikované el. pole je konstantní a homogenní. 10.3.1 Izotropní plazma Pokud nepůsobí mg. síla, můžeme Langevinovu rci pro ustálený stav zapsat jako -eE - mevcue = 0. (10.18) Hustota el. proudu J = -eneue. (10.19) Kombinací předchozích dvou rovnic 2 J = -?— E. (10.20) mPvP Z Ohmová zákona J = • prostorová derivace je velikosti řádu L~l a časová derivace velikosti řádu r_1: ¥ ~ ^ (10.78 dt t v 77 DeV2n'e ~ DeI| (10.79 1 <92tt/p n' e-------*-. rio.so i/c ör2 ^cr2 Porovnáme-li (10.78) a (10.80) vidíme, že je-li vvr ^> 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutrály během časového intervalu r je dosti velký, můžeme poslední člen v (10.76) zanedbat a dostáváme difúzni rovnici dní dt e -Dey2ríe. (10.81 Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difúzni rovnicí, v níž je difúzni koeficient dán vztahem (10.77). Podmínka vvt ^> 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny ue dostáváme z linearizované pohybové rovnice (10.73) kT nobile =-------Vn' (10.82 me což můžeme napsat jako -DPVnL (10.83 kde re = noue je linearizovaný tok elektronů. Vztah (10.83) je analogický k jednoduchému Ohmovú zákonu J = (JoE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro ue. 10.8 Difúze elektronů v mg. poli Uvažujme nyní konst. a homogenní pole Bq. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme -DPVní------— frP x Bn). (10.84 meve Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru B0, tj. B0 = Bqz: re = -DeVn'e------{T* x ž). (10.85 ^e Tato rovnice je analogická k (10.28), kde Te nahradíme J, De nahradíme ae a -Vn'e nahradíme E Dále Vtce/vc = e-^. 10.94 ax a^/ az Tento výsledek dosadíme do (10.92 dní _ /ö2ni <92n' _ d2ní e ^(V^ + ^l + A,^. (10.95 dt dx2 dy2 dz2 Protože D± < De a protože D± klesá s rostoucím Vtce/vc (podobně jako a±)^ je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném. Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota) Me(neE + rp x B) - DeVne. (10.96 Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti Aie a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace Me e ,10.97 10.9 Ambipolarní difúze Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difúzni rovnici pro elektrony: re = -DeVríe, (10.98 kde difúzni koeficient volných elektronů je definován De =------. 10.99 meuce Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme Ti = -DeVn'i, (10.100 kde kT Di =------- (10.101 mlucl označuje difúzni koeficient volných iontů. => neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze. V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwello-vou rovnicí „ „ p eyrij — ne, V-E = - = ^^-------. (10.102 Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi => použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char, délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (10.73' E--------, (10.103 takže el. síla na jednotk. hmotnost eE e2nL }E =---------------• 10.104 m meo " Difúzni síla" na jednotk. hmotnost z (10.73) fD = —|Vn| ~ J^-. (10.105 mno mnoL =>• El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud /e <ŠC /d, tj. L2 < 5-^ = Af>, (10.106 noez kde A^> je Debyeova délka. To je splněno zřídka a musíme uvažovat tzv. ambipolarm difúzi. Předp., že změny hustoty elektronů i iontů jsou prvního řádu "malosti" na(r,t)=n0 + ría(r,t), (10.107 kde a = e, i a n'a ^ no, a že ua mají velmi malou amplitudu. Použijeme linearizovanou rovnici kontinuity n" +n0V-ua = 0 (10.108 a dt a linearizovanou rovnici hybnosti za předp. konstantních teplot a bez mg. pole —— = —E----------Vna - vcauai (10.109 at ma man0 kde pole prostorového náboje splňuje rci (10.102). Rovněž předp. že střední rychlost neutrálů je nulová a zanedbáváme srážky elektron-iont. Vezmeme divergenci (10.109) a použijeme rovnici kontinuity 10.108): qa U/V-E + —V2n ,-vcn—-. 10.110 ot2 ma ma ot Nahradíme V • E z Maxwellovy rovnice (10.102) a dostáváme soustavu rovnic Q2< ulAn' - n') + ^VV - vj^ (10.111 dt2 peA % eJ me e ce dt d2< -Ä-níl + ^VV-^. (10.112 dt2 piK l eJ nu l ce dt Musíme provést další zjednodušení. Podobně jako dříve jestliže vcr ^> 1, kde r je charakteristická doba difúze, můžeme cleny na levé straně rovnic zanedbat. Jejich zkombinováním tedy dostáváme O TI O TI {rí% - ríe){ule - u2pi) + fcTeVVe + kTzV2rít - meuce-^ - m^^f = 0. (10.113 Pomocí další aproximace n'e = n' = ti! OTI k(Te + Ti)VV - (mevce + masa)— = 0, (10.114 ot což můžeme přepsat jako kde je koeficient ambipolárm difúze. dn' ~dt AvW, Dr k(Tfí + Tt meVr, + mtp( l^Cl 10.115 10.116