Kapitola 10
Vodivost plazmatu a difúze
10.1 Langevin rovnice
Předtím než budeme diskutovat dva důležité jevy v plazmatu, vodivost a difúzi, uvedeme si velmi jednoduchou pohybovou rovnici pro slabě ionizované (ne ^ ng) studené plazma - Langevinovu rovnici Předpokládáme, že co se týče interakcí, bude dominantní interakce nabitých částic s neutraly. Dále uvažujeme pouze el. a mg. sílu (zanedbáváme gravitační pole a sílu způsobené gradienty tlaku). Dříve uvedená pohybová rovnice
Pma-j^- = naqa(E + ua x B) + pmag - Vpa + Aa (10.1
se tedy zjednodušuje jako
me—— = -e(E + uexB) + -, (10.2
Dt y J ne v
Makroskopický srážkový člen Ae/ne můžeme vyjádřit
— = -iscmeuei (10.3
nP
kde vc je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými neutrálními částicemi. V tomto vztahu jsme zanedbali střední rychlosti neutrálních částic, protože tyto částice jsou mnohem hmotnější než elektrony (ALE nezanedbáváme jejich tepelnou rychlost). Dosadíme srážkový člen a dostáváme Langevinovu rovnici
Due me-—- = -e(E + ue x B) - iscmeue (10.4
Fyzikální smysl srážkového členu? Pokud nepůsobí el. a mg. síla
Due
—-— = —iscue. (10.5
Dt v
což můžeme vyřešit
ue(t) = ue(0)exp(—vcť). (10.6
Tedy srážky elektronů s neutrály snižují střední rychlost elektronů exponencielně rychlostí odpovídající srážkové frekvenci.
Rovnici analogickou k (??) můžeme napsat pro ionty
Du
™>i-ryT = ^e(E + Ui x B) - pinmluh (10.7
kde Ze je náboj iontu. V mnoha případech jako je např. vysokofrekvenční plazma, můžeme zanedbat pohyb iontů, tj. u^ = 0. Plazma, v němž je důležitý pouze pohyb elektronů se obvykle nazývá Lo-rentzův plyn.
10.2 Linearizace Langevinovy rovnice
Langevinova rovnice ve tvaru (10.4) obsahuje nelineární členy - součin dvou proměnných. V mnoha případech můžeme situaci zjednodušit linearizací těchto členů, která je použitelná v případě změn o malých amplitudách.
• Totální diferenciál ue obsahuje člen (ue • V)ue. Zanedbání tohoto členu je možné pokud jsou střední rychlost a její prostorové změny malé nebo pokud je střední rychlost kolmá na svůj gradient (transverzální vlny)
• V nelineární členu ue x B budeme separovat mg. indukci B(r, t) na dva členy
B(r,í) = B0 + B'(r,*), (10.8
takže
q(E + ue x B) = q(E + ue x B0 + ue x B'). (10.9
Pokud můžeme předpokládat, že
|ue x B'| < IEI (10.10
můžeme člen |uP x B'I v f 10.9) zanedbat.
le
S využitím dvou výše uvedených linearizačních zjednodušení získáváme následující Langevinovu rci
due
me—— = -e(E + ue x B0) - vcmeue (10.11
ot
V mnoha praktických problémech se proměnné E, B' a ue mění harmonicky v čase i prostoru. Využijeme rovinných vln, protože jde o jednoduchý případ a jakákoliv fyzikálně realizovatelná vlna se dá vyjádřit jako superpozice rovinných vln.
E, B', ue oc exp[z(k • r - cjt)], (10.12)
kde uj je kruhová frekvence, k vlnový vektor ve směru šíření vlny. Diferenciální operátory V a d/dt se pak transformují na ik a — íuj. Dosazením (10.8) do Maxwell, rce V x E = —dB/dt dostaneme
žk x E = ^B', (10.13
takže
, k x E B' =--------. (10.14
üü
Nyní můžeme ověřit nerovnost (10.10)
|ue x (kx E)/(jj\ < IEI. (10.15
Velikost nelineárního členu |ue x B'| může být tedy rovna nebo menší než \(uekE)/uj\. Nelineární člen můžeme zanedbat pokud
\ue(k/uj)\ < 1 (10.16
nebo ekvivalentně
\ue\ < \u/k\, (10.17)
kde u/k představuje fázovou rychlost rovinné vlny. Protože tento člen obvykle dosahuje rychlosti světla, zatímco amplituda střední rychlosti elektronů ue je mnohem menší, můžeme skutečně nelineární člen zanedbávat. Pokud ale dojde k rezonanci, je u/k velmi malé, zatímco ue se stává velké. V tomto případě se pak nelineární člen zanedbat nedá.
10.3 Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů
Použijeme Langevinovu rovnici pro ustálený stav, abychom odvodili stejnosměrnou vodivost plazmatu. V této kapitole předpokládáme slabě ionizované homogenní plazma, ve kterém můžeme použít model Lorentzova plynu. Předpokládáme, že aplikované el. pole je konstantní a homogenní.
10.3.1 Izotropní plazma
Pokud nepůsobí mg. síla, můžeme Langevinovu rci pro ustálený stav zapsat jako
-eE - mevcue = 0. (10.18)
Hustota el. proudu
J = -eneue. (10.19)
Kombinací předchozích dvou rovnic
2
J = -?— E. (10.20)
mPvP
Z Ohmová zákona J = <JoE můžeme pak vyjádřit stejnosměrnou vodivost pro izotropní elektronový plyn
Pohyblivost elektronů \ie je definovaná jako
takže dostáváme
nee2 a0 = -J—. 10.21
meuc
lie = ^ (10.22
Me =-----— = -— (10.23
mevc nee
10.3.2 Anizotropní magnetoplazma
V případě přítomnosti mg. pole se plazma stává anizotropní. Langevinova rce pro ustálený stav je
-e(E + uex B0) - meiscue = 0, (10.24
kde Bq je konstantní a homogenní mg. pole. Použijeme (10.19)
-J = e(E + ue x B0), (10.25
nep
takže
mevc
J = o-0(E + ue x B0), (10.26
což je zjednodušená podoba Ohmová zákona.
Chtěli bychom přepsat tento zákon tak, aby hustota el. proudu byla přímo úměrná aplikovanému el. poli. Definujeme tedy tenzor stejnosměrné vodivosti S
J = S E. (10.27
Abychom získali jeho vyjádření, uvažujme kartézské souřadnice a mg. pole rovnoběžné s osou z, tj. B0 = BqŽ. Nahradíme ue = —J/(ene) v (10.26"
J = a0E-^^(J xž). (10.28
en
ve
Uvědomíme si, že
a dostáváme tuto soustavu rovnic
J x ž = Jyx - Jxý (10.29
x : Jx = a0Ex-------Jy (10.30
y e
ý : Jy = a0Ey + — Jx (10.31
ž : Jz = ctqEZi (10.32
kde Qce = eBo/me označuje elektronovou cyklotronovou frekvenci. Z prních dvou rovnic dostáváme
J% = í 9 ,Co9 \aoEx - ( oc, o9 xo~oEy (10.33
Oc + Wee) Oc + Wee)
Jy = TITHT^ + tAjň^v- (10-34
c ' ce/ ve ' ce
V maticové podobě tedy
<Jx
Tenzor ss vodivosti je tedy
kde
/
^o
c
V c k ^ce
(//2+Q2J (//2+Q2J
(z/2+04) (zy2+n2e)
V
o
o
s
vi
o-±
o-H
(T\\
Vi
+ W
ce
O-Q
V^lce
vi + ÍL2
/2
c
^0
^0
ce
nee2 raez/e
\
/
E
X
E9
10.35
10.36
10.37
10.38
10.39
Abychom pochopili fyzikální smysl komponent tenzoru S je vhodné rozložit el. intenzitu do směru rovnoběžného s B0 a kolmého. Element a± se nazývá kolmá nebo transverzální vodivost (rovněž Pedersonova vodivost), protože řídí tok el. proudu ve směru rovnoběžném s E^ a kolmém na B0, zatímco cíh (Hallova vodivost) řídí tok. el. proudu ve směru kolmém na el. i mg. pole. Element ctq je podélná vodivost, protože určuje tok el. proudu ve směru rovnoběžném s mg. polem.
Dále odvodíme vztah pro pohyblivost elektronů. Díky anizotropii půjde o tenzor
uP = Me • E. (10.40
Protože J = —eneue = <SE, máme
1
Me =-------S. (10.41
nPe
10.4 Střídavá vodivost a elektronová pohyblivost
Předpokládejme nyní, že el. pole E(r,í) a střední rychlost elektronů ue(r,í) se harmonicky mění s časem jako exp(—tut). Linearizovanou Langevinovu rovnici (10.11
—iumeue = —e(E + ue x B0) — mevcue (10.42
můžeme tedy přepsat jako
-e(E + ue x B0) - me(vc - iu))ue = 0 (10.43
Tato rovnice je analogická k rovnici (10.24) až na změnu členu srážkové frekvence, tj. místo vc na vc — iu). Takže podobně dostáváme tenzor tlaku, kde frekvenčně závislá kolmá vodivost, Hallova vodivost a podélná vodivost jsou
\2
vc — loj
^ = V-^+tgg" (1()'44
c Ü^J ' ü"ce
,vc - iu)ttce aH = <vr - iu)* + Q2 -o (10-45
c Ü^J ' ü"ce
nee nee \yc — iuj
(Jo = —---------r- =-------r^-—2V 10-46
Pohyblivost dostáváme opět analogicky podle vztahu (10.41).
Pokud můžeme zanedbat elektron-neutral srážkovou frekvenci (yc = 0), dostáváme
°H = , 9 Zo^o (10.48
iujQce
(uj2-.nee2 %----------------- «D
a0 = i^— (10.49
meuj
10.5 Vodivost při uvažování pohybu iontů
Vezmeme v úvahu pohyb iontů. Linearizovana Langevinova rovnice pro částice typu a
dw
ma~ßT = &*(E + U« X Bo) - ^a^caU«, (10.50
kde vca je efektivní srážková frekvence neboli tlumící člen, jenž je výsledkem srážek částic a s neutraly. Langevinova rovnice pro jednotlivé typy nabitých částic jsou nezávislé. Celkový proud je tedy dán jako
J = Yl n«^«u« = YlJ« = (52 Sa^'E (10-51
a a a
a celkový tenzor vodivosti je jednoduše
S = ^Sa. (10.52
a
wíAvrp — iüj) ^-^ uJÍAVň — iu)
vce - zu) " \yCj - iuj
Pro plazma obsahující elektrony a několik typů iontů (index j) dostáváme ze vztahů (10.44), (10.45 a (10.46) pomocí plazmové frekvence u)pa a eo
<t± = eo[, P ,2 L +YJÍ ÍJ \2 L] (10.53
ce - iu)2 + Q2ce 2-r< (ycj - iu)' , *<cj
€o[, u2pe. , + V r-5^] (10-55
c^ = eoh-------^—t^t - / 7-------^^—7^r\ (10-54
10.6 Plazma jako dielektrikum
Až doposud jsme ale uvažovali o nabitých částicích pohybujících se ve vlastních vnitřních polích, takže jsme brali v úvahu tyto rovnice
D = e0E (10.56
B = ^0H, (10.57
které jsou používané pro volný prostor bez nábojů. Efekt existence plazmatu se pak projevoval pohybem a interakcí nabitých částic uvnitř plazmatu.
Pokud neuvažujeme vnitřní pohyb částic, můžeme plazma popisovat jako dielektrikum charakterizované dielektrickým tenzorem. Pak nás zajímají pouze obecné makroskopické vlastnosti a nikoliv elementární pohyb částic. Místo Langevinovy rovnice vezměme Maxwellovu rovnici
V x B = /i0(J + e0—) (10.58
a zde zahrňme efekt plazmatu pomocí tenzoru vodivosti S definovaném vztahem
J = S • E. (10.59
Dosadíme do Maxwellovy rovnice a předpokládáme časově proměnné harmonické variace el. pole:
V x B = muoS • E — íujhq€qE. (10.60
Pokud 1 označíme jednotkový tenzor
iS
V x B = -iuß0e0{l +----) • E (10.61
(jJ€o
nebo ekvivaletně
V x B = -iufjLoS • E, (10.62
kde
£ = 60{1 + —) (10.63
(jJ6q
se nazývá dielektrický tenzor plazmatu. Používání tohoto tenzoru představuje jiný přístup pro popisování plazmatu než jsme používali doposud:
D = E • E. (10.64
Poznamenejme, že E závisí na frekvenci u a můžeme ho zapsat V maticové podobě
/ ei e2 0 \
E = e0 e2 ei 0 , (10.65
V 0 0 e3 /
kde
i €i = 1 H----------<J^ (10.66
^2 = CT// (10.67
€3 = 1+ ^0 U60 (10.68
10.7 Difúze volných elektronů
Přítomnost gradientů tlaku v transportní rovnici hybnosti představuje sílu, která vyrovnává jakékoliv nehomogenity hustoty plazmatu. Difúze částic je výsledkem této síly.
Zde dovodíme difúzni koeficient pro elektrony v "teplém" slabě ionizavaném plazmatu. • trasportní pohybová rovnice pro elektrony s konstantní elektron-neutrál srážkovou frekvencí
• odchylky od rovnováhy způsobené nehomogenitami v hustotě jsou velmi malé
ne(r,í) =n0 + <(r,í), (10.69
kde \n'e\ ^ tíq je veličina prvního řádu "malosti", takže tyto odchylky můžeme ve druhém řádu zanedbat
• tenzor tlaku Ve nahradíme skalárním tlakem pe
pe(r, t) = ne(r, t)kTe = (n0 + ríe)kTe (10.70
• E a B jsou nula, Te =konst
Protože ue je veličina prvnho řádu "malosti", můžeme rovnici kontinuity zapsat
d ti
-^ + n0V-ue = 0, (10.71
kde jsme zanedbali součin n'e\xe. Podobně pro transportní rovnici hybnosti
o\x
neme[—^- + (ue • V)ue] = -Vpe - neM - eiscue (10.72
ot
dostaneme po linearizaci
CUg K J. g _ . ,
no—- =-------Vne - TiQiscue. (10.73
ot me
Vezmeme divergenci této rovnice
<9(V • ue) kTe„0 . „
n0 V ^ J =-------V2n - no^cV • ue 10.74
ot mP
a dosadíme za no V • ue z (10.71
U = ^VX - «Ä (10.75
ôtĹ mP ôt
což můžeme přepsat i jako
kde jsme definovali koeficient difúze volných elektronů
_ kTe
De =------ 10.77
meuc
Chceme získat odhad velikosti jednotlivých členů v rovnici (10.76). Nechť r a L představují charakteristický čas a délku, na které se významně mění n'e =>• prostorová derivace je velikosti řádu L~l a časová derivace velikosti řádu r_1:
¥ ~ ^ (10.78
dt t v
77
DeV2n'e ~ DeI| (10.79
1 <92tt/p n'
e-------*-. rio.so
i/c ör2 ^cr2
Porovnáme-li (10.78) a (10.80) vidíme, že je-li vvr ^> 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutrály
během časového intervalu r je dosti velký, můžeme poslední člen v (10.76) zanedbat a dostáváme
difúzni rovnici
dní
dt
e -Dey2ríe. (10.81
Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difúzni rovnicí, v níž je difúzni koeficient dán vztahem (10.77).
Podmínka vvt ^> 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny ue dostáváme z linearizované pohybové rovnice
(10.73)
kT
nobile =-------Vn' (10.82
me
což můžeme napsat jako
-DPVnL (10.83
kde re = noue je linearizovaný tok elektronů. Vztah (10.83) je analogický k jednoduchému Ohmovú zákonu J = (JoE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro ue.
10.8 Difúze elektronů v mg. poli
Uvažujme nyní konst. a homogenní pole Bq. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme
-DPVní------— frP x Bn). (10.84
meve
Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru B0, tj. B0 = Bqz:
re = -DeVn'e------{T* x ž). (10.85
^e
Tato rovnice je analogická k (10.28), kde Te nahradíme J, De nahradíme ae a -Vn'e nahradíme E Dále Vtce/vc = <JoBo/(ene). Takže analogicky s výrazem J = S • E můžeme psát
Te = -V-Vn' (10.86
kde V je tenzor difúze v mg. poli
pncemz
D± DH 0 V = -DH D± 0 I , (10.87
0 0 D\
v2 D± = -^De (10.88
DH = J^A (10.89
kZ
Dw = DP =------ 10.90
e
mevc
Podobně jako v předchozí kapitole můžeme odvodit difúzni rovnici pro n'e. Nejprve zapíšeme rovnici kontinuity (10.71) jako
e+V-re = 0. 10.91
Dosadíme Í10.86) za V
e
dt
ŕ) n
e --V-(V-VríX Í10.92
dt
Za použití matice (10.87) a výpočtu v kartézských souřadnicích dostaneme
_ „ , ^/r^ dní _ dní x
V • Vn'e = ž(D±-^ + ^^) + (10.93
„ , _ dní _ ön' x ^ _ dní
y(-DH1r + Al-^ + ž£>e-^. 10.94
ax a^/ az
Tento výsledek dosadíme do (10.92
dní _ /ö2ni <92n' _ d2ní
e ^(V^ + ^l + A,^. (10.95
dt dx2 dy2 dz2
Protože D± < De a protože D± klesá s rostoucím Vtce/vc (podobně jako a±)^ je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném.
Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota)
Me(neE + rp x B) - DeVne. (10.96
Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti Aie a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace
Me e
,10.97
10.9 Ambipolarní difúze
Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difúzni rovnici pro elektrony:
re = -DeVríe, (10.98
kde difúzni koeficient volných elektronů je definován
De =------. 10.99
meuce
Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme
Ti = -DeVn'i, (10.100
kde
kT
Di =------- (10.101
mlucl
označuje difúzni koeficient volných iontů.
=> neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze. V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwello-vou rovnicí
„ „ p eyrij — ne,
V-E = - = ^^-------. (10.102
Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi => použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char, délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (10.73'
E--------, (10.103
takže el. síla na jednotk. hmotnost
eE e2nL
}E =---------------• 10.104
m meo
" Difúzni síla" na jednotk. hmotnost z (10.73)
fD = —|Vn| ~ J^-. (10.105
mno mnoL
=>• El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud /e <ŠC /d, tj.
L2 < 5-^ = Af>, (10.106
noez
kde A^> je Debyeova délka. To je splněno zřídka a musíme uvažovat tzv. ambipolarm difúzi. Předp., že změny hustoty elektronů i iontů jsou prvního řádu "malosti"
na(r,t)=n0 + ría(r,t), (10.107
kde a = e, i a n'a ^ no, a že ua mají velmi malou amplitudu. Použijeme linearizovanou rovnici kontinuity
n" +n0V-ua = 0 (10.108
a
dt
a linearizovanou rovnici hybnosti za předp. konstantních teplot a bez mg. pole
—— = —E----------Vna - vcauai (10.109
at ma man0
kde pole prostorového náboje splňuje rci (10.102). Rovněž předp. že střední rychlost neutrálů je nulová a zanedbáváme srážky elektron-iont. Vezmeme divergenci (10.109) a použijeme rovnici kontinuity 10.108):
qa U/V-E + —V2n ,-vcn—-. 10.110
ot2 ma ma ot
Nahradíme V • E z Maxwellovy rovnice (10.102) a dostáváme soustavu rovnic
Q2< ulAn' - n') + ^VV - vj^ (10.111
dt2 peA % eJ me e ce dt
d2< -Ä-níl + ^VV-^. (10.112
dt2 piK l eJ nu l ce dt
Musíme provést další zjednodušení. Podobně jako dříve jestliže vcr ^> 1, kde r je charakteristická doba difúze, můžeme cleny na levé straně rovnic zanedbat. Jejich zkombinováním tedy dostáváme
O TI O TI
{rí% - ríe){ule - u2pi) + fcTeVVe + kTzV2rít - meuce-^ - m^^f = 0. (10.113
Pomocí další aproximace n'e = n' = ti!
OTI
k(Te + Ti)VV - (mevce + masa)— = 0, (10.114
ot
což můžeme přepsat jako
kde
je koeficient ambipolárm difúze.
dn' ~dt
AvW,
Dr
k(Tfí + Tt
meVr, + mtp(
l^Cl
10.115
10.116