Modely principála a agenta Jan Mysliveček Přf Muni 17.října 2008 Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 1 / 29 Asymetrie informací Doktor vs. pacient Právník a jeho klient Dodavatel a ceny Manažer a majitel firmy Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 2 / 29 Asymetrie informací Doktor vs. pacient Právník a jeho klient Dodavatel a ceny Manažer a majitel firmy Důsledky Nelze podmínit kontrakt neveřejnou informací Motivace manipulovat informaci Právník o obtížnosti příkladu, lékař o potřebě léčby Manažeři investičních fondů (herding behavior) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 2 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Manažer vybírá projekt Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Manažer vybírá projekt Nevymahatelná informace Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Manažer vybírá projekt Nevymahatelná informace Obě strany se dozví danou informaci Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Manažer vybírá projekt Nevymahatelná informace Obě strany se dozví danou informaci Nelze její hodnotu vymáhat u soudu Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Tři typy problémů Skrytá informace Dodavatel ví o svých nákladech Doktor zná náklady optimální léčby Skrytá akce Právník volí úsilí Doktor volí typ léčby Manažer vybírá projekt Nevymahatelná informace Obě strany se dozví danou informaci Nelze její hodnotu vymáhat u soudu Úsilí lze zjistit, ale ne dokázat Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 3 / 29 Modely se skrytou informací Podstatná informace skryta jedné straně Jeden nakupující(principál), jeden prodávající (agent) Principál nabízí kontrakt agentovi (cenu, množství) Náklady agenta jsou pro něj neznámé Agent má zájem předstírat vysoké náklady Principál chce vždy nakoupit, ale co nejlevněji Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 4 / 29 Model Užitek principála je S(q), S 0, S 0 Kontrakt stanovuje množství q a cenu t Mezní náklady prodávajícího jsou {, } Typ agenta () je určen náhodně (, 1 - ) Časování Agent se dozví svůj typ Principál nabídne menu kontraktů {q, t} Agent si vybere z menu (a vedlejší možnosti) Kontrakt je realizován Agent je rizikové neutrální, maximalizuje t - q Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 5 / 29 Veřejná informace Co se stane když je informace veřejná? Kontrakt může být podmíněn touto informací Odlišný kontrakt pro agenta s nízkými náklady a vysokými náklady Separátně lze najít optimální kontrakty Mezní náklady rovny meznímu užitku v optimu S (q) = , S (q) = , Hraniční řešení (S(q) - q < 0,. . . ) Optimální množství, principál obdrží veškerý výnos I při sdílení výnosů (vyjednávání) stejný výsledek Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 6 / 29 Neveřejná informace Principál nemůže navrhnout typ kontraktu pro určitý typ agenta Předpoklad: Principál nabízí dva kontrakty : (q, t), (q, t) Usiluje o maximalizaci užitku S(q) - t Každý kontrakt musí být pro agenty přijatelný t - q 0, t - q 0 Příslušný kontrakt musí být lepší než alternativy t - q t - q (1) t - q t - q (2) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 7 / 29 Grafické zobrazení U = t - q = 0 U = t - q = 0 V = S(q) - t V = S(q) - t t t q q B A t q Obrázek: Grafické zobrazení problému principála a agenta. Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 8 / 29 Informační renta Přepis problému do informačních rent U = t - q, U = t - q Principál maximalizuje (S(q) - q) + (1 - )(S(q) - q) - (U + (1 - )U) za podmínek U 0, U 0 a U U + q (3) U U - q (4) Protože agent s nízkými náklady může přijmout kontrakt q, , jeho užitek musí být větší než nula neboť t - t = t - q + t = U + q Problém lze řešit pomocí Lagrangeových koeficientů, či Kuhn-Tuckerových podmínek. Komplikované při rostoucím počtu omezení. Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 9 / 29 Omezující podmínky Některé podmínky nejsou omezující Agent s nízkými náklady může předstírat že má vysoké náklady Pro agenta s vysokými náklady to není výhodné Agent s nízkými náklady musí mít kladný užitek (U > 0) Agent s vysokými náklady preferuje svůj kontrakt ostře Zbývající dvě podmínky musí být splněny s rovností Ze čtyř nerovností zbyly dvě rovnosti, řešitelný problém S (q) = + 1 - (5) S (q) = (6) t = q (7) t = q + q (8) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 10 / 29 Grafické zobrazení 2 BSB ASB U = t - q = 0 U = t - q = 0 V = S(q) - t V = S(q) - t t SB t t q q A B t q C tSB qSB Obrázek: Grafické řešení problému principála a agenta. Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 11 / 29 Příklad Ověřte, že funkce S(q) = log(q + 1) splňuje požadované příklady. Vyřešte problém pro eta = 1 2 , = 1, = 2 Řešení: První a druhá derivace S Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 12 / 29 Příklad Ověřte, že funkce S(q) = log(q + 1) splňuje požadované příklady. Vyřešte problém pro eta = 1 2 , = 1, = 2 Řešení: První a druhá derivace S Omezující podmínky, 2 rovnosti Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 12 / 29 Příklad Ověřte, že funkce S(q) = log(q + 1) splňuje požadované příklady. Vyřešte problém pro eta = 1 2 , = 1, = 2 Řešení: První a druhá derivace S Omezující podmínky, 2 rovnosti Vyřešit je Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 12 / 29 Příklad Ověřte, že funkce S(q) = log(q + 1) splňuje požadované příklady. Vyřešte problém pro eta = 1 2 , = 1, = 2 Řešení: První a druhá derivace S Omezující podmínky, 2 rovnosti Vyřešit je Ověřit, že zbývající nerovnosti jsou splněny Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 12 / 29 Příklad Ověřte, že funkce S(q) = log(q + 1) splňuje požadované příklady. Vyřešte problém pro eta = 1 2 , = 1, = 2 Řešení: První a druhá derivace S Omezující podmínky, 2 rovnosti Vyřešit je Ověřit, že zbývající nerovnosti jsou splněny Je odlišení agentů výhodnější než nabídka jediného kontraktu? Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 12 / 29 Více než dva typy Co se změní když nejsou jen dva typy, ale např. tři a více? Začneme se třemi typy, později kontinuum typů Principál stále bude nabízet tolik kontraktů, kolik je typů Začněme kontrakty, které rozlišují tři typy {, ^, } Zjednodušení: - ^ = ^ - = > 0. Přijatelné kontrakty U = t - 0; ^U = ^t - ^ ^q 0; U = t - q 0 Kompatibilní kontrakty Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 13 / 29 Omezující podmínky Pro hráče s U ^U - ^q (9) U U - 2q (10) Pro hráče s ^ ^U U + q (11) ^U U - q (12) Pro hráče s U ^U + ^q (13) U U + 2q (14) Sečtením lze odvodit: q ^q q Jen " lokální" omezení jsou relevantní Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 14 / 29 Relevantní omezení Zůstala tato omezení U ^U + ^q (15) ^U U + q (16) ^U U - q (17) U ^U - ^q (18) (19) Druhá z těchto podmínek není omezující Podobně jako dříve lze ukázat že z omezení na přijatelnost kontraktů je relevantní jen U 0. Maximalizační problém je max {{(U,q),( ^U,^q),(U,q)}} (S(q) - q - (20) -U) + ^(S(^q) - ^ ^q - ^U) + (S(q) - q - U, (21) za uvedených 4 podmínek. Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 15 / 29 Výsledky Rostoucí množství není vždy optimální Principál muže preferovat neodlišit všechny agenty Pokud ^ > , pak podmínky monotonicity jsou splněny s ostrou nerovností a optimální množství jsou qSB = q, ^qSB < ^q, qSB < q a S (^qSB ) = ^ + ^ , (22) S (qSB ) = + + ^ , (23) Pokud ^ , pak qSB = q, a ^qSB = qSB = qp < q a S (qp ) = + 2 + ^ , (24) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 16 / 29 Kontinuum typů Formulace pro [, ] Kumulativní distribuce F(), hustota f () > 0 Přímá nabídka {(q(), t())} pro všechny typy [, ] Přijatelnost kontraktu pro daný typ t() - q() 0 Kompatibilita pro daný typ t() - q() t( ) - q( ) Musí také platit t( ) - q( ) t(~) - q(~) Z těchto podmínek vyplývá ( - )(q( ) - g()) 0 Funkce q() musí být rostoucí. Podmínky kompatibility vedou na diferenciální rovnici pro všechna ˙t() - ˙q() = 0 Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 17 / 29 Kontinuum typů 2 Podmínky druhé řádu v optimálním řešení - ˙q() 0 Z lokálních podmínek lze odvodit globální integrací Při značení U() = t() - q() platí ˙U = -q() Principálův problém je max (S(q()) - q() - U())f ()d (25) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 18 / 29 Modely se skrytou akcí Agent má možnost volby akce (úsilí) Vyšší úsilí je nákladné pro agenta, prospěšné pro principála Výsledek nezávisí jen na akci agenta Principál nemůže přikázat akci, ani se ji nedozví Principál může sestavit kontrakt tak, aby agent zvolil optimální akci Agent získává informační rentu Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 19 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Časování Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Časování Principál nabídne menu kontraktů Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Časování Principál nabídne menu kontraktů Agent si vybere kontrakt Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Časování Principál nabídne menu kontraktů Agent si vybere kontrakt Kontrakt je realizován Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Model Agent volí dvě úsilí (vysoké e = 1, nízké e = 0) Vysoké úsilí stojí Výsledek je budťo " úspěch" (q) nebo " neúspěch" (q) Vysoké úsilí dělá úspěch pravděpodobnější Pravděpodobnost úspěchu 1 > 0 Časování Principál nabídne menu kontraktů Agent si vybere kontrakt Kontrakt je realizován Dříve typ daný náhodně, teď je to volba Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 20 / 29 Veřejná informace Když je úsilí pozorovatelné, kontrakt může vyžadovat vysoké úsilí Vyžadovat vysoké úsilí je optimální když 1q + (1 - 1)q - 0q + (1 - 0)q Předpokládáme, že je ta podmínka splněna Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 21 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Optimální kontrakt s vysokým úsilím Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Optimální kontrakt s vysokým úsilím Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Optimální kontrakt s vysokým úsilím Kontrakt je přijatelný 1u(t) - (1 - 1)u(t) - 0 Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Optimální kontrakt s vysokým úsilím Kontrakt je přijatelný 1u(t) - (1 - 1)u(t) - 0 Kontrakt vede k vysokému úsilí 1u(t) - (1 - 1)u(t) - 0u(t) - (1 - 0)u(t) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Neomezené ručení Předpoklad: Užitek agenta je U = u(t) - (e) Rizikově neutrální agent u(t) = t Nízké úsilí je bezplatné (0) = 0, označíme (1) = Agent může platit principálovi v případě neúspěchu Platba agentovi může záviset jen na úspěchu a neúspěchu Kontrakt specifikuje platbu při úspěchu (t) a neúspěchu (t) Optimální kontrakt s vysokým úsilím Kontrakt je přijatelný 1u(t) - (1 - 1)u(t) - 0 Kontrakt vede k vysokému úsilí 1u(t) - (1 - 1)u(t) - 0u(t) - (1 - 0)u(t) Optimální kontrakt pro principála max t,t 1(S(q) - t) + (1 - 1)(S(q) - t) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 22 / 29 Řešení pro u(t) = t: t = - 0 (26) t = 1 - 0 (27) Vyšší úsilí je optimální když 1S(q) + (1 - 1)S(q) - 0S(q) + (1 - 0)S(q) Označíme S = S(q) - S(q) Pak S Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 23 / 29 Neomezené ručení V případě neúspěchu agent platí principálovi Očekávaná platba je Agent má v průměru nulový užitek Veškerý výnos připadne principálovi Okolnosti někdy omezují platbu agenta principálovi Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 24 / 29 Neomezené ručení V případě neúspěchu agent platí principálovi Očekávaná platba je Agent má v průměru nulový užitek Veškerý výnos připadne principálovi Okolnosti někdy omezují platbu agenta principálovi Zaměstnanec není vždy zodpovědný Manažer nemá majetek na pokrytí ztráty Právník neplatí klientovi při neúspěchu Dražitel neplatí majiteli když objekt nepřiláká dostatek zájemců Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 24 / 29 Omezené ručení Agent může zaplatit nejvýše -l, l > 0 Agent je rizikově neutrální u(q) = q Někdy tato podmínka nemusí být omezující Pokud ano (0 l 0 ), pak tDN = -l, tDN = -l + (28) Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 25 / 29 Omezené ručení Agent může zaplatit nejvýše -l, l > 0 Agent je rizikově neutrální u(q) = q Někdy tato podmínka nemusí být omezující Pokud ano (0 l 0 ), pak tDN = -l, tDN = -l + (28) Agent má kladný očekávaný užitek Existuje rozsah parametrů, kdy optimální úsilí není vymahatelné Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 25 / 29 Omezené ručení Agent může zaplatit nejvýše -l, l > 0 Agent je rizikově neutrální u(q) = q Někdy tato podmínka nemusí být omezující Pokud ano (0 l 0 ), pak tDN = -l, tDN = -l + (28) Agent má kladný očekávaný užitek Existuje rozsah parametrů, kdy optimální úsilí není vymahatelné Porovnání výnosů při vysokém a nízkém úsilí (l = 0) 1S(q) + (1 - 1)S(q) - 1 0S(q) + (1 - 0)S(q) Označme S = S(q) - S(q) > 0 Vyšší úsilí je optimální pro principála když S 1 Ekvivalentně S + 0 Vyšší úsilí je vymáháno méně často, než je optimální Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 25 / 29 Příklad Vyřešte problém u(q) = q, = 1, 0 = 1 3 , 1 = 2 3 , q = 0, q = 6 Optimální kontrakt při neomezeném ručení. Je vysoké úsilí optimální? Optimální kontrakt při l = 0. Optimální úsilí? Porovnejte platby v případě úspěchu Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 26 / 29 Rizikově averzní agent Alternativní přístup (omezené ručení nebo rizikově averzní agent) Původní kontrakt není přijatelný Agent preferuje " jistější" kontrakt (tj. s menší variací) Principál nemůže přenést riziko na agenta V optimálním kontraktu principál přijímá část rizika Ne všechno riziko, protože pak by chyběla motivace agenta Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 27 / 29 Spojitý model Výsledek závislý na úsilí a náhodě, interval možných úsilí Např q = e + , kde N(0, 2, e [0, ] Konstantní absolutní averze k riziku u(t, e) = -e[t-(e)], Náklady úsilí (e) = 1 2 ce2 Lineární kompenzační schémata t = f + ge Problém pro principála maxe,f ,g E(q - t), q = e + , t = f + ge Podmínky E(-e-[f +g(e+)- 1 2 ce2] ) u e arg maxE(-e-[f +g(e+)- 1 2 ce2] Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 28 / 29 Spojitý model Lze ukázat, že E(e ) = e 1 2 22 Takže je podmínka ve tvaru e arg max[f + eg - 1 2 ce2 - 2 g2 2 ] Maximalizační problém je pak maxt,s s c - (t + s2 c ), Řešení g = 1 1 + c2 Co se stane, když vzroste , c, 2? Hodnota f závisí na hodnotě vedlejší příležitosti Jan Mysliveček (Přf Muni) 17/10 29 / 29