Téma 9: Parametrické úlohy o jednom a dvou nezvislých náhodných výběrech z alternativních rozložení Úkol 1.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr alternativního rozložení Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných osob, očekávat se spolehlivostí 0,95, že by v této době ve volbách překročila 5% hranici pro vstup do parlamentu? Návod: Zavedeme náhodné veličiny X[1], ..., X[1000], přičemž X[i] = 1, když i-tá osoba se vysloví pro danou politickou stranu a X[i] = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný výběr z rozložení A( ). V tomto případě n = 1000, m = 60/1000 = 0,06, α = 0,05, u[1-α] = u[0,95] = 1,645. Ověření podmínky n (1- ) > 9: parametr neznáme, musíme ho nahradit výběrovým průměrem. Pak 1000.0,06.0,94 = 56,4 > 9. 95% levostranný interval spolehlivosti pro je . V našem případě S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy > 0,048. Protože tento interval zahrnuje i hodnoty nižší než 0,05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5% hlasů. Postup ve STATISTICE: Přesný způsob: Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné (nazveme ji d) a o jednom případu. Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme =0,06-sqrt(0,06*0,94/1000)*VNormal(0,95;0;1) Vyjde 0,047647. Přibližný způsob: Do nového datového souboru o jedné proměnné X a 1000 případech uložíme 60 jedniček (indikují volbu dané politické strany) a 940 nul (indikují volbu jiné politické strany). Statistika – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. – Interval 90,00 – Výpočet. Dostaneme tabulku: Protože dolní mez oboustranného 90% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu je shodná s dolní mezí 95% levostranného intervalu spolehlivosti, můžeme konstatovat, že voliči budou volit danou politickou stranu s pravděpodobností aspoň 4,76%. Na základě uvedených dat strana tedy nemá zaručeno, že překročí 5% hranici pro vstup do parlamentu. Úkol k samostatnému řešení: Přírůstky cen akcií na burze (v %) u 10 náhodně vybraných společností dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Sestrojte 95% asymptotický empirický interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%. Výsledek: 0,096 < < 0,704 s pravděpodobností aspoň 0,95. Znamená to, že pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%, je aspoň 9,6% a nanejvýš 70,4% (při spolehlivosti 95%.) Úkol 2.: Testování hypotézy o parametru alternativního rozložení Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků. Z několika minulých let ví, že 30% všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti 0,05. Návod: Máme náhodný výběr X[1], ..., X[150] z rozložení A(0,3). Testujeme H[0]: = 0,3 proti levostranné alternativě H[1]: < 0,3. V tomto případě je testovým kritériem statistika , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky rozložení N(0,1). Musíme ověřit splnění podmínky n (1- ) > 9: 150.0,3.0,7 = 31,5 > 9. Vypočteme realizaci testového kritéria: . Kritický obor: = . Protože testové kritérium nepatří do kritického oboru, H[0] nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Postup ve STATISTICE: Přesný způsob: Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných (nazveme je t0 a kvantil) a jednom případu. Vypočteme realizaci testového kritéria tak, že do Dlouhého jména proměnné t0 napíšeme =(38/150-0,3)/sqrt(0,3*0,7/150) Do Dlouhého jména proměnné kvantil napíšeme =VNormal(0,95;0;1) Tím získáme kvantil u[0,95] a testové kritérium porovnáme s opačnou hodnotou tohoto kvantilu. Jelikož testové kritérium je větší než -1,644854, H[0] nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Přibližný způsob: Do nového datového souboru o jedné proměnné X a 150 případech uložíme 38 jedniček (indikují zájem o danou zemi) a 112 nul (indikují nezájem o danou zemi). Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, samost. vzorek – OK – Proměnné X – OK, Test všech průměrů vůči 0,3 – Výpočet. Hodnota testové statistiky je při tomto přibližném způsobu -1,30976. Odpovídající p-hodnota je 0,1923, ovšem to je p-hodnota pro oboustranný test. Tuto p-hodnotu tedy musíme dělit dvěma a dostaneme 0,0961. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu, že zájem o danou zemi se nezměnil. Úkol 3.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametrickou funkci Při výstupní kontrole bylo náhodně vybráno 150 výrobků vyrobených na ranní směně a rovněž 150 výrobků vyrobených na odpolední směně. U ranní směny bylo zjištěno 16 zmetků a u odpolední 12 zmetků. Sestrojte 95% asymptotického interval spolehlivosti pro rozdíl pravděpodobností vyrobení zmetku v obou směnách. Návod: Zavedeme náhodnou veličinu X[1i], která bude nabývat hodnoty 1, když i-tý výrobek z ranní směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150. Náhodné veličiny X[1,1], …, X[1,150] tvoří náhodný výběr z rozložení . Dále zavedeme náhodnou veličinu X[2i], která bude nabývat hodnoty 1, když i-tý výrobek z odpolední směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150.. Náhodné veličiny X[2,1], …, X[2,150] tvoří náhodný výběr z rozložení . n[1] = 150, n[2] = 150, m[1] = 16/150 = 0,1067, m[2] = 12/150 = 0,08. Ověření podmínek n[1] (1- ) > 9 a n[2] (1- ) > 9: Parametry a neznáme, nahradíme je odhady m[1]a m[2]: 16.(1-16/150) = 14,29 > 9, 12.(1-12/150) = 11,04 > 9. Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci jsou: Zjistili jsme tedy, že s pravděpodobností přibližně 0,95: –0,039 < < 0,092. Postup ve STATISTICE: Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými d a h a o jednom případu. Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme: =16/150-12/150-sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1) Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme: =16/150-12/150+sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1) Dostaneme tabulku S pravděpodobností přibližně 0,95 se rozdíl pravděpodobností vyrobení zmetku na ranní a odpolední směně nachází v intervalu (-0,039; 0,092. Úkol 4.: Testování hypotézy o parametrické funkci Pro údaje z úkolu 3 testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že pravděpodobnost vyrobení zmetků v obou směnách je táž. Postup ve STATISTICE: Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,1067, do políčka N1 napíšeme 150, do políčka P 2 napíšeme 0,08, do políčka N2 napíšeme 150 –Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,4274, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.