Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ
SYSTÉMY
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz
 Institut biostatistiky a analýz
VII.
SYSTÉMY
FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH
SYSTÉMŮ
VNĚJŠÍ (VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ) POPIS
 Institut biostatistiky a analýz
FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ)
POPIS SYSTÉMU
Matematické prostředky se různí podle:
 typu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé
na časovém měřítku);
 charakteru proměnných (spojité, diskrétní,
logické);
 determinovanosti proměnných a parametrů
(deterministické, nedeterministické pravděpodobnostní,
fuzzy,...);
 vztahu k okolí (autonomní, neautonomní);
 proměnnosti parametrů (lineární, nelineární,
časově proměnné);
 vztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);
 Institut biostatistiky a analýz
TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ
SYSTÉM
základními vlastnostmi biologických systémů jsou:
 přirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem);
 veliký rozměr (velký počet stavových proměnných
a ne vždy je přesně znám);
 složitá hierarchická struktura;
 významná interakce na všech úrovních jejich
struktury (často časově proměnná);
 velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci)
­ rozptyl uvnitř populace ­ interindividuální
variabilita;
 velké rozdíly v chování jednotlivých realizací
(jedinců) v čase ­ intraindividuální variabilita;
 Institut biostatistiky a analýz
TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ
SYSTÉM
základními vlastnostmi biologických systémů jsou i:
 nestacionarita a neergodicita nedeterministického
chování;
 předpoklady o linearitě představují velice hrubou a
omezenou aproximaci;
 významné omezení počtu experimentů
opakovatelných za dostatečně srovnatelných
podmínek;
 významné omezení experimentů z hlediska
prevence škod;
 experimenty na jedincích různého typu (člověk x
zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z
hlediska kvality, tak kvantity
 Institut biostatistiky a analýz
 

t
L
t
LCC du
L
1
iadi
C
1
u
)t(u)t(u)t(u)t(u 1CLR 
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu
 Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
L1
1L
L
C
LC1
u
L
1
'itedya
dt
di
.L
dt
di
.Lua
dt
du
.Ciii


Pak lze psát
1C11 uu'i.Li.R 
 Institut biostatistiky a analýz
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za
proud i1 a jeho derivaci ze vztahu mezi proudem a napětím
na kapacitě je
)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1CCC 
a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním
napětím, tj. uC(t) = u2(t) lze psát matematický vztah mezi
výstupním u2 (t) a vstupním u1(t) napětím obvodu
)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1222 
.
Vztah mezi vstupem a výstupem
­ jedna z forem vnějšího popisu
 Institut biostatistiky a analýz
obecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje
diferenciální rovnice n-tého řádu
bny(n) + bn-1y(n-1) + ... + b0y = amx(m) + am-1x(m-1) +
... + a0x ,
která je, za předpokladu že parametry an, an-1, ...,
a0, bm, bm-1, ..., b0 jsou konstantní, lineární;
prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž
výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím
vstupního signálu, proto musí platit m  n;
VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS
 Institut biostatistiky a analýz
LINEARITA
Systém je lineární, platí-li pro něj princip
superpozice
Je-li y=f(x) převodní funkce systému, pak pro
lineární systém musí platit
1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2);
2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.
 Institut biostatistiky a analýz
A to je jen tehdy, je-li
y=k.x, kde k = konst.
1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2)
2) c.k.x = k.c.x
LINEARITA
 Institut biostatistiky a analýz
A neplatí to ani, když
y=k.x-q, kde k,q = konst.,
protože
1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) 
k.(x1+x2)-q
2) c.(k.x-q)  (k.c.x-q)
LINEARITA
 Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
DEFINIČNÍ VZTAH
kde p = +j.




0
pt
dte).t(f)p(F
 Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
DEFINIČNÍ VZTAH
kde p = +j.
Pamatujeme si ještě definiční vztah
Fourierovy transformace?




0
pt
dte).t(f)p(F
 Institut biostatistiky a analýz
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
DEFINIČNÍ VZTAH
kde p = +j.
Pamatujeme si ještě definiční vztah
Fourierovy transformace?




0
pt
dte).t(f)p(F




 dte).t(f)j(F tj
 Institut biostatistiky a analýz
VLASTNOSTI
 spousta úžasných vlastností ekvivalentních
vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco
co se neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních
rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné
algebraické)
 Laplacův obraz derivace:
f'(t) ~ p.F(p) - f(0)
f(n)(t) ~ pn.F(p) - pn-1f(0) ­ pn-2f'(0) - ... - f(n-1)(0)
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
 Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1222 
Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů
obou veličin. Za předpokladu nulových počátečních
podmínek pro Laplacův obraz n-té derivace funkce y(t) platí
0)p(Yp)t(y n)n(

Do dosazení dostáváme
)p(U)p(U).1p.RCp.LC(
)p(U)p(U)p(pU.RC)p(Up.LC
12
2
1222
2


 Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát
LC
1
p
L
R
p
1
.
LC
1
1p.RCp.LC
1
)p(U
)p(U
)p(F
2
2
1
2




Takto definovanou funkci za nulových počátečních
podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou)
přenosovou funkci daného systému.
 Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
pro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu
bny(n) + bn-1y(n-1) + ... + b0y =
= amx(m) + am-1x(m-1) + ... + a0x ,
má přenosová funkce lineárního systému za
předpokladu nulových počátečních podmínek tvar
01
2n
2n
1n
1n
n
n
01
2m
2m
1m
1m
m
m
bpbp.bp.bpb
apap.ap.apa
)p(X
)p(Y
)p(F


 









 Institut biostatistiky a analýz
polynom ve jmenovateli přenosové funkce
nazýváme charakteristickým polynomem
systému a rovnici
charakteristickou rovnicí systému
01
2n
2n
1n
1n
n
n bpbp.bp.bpb  


 
0bpbp.bp.bpb 01
2n
2n
1n
1n
n
n  


 
PŘENOSOVÁ FUNKCE
 Institut biostatistiky a analýz
řešením charakteristické rovnice
resp.
dostaneme n jejích kořenů pi, i=1,...,n.
0bpbp.bp.bpb 01
2n
2n
1n
1n
n
n  


 
0'bp'bp.'bp.'bp 01
2n
2n
1n
1n
n
 


 
PŘENOSOVÁ FUNKCE
 Institut biostatistiky a analýz
Podobně můžeme určit i kořeny zj, j=1,...,m
rovnice, která vznikne položením polynomu
v čitateli přenosové funkce rovno nule, tj.
Kořeny pi i zj mohou být obecně reálné i
komplexní; za předpokladu, že koeficienty
bi, resp. aj jsou reálné, pak kořeny pi i zj,
jsou-li komplexní, jsou komplexně
sdružené.
0apap.ap.apa 01
2m
2m
1m
1m
m
m  


 
PŘENOSOVÁ FUNKCE
 Institut biostatistiky a analýz
PŘENOSOVÁ FUNKCE
)pp.(...).pp).(pp(
)zp.(...).zp).(zp(
.c
)p(X
)p(Y
)p(F
n21
m21
m



Pomocí hodnot kořenů zj a pi můžeme psát přenosovou
funkci ve tvaru
Kořeny zj nazýváme nulové body přenosové funkce a
kořeny pi póly přenosové funkce F(p)
 Institut biostatistiky a analýz
 proměnná p má obecně komplexní charakter a
tedy nabývá tvaru
p =  + j ,
kde  je koeficient tlumení a  = 2f je kruhová
frekvence
 předpokládejme, že koeficient tlumení
 = 0,
pak po dosazení za p v operátorové přenosové
funkci dostáváme
což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí
systému
)(j
e.)j(F
)j(X
)j(Y
)j(F 




FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
 frekvenční charakteristika je grafické
vyjádření frekvenční přenosové funkce
systému (geometrické místo koncových
bodů vektoru přenosu pro frekvence,
prakticky pouze v intervalu 0   < )
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
 frekvenční charakteristiky vyjadřujeme
zpravidla dvěma způsoby:
frekvenční charakteristika v komplexní rovině
F(j) = Re [F(j)] + j.Im [F(j)]
modulová (amplitudová) a fázová frekvenční
charakteristika
F(j) = |F(j)|.ej()
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA
V KOMPLEXNÍ ROVINĚ
v tomto případě kreslíme
frekvenční charakteristiku
nejčastěji v komplexní
rovině s osami, na které
vynášíme reálnou a
imaginární složku přenosu;
frekvenční vlastnosti
systému vyjadřuje křivka v
komplexní rovině, jejímž
parametrem je kruhová
frekvence 
 Institut biostatistiky a analýz
 vlastnosti systému určují dvě funkce ­ závislost
modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na
frekvenci;
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ
CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
 v některých případech se využívá pro znázornění
těchto charakteristik logaritmické měřítko amplitudu
pak vyjadřujeme v decibelech
|F(j)|dB = 20.log |F(j)|
Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy
je přenosová funkce systému určena součinem
dílčích přenosových funkcí
F(j) = F1(j). F2(j). ... . Fk(j);
pak platí
|F(j)|.ej() = |F1(j)|. |F2(j)|... |Fk(j)|.ej(
1
+ 
2
+...+ 
k
)
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ
CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ
CHARAKTERISTIKA
 Institut biostatistiky a analýz
 

t
L
t
LC
C
C du
L
1
iadi
)u(C
1
u
)t(u)t(u)t(u)t(u 1CLR 
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO
SYSTÉMU
nyní předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na
kondenzátoru
 Institut biostatistiky a analýz
L1
1L
L u
L
1
'itedya
dt
di
.L
dt
di
.Lu 
a tedy i 1C11 uu'i.Li.R 
Pak se poněkud komplikuje určení i1 = iC ze vztahu


t
C
C
C di
)u(C
1
u
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO
SYSTÉMU
 Institut biostatistiky a analýz
CC
t
C u).u(Cdi 
  CCCCCCCC 'u).u(Cu.'u).u('C'u).u(Ci 
Platí, že
Potom pro iC platí
      CC
2
CCCCCCCC1 ''u.u.k2'u.k2''u.u'u.'u.k2''u.u.k2'i'i 
Pro jednoduchost, nechť je C(u2) = k.u2 a tedy C`(u2) = k ;
pak
CCCCCCC1 'u.u.k2'u.u.ku.'u.kii 
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO
SYSTÉMU
 Institut biostatistiky a analýz
  1CCC
2
CCC uu''u.u.L.k2'u.L.k2'u.u.R.k2 
A po dosazení dostáváme
Protože C(uC) = k.uC, můžeme psát
  1CCCCCCC
1CCCCCCCC
uu'u.'u).u('C.L2)u(C.R2''u).u(C.L2
uu''u).u(C.L2'u.'u).u('C.L2'u).u(C.R2


A tedy obecně
bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + ... + b0().y =
= am().x(m) + am-1().x(m-1) + ... + a0().x
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO
SYSTÉMU
 Institut biostatistiky a analýz
bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + ... + b0().y =
= am().x(m) + am-1().x(m-1) + ... + a0().x
() znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné
popisující chování systému ­ její průběh, ale obecně závisí
na vstupním signálu

(1)Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na
systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení)
(2) Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace
proměnné lze počítat (zda-li) jen pro konkrétní
případ a tedy nelze obecně stanovit tvar
operátorové přenosové funkce nelineárního systému
VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO
SYSTÉMU