1. Pomocí ekvivalentních a dusledkových úprav najděte řešení kvadratické rovnice a ■ x2 + b ■ x + c = 0. Jak vypadá řešení pro a = 0? Návod: odečtěte od levé strany rovnice vhodnou konstantu tak, aby se dala vyjádřit jako druhá mocnina výrazu (ax + /?). Řešení: Za podmínky o^O můžeme celou rovnici podělit a zavést označení 2B = b/a, C = c/a. Máme a ■ x + b ■ x + c = 0/ : a (a ^ 0), 2B = b/a, C = c/a x2 + 2B • x + C = 0. Teď se potřebujeme zbavit mocniny tedy rovnici odmocnit. Přitom ale nechceme, aby neznámá x zůstala pod odmocninou, to by řešení neusnadnilo. Tomu se vyhneme jedině tak, že výrazy obsahující proměnnou x vyjádříme jako druhou mocninu vhodného výrazu. Zcela konkrétně: kdybychom na levé straně rovnice měli výraz x2 + 2Bx + B2 = (x + B)2, mohli bychom jej snadno odmocnit. Nic nám ale nebrání jej získat, stačí k oběma stranám rovnice přičíst B2 a odečíst C. x2 + 2-B-x + C = 0 /+B2 - C x2 + 2 ■ B ■ x + B2 = B2 - C (x + ß)2 = ß2-C/vT x + B = ±VB2 -C. V posledním kroku přitom musíme uvážit, že odmocnina má dva možné výsledky. Dále už jenom odečteme B a řešení vyjádříme pomocí původních parametrů a, 6, c: B ± VB2 - C 2a V 4 • a2 a b lb2 - Aac 2~a V 4-a2 b± \/b2 - Aac 2a ' Tím jsme získali výsledek známý ze středoškolských učebnic. 9p 2. Cyklista jede prvních 15 km trasy po rovině rychlostí 30 km • h_1, pak stoupá 20 minut do kopce rychlostí 15 km • h_1 a 10 minut sjíždí rychlostí 60 km • h_1. Nakreslete graf cyklistovy rychlosti a dráhy cyklistou ujeté jako funkci času. Nakreslete graf jeho rychlosti jako funkci ujeté dráhy. Proč nemá smysl kreslit graf dráhy jako funkce rychlosti? 3. Nakreslete graf funkce 4sin(x — j). V grafu nezapomeňte správně označit osy a zanést průsečíky funkce s osami. (Návod: Můžete zkusit vypočítat funkční hodnotu v závislosti na proměnné) 4. Dráha uražená částicí závisí na čase vztahem s(t) = an -tn. Určete její okamžitou rychlost a jednotku veličiny an pro libovolné celé kladné n (nebo alespoň n = 2, 3, 4, 5). Řešení: Řešení je založené na jednoduché úvaze. Umíme spočítat průměrnou rychlost během určitého časového intervalu. Cím je tento interval kratší, tím lépe průměrná rychlost odpovídá rychlosti okamžité (v nějakém časovém okamžiku ležícím uvnitř intervalu). Pro interval trvající nulový čas jsou rychlosti průměrná a okamžitá stejné. x = x = X = X = 1 Průměrnou rychlost v časovém intervalu počínajícím v čase t\ a končícím v čase ti spočítáme jako dráhu uraženou za tento interval As = s(Í2) — s(^i) dělenou dobou trvání intervalu At = í2 -ti: vp{ti,t2) = s(t2)-s(t1)_ tl-t\ = av Í2 —ti Í2 — ti Dále si označíme í2 = ti + At. Dráha v čase ti + At je s(íi+Aí) = a„(í + Aí)n. Následující krok může být pro někoho matematicky poněkud obtížný - roznásobíme závorku a dostaneme n / n i (Í! + At) = an Y, í . ^(Aíf = an[tn + n(At)tn-1 + 0(At2)}. i=0 Důležité je rozdělení členů podle exponentu u At. Máme člen konstantní vzhledem k At (antn), člen lineárni (ann(At)tn_1) a členy, v nichž At vystupuje ve vyšší mocnině, zde souhrnně označené jako anO(Aí2). C(Aí2) nás podrobněji nezajímá, protože nakonec bude rovný nule. Pro průměrnou rychlost teď máme Vp(t1,t1 + Aí) = an ť{ + niAt)^-1 + C(Aí2) - ť{ _ n(Aŕ)ŕn-1 + C(Aí2) Nyní můžeme vydělit A, přitom podíl C(At2) a At bude obsahovat členy v At nejméně lineární, které si označíme O (At). up(íi,íi + Aí) = an(ntn-1 + O(Aí)). Chceme-li nyní znát okamžitou rychlost v čase ti, položíme At = 0. Tento obrat můžeme provést až poté, co jsme vydělením dráhy a času odstranili At ze jmenovatele. Hodnota O (At) bude za podmínky At = 0 nulová. v(ti) =vp(t1,t1 +0) = anntn-1. Jednotku an určíme následovně: s = antn H = M[tr m = íaJs" 5. Někdy se při televizním přenosu jízdy auta zdá, že se kola auta netočí. Jaká může být rychlost auta? Existuje více řešení. Potřebné údaje (rozměr kola, počet loukotí) odhadněte. Pokud se u jiného auta jedoucího stejně rychle točí kola dozadu, je průměr jeho kol větší nebo menší? Návod: v televizním vysílání se přenáší statické záběry s určitou frekvencí, které oko vnímá jako pohyb. Uvažujte například o situaci, kdy se mezi dvěma záběry kolo otočí tak, že polohy loukotí překrývají (tj. loukotě se posunou právě o jednu pozici). 2 Řešení: Televizní přenos se skládá z rychle po sobě následujících statických snímků. Frekvence snímků je / = 25,s_1 (televizory zobrazující s frekvencí 50,s_1 nebo 100,s_1 zobrazují jeden snímek vícekrát). Kolo se zdánlivě netočí, pokud se na po sobě následujících snímcích nachází vždy ve stejné poloze. Tomu například odpovídá, když se kolo mezi dvěma snímky otočí právě jednou dokola. Existují ale i další možnosti. Kolo má N (zpravidla 5- ,8) loukotí (paprsků) a při pootočení o úhel <3>i = 2n/N vypadá stejně jako před pootočením. Při pootočení kola o libovolný celočíselný násobek úhlu <3>i pak kolo opět vypadá nezměněně. Uhlová rychlost otáčení kola tedy musí být u = -^ = M$!/, kde M je libovolné přirozené číslo a T = í/f je doba mezi dvěma po sobě následujícími snímky. Při jedné otočce (o úhel 2n) se kolo odvalí o svůj obvod 2nr, kde r je poloměr kola. Pokud kolo neprokluzuje, posune se o stejnou vzdálenost dopředu i automobil. Uhlové rychlosti u> tedy odpovídá posuvná rychlost v = ujr. Kola auta se zdánlivě netočí, je-li rychlost auta v = 2,-nr—— t NJ pro libovolné přirozené M. Pro iV=5ar= 28 cm je nejmenší rychlost, při níž jev pozorujeme (M=l) v = S^m-s"1 = 32km-h"1. Konečně zodpovíme otázku, jak se liší průměr kol auta, která se při stejné rychlosti pohybu točí zdánlivě dozadu. V této situaci kola nedokončí celou otočku o úhel <3>i, ale pootočí se o úhel o něco menší. Uhlová rychlost otáčení kol je tedy menší. Protože posuvná rychlost je stejná, musí být průměr kol větší. * 6. Prezentace v rozsahu asi 10 minut na dané téma: Měření délky. Jednotky, měřidla. Jak velké jsou atom, molekula, světlo, živočišná buňka, vlas, planeta, sluneční soustava, galaxie. Eratosthenes a určení obvodu Země. 7. Prezentace v rozsahu asi 10 minut na dané téma: Aristotelovská představa o pohybu. Problém stálého pohybu planet. Kritika Aristotelovské představy a první Newtonův zákon. 8. Vyjádřete pomocí základních jednotek soustavy SI jednotku energie (joule, J) a jednotku elektrického odporu (ohm, íl). Kontrolou jednotek zjistěte, který z následujících vztahů pro výkon (P) elektrického proudu (I) procházejícího spotřebičem s elektrickým odporem R by mohl být správně: (a) P = I2/R, (b) P = I2 ■ R. Řešení: Joule: Jeden joule je práce vykonaná silou jednoho newtonu posunující předmět po dráze jednoho metru: J = N • m. Jinak také W = F ■ d, [W] = [F] ■ [d], J = N • m. Jeden newton je síla, která tělesu o hmotnosti jeden kilogram udělí zrychlení jeden metr za sekundu na druhou: N = kg • m • s—2. Jinak také F = ma, [F] = [m] ■ [a], N = kg • m • s—2. Spojením obou vztahů máme J = kg • m2 • s—2 Ohm: Spotřebič má odpor jeden ohm, pokud jím při přiloženém napětí jeden volt prochází proud jeden ampér: tt = V/A. Jinak také R = U/I, [R] = [U]/[I], tt = V • A"1. Mezi dvěma místy je potenciálový rozdíl (napětí) jeden volt, pokud je při přenesení náboje jeden coulomb vykonána práce jeden joule: V = J • C. Jinak také U = W/q, [U] = [W]/[q], V= J-C. 3 Vodičem prochází proud jeden ampér, pokud jím za dobu jedné sekundy projde náboj jeden coulomb: A = c • s-1. Jinak také I = Q/t, [I] = [Q]/[t], A = c • s-1. Spojením všech vztahů dostaneme íl = kg • m2 • s~3 • A~2. Ověření vztahů: (a) P = RI2 [P] = W = kg • m2 • s~3, [RI2] = Q • A2 = kg • m2 • s~3, tento vztah může platit (a také platí, což už ale jednotkovou analýzou zjistit nemůžeme). (b) P = R jI2 [R/I2] = íl ■ A~2 = kg • m2 • s~3 • A~4. Kvůli odlišnému exponentu u ampéru jsou jednotky na levé a pravé straně rovnice odlišné, vztah tedy nemůže platit. £ 9. Ze základních vlastností elektronu (hmotnost me = 9,11 • 10~31 kg, náboj e = 1,60 • 10~19 C) a základních fyzikálních konstant (Planckova konstanta % = 1,05 J-s, permitivita vakua £o = 8,85 • 10~12 C2 • N_1 • m~2) sestavte veličinu, jejíž jednotkou je délka, a spočítejte její hodnotu. Nápověda: C = A • s, J = kg • m2 • s~2, N = kg • m • s~2. Řešení: Hledanou veličinu zapíšeme ve tvaru x = (me)aebhc(e0)d Jednotka na pravé straně rovnice je [(me)aebhc(e0)d] = (kga) • (A • s)6 • (kg • m2 • s"1)0 • (A2 • kg"1 • m"1 • s4)d. Po přeskládání koeficientů [(me)aebhc(e0)d} = kga+c-d • m2c-3d • s6-c+4d • A6+2d. Z druhé strany ale jednotka celého výrazu musí být shodná s jednotkou x, tedy metrem. To vede na soustavu rovnic pro koeficienty a, 6, c, d. Například koeficient u kilogramu musí být 0, protože x ve své jednotce kilogram neobsahuje. To vede k rovnici a + c — d = 0. Podobně 2c — 3d = 1, b — c + Ad = 0, b + 2d = 0. Řešením soustavy je a = —1, b = —2, c = 2, d = 1. Hledaný výraz je x=^S=4.21-10-12m. Tento výraz se od Bohrova poloměru atomu vodíku (üb) liší pouze faktorem 4n: a^ = 4irx. 10. Pod jakým elevačním úhlem a je třeba hodit předmětem, aby při dané počáteční rychlosti vq dopadl co nejdál? Návod: spočítejte vzdálenost dopadu jako funkci úhlu a, maximum funkce najde z podmínky nulové derivace: x^ = 0. Řešení: Pro souřadnice předmětu v obecném čase platí x(t) = vo cos at 1 2 y {t) = vo srn at - -gt . V okamžiku dopadu to musí být y-ová souřadnice rovna 0 1 o v0smatD - -gtD = 0. Odtud 2«o sin a tD = -----------. 4 x-ová souřadnice v čase to udává vzdálenost dopadu. Platí pro ni 2vl ■ xd = x(to) = vq cos at d =-----sin a cos a. g Maximum xo jako funkce a najdeme z podmínky nulové derivace dxn(a) 2vn ., n9 . Non —^—t = —^ cos a f - siná 2 = 0. da g Tato podmínka je splněna pro siná = ±cosa, tedy tana = ±1. Jediným řešením v rozsahu smysluplných úhlů (0° - 90°) je a = 45°. £ 11. Jak se zvýší dostřel děla d (při stejné počáteční rychlosti koule vq a stejném náměrném úhlu a), pokud jej umístíme na skalní útes ve výši h nad vodorovnou rovinou? Řešení: Pro souřadnice dělové koule platí x(t) = vo cos at y (t) = h + vq sin at — -at2. Nejprve určíme dobu dopadu to z podmínky y (to) = 0, 1 h + vo sin at — —at2 = 0. Odtud vq sin a ± y^o sin a)2 + 2gh to =------------------------------------------• 9 Řešení s minusem vede na záporný čas a je nefyzikální (odpovídá okamžiku, kdy - při umělém rozšíření letu střely před okamžik výstřelu - střela protíná povrch země a míří vzhůru). Řešení s plusem dosadíme do vztahu pro x-ovou souřadnici. Dostáváme tak pro dostřel vo cos a r-------------7;---------, xo = x(to) =-----------[v o srna + y (v o sin a)2 + 2gh\ g Rozdíl dostřelů (pro dostřel z nulové výšky využijeme předchozí příklad) je vo cos a U0 tUö Li r /-.------------------T7^-------------— -. Axo = -----------IV (vo sin a)A + 2gri — vo sin a\. g 5