Počítání s reálnými a komplexními čísly. Soustavy lineárních rovnic a Gaussova eliminace.

Definované pojmy: Matice soustavy a rozšířená matice soustavy, homogenní a nehomogenní soustava, řešení soustavy, ekvivalentní soustavy, ekvivalentní úpravy, elementární ekvivaletní úpravy, elementární řádkové operace, vedoucí koeficient řádku, schodovitý tvar matice, Gaussova eliminace - každou matici lze pomocí elementárních řádkových operací převést na schodovitý tvar. Soustavu s maticí ve schodovitém tvaru umíme vyřešit.

 Z čeho studovat:

 Z čeho počítat:

Prohlédněte si všechny učební materiály, které máte k dispozici v ISu:

 Test na procvičení

Operace s maticemi

Operace s maticemi: matice tvaru k x n, sčítání matic, násobení matic skalárem, nulová matice, opačná matice, vlastnosti těchto dvou operací. Násobení matic: motivací je zápis soustavy rovnic ve tvaru Ax=b. Násobení řádku a sloupce stejné velikosti, násobení matice k x n a sloupce n x 1, násobení matice k x n a matice n x m. Příklady násobení matice a speciálního sloupce, speciálního řádku a matice, jednotková matice. Násobení není komutativní, je asociativní a distributivní vzhledem ke sčítaní. Definice inverzní matice ke čtvercové matici, jednoznačnost inverzní matice. Příklady čtvercových matic, které nemají inverzní matici. Popis orientovaného grafu pomocí matice s nulami a jedničkami, význam druhé mocniny takové matice.

Z čeho studovat:

                                                           Příslušnou kapitolu najdete na straně 36.

Z čeho počítat:

                                                           Příklady na operace s maticemi najdete na straně 11.

                                                           Příklady na operace s maticemi najdete na straně 16.       

Test na procvičení

Inverzní matice a vektorové prostory.

Definice inverzní matice ke čtvercové matici, jednoznačnost inverzní matice, inverzní matice k součinu dvou matic. Elementární matice, realizace elementarních řádkových operací pomocí násobení vhodnou elemetární maticí zleva. Elementární matice má inverzní matici. Algoritmus pro výpočet inverzní matice pomocí zpětné Gaussovy eliminace. Důkaz algoritmu. Definice transponované matice.

Motivace, definice vektorového prostoru nad K, kde K=R je množina reálných nebo K=C  množina komplexních čísel. Příklady vektorových prostorů:  n-tice čísel z K, polynomy stupně nejvýše n s koeficienty v K, matice k x n nad K.

Z čeho studovat:

                                                          Pouze paragrafy 7.3 a 7.4

                                                          Paragrafy 1.4 a 1.5

Z čeho počítat:

                                                          Kapitola 5 na straně 23 a kapitola 2.2 na straně 8.

                                                          Úlohy 1 až 3.

                                                          Úloha 1

Test na procvičení:

Vektorový prostor, vektorový podprostor, lineární obal, lineární závislost a nezávislost

Počítání s vektory, lineární kombinace, vektorový podprostor, příklady vektorových podprostorů, všechny vektorové podprostory v R^2 a v R^3. Lineární obal konečné množiny vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Příklady, geometrická představa. Vektory generují vektorový prostor. Vektorový prostor konečné dimenze.

Z čeho studovat:

Z čeho počítat:

                                                          strana 26 až 30.

                                                          úloha 2.

Test na procvičení

Báze a dimenze

Definice báze, příklady bází, věta o výběru lineárně nezávislých generátorů. V každém prostoru konečné dimenze existuje báze. Početní algoritmus pro výběr lineárně nezávislých generátorů a jeho zdůvodnění. Steinitzova věta. každé dvě báze mají stejný počet prvků. Definice dimenze. Příklady. 

Z čeho studovat:

                                                               strana 9 - 19

Z čeho počítat:

                                                               strana 31 - 37

                                                               úlohy 3 a 4

                                                               strana 12 - 14

Test na procvičení

Báze a souřadnice, průnik a součet vektorových podprostorů

4 užitečné věty o dimenzi, věta o bázi umožňující definici souřadnic, souřadnice vektoru v dané bázi, příklady.

Průnik vektorových podprostorů, součet vektorových podprostorů, direktní součet dvou vektorových podprostorů, příklady. Věta o diomenzích součtu a průniku vektorových podprostorů. Výpočet součtu a průniku vektorových podprostorů, jsou-li zadány jako lineární obaly.

Z čeho studovat:

                                                               strany 20 - 27

Z čeho počítat:

                                                              kapitola 7, strany 31 - 37.

                                                              příklad 1

                                                               strany 8 - 10

 Test na procvičení

Lineární zobrazení

Definice lineárního zobrazení, příklady lineárních zobrazení. Lineární zobrazení je určeno svými hodnotami na vektorech báze. Popis všech lineární zobrazení R³ do R¹ a všech lineárních zobrazení Kⁿ do K^r pomocí násobení maticí. Skládání lineárních zobrazení a násobení matic. Obraz a vzor podprostoru jsou podprostory. Jádro a obraz. Lineární zobrazení prostá a surjektivní, souvislost s jádrem a obrazem. Věta o dimenzi jádra a obrazu. Lineární izomorfismus. Inverzní zobrazení je opět lineární. Izomorfismus zachovává dimenzi. Prostory stejné dimenze jsou izomorfní. Izomorfismy Kⁿ do Kⁿ jsou dány invertibilní maticí. 

Z čeho studovat:

                                                               kapitola 5.1 na straně 85

Z čeho počítat:

                                                               kapitola 8, strany 38-43

Test na procvičení v přípravě

Matice lineárního zobrazení a matice přechodu

Definice matice lineárního zobrazení v daných bázích, příklady matic lineárních zobrazení, výpočet souřadnic obrazu pomocí matice a souřadnic vzoru. Předchozí formule jako komutativní diagram. Matice identického zobrazení, matice složeného zobrazení, matice inverzního zobrazení. Matice přechodu mezi dvěma bázemi jako matice identického zobrazení v těchto bázích. Výpočet souřadnic v různých bázích pomocí matice přechodu. Výpočet matice lineárního zobrazení v různých bázích pomocí matic přechodu. Podobné matice. 

Z čeho studovat:

Z čeho počítat:

                                                               kapitola 9, strana 44-52

Test na procvičení v přípravě

Grupy, permutace a definice determinantu

Definice grupy, podgrupy a grupového homomorfismu, příklady grup. Permutace a jejich skládání tvoří tzv. symetrickou grupu. Definice znaménka permutace (jako součinu zlomků), výpočet znaménka pomocí počtu inverzí. Znaménko permutace jako grupový homomorfismus. Sudé a liché permutace. Definice determinantu pro matici n x n. Vypočet determinantu pro matice 2x2 a 3x3 pomocí Saarusova pravidla. Výpočet determinantu dolní a horní trojúhelníkové matice.  

Z čeho studovat:

Z čeho počítat:

                                                               Kapitola 1, strany 4 - 14.

                                                               úloha 3

Základní vlastnosti determinantu

Základní vlastnosti determinantu, jak se mění determinant při provádění elementárních řádkových a sloupcových operací. Příklady. Výpočet Vandermondova determinantu.Determinant blokové matice s nulovými bloky pod diagonálou. Cauchyova věta - determinat součinu matic je součin determinantů. Algebraický doplněk členu matice. Laplaceův rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce.

Z čeho studovat:

Z čeho počítat:

                                                               Kapitola 1, strany 4 - 14.

Další vlastnosti determinantu, hodnost matice

Laplaceův rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce - důkaz a příklad. Inverzní matice a determinant. Výpočet inverní matice pomocí algebraických doplňků. Cramerovo pravidlo. Geometrický význam determinantu - orientovaný objem rovnoběžnostěnu. Podrobněji ukázáno v dimenzi 2 a 3.

Řádková a sloupcová hodnost matice. Řádková hodnost se nemění při elementárních řádkových operacích. Věta o rovnosti řádkové a sloupcové hodnosti, společná hodnota se nazývá hodnost matice.

Z čeho studovat:

Z čeho počítat:

                                                               Kapitola 1, str. 4-14

Hodnost matice a soustavy lineárních rovnic

Důkaz věty o rovnosti řádkové a sloupcové hodnosti. Vztah mezi dimenzí obrazu lineárního zobrazení x --> Ax a hodností matice A. Definice regulární a singulární matice. Hodnost čtvercové matice n x n je n, právě když její determinant je různý od 0. Hodnost matice A tvaru k x n je r, právě když v A existuje submatice r x r s determinantem různým od 0 a všechny čtvercové submatice větších rozměrů maji determinant nulový.

Věta o množině řešení homogenní soustavy Ax=0, kde x leží v Kⁿ. Jde o vektorový podprostor dimenze n-h(A). Souvislost s Gaussovou eliminací. Věta o struktuře řešení nehomogenní soustavy Ax=b. Frobeniova věta o existenci řešení: soutava Ax=b má řešení, právě když h(A)=h(A|b). Souvislost s Gaussovou eliminací. Demonstrace předchozích vět na soustavě dvou rovnic v R³.

Z čeho studovat:

                                                              strany 1 - 4.

                                                               strany 1 - 4.

Z čeho počítat:

                                                               Příklad 1.

Požadavky ke zkoušce

Zkoušková písemka má část početní a část teoretickou. Početní část se skládá ze 4 standardních úloh podobných těm, které se řešily na cvičeních. Za každou je možno získat 3 body. Teoretická část je tvořena 10 otázkami na definice, příklady, věty, krátké důkazy a jednoduchými úkoly, které lze rychle vyřešit použitím definice. Za každou otázku je možno získat 1 bod. K tomu, abyste postoupili k ústní zkoušce potřebujete získat z obou částí písemky aspoň polovinu bodů, tj. aspoň 6 z části početní a aspoň 5 z části teoretické. Na písemku budete mít dvě a půl hodiny času. Nedostatek času nebývá důvodem, proč studenti písemku nenapíší. Řešení pište přehledně a srozumitelně, doprovoďte ho stručným komentářem, který vyjasní, co počítáte. Rovněž výsledek vašich výpočtů by měl být jasně vyznačen.

U každého zkouškového termínu se budu snažit po opravě písemky a před ústní zkouškou ukázat, jak má správné řešení vypadat. Potom si budete moci svou opravenou písemku prohlédnout. Doporučuji těm, kteří písemku nenapíší na stanovený počet bodů, aby této možnosti využili.

U ústní zkoušky si vylosujete 2 otázky, po krátké písemné přípravě (10 až 15 minut) na ně budete odpovídat (opět 10 až 15 minut). Obvykle dávám hodně doplňujících otázek. Kladu důraz na porozumění, nestači mi znalost definic a vět, chci příklady na definované pojmy a hlavní věty. Požaduji schopnost provádět jednoduché důkazy. Zde je seznam témat, které vyžaduji bezpodmínečně. Jejich neznalost znamená, že u zkoušky neuspějete:
1. Pojem vektorového prostoru, znalost příkladů.
2. Pojem vektoroveho podprostoru, příklady, součet a průnik.
3. Pojem lineárni nezávislosti vektorů, příklady.
4. Pojem lineárního obalu, příklady.
5. Vysvětlení algoritmu, který ze seznamu vektorů vybere lineárně nezávislé se stejným lineárním obalem.
6. Báze vektorového prostoru, souřadnice vektoru v dané bázi, dimenze, příklady.
7. Lineární zobrazení, jádro, obraz, příklady.
8. Hodnost matice.
9. Řešení soustav lineárních rovnic, věty o struktuře řešení, příklady na tyto věty.
10. Definice determinantu, jeho základní vlastnosti.

Příklad zkouškových písemek: