Písemná zkouška ze Základů matematiky 15. 1. 2009
Jméno a příjmení 1 2 3 4 5 Součet
Každý příklad je hodnocen 8 body. Pro odpovědi využijte volného prostoru
mezi příklady, případně druhé strany papíru. Test trvá 90 minut.
1. Nechť X je dvojprvková množina a  relace na X. Pro každou z následujících
formulí nalezněte nějakou relaci, která formuli splňuje a nějakou relaci
(tu označte jako ), která ji nesplňuje. Pokud taková  nebo  neexistuje,
dokažte to.
a) (x  X)(y  X)(xy).
b) xx  (y  X)(xy).
c) (xy  yx)  x = y.
d) xy  (z  X)(xz  zy).
2. Uvažujme množiny
X = {f : N  {0, 1} | {x  N | f(x) = 0} je konečná },
Y = {f : N  {0, 1} | {x  N | f(x) = 1} je konečná }.
Najděte nějakou bijekci g : X  Y .
3. Nechť X, Y, Yi, i  I jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) (X - Y ) - Z = X - (Y  Z),
b) X - iI Yi = iI(X - Yi).
4. Načrtněte hasseovské diagramy všech vzájemně neizomorfních uspořádání
na čtyřprvkové množině, která mají:
a) právě 2 maximální a 2 minimální prvky,
b) největší prvek.
5. Popište multplikativními tabulkami grupu (R, ) rotací čtverce a grupu
({1, -1, i, -i}, ) a dokažte, že jsou izomorfní.