Písemná zkouška ze Základů matematiky 12.2. 2009
Jméno a příjmení	1	2	3	4	5	Součet
						
Každý příklad je hodnocen 8 body. Pro odpovědi využijte volného prostoru mezi příklady, případně druhé strany papíru. Test trvá 90 minut.
1. Nechť / : {0,1} —► {a, b, c} je zobrazení. Pro každou z následujících formulí nalezněte nějaké zobrazení /, které formuli splňuje, a nějaké zobrazení (to označte jako g), které ji nesplňuje. Pokud takové / nebo g neexistuje, dokažte to.
a) (Vx G {a,b,c})(3y e {0, l})(/(y) = x).
b) (3h : {a, b, c} -+ {0, l})(h o / = id{0,1}).
c) (3X C {a, b, c})(3h : X -»■ {0, !})(/ o h = %dx A h o / = id{0tl}).
d)(Wx,ye{0,l})(f(x) = f(y)).
2. Uvažujme množiny
X = {(x,y) eZxZ\xy>0},
Y = {(x, y) eZx Z | xy < 0}.
Najděte nějakou bijekci / : X —► Y, její inverzi f~l : Y —► X a ověřte, že jsou vzájemně inverzní.
3. Nechť X, Y, Yi,i E I jsou množiny. Dokažte, že platí:
a) (ixľ)n(ľxi) = (inľ)x(inľ),
b)X\J()JieIYi) = \JiGl(X\JYi)
4. Načrtněte hasseovské diagramy všech vzájemně neizomorfních uspořádání a) na tří prvkové množině,
b) na čtyřprvkové množině, z nichž v každém existuje právě jedna dvojice nesrovnatelných prvků.
5. Sestrojte multiplikativní tabulky grupy symetrií obdélníku (G, o) a grupy (Z2 x Z2, +) a dokažte, že jsou izomorfní.