M1130/01 ­ Druhá zápočtová písemka
Příklad 1 (2 body). Rozložte v R polynomy
x3
- x - 6; x2
- 3
2
- 5 x2
- 3 + 6.
Výsledek. Platí
x3
- x - 6 = (x - 2) x2
+ 2x + 3 ;
x2
- 3
2
- 5 x2
- 3 + 6 = x -

6 x +

6 x -

5 x +

5 .
Příklad 2 (2 body). Řešte v R rovnici
x
x + a
+
2x
x - a
=
5a2
4(x2 - a2)
s parametrem a  R.
Výsledek. Pro a = 0 nemá rovnice žádné řešení; pro a = 0 má rovnice dva kořeny, a to
x1 =
1
2
a, x2 = -
5
6
a.
Příklad 3 (3 body). Určete všechny hodnoty parametru m  R, pro něž má rovnice
(m - 2)x2
- (3m + 6)x + 6m = 0
(a) dva kladné (reálné) kořeny;
(b) dva záporné (reálné) kořeny;
(c) jeden kladný (reálný) a jeden záporný (reálný) kořen.
Výsledek. Výsledky jsou
(a) m  (2, 6);
(b) m  (-2/5, 0);
(c) m  (0, 2).
Příklad 4 (1 bod). Uveďte libovolnou kvadratickou rovnici s kořeny, které jsou čtyřnásobky kořenů
rovnice x2
- 9x + 15 = 0.
Výsledek. Každou takovou kvadratickou rovnici lze zapsat ve tvaru
a(x2
- 36x + 240) = 0, kde a  R {0}.
Příklad 5 (2 body). V R vyřešte
x
x + 4
+
2
3x - 6
 1.
Výsledek. Řešeními jsou právě x  (-, -4)  2, 16
5
.
Příklad 6 (2 body). Nalezněte x  R, pro která je
| 10 | x | + 8x - 6 |  x + 3.
Výsledek. Uvedenou nerovnost splňují
x  {-3} 
3
19
,
9
17
.
Příklad 7 (2 body). Stanovte všechny hodnoty parametru c  R tak, aby nerovnost
cx2
+ 2cx + c < -
3
4
- 3x
platila pro každé x  R.
Výsledek. Nerovnost je platná pro všechna x  R, právě když c  (-, -1).
Příklad 8 (2 body). Pro jaká p  R má rovnice
(1 - p)x2
+ 2x + 1 + p = 0
dva různé reálné kořeny x1, x2 s vlastností, že | 2x1 | > 1, | 2x2 | > 1?
Nápověda: Uvažte nejprve danou rovnici pro x = -1.
Výsledek. Množina hledaných p je
(-, -3)  -
1
3
, + {0, 1} .
Příklad 9 (2 body). Např. vhodnou substitucí řešte v R rovnici

x2 + x + 13 -

x2 + x + 4 =

x2 + x - 11.
Výsledek. Rovnici vyhovuje x = 3, x = -4.
Příklad 10 (2 body). Určete x  R z nerovnice

x + 3 +

x + 15 < 6.
Výsledek. Nerovnost (má smysl a) je splněna pro
x  -3, 1) .