MATEMATICKÁ ANALÝZA I, učitelské studium
13. ledna 2010
I. část
1. Znázorněte na číselné ose a zapište pomocí intervalů množiny řešení nerovnic:
a) |5 - x| < 1, b) |1 + x|  2.
2. Zdůvodněte, zda je funkce y = cos(x + cos x) periodická či nikoliv.
3. Nakreslete (do samostatných obrázků) grafy funkcí
f : y = | log2(1 + x)|, g : y = 2 arctg |x|.
4. Určete definiční obor funkce
f : y = ln
x3
(x + 1)2
x - 5
.
5. Výrokem s kvantifikátory a nerovnostmi zapište, co znamená lim
x-1f(x)
= 3.
6. Vypočtěte (pokud existují) limity těchto posloupností
a) 2
n
n2+1

n=1
, b)
2n
- 3n
3n

n=1
.
7. Rozhodněte, zda funkce f : y = |sgn x| v bodě x = 0
a) má limitu, b) je spojitá, c) má ostrý lokální extrém.
8. Najděte rovnici přímky, jež je tečnou ke grafu funkce f : y = 2

2 sin x s bodem
dotyku [
4 , ?]. (Ve výsledku nesmí být neurčené hodnoty goniometrických funkcí.)
9. Napište tvar rozkladu na parciální zlomky (s neurčitými koeficienty, které nepočítejte)
pro funkci
f : y =
x4
(x3 - 1)(x2 - 1)
.
II. část
1. Derivujte funkci a výsledek upravte:
f : y =
3 - x
2
1 - 2x - x2 + 2 arcsin
x + 1

2
.
2. Vypočtěte
a) lim
x0
sin 2x

x + 2 -

2
, b) lim
x
x + 2
x + 1
x
.
3. Vyšetřete průběh funkce
f : y = xe
1
x .
Typeset by AMS-TEX