1
Kapitola 1
Dvojný integrál
Většina čtenářů tohoto textu je již nepochybně seznámena s teorií Riemannova1
určitého integrálu funkce jedné proměnné, který se přednáší v rámci přednášky
z matematické analýzy. Tento jednorozměrný integrál se značí
b
a f (x) dx a je
definován pro funkci f jedné proměnné integrace schopnou, a tedy zejména
ohraničenou, na uzavřeném intervalu a, b . Tento integrál přiřazuje funkci f
s výše uvedenými vlastnostmi jisté reálné číslo. V základním kurzu matematické
analýzy se při úvodním studiu Riemannova integrálu obvykle nedefinuje integrál
funkce jedné proměnné na obecnější množině (např. M = a, b  c, d , kde
a, b  c, d = ), ani integrál funkce více proměnných.
Naším cílem bude vybudovat teorii Riemannova integrálu funkce n proměnných
na dosti obecných množinách M  Rn
. Tento integrál bude zobecněním
Riemannova určitého integrálu funkce jedné proměnné. Pro jednoduchost a názornost
soustředíme pozornost zejména na případy n = 1, 2, 3. V případě n = 1
mluvíme o jednoduchém, v případě n = 2 o dvojném a v případě n = 3 o trojném
integrálu. Nejprve se budeme zabývat integrálem dvojným.
Teorie dvojného Riemannova integrálu se obvykle buduje tím způsobem, že
se nejdříve definuje tzv. Jordanova2
míra množiny a vydělí se třída množin, které
jsou jordanovsky měřitelné. Dvojný integrál funkce f dvou proměnných ohraničené
na jordanovsky měřitelné množině M se pak zavádí tak, že se definuje
1Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826­1866) (čti ríman) -- německý matematik. Zabýval
se teorií funkcí, geometrií, matematickou a teoretickou fyzikou a diferenciálními rovnicemi.
Jeden z nejvýznamnějších matematiků všech dob.
2Marie Edmond Camille Jordan (1832­1922) (čti žordan) -- francouzský matematik. Zabýval
se matematickou analýzou, algebrou, teorií funkcí, topologií, krystalografií, kinematikou,
stabilitou, geometrickou pravděpodobností, teorií čísel a diferenciálními rovnicemi. Jeden z tvůrců
moderní matematiky.
2 Dvojný integrál
vhodným způsobem dělení D množiny M na jisté speciální měřitelné podmnožiny
(tzv. dílky dělení), sestaví se horní a dolní součet S(D, f ), s(D, f ) a dále
se postupuje podobně jako v definici jednoduchého Riemannova integrálu.
V tomto textu však volíme jiný přístup: Dvojný integrál definujeme nejprve
na dvojrozměrném intervalu, poté pomocí charakteristické funkce množiny definujeme
měřitelnou množinu a následně zavádíme pojem dvojného integrálu na
měřitelné množině M, a to převedením na dvojný integrál na dvojrozměrném
intervalu, který množinu M obsahuje.
1.1. Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu
Zaveďme nejprve pojem intervalu v rovině.
Definice 1.1. Intervalem v rovině neboli dvojrozměrným intervalem budeme
rozumět množinu J, která je kartézským součinem dvou intervalů J1, J2  R.
Tedy J = J1 × J2.
x
y
a b
c
d
J1
J2 M
Obr. 1.1: Interval v rovině
Intervaly J1 a J2 mohou být libovolného
typu -- omezené, neomezené, uzavřené, otevřené
nebo polootevřené. Bude-li některý z nich
degenerovaný, tj. bude-li to bod, bude i dvojrozměrný
interval J tzv. degenerovaný. Může to
být bod, úsečka, polopřímka nebo přímka.
Pro nás ale bude nejdůležitější případ, kdy
oba dva intervaly J1 a J2 budou omezené
a uzavřené. Odpovídající dvojrozměrný interval
M = J1 × J2 pak bude omezený a uzavřený obdélník,
jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými
osami -- viz obr. 1.1, kde J1 = a, b
a J2 = c, d . Lze ho zapsat také takto:
M = {[x, y]  R2
: a  x  b, c  y  d}.
V dalším, nebude-li řečeno jinak, budeme obdélníkem rozumět vždy nedegenerovaný
dvojrozměrný uzavřený a omezený interval. Podobně dvojrozměrným
intervalem budeme rozumět nedegenerovaný interval, pokud nebude uvedeno
jinak.
Buď M = a, b × c, d obdélník v R2
. Nechť Dx : a = x0 < x1 <    <
< xm = b je dělení intervalu a, b a nechť Dy : c = y0 < y1 <    < yn =
= d je dělení intervalu c, d . Označme Mik = xi-1, xi × yk-1, yk , kde
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 3
x
y
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 = b
c = y0
y1
y2
d = y3
O
M
M11 M21 M31 M41 M51
M12 M22 M32 M42 M52
M13 M23 M33 M43 M53
Obr. 1.2: Dělení dvojrozměrného intervalu
i  {1, 2, . . . , m}, k  {1, 2, . . . , n}. Systém obdélníků {Mik : i = 1, 2, . . . , m;
k = 1, 2, . . . , n} nazýváme dělením obdélníku M a značíme D = Dx × Dy. Obdélníky
Mik nazýváme dílky dělení D (viz obr. 1.2). Normou dělení D = Dx ×
× Dy budeme rozumět číslo (D) = max (xi - xi-1)2 + (yk - yk-1)2 : i =
= 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n , tj. délku nejdelší z úhlopříček všech dílků
dělení. V našich úvahách budeme pracovat také s posloupnostmi dělení. Posloupnost
dělení {Dn} nazveme nulovou posloupností dělení, platí-li lim
n
(Dn) = 0.
x
y
xi-1 xi
yk-1
yk
O
Mik
Obr. 1.3: Zjemnění dělení
Symbolem D(M) nebo D označíme
množinu všech dělení obdélníku
M. Dělení D1 = D1
x × D1
y se nazývá
zjemnění dělení D = Dx × Dy,
je-li D1
x zjemněním dělení Dx a D1
y
zjemněním dělení Dy. Je-li D1 zjemnění
dělení D, pak zřejmě každý dílek
Mik dělení D je v D1 rozdělen
na konečný počet dílků dělení D1 (viz
obr. 1.3). Snadno se ověří, že ke každým
dvěma dělením D1 = D1
x × D1
y,
D2 = D2
x × D2
y  D(M) existuje jejich
společné zjemnění. (Tím je např. dělení D = Dx ×Dy, kde Dx je tvořeno všemi
dělicími body dělení D1
x a dělení D2
x a Dy je tvořeno všemi dělicími body dělení
D1
y a dělení D2
y. Toto dělení budeme nazývat největším společným zjemněním
dělení D1, D2.)
Buď f ohraničená funkce dvou proměnných definovaná na obdélníku M =
= a, b × c, d a nechť D = Dx × Dy je dělení obdélníku M o dílcích Mik,
4 Dvojný integrál
i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n. Označme
vik = inf {f (x, y) : [x, y]  Mik},
Vik = sup{f (x, y) : [x, y]  Mik}
a položme
s(D, f ) =
m
i=1
n
k=1
vik(xi - xi-1)(yk - yk-1),
S(D, f ) =
m
i=1
n
k=1
Vik(xi - xi-1)(yk - yk-1).
Číslo s(D, f ) nazýváme dolním součtem, číslo S(D, f ) horním součtem funkce
f při dělení D (viz obr. 1.4 a 1.5).
Nazveme-li číslo m(R) = ( - )( -  ) mírou (obsahem) obdélníku R =
= ,  × ,  , můžeme při označení I = {(i, k) : i = 1, 2, . . . , m; k =
= 1, 2, . . . , n} psát stručněji
s(D, f ) =
(i,k)I
vik m(Mik),
S(D, f ) =
(i,k)I
Vik m(Mik).
Podobně jako v případě jednorozměrného integrálu pro každou ohraničenou
funkci f platí:
Lemma 1.2.
a) s(D, f )  S(D, f ) pro každé D  D.
b) Jsou-li D1, D2  D a D2 je zjemnění D1, pak je s(D1, f )  s(D2, f ),
S(D1, f )  S(D2, f ).
c) Jsou-li D1, D2  D libovolná, pak s(D1, f )  S(D2, f ).
Důkaz.
a) Pro každé (i, k)  I platí vik  Vik. Odtud plyne
s(D, f ) =
(i,k)I
vik m(Mik) 
(i,k)I
Vik m(Mik) = S(D, f ).
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 5
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.4: Geometrický význam dolního součtu
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.5: Geometrický význam horního součtu
6 Dvojný integrál
b) Libovolný dílek Mik dělení D1 přispívá do dolního součtu s(D1, f ) hodnotou
vik m(Mik). V dělení D2 je pevně zvolený dílek Mik rozdělen na dílky Mpq,
(p, q)  J, kde J je vhodná množina uspořádaných dvojic indexů, přičemž
(p,q)J
m(Mpq) = m(Mik). Příspěvek dílku Mik do součtu s(D2, f ) je tedy
(p,q)J
~vpq m(Mpq), kde ~vpq = inf {f (x, y) : [x, y]  Mpq}. Protože zřejmě
platí vik  ~vpq pro libovolné (p, q)  J, máme
vik m(Mik) = vik
(p,q)J
m(Mpq) =
(p,q)J
vik m(Mpq) 
(p,q)J
~vpq m(Mpq),
tj. příspěvek dílku Mik do součtu s(D2, f ) je větší nebo roven příspěvku
tohoto dílku do s(D1, f ). Sečtením pro všechna (i, k)  I vyjde tvrzení pro
dolní součty. Pro horní součty se důkaz provede analogicky.
c) Buď D3 společné zjemnění dělení D1 a D2. Užitím a) a b) dostáváme
s(D1, f )  s(D3, f )  S(D3, f )  S(D2, f ).
Buď D0  D libovolné pevně zvolené dělení dvojrozměrného intervalu M =
= a, b × c, d . Podle lemmatu 1.2 platí s(D, f )  S(D0, f ) pro každé D  D.
Množina {s(D, f ) : D  D} je tedy neprázdná a shora omezená. Existuje proto
sup{s(D, f ) : D  D}, které značíme
M
f (x, y) dxdy.
Zřejmě platí
M
f (x, y) dxdy  S(D0, f ).
Dělení D0 však bylo voleno libovolně, takže S(D, f ) 
M
f (x, y) dxdy pro
každé D  D a množina všech horních součtů funkce f je zdola omezená
a neprázdná. Existuje tudíž inf {S(D, f ) : D  D}, které značíme
M
f (x, y) dxdy.
Přitom platí
M
f (x, y) dxdy 
M
f (x, y) dxdy.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 7
Definice 1.3. Čísla
M
f (x, y) dxdy resp.
M
f (x, y) dxdy nazveme dolním
resp. horním integrálem ohraničené funkce f na množině (přes množinu) M.
Platí-li rovnost
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy,
říkáme, že f je integrovatelná (integrace schopna) na množině M a definujeme
dvojný integrál
M
f (x, y) dxdy funkce f na množině (přes množinu) M
vztahem
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy.
Funkce f se nazývá integrand, množina M integrační obor.
Poznámka 1.4. Je-li integrand f konstantní funkce rovná jedné, používáme
místo zápisu
M
1 dxdy stručnější podobu
M
dxdy. Obdobně pro dolní a horní
integrály.
Příklad 1.5. Vypočtěte
M
f (x, y) dxdy, kde f (x, y) = c  R pro každý bod
[x, y] daného obdélníku M = a, b × c, d .
Řešení. Buď D = {Mik : (i, k)  I} libovolné dělení obdélníku M. Zřejmě platí
vik = c, Vik = c. Tedy
s(D, f ) =
(i,k)I
c m(Mik) = c
(i,k)I
m(Mik) = c m(M),
S(D, f ) =
(i,k)I
c m(Mik) = c
(i,k)I
m(Mik) = c m(M).
Odtud
M
f (x, y) dxdy = c m(M) =
M
f (x, y) dxdy,
a tedy
M
f (x, y) dxdy =
M
c dxdy = c m(M) = c(b - a)(d - c).
8 Dvojný integrál
Příklad 1.6. Buď f funkce definovaná na obdélníku M = 0, 1 × 0, 1 takto:
f (x, y) =
1 je-li x  Q a y  Q,
0 v ostatních případech.
Rozhodněte, zda funkce f je integrovatelná na obdélníku M.
Řešení. Buď D = {Mik : (i, k)  I} libovolné dělení obdélníku M. Pak vik = 0,
Vik = 1, protože mezi každými dvěma různými reálnými čísly leží jak nekonečně
mnoho racionálních tak nekonečně mnoho iracionálních čísel ([7, str. 7]), a
s(D, f ) =
(i,k)I
vik m(Mik) =
(i,k)I
0  m(Mik) = 0,
S(D, f ) =
(i,k)I
Vik m(Mik) =
(i,k)I
1  m(Mik) = 1.
Odtud
M
f (x, y) dxdy = 0 = 1 =
M
f (x, y) dxdy.
Daná funkce není integrovatelná na obdélníku M.
Lemma 1.7. Buď f ohraničená funkce v obdélníku M = a, b × c, d . Pak ke
každému číslu  > 0 existuje číslo  > 0 tak, že pro každé dělení D obdélníku M,
pro jehož normu platí (D) < , je
M
f (x, y) dxdy  S(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy + . (1.1)
Důkaz. Nechť K > 0 je konstanta taková, že |f (x, y)|  K pro [x, y]  M.
Buď  > 0 libovolné. Podle definice horního integrálu (jako infima horních
součtů) existuje dělení D1
= D1
x × D1
y, D1
x : a = x1
0 < x1
1 <    < x1
m = b,
D1
y : c = y1
0 < y1
1 <    < y1
n = d, obdélníku M s vlastností
S(D1
, f ) <
M
f (x, y) dxdy +

2
. (1.2)
Nechť M1
ij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) jsou dílky tohoto dělení. Označme
I = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n}. Položme
 =

4[(d - c)m + (b - a)n]K
.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 9
x
y
a = x1
0 x1
m = b
c = y1
0
d = y1
n
a) Dělení D1 s dílky M1
ij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n)
x
y
a = x0 xp = b
c = y0
d = yq
< 
< 
b) Dělení D ((D) < ) s dílky Mij (i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q)
x
y
a = x2
0 x2
r = b
c = y2
0
d = y2
s
c) Dělení D2 s dílky M2
ij (i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s)
Obr. 1.6: Dělení D1
a D a jejich největší společné zjemnění D2
10 Dvojný integrál
Buď nyní D libovolné dělení obdélníku M o normě menší než  s dílky Mij
(i = 1, 2, . . . , p; j = 1, 2, . . . , q). Označme J = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , p; j =
= 1, 2, . . . , q}. Uvažujme dále dělení D2
obdélníku M, které je největším společným
zjemněním dělení D, D1
(viz obr. 1.6). Nechť dílky dělení D2
jsou M2
ij
(i = 1, 2, . . . , r; j = 1, 2, . . . , s). Označme L = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , r; j =
= 1, 2, . . . , s}. Položme J
= {(i, j)  J : existuje (k, l)  I s vlastností Mij 
 M1
kl}, J
= J J
. Zřejmě pro (i, j)  J
je Mij dílkem dělení D2
.
Pro (i, j)  J
existují (k, l)  I, (k, l)  I, (k, l) = (k, l) tak, že Mij 
 (M1
kl M1
kl
) = , Mij  (M1
kl
M1
kl) = . Protože (D) < , platí pro součet
měr m(Mij ) všech obdélníků Mij , kde (i, j)  J
, nerovnosti
(i,j)J
m(Mij )  (D)[(d - c)m + (b - a)n] <
< [(d - c)m + (b - a)n] =

4K
.
(1.3)
Položme L
= {(k, l)  L : existuje (i, j)  J s vlastností M2
kl = Mij }, L
=
= L L
. Nechť pro (i, j)  J, (k, l)  L je Vij = sup{f (x, y) : [x, y]  Mij },
V 2
kl = sup{f (x, y) : [x, y]  M2
kl}. Pak podle (1.3)
(i,j)J
Mij =
(k,l)L
M2
kl,
(i,j)J
Mij =
(k,l)L
M2
kl,
(i,j)J
Vij m(Mij )  K
(i,j)J
m(Mij ) < K

4K
=

4
,
(i,j)J
Vij m(Mij ) =
(k,l)L
V 2
kl m(M2
kl).
Podobně užitím (1.3) dostáváme
(k,l)L
V 2
kl m(M2
kl)  K
(k,l)L
m(M2
kl) = K
(i,j)J
m(Mij ) < K

4K
=

4
.
Protože
S(D, f ) - S(D2
, f ) =
(i,j)J
Vij m(Mij ) +
(i,j)J
Vij m(Mij ) -
-
(k,l)L
V 2
kl m(M2
kl) -
(k,l)L
V 2
kl m(M2
kl) ,
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 11
máme
S(D, f ) - S(D2
, f ) 
(i,j)J
Vij m(Mij ) +
(k,l)L
V 2
kl m(M2
kl) <
<

4
+

4
=

2
.
(1.4)
Užitím (1.4) a (1.2) dostáváme odhad
M
f (x, y) dxdy  S(D, f ) < S(D2
, f ) +

2

 S(D1
, f ) +

2
<
M
f (x, y) dxdy + ,
čímž je vztah (1.1) dokázán.
Poznámka 1.8. Analogické tvrzení platí i o dolním součtu a dolním integrálu.
Lemma 1.9. Buď f funkce ohraničená na obdélníku M = a, b × c, d . Pak
je f integrovatelná na M právě tehdy, když ke každému  > 0 existuje takové
dělení D  D(M), že platí S(D, f ) - s(D, f ) < .
Důkaz. Nechť f je integrovatelná na M. Buď  > 0 libovolné. Pak existuje
takové D1  D(M), že
S(D1, f ) <
M
f (x, y) dxdy +

2
=
M
f (x, y) dxdy +

2
,
a takové D2  D(M), že
s(D2, f ) >
M
f (x, y) dxdy -

2
=
M
f (x, y) dxdy -

2
.
Buď D společné zjemnění dělení D1 a D2. Pak S(D, f )  S(D1, f ), s(D, f ) 
 s(D2, f ), a tudíž
S(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy +

2
, s(D, f ) >
M
f (x, y) dxdy -

2
.
12 Dvojný integrál
Odtud
S(D, f ) - s(D, f ) <
M
f (x, y) dxdy +

2
-
M
f (x, y) dxdy -

2
= .
Nechť naopak pro libovolné  > 0 existuje D  D(M) tak, že S(D, f ) -
s(D, f ) < . Protože
M
f (x, y) dxdy  S(D, f ),
M
f (x, y) dxdy  s(D, f ),
platí
0 
M
f (x, y) dxdy -
M
f (x, y) dxdy < .
Jelikož poslední vztah platí při libovolném  > 0, je
M
f (x, y) dxdy -
M
f (x, y) dxdy = 0,
takže
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy
a f je integrovatelná na M.
Věta 1.10. Buď f ohraničená funkce na obdélníku M = a, b × c, d .
a) Je-li {Dn} libovolná nulová posloupnost dělení obdélníku M, pak pro n  
platí
s(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy, S(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy.
b) Je-li funkce f integrovatelná na obdélníku M, pak pro n   platí
s(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy, S(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy
pro libovolnou nulovou posloupnost dělení {Dn} obdélníku M.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 13
c) Jestliže pro aspoň jednu nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M platí
lim
n
s(Dn, f ) = lim
n
S(Dn, f ), pak funkce f je integrovatelná na obdélníku
M.
Důkaz.
a) Buď  > 0 libovolné. Podle lemmatu 1.7 existuje  > 0 tak, že pro libovolné
dělení D o normě (D) <  platí
0  S(D, f ) -
M
f (x, y) dxdy < .
Protože pro libovolnou nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M platí
(Dn)  0, existuje N  N tak, že (Dn) <  pro všechna n  N. Tedy
0  S(Dn, f ) -
M
f (x, y) dxdy < 
pro každé n  N. Podle definice limity číselné posloupnosti to znamená, že
S(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy.
Podobně se dokáže, že
s(Dn, f ) 
M
f (x, y) dxdy.
b) Druhé tvrzení věty plyne z tvrzení a) a z toho, že funkce f je integrovatelná
na M právě tehdy, když
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy.
c) Podle předpokladu existuje číslo L  R takové, že platí lim
n
s(Dn, f ) =
= lim
n
S(Dn, f ) = L. Podle tvrzení a) je
M
f (x, y) dxdy = L =
M
f (x, y) dxdy,
takže f je na M integrovatelná.
14 Dvojný integrál
V důkazu následující věty použijeme tvrzení o stejnoměrné spojitosti funkce
spojité na kompaktní množině: Je-li funkce f spojitá na kompaktní množině
M  Rn
, pak ke každému  > 0 existuje číslo  > 0 takové, že pro libovolná
X1  M, X2  M, (X1, X2) < , platí |f (X1) - f (X2)| < . Přitom  značí
eukleidovskou metriku v prostoru Rn
.
Věta 1.11. Buď f spojitá funkce na obdélníku M = a, b × c, d . Pak je f
integrovatelná na M.
Důkaz. Množina M je kompaktní, takže podle Weierstrassovy věty ([5, str. 20])
je funkce f na množině M ohraničená, tudíž má na M horní a dolní integrál.
Buď  > 0 libovolné. Z tvrzení zmíněného před touto větou plyne existence čísla
 > 0 takového, že pro [x1, y1]  M, [x2, y2]  M,  [x1, y1], [x2, y2] < ,
platí |f (x1, y1) - f (x2, y2)| < / m(M).
(wik, zik) (wik, ~zik)
Mik
Buď nyní D = {Mik : (i, k)  I} dělení obdélníku
M o normě menší než , tj. takové dělení,
že úhlopříčka každého jeho dílku Mik je kratší
než . Protože množiny Mik jsou kompaktní a f
je spojitá, nabývá funkce f na každém Mik své
největší a nejmenší hodnoty, to jest existují body
[wik, zik]  Mik, [wik, ~zik]  Mik takové, že pro
funkční hodnoty f (wik, zik), f (wik, ~zik) platí
f (wik, zik) = min{f (x, y) : [x, y]  Mik} = vik,
f (wik, ~zik) = max{f (x, y) : [x, y]  Mik} = Vik.
Zároveň máme
0  f (wik, ~zik) - f (wik, zik) <

m(M)
,
neboť  (wik, zik), (wik, ~zik) < . Odtud
S(D, f ) - s(D, f ) =
(i,k)I
Vik m(Mik) -
(i,k)I
vik m(Mik) =
=
(i,k)I
(Vik - vik) m(Mik),
a tedy
S(D, f ) - s(D, f ) =
(i,k)I
f (wik, ~zik) - f (wik, zik) m(Mik) <
<
(i,k)I

m(M)
m(Mik) =

m(M) (i,k)I
m(Mik) = .
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 15
Podle lemmatu 1.9 je funkce f na M integrovatelná.
Lemma 1.12. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M = a, b × c, d
a platí f (x, y) = 0 pro každý vnitřní bod [x, y] obdélníku M. Pak je funkce f
na obdélníku M integrovatelná a
M
f (x, y) dxdy = 0.
Důkaz. Podle předpokladu existuje konstanta K > 0 tak, že |f (x, y)|  K pro
každé [x, y]  M. Nechť Dx : a = x0 < x1 <    < xm = b je dělení intervalu
a, b a Dy : c = y0 < y1 <    < yn = d je dělení intervalu c, d . Pak
D = Dx × Dy je dělení obdélníku M s dílky Mij = xi-1, xi × yj-1, yj ,
(i, j)  I, kde I = {(i, j) : i = 1, . . . m; j = 1, . . . , n}. Dále označme Vij =
= sup{f (x, y) : [x, y]  Mij }, (i, j)  I. Nechť J = {(i, j)  I : 1 < i <
< m, 1 < j < n}. Pro (i, j)  J je podle předpokladu Vij = 0, pro (i, j)  I J
platí |Vij |  K. Tedy
0  |S(D, f )| =
(i,j)I
Vij m(Mij ) 
(i,j)I
|Vij | m(Mij ) =
=
(i,j)I J
|Vij | m(Mij )  K
(i,j)I J
m(Mij ) 
 2K(b - a)(D) + 2K(d - c)(D) = 2K(b - a + d - c)(D).
Buď {Dn} nulová posloupnost dělení obdélníku M. Protože podle předchozího
platí 0  |S(Dn, f )|  2K(b - a + d - c)(Dn), limitním přechodem pro
n  + dostaneme podle věty 1.10, že
0 
M
f (x, y) dxdy  0,
tudíž
M
f (x, y) dxdy = 0.
Analogicky se ověří, že také
M
f (x, y) dxdy = 0. Odtud již plyne integrovatelnost
funkce f a zároveň i rovnost
M
f (x, y) dxdy = 0.
Poznámka 1.13. Buď f funkce dvou proměnných x, y definovaná na množině
M. Pro x  R definujme Mx = {y  R : [x, y]  M}. Tudíž Mx je kolmým
průmětem na osu y množiny, která je průnikem M a rovnoběžky s osou y, procházející
bodem [x, 0]. Pak pro x  R, pro něž je Mx = , budeme symbolem
f (x, ) značit funkci jedné proměnné y, která je definovaná na množině Mx
16 Dvojný integrál
a číslu y přiřazuje hodnotu f (x, y). Tedy f (x, )(y) = f (x, y) pro y  Mx.
Vlastně x je ,,zafixovaná" hodnota a tečka zastupuje proměnnou y. Obdobně se
zavede symbol f (, y) pro funkci jedné proměnné x. Analogické značení budeme
používat pro funkce tří a více proměnných, např. f (x, y, ), f (x, , ) apod.
V důkazu následující věty využijeme dvě vlastnosti jednoduchého horního
integrálu, které se snadno ověří, ale obvykle se v základním kurzu neuvádí.
1) Nechť funkce f je ohraničená na intervalu a, b a a < c < b. Pak platí
b
a f (x) dx =
c
a f (x) dx +
b
c f (x) dx.
2) Nechť funkce f , g jsou ohraničené na intervalu a, b a f (x)  g(x) pro
každé x  a, b . Pak
b
a f (x) dx 
b
a g(x) dx.
Obdobná tvrzení platí pro jednoduchý dolní integrál.
Věta 1.14 (Fubiniova1
věta). Buď f funkce integrovatelná na obdélníku M =
= a, b × c, d . Pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy =
=
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Důkaz. Důkaz provedeme podrobně pro první rovnost. Označme pro libovolné
x  a, b
F(x) =
d
a
f (x, y) dy.
Protože f (x, ) je ohraničená funkce na intervalu c, d , má na tomto intervalu
horní integrál. Nechť D = Dx × Dy je dělení M, kde Dx : a = x0 < x1 <    <
< xm = b, Dy : c = y0 < y1 <    < yn = d. Nechť Mik = xi-1, xi × yk-1, yk
jsou dílky tohoto dělení. Položme Vik = sup{f (x, y) : [x, y]  Mik}. K pevně
zvolenému x  a, b najděme takové i  {1, 2, . . . , m}, že x  xi-1, xi (je-li
x = xi pro některé i, 0 < i < m, platí následující úvaha jak pro interval
xi-1, xi tak pro interval xi, xi+1 ). Pak s využitím tvrzení 1) a 2) zmíněných
před touto větou dostáváme
F(x) =
d
c
f (x, y) dy =
n
k=1
yk
yk-1
f (x, y) dy 
1Guido Fubini (1879­1943) (čti fubiny) -- italský matematik. Zabýval se projektivní diferenciální
geometrií, diferenciálními rovnicemi, variačním počtem a mnoha dalšími matematickými
disciplínami.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 17

n
k=1
yk
yk-1
Vik dy =
n
k=1
Vik(yk - yk-1).
Protože odvozená nerovnost platí pro každé x  a, b , z tvrzení 1) a 2) dále
plyne
b
a
F(x) dx =
m
i=1
xi
xi-1
F(x) dx 
m
i=1
xi
xi-1
n
k=1
Vik(yk - yk-1) dx 

m
i=1
n
k=1
Vik(xi - xi-1)(yk - yk-1) = S(D, f ).
Pro každé D  D(M) je tedy
b
a F(x) dx  S(D, f ), a odtud
b
a
F(x) dx 
M
f (x, y) dxdy.
Analogicky se dokáže nerovnost mezi dolními integrály
b
a
F(x) dx 
M
f (x, y) dxdy.
Celkem tedy platí
M
f (x, y) dxdy 
b
a
F(x) dx 
b
a
F(x) dx 
M
f (x, y) dxdy. (1.5)
Protože funkce f je podle předpokladu na M integrovatelná, platí v (1.5) všude
rovnosti, takže funkce F je integrovatelná na a, b a platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
F(x) dx =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx.
S ohledem na symetrii proměnných platí zároveň
M
f (x, y) dxdy =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Podobně se dokáže rovněž varianta s dolními vnitřními integrály.
Z praktického hlediska je nejdůležitější následující speciální verze předchozí
věty, s níž se nejčastěji setkáváme při výpočtech dvojných integrálů na obdélníku.
18 Dvojný integrál
Důsledek 1.15 (Fubiniova věta pro spojitou funkci). Buď f spojitá funkce na
obdélníku M = a, b × c, d . Pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
d
c
f (x, y) dy dx =
d
c
b
a
f (x, y) dx dy.
Důkaz. Funkce f je podle věty 1.11 integrovatelná na obdélníku M. Protože
funkce f (x, ) proměnné y je spojitá na intervalu c, d , platí
d
c f (x, y) dy =
=
d
c f (x, y) dy =
d
c f (x, y) dy pro libovolné x  a, b . První rovnost pak
plyne z Fubiniovy věty. Obdobně se dokáže druhá rovnost.
Poznámka 1.16.
1. Dvojný integrál
M
f (x, y) dxdy se někdy označuje jako integrál dvojrozměrný,
zatímco integrály
b
a
d
c f (x, y) dy dx,
d
c
b
a f (x, y) dx dy a jejich
varianty s horními a dolními vnitřními integrály jako integrály dvojnásobné.
2. V literatuře je možno se setkat také s následujícím označením dvojnásobných
integrálů:
b
a dx
d
c f (x, y) dy, resp.
d
c dy
b
a f (x, y) dx.
Příklad 1.17. Nechť M = -1, 3 × 0, 2 . Vypočtěte
M
(x + y2
) dxdy.
Řešení. Funkce f (x, y) = x + y2
je spojitá na obdélníku M. Podle Fubiniovy
věty platí:
M
(x + y2
) dxdy =
3
-1
2
0
(x + y2
) dy dx =
3
-1
xy +
y3
3
2
0
dx =
=
3
-1
2x +
8
3
- (0 + 0) dx = 2
x2
2
+
8
3
x
3
-1
=
= 9 + 8 - 1 +
8
3
=
56
3
.
I když ve Fubiniově větě je možné volit libovolné pořadí integrace, někdy je
v konkrétním případě jedna varianta výrazně jednodušší, jak ukazuje následující
příklad.
Příklad 1.18. Vypočtěte dvojný integrál
M
xy
dxdy, kde M = 0, 1 × 1, 2
(pro y > 0 klademe 0y
= 0).
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 19
Řešení. Integrand je funkce spojitá na M. Pro x > 0 je to zřejmé. Pro 0 < x < 1
a 1  y  2 platí nerovnosti 2 ln x  y ln x  ln x, a tedy x2
 xy
 x. Odtud
plyne spojitost integrandu v bodech [0, y], 1  y  2. Použijeme Fubiniovu
větu a začneme integrovat nejprve podle proměnné y:
M
xy
dxdy =
1
0
2
1
xy
dy dx.
Vnitřní integrál bude
2
1
xy
dy =
xy
ln x
2
1
=
x2
- x
ln x
pro x = 0 a x = 1,
2
1
0y
dy = 0 pro x = 0 a
2
1
1y
dy = 1 pro x = 1.
Protože existence a hodnota jednoduchého určitého integrálu nezávisí na hodnotě
integrandu ve dvou konkrétních bodech, můžeme hodnoty v nule a jedničce
ignorovat. Navíc je snadné se přesvědčit pomocí l'Hospitalova pravidla,
že lim
x0+
(x2
- x)/ ln x = 0 a lim
x1-
(x2
- x)/ ln x = 1. Vnitřní integrál proto
představuje spojitou funkci na intervalu 0, 1 .
Avšak vnější integrál
1
0
x2
- x
ln x
dx (1.6)
se nám elementárními metodami nepodaří spočítat. Nenajdeme totiž primitivní
funkci.
Zkusíme tedy integrovat nejprve podle proměnné x:
M
xy
dxdy =
2
1
1
0
xy
dx dy.
Vnitřní integrál bude
1
0
xy
dx =
xy+1
y + 1
1
0
=
1
y + 1
.
Celkově dostaneme
M
xy
dxdy =
2
1
dy
y + 1
= ln |y + 1|
2
1
= ln(y + 1)
2
1
= ln 3 - ln 2 = ln
3
2
.
20 Dvojný integrál
Je dobré si uvědomit, že toto číslo je současně hodnotou integrálu (1.6), který
jsme nedokázali spočítat. To je důsledkem toho, že oba dvojnásobné integrály
musí mít podle Fubiniovy věty stejnou hodnotu.
Poznámka 1.19. Ve Fubiniově větě 1.14 nelze ve vnitřních integrálech obecně
nahradit horní resp. dolní jednoduchý integrál jednoduchým integrálem. Uvažujme
např. funkci f definovanou na obdélníku a, b × c, d vztahem
f (x, y) =
0 pro a  x < b, c  y  d,
(y) pro x = b, c  y  d,
kde  je tzv. Dirichletova1
funkce ((y) = 1 pro racionální y a (y) = 0 pro
iracionální y). Funkce f je na obdélníku integrovatelná. To lze dokázat přímo
(viz cvičení 1 k této kapitole) nebo to plyne z lemmatu 1.12. Ale
d
c f (b, y) dy =
=
d
c (y) dy neexistuje, protože
d
c (y) dy = 0 < d - c =
d
c (y) dy.
Věta 1.20. Buďte f , g funkce integrovatelné na obdélníku M = a, b × c, d
a nechť C je konstanta. Pak
a) funkce Cf je integrovatelná na M a
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy; (1.7)
b) funkce |f | je integrovatelná na M a
M
f (x, y) dxdy 
M
|f (x, y)| dxdy; (1.8)
c) funkce f + g je integrovatelná na M a
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
(1.9)
1Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805­1859) (čti diriklé) -- německý matematik.
Zabýval se teorií čísel, matematickou analýzou a rovnicemi matematické fyziky.
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 21
Důkaz.
a) Z příkladu 1.5 víme, že
M
0 dxdy = 0  m(M) = 0. Tvrzení a) tedy platí pro
C = 0.
Předpokládejme nyní, že C > 0. Pro libovolné dělení D = {Mik : (i, k)  I}
obdélníku M zřejmě platí
inf {Cf (x, y) : [x, y]  Mik} = C inf {f (x, y) : [x, y]  Mik} = Cvik,
kde vik = inf {f (x, y) : [x, y]  Mik}. Analogicky
sup{Cf (x, y) : [x, y]  Mik} = CVik,
kde Vik = sup{f (x, y) : [x, y]  Mik}. Odtud dostáváme
s(D, Cf ) = Cs(D, f ), S(D, Cf ) = CS(D, f )
pro libovolné dělení D obdélníku M. Tedy
M
Cf (x, y) dxdy = sup{s(D, Cf ) : D  D} = sup{Cs(D, f ) : D  D} =
= C sup{s(D, f ) : D  D} = C
M
f (x, y) dxdy,
M
Cf (x, y) dxdy = inf {S(D, Cf ) : D  D} = inf {CS(D, f ) : D  D} =
= C inf {S(D, f ) : D  D} = C
M
f (x, y) dxdy.
Protože jsme zjistili, že
M
Cf (x, y) dxdy =
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy,
je funkce Cf na M integrovatelná a platí
M
Cf (x, y) dxdy = C
M
f (x, y) dxdy.
V případě C < 0 platí s(D, Cf ) = CS(D, f ), S(D, Cf ) = Cs(D, f ) a zbytek
důkazu se provede analogicky jako v případě C > 0.
22 Dvojný integrál
b) Buď D libovolné dělení obdélníku M s dílky Mij , (i, j)  I. Položme
uij = inf {f (x, y) : [x, y]  Mij }, Uij = sup{f (x, y) : [x, y]  Mij },
vij = inf {|f (x, y)| : [x, y]  Mij }, Vij = sup{|f (x, y)| : [x, y]  Mij }
pro (i, j)  I. Pro každé dva body [x, y], [~x, ~y]  Mij platí
-(Uij - uij ) = uij - Uij  f (x, y) - f (~x, ~y)  Uij - uij ,
takže |f (x, y) - f (~x, ~y)|  Uij - uij . Odtud plyne
|f (x, y)| = |f (x, y) - f (~x, ~y) + f (~x, ~y)|  |f (x, y) - f (~x, ~y)| +
+ |f (~x, ~y)|  Uij - uij + |f (~x, ~y)|.
pro každé [x, y], [~x, ~y]  Mij . Necháme-li v posledním vztahu proběhnout
proběhnout bod [x, y] celý dílek Mij , zjistíme, že pro libovolný bod
[~x, ~y]  Mij platí
Vij  Uij - uij + |f (~x, ~y)|.
Odtud vyplývá nerovnost
Vij  Uij - uij + vij ,
takže
0  Vij - vij  Uij - uij ,
a tudíž po vynásobení čísly m(Mij ) a sečtení přes všechna (i, j)  I obdržíme
0  S(D, |f |) - s(D, |f |)  S(D, f ) - s(D, f ).
Položíme-li v předchozích nerovnostech D = Dn, kde {Dn} je libovolná
nulová posloupnost dělení obdélníku M, dostáváme podle věty 1.10 limitním
přechodem n  
0 
M
|f (x, y)| dxdy -
M
|f (x, y)| dxdy 

M
f (x, y) dxdy -
M
f (x, y) dxdy = 0.
Je tedy |f | na M integrovatelná. Nerovnost mezi integrály plyne z nerovnosti
-S(D, |f |)  S(D, f )  S(D, |f |),
která snadno vyplývá ze zřejmých nerovností -Vij  Uij  Vij .
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 23
c) Buď D libovolné dělení obdélníku M s dílky Mij , (i, j)  I. Označme
uij = inf {f (x, y) : [x, y]  Mij }, vij = inf {g(x, y) : [x, y]  Mij },
wij = inf {f (x, y) + g(x, y) : [x, y]  Mij }.
Pak f (x, y)+g(x, y)  uij +vij pro každé [x, y]  Mij , a tedy uij +vij  wij .
Odtud
s(D, f + g) =
iI
wij m(Mij ) 
iI
(uij + vij ) m(Mij ) =
=
iI
uij m(Mij ) +
iI
vij m(Mij ) = s(D, f ) + s(D, g).
Podobně se dokáže
S(D, f + g)  S(D, f ) + S(D, g).
Pro libovolné dělení D obdélníku M tedy platí
s(D, f ) + s(D, g)  s(D, f + g)  S(D, f + g)  S(D, f ) + S(D, g).
Pro libovolnou nulovou posloupnost {Dn} dělení obdélníku M tudíž máme
s(Dn, f )+s(Dn, g)  s(Dn, f +g)  S(Dn, f +g)  S(Dn, f )+S(Dn, g).
Limitním přechodem pro n   dostáváme
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy 
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy 

M
f (x, y) + g(x, y) dxdy 
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
Odtud vzhledem k rovnosti krajních výrazů plyne, že
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
Je tedy funkce f + g integrovatelná na M a platí
M
f (x, y) + g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
24 Dvojný integrál
Věta 1.21. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M. Buď D dělení obdélníku
M s dílky dělení Mij , (i, j)  J, kde J = {(i, j) : i = 1, . . . , r; j =
= 1, . . . , s}.
Pak funkce f je integrovatelná na obdélníku M právě tehdy, když je integrovatelná
na všech obdélnících Mij , (i, j)  J. V tom případě platí
M
f (x, y) dxdy =
(i,j)J Mij
f (x, y) dxdy. (1.10)
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že dělení D má jen dva dílky, označme je M1,
M2 (obdélníky M1, M2 leží buď vedle sebe, nebo nad sebou).
Buď {D
n} libovolná nulová posloupnost dělení obdélníku M1, {D
n} libovolná
nulová posloupnost dělení obdélníku M2. Pak dílky dělení D
n, D
n určují
dělení Dn obdélníku M takové, že dílky tohoto dělení ležící v obdélníku M1
jsou zjemněním D
n dělení D
n a dílky ležící v obdélníku M2 jsou zjemněním D
n
dělení D
n. Zřejmě jsou posloupnosti {Dn}, {D
n} a {D
n} nulové a pro každé n
platí
s(Dn, f ) = s(D
n, f ) + s(D
n, f ).
Odtud limitním přechodem pro n   dostáváme, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.11)
Podobně se ukáže, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.12)
Odečtením rovností (1.11) a (1.12) obdržíme
M2
f (x, y) dxdy -
M2
f (x, y) dxdy +
M1
f (x, y) dxdy -
-
M1
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy -
M
f (x, y) dxdy.
(1.13)
Předpokládejme nejprve, že funkce f je integrovatelná na obdélníku M, tedy
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy =
M
f (x, y) dxdy,
1.1 Dvojný integrál na dvojrozměrném intervalu 25
takže pravá strana rovnosti (1.13) je rovna nule. Protože
M2
f (x, y) dxdy -
M2
f (x, y) dxdy  0,
M1
f (x, y) dxdy -
M1
f (x, y) dxdy  0,
dostáváme z nulové levé strany rovnosti (1.13)
M1
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy,
M2
f (x, y) dxdy =
M2
f (x, y) dxdy =
M2
f (x, y) dxdy.
Proto je funkce f integrovatelná na M1 i M2. Ze vztahů (1.11) a (1.12) nyní
plyne
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy. (1.14)
Analogicky se z rovnosti (1.13) dokáže, že z integrovatelnosti funkce f na
M1, M2 plyne její integrovatelnost na M i rovnost (1.14).
Nyní se tvrzení snadno rozšíří indukcí na případ r = 1 a s je libovolné (dílky
leží nad sebou) nebo s = 1 a r je libovolné (dílky leží vedle sebe). Obecný případ
libovolných r, s pak dostaneme spojením těchto dvou speciálních případů.
Důsledek 1.22. Nechť R1  R2 jsou obdélníky, funkce f je ohraničená na R1
a f (x, y) = 0 pro každé [x, y]  R2 R1. Pak je funkce f integrovatelná na R1
právě tehdy, když je integrovatelná na R2; přitom, nastane-li tento případ, platí
R1
f (x, y) dxdy =
R2
f (x, y) dxdy. (1.15)
Důkaz. Buď D dělení obdélníku R2 takové, že jeden z jeho dílků je obdélník R1.
Tvrzení plyne z věty 1.21 a lemmatu 1.12.
26 Dvojný integrál
Věta 1.23. Buďte f , g integrovatelné funkce na obdélníku M = a, b × c, d .
Pak platí:
a) Je-li f (x, y)  g(x, y) pro každé [x, y]  M, pak
M
f (x, y) dxdy 
M
g(x, y) dxdy. (1.16)
b) Funkce max{f, g} a min{f, g} jsou integrovatelné na M.
Důkaz.
a) Je-li f (x, y)  g(x, y) pro každé [x, y]  M, je
inf {f (x, y) : [x, y]  Mik}  inf {g(x, y) : [x, y[ Mik},
sup{f (x, y) : [x, y]  Mik}  sup{g(x, y) : [x, y]  Mik}.
Odtud s(D, f )  s(D, g), S(D, f )  S(D, g) pro libovolné D  D(M).
Poslední nerovnosti implikují
M
f (x, y) dxdy 
M
g(x, y) dxdy,
M
f (x, y) dxdy 
M
g(x, y) dxdy,
takže z integrovatelnosti funkcí f , g na M plyne
M
f (x, y) dxdy 
M
g(x, y) dxdy.
b) Protože
max{f (x, y), g(x, y)} =
1
2
f (x, y) + g(x, y) + |f (x, y) - g(x, y)| ,
min{f (x, y), g(x, y)} =
1
2
f (x, y) + g(x, y) - |f (x, y) - g(x, y)|
a funkce f , g jsou integrovatelné na M, jsou podle věty 1.20 na M integrovatelné
i funkce f + g, f - g a |f - g|, a tudíž i f + g + |f - g|,
f + g - |f - g|.
1.2 Ekvivalentní definice dvojného integrálu 27
1.2. Ekvivalentní definice dvojného integrálu
Myšlenka zavést integrál pomocí horních a dolních součtů pochází od Darbouxe1. Původní
Riemannův přístup byl jiný. Uvedeme si jeho definici a dokážeme, že je ekvivalentní
s definicí integrálu z předchozího oddílu. Pro účely tohoto oddílu označíme
integrál ve smyslu definice 1.3 symbolem (D)
M
f (x, y) dxdy a nazveme (D)-integrál.
Funkci mající (D)-integrál nazveme (D)-integrovatelnou.
Nechť M = a, b × c, d je dvojrozměrný interval a D jeho dělení s dílky Mik, kde
(i, k)  J, J = {(i, k) : i = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n}. Vyberme v každém dílku Mik
bod [i, k]. Množinu bodů  = {[i, k] : (i, k)  J} nazýváme výběrem reprezentantů
dílků dělení D.
Buď f funkce dvou proměnných definovaná na obdélníku M. Položme
(D, , f ) =
m
i=1
n
k=1
f (i, k) m(Mik).
Číslo (D, , f ) nazýváme integrálním součtem funkce f při dělení D a výběru reprezentantů
 (viz obr. 1.7, kde za reprezentanty dílků jsou zvoleny jejich středy).
Definice 1.24. Řekneme, že funkce f je (R)-integrovatelná (má (R)-integrál) na
obdélníku M, jestliže existuje konstanta I  R s následující vlastností:
K libovolnému číslu  > 0 existuje číslo  > 0 takové, že pro každé dělení D  D(M)
s normou (D) <  a pro libovolný výběr  reprezentantů dílků tohoto dělení platí
|I - (D, , f )| < .
Číslo I nazýváme dvojným (R)-integrálem funkce f na množině M a píšeme
(R)
M
f (x, y) dxdy = I.
Snadno se ověří, že číslo I z předchozí definice je určeno jednoznačně.
Zatímco pro konstrukci z definice 1.3 bylo podstatné, aby funkce f byla ohraničená
na obdélníku M, v definici 1.24 tento předpoklad nepotřebujeme.
Věta 1.25. Nechť funkce f je (D)-integrovatelná na obdélníku M. Pak je funkce f
na M také (R)-integrovatelná a platí
(D)
M
f (x, y) dxdy = (R)
M
f (x, y) dxdy.
1Jean Gaston Darboux (1842­1917) (čti darbu) -- francouzský matematik. Zabýval se diferenciální
geometrií a matematickou analýzou.
28 Dvojný integrál
x
y
z
z = f (x, y)
M
a)
x
y
z
b)
Obr. 1.7: Geometrický význam integrálního součtu
Důkaz. Pro libovolné dělení D obdélníku M s dílky Mik, (i, k)  J, a libovolný výběr
 = {[i, k] : (i, k)  J} reprezentantů dílků tohoto dělení platí vik  f (i, k)  Vik,
kde vik = inf{f (x, y) : [x, y]  Mik}, Vik = sup{f (x, y) : [x, y]  Mik}. Z definice
dolního, horního a integrálního součtu odtud dostáváme
s(D, f ) =
(i,k)J
vik m(Mik) 
(i,k)J
f (i, k) m(Mik) = (D, , f ) 

(i,k)J
Vik m(Mik) = S(D, f ).
Kromě toho z definice (D)-integrálu plyne nerovnost
s(D, f )  (D)
M
f (x, y) dxdy  S(D, f ).
Pro každé dělení D a libovolný výběr  reprezentantů jeho dílků tedy platí
(D)
M
f (x, y) dxdy - (D, , f )  S(D, f ) - s(D, f ).
Buď  > 0 libovolné číslo. Podle lemmatu 1.7 a poznámky 1.8 k číslu /2 > 0
1.2 Ekvivalentní definice dvojného integrálu 29
existuje číslo  > 0 takové, že pro libovolné dělení D s normou (D) <  platí
0  (D)
M
f (x, y) dxdy - s(D, f ) <

2
,
0  S(D, f ) - (D)
M
f (x, y) dxdy <

2
,
takže
0  S(D, f ) - s(D, f ) < .
Pro každé dělení D, které má normu (D) < , a libovolný výběr  reprezentantů jeho
dílků tudíž platí
(D)
M
f (x, y) dxdy - (D, , f ) < ,
což podle definice 1.24 znamená, že funkce f je na obdélníku M (R)-integrovatelná
a hodnota (R)-integrálu je rovna hodnotě (D)-integrálu.
Lemma 1.26. Je-li funkce f (R)-integrovatelná na obdélníku M, je na M ohraničená.
Důkaz. K číslu  = 1 existuje podle definice 1.24 číslo  > 0 takové, že pro každé
dělení D  D(M) s normou (D) <  a libovolný výběr  reprezentantů dílků tohoto
dělení je
|I - (D, , f )| < 1,
kde I = (R)
M
f (x, y) dxdy. Pak
|(D, , f )| = |(D, , f ) - I + I|  |(D, , f ) - I| + |I| < 1 + |I| = K.
Absolutní hodnoty integrálních součtů příslušných všem dělením D  D(M) s normou
(D) <  jsou tudíž bez ohledu na výběr reprezentantů dílků dělení ohraničené
konstantou K.
Zvolme pevně jedno takové dělení D obdélníku M s dílky Mik, (i, k)  J. Připusťme,
že funkce f není ohraničená na M. Pak existuje (i0, k0)  J tak, že na obdélníku
Mi0k0 není f ohraničená. Položme J0 = J {(i0, k0)}.
Pro každé (i, k)  J0 zvolme libovolný bod [i, k]  Mik. Označme
L =
(i,k)J0
f (i, k) m(Mik).
Protože funkce f není na dílku Mi0k0 ohraničená, lze najít bod [i0 , k0 ]  Mi0k0 tak,
že
f (i0 , k0 ) 
K + |L| + 1
m(Mi0k0 )
.
30 Dvojný integrál
Položme  = {[i, k] : (i, k)  J}. Pak
|(D, , f )| = f (i0 , k0 ) m(Mi0k0 ) +
(i,k)J0
f (i, k) m(Mik) 
 f (i0 , k0 ) m(Mi0k0 ) -
(i,k)J0
f (i, k) m(Mik) 
 K + |L| + 1 - |L| = K + 1,
což je spor. Funkce f je tedy na obdélníku M ohraničená.
Lemma 1.27. Nechť funkce f je ohraničená na obdélníku M a D je dělení M. Pak
k libovolnému číslu  > 0 existují výběry 1, 2 reprezentantů dílků dělení D takové,
že S(D, f ) < (D, 1, f ) + , s(D, f ) > (D, 2, f ) - .
Důkaz. Nechť D je dělení obdélníku M s dílky Mik, (i, k)  J. Označme r celkový
počet dílků Mik.
Buď  > 0 libovolné číslo a (i, k)  J. Z definice suprema Vik funkce f na Mik
vyplývá, že existuje bod [i, k]  Mik, pro nějž
0  Vik - f (i, k) <

r m(Mik)
.
Položme 1 = {[i, k] : (i, k)  J}. Potom
S(D, f ) - (D, 1
, f ) =
(i,k)J
Vik - f (i, k) m(Mik) <
<
(i,k)J

r m(Mik)
m(Mik) =
(i,k)J

r
= ,
což je první nerovnost. Obdobně se dokáže existence 2 z nerovnosti pro dolní součet.
Věta 1.28. Nechť funkce f je (R)-integrovatelná na obdélníku M. Pak je funkce f
na M také (D)-integrovatelná a platí
(R)
M
f (x, y) dxdy = (D)
M
f (x, y) dxdy.
Důkaz. Podle lemmatu 1.26 je (R)-integrovatelná funkce f na obdélníku M ohraničená,
můžeme tedy konstruovat její dolní a horní součty.
Buď  > 0 libovolné číslo. Podle definice 1.24 k číslu /4 > 0 existuje číslo  > 0
takové, že pro každé dělení D  D(M) s normou (D) <  a pro libovolný výběr 
reprezentantů dílků tohoto dělení platí
(R)
M
f (x, y) dxdy - (D, , f ) <

4
.
1.3 Měřitelné množiny v R2
31
Zvolme pevně jedno takové dělení D. Podle lemmatu 1.27 lze k číslu /4 > 0 nalézt
takové výběry 1, 2 reprezentantů dílků dělení D, že S(D, f ) < (D, 1, f ) + /4
a s(D, f ) > (D, 2, f ) - /4. Z předchozích nerovností dostaneme
S(D, f ) - s(D, f ) < (D, 1
, f ) - (D, 2
, f ) +

2
=
= (D, 1
, f ) - (R)
M
f (x, y) dxdy +
+ (R)
M
f (x, y) dxdy - (D, 2
, f ) +

2
<
<

4
+

4
+

2
= .
Podle lemmatu 1.9 je tudíž funkce f na obdélníku M (D)-integrovatelná. Rovnost
(R)
M
f (x, y) dxdy = (D)
M
f (x, y) dxdy
plyne z věty 1.25.
1.3. Měřitelné množiny v RRR2
V tomto oddílu přiřadíme některým omezeným množinám v rovině nezáporné
číslo, které bude zobecněním pojmu obsah množiny, známého z elementární
geometrie. Při konstrukci použijeme dvojný integrál funkce definované na ob-
délníku.
Definice 1.29. Buď M  R2
množina. Funkce M : R2
 R daná předpisem
M(x, y) =
1 pro [x, y]  M,
0 pro [x, y]  M
se nazývá charakteristická funkce množiny M.
Poznámka 1.30. Je-li množina M  R2
omezená, existuje zřejmě vhodný obdélník
R = a, b × c, d tak, že M  R. Funkce M je definovaná v celé
rovině R2
, tedy i na obdélníku R -- viz obr. 1.8, kde M je kruh.
32 Dvojný integrál
Definice 1.31. Řekneme, že omezená množina M  R2
je (jordanovsky) měřitelná,
jestliže pro nějaký obdélník R  M je charakteristická funkce M
množiny M integrovatelná na obdélníku R. Přitom klademe
m(M) =
R
M(x, y) dxdy
a číslo m(M) nazýváme (Jordanovou) mírou množiny M.
M
R
1
x
y
z
z = M(x, y)
Obr. 1.8: Charakteristická funkce kruhu
Poznámka 1.32.
1. Místo m(M) budeme také psát m2(M), abychom zdůraznili, že jde o míru ve
dvojrozměrném prostoru R2
.
2. Definice míry je korektní. Nechť R1, R2 jsou dva obdélníky takové, že platí
M  R1, M  R2, a nechť je funkce M integrovatelná na R1. Buď R takový
obdélník, že R1  R2  R. Podle důsledku 1.22 je funkce M integrovatelná
na R, a tedy také na R2. Přitom platí
R1
M(x, y) dxdy =
R
M(x, y) dxdy =
R2
M(x, y) dxdy.
Existence ani hodnota integrálu z definice 1.31 tedy nezávisí na volbě obdélníku
R, který zkoumanou množinu M obsahuje.
3. Je-li M = a, b × c, d obdélník, lze zvolit R = M. Pak
m(M) =
R
M(x, y) dxdy =
R
1 dxdy = (b - a)(d - c).
Definice 1.31 tedy pro obsah obdélníku dává stejnou hodnotu, jako se zavádí
v elementární geometrii (a ve shodě s tím, jak byl symbol m(M) zaveden na
str. 4).
1.3 Měřitelné množiny v R2
33
M
a) S(D, M)
M
b) s(D, M)
Obr. 1.9: Geometrické znázornění horního a dolního součtu funkce M
Poznámka 1.33. Všimněme si geometrického významu horního a dolního součtu
integrálu
R
M(x, y) dxdy vystupujícího v definici 1.31. Horní součet S(D, M)
je součet obsahů všech dílků, které obsahují aspoň jeden bod množiny M, dolní
součet s(D, M) je součet obsahů všech dílků, které jsou podmnožinou množiny
M (viz obr. 1.9). Součet S(D, M) tedy aproximuje ,,obsah" množiny M
shora, zatímco součet s(D, M) aproximuje ,,obsah" množiny M zdola.
Jak již bylo zmíněno v úvodu kapitoly, někdy se Jordanova míra zavádí ,,přímo"
bez použití integrálu. V různých pramenech -- viz např. [21, 23] -- se konstrukce
v detailech liší, nicméně vedou na tentýž systém měřitelných množin, jako jsme dostali
my. Naznačíme si princip, jak lze Jordanovu míru alternativně zavést.
Nechť M  R2 je omezená množina a R = a, b × c, d , a < b, c < d, je obdélník
obsahující M, přičemž a, b, c, d jsou celá čísla. Pro n  N0 označme D1
n ekvidistantní
dělení intervalu a, b s normou (D1
n) = 1/2n, D2
n ekvidistantní dělení intervalu c, d
s normou (D2
n) = 1/2n a Dn = D1
n × D2
n dělení obdélníku R. Dílky dělení Dn jsou
čtverce o stranách 1/2n.
Buď Jn(M) sjednocení všech dílků dělení Dn, které jsou podmnožinou M, a On(M)
sjednocení všech dílků dělení Dn, které mají neprázdný průnik s M. Definujme míry
těchto množin m(Jn(M)) resp. m(On(M)) jako součty obsahů dílků dělení Dn, které
tvoří tyto množiny. Zřejmě platí m(Jn(M)) = s(Dn, M) a m(On(M)) = S(Dn, M)
-- srovnejte obr. 1.9.
Snadno se ověří že pro každé m  n platí Jm(M)  Jn(M), Om(M)  On(M),
m(Jm(M))  m(Jn(M)), m(Om(M))  m(On(M)) a pro libovolné m, n platí Jm(M) 
 On(M), m(Jm(M))  m(On(M)). Z těchto nerovností vyplývá existence konečných
limit lim
n
m(Jn(M)) = m(M) a lim
n
m(On(M)) = m(M). Platí m(M)  m(M).
Tato čísla nazýváme vnitřní míra a vnější míra množiny M. Definujeme, že množina M
34 Dvojný integrál
je měřitelná, když m(M) = m(M). Z věty 1.10 plyne, že
R
M(x, y) dxdy = m(M)
a
R
M(x, y) dxdy = m(M). Tudíž takto zavedený pojem měřitelnosti splývá s pojmem
zavedeným v definici 1.31.
Lemma 1.34. Je-li h(M) hranice omezené množiny M  R2
a je-li R  M
libovolný obdélník, pak
R
M(x, y) dxdy -
R
M(x, y) dxdy 
R
h(M)(x, y) dxdy.
Důkaz. Buď D libovolné dělení obdélníku R s dílky Rik, (i, k)  I. Označme
vik = inf {M(x, y) : [x, y]  Rik}, Vik = sup{M(x, y) : [x, y]  Rik},
Uik = sup{h(M)(x, y) : [x, y]  Rik}.
Zřejmě 0  vik  Vik  1 a 0  Uik  1; přitom platí:
i) je-li h(M)  Rik = , pak Uik = 1;
ii) je-li h(M)  Rik = , pak Uik = 0 a vik = Vik.
Poslední rovnost zdůvodníme takto (

M značí vnitřek množiny M):
Je M =

M (h(M)M), takže M Rik = (

M Rik)(h(M)M Rik) =
=

M  Rik, protože h(M)  Rik = . Je-li

M  Rik = , je vik = Vik = 0,
je-li naopak

M  Rik = , je nutně Rik 

M. Připusťme, že tomu tak
není. Označme ext M = R2
(M  h(M)) vnějšek množiny M. Protože
R2
=

M  h(M)  ext M, platí Rik = (

M  Rik)  (h(M)  Rik)  (ext M 
 Rik) = (

M  Rik)  (ext M  Rik). Tedy otevřené a disjunktní množiny

M a ext M pokrývají dílek Rik, přičemž

M  Rik = , ext M  Rik = .
To ale není možné, protože dílek Rik je souvislá množina. Tedy Rik 

M
a vik = Vik = 1.
Z vlastností i) a ii) plynou nerovnosti Vik - vik  Uik. Odtud
S(D, M) - s(D, M) =
(i,k)I
Vik m(Rik) -
(i,k)I
vik m(Rik) =
=
(i,k)I
(Vik - vik) m(Rik) 
(i,k)I
Uik m(Rik) = S(D, h(M)).
Tudíž
R
M(x, y) dxdy -
R
M(x, y) dxdy  S(D, h(M))
1.3 Měřitelné množiny v R2
35
pro libovolné D  D(M), a tedy
R
M(x, y) dxdy -
R
M(x, y) dxdy 
R
h(M)(x, y) dxdy.
Věta 1.35. Je-li M  R2
omezená množina a m(h(M)) = 0, pak je M měřitelná.
Důkaz. Je-li R  M libovolný obdélník, pak využitím lemmatu 1.34 dostáváme
0 = m(h(M)) =
R
h(M)(x, y) dxdy =
R
h(M)(x, y) dxdy 

R
M(x, y) dxdy -
R
M(x, y) dxdy  0.
Poslední nerovnost je tedy rovností, tudíž funkce M je integrovatelná na R,
takže množina M je měřitelná.
Poznámka 1.36. Obrácené tvrzení k větě 1.35 dokážeme později jako větu 1.40.
Věta 1.37. Je-li M1  M2  R2
a je-li M2 měřitelná a m(M2) = 0, pak rovněž
M1 je měřitelná a m(M1) = 0.
Důkaz. Buď R  M2 libovolný obdélník. Pak z M1  M2 plyne 0  M1
(x, y) 
 M2
(x, y) pro každý bod [x, y]  R2
. Odtud vyplývá 0  s(D, M1
),
S(D, M1
)  S(D, M2
) pro libovolné dělení D obdélníku R, a tudíž
0 
R
M1
(x, y) dxdy 
R
M1
(x, y) dxdy 

R
M2
(x, y) dxdy =
R
M2
(x, y) dxdy = 0,
což implikuje
R
M1
(x, y) dxdy =
R
M1
(x, y) dxdy =
=
R
M1
(x, y) dxdy = m(M1) = 0.
36 Dvojný integrál
Věta 1.38. Pro Jordanovu míru platí následující tvrzení:
a) m() = 0.
b) Jsou-li M1, M2 měřitelné množiny, M1  M2, pak m(M1)  m(M2).
c) m(M)  0 pro libovolnou měřitelnou množinu M.
d) Jsou-li množiny M1, M2 měřitelné, pak také množiny M1  M2, M1  M2,
M1 M2 jsou měřitelné.
e) Je-li y = g(x), x  ,  , spojitá funkce, pak graf funkce g, tj. množina
G = {[x, g(x)] : x  ,  }, je měřitelná množina a má míru rovnu nule.
f) Je-li x = h(y), y  ,  , spojitá funkce, pak graf funkce h, tj. množina
H = {[h(y), y] : y  ,  }, je měřitelná množina a má míru rovnu nule.
Důkaz.
a) Tvrzení plyne z toho, že prázdná množina je obsažena v jakémkoliv obdélníku
a její charakteristická funkce je nulová.
b) Nechť R  M2 je obdélník. Díky inkluzi M1  M2 platí M1
(x, y) 
 M2
(x, y) pro každý bod [x, y]. Odtud podle věty 1.23 plyne
m(M1) =
R
M1
(x, y) dxdy 
R
M2
(x, y) dxdy = m(M2).
c) Položíme-li v b) M1 = , M2 = M, dostáváme
0 = m(M1)  m(M2) = m(M).
d) Zřejmě pro každý bod [x, y] platí
M1M2
(x, y) = max{M1
(x, y), M2
(x, y)},
M1M2
(x, y) = min{M1
(x, y), M2
(x, y)}.
Podle věty 1.23 jsou funkce M1M2
, M1M2
integrovatelné na libovolném
obdélníku R  M1  M2, takže množiny M1  M2, M1  M2 jsou měřitelné.
Měřitelnost množiny M1 M2 plyne ze vztahu
M1 M2
(x, y) = M1
(x, y) - M2M1
(x, y)
a z věty 1.20, neboť podle dokázané části d) je M1  M2 měřitelná.
e) Funkce g je spojitá na intervalu ,  , existuje tedy na ,  její maximum
a minimum. Položme a = , b =  a zvolme c, d  R tak, aby platilo c <
< min{g(x) : x  ,  }, d > max{g(x) : x  ,  }. Pak graf G funkce g
1.3 Měřitelné množiny v R2
37
leží v obdélníku R = a, b × c, d . Protože g je spojitá na ,  , existuje
podle tvrzení před větou 1.11 k libovolnému číslu  > 0 číslo  > 0 takové,
že x, x
 ,  , |x - x
| <  implikuje |g(x) - g(x
)| < . Zejména tedy
k libovolnému číslu n  N existuje číslo m  N takové, že pro x, x
 ,  ,
|x - x
|  (b - a)/m platí |g(x) - g(x
)| < (d - c)/n.
x
y
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 = b
c = y0
y1
y2
y3
d = y4
O
y = g(x)
Obr. 1.10
Zvolme dělení D = Dx × Dy obdélníku R s dílky Rik, (i, k)  I, takové, že
Dx : a = x0 < x1 <    < xm = b, Dy : c = y0 < y1 <    < yn = d, kde
xi = a+(b-a)i/m (i = 0, 1, . . . , m), yk = c+(d -c)k/n (k = 0, 1, . . . , n).
Položme Vik = sup{G(x, y) : [x, y]  Rik}. Pro x, x
 xi-1, xi je |g(x) -
-g(x
)| < (d -c)/n. Graf G může tedy mít neprázdný průnik maximálně se
dvěma sousedícími dílky dělení D ležícími nad (pod) sebou (viz obr. 1.10).
Celkový počet dílků majících neprázdný průnik s grafem G je tedy roven
maximálně 2m. Pro tyto dílky platí Vik = 1, pro ostatní Vik = 0, tudíž
S(D, G) =
(i,k)I
Vik m(Rik)  2m
b - a
m

d - c
n
=
2(b - a)(d - c)
n
.
Jelikož
lim
n
2(b - a)(d - c)
n
= 0,
platí inf {S(D, G) : D  D(R)} = 0. Odtud
R
G(x, y) dxdy = 0. Protože
38 Dvojný integrál
G je nezáporná funkce, dostáváme
0 
R
G(x, y) dxdy 
R
G(x, y) dxdy = 0.
Tedy
m(G) =
R
G(x, y) dxdy = 0.
f) Důkaz se provede podobně jako v e) záměnou rolí x a y.
Věta 1.39. Jsou-li M1, M2 měřitelné množiny, pak platí:
a) m(M1  M2) = m(M1) + m(M2) - m(M1  M2).
b) m(M1  M2)  m(M1) + m(M2).
c) m(M1 M2) = m(M1) - m(M1  M2).
d) Je-li navíc M1  M2, pak m(M1 M2) = m(M1) - m(M2).
e) Platí-li navíc m(M1  M2) = 0, pak m(M1  M2) = m(M1) + m(M2).
Důkaz. Vzhledem k větě 1.38 plyne z měřitelnosti množin M1, M2 měřitelnost
množin M1  M2, M1  M2 a M1 M2. Buď R  M1  M2 obdélník.
a) Protože M1M2
(x, y) = M1
(x, y) + M2
(x, y) - M1M2
(x, y), máme
m(M1  M2) =
R
M1M2
(x, y) dxdy =
=
R
M1
(x, y) dxdy +
R
M2
(x, y) dxdy -
R
M1M2
(x, y) dxdy =
= m(M1) + m(M2) - m(M1  M2).
b) Plyne z a), neboť m(M1  M2)  0.
c) Protože M1 M2
(x, y) = M1
(x, y) - M1M2
(x, y), platí
m(M1 M2) =
R
M1 M2
(x, y) dxdy =
=
R
M1
(x, y) dxdy -
R
M1M2
(x, y) dxdy = m(M1) - m(M1  M2).
d) Plyne z c).
e) Plyne z a).
1.3 Měřitelné množiny v R2
39
Dá se ukázat, že platí i obrácené tvrzení k větě 1.35:
Věta 1.40. Je-li množina M  R2
měřitelná, pak je i její hranice h(M) měřitelná
a platí m(h(M)) = 0.
Důkaz. Buď  > 0 libovolné. Nechť R  M je libovolný obdélník. Bez újmy na
obecnosti lze předpokládat, že R je tak velký, že existuje obdélník R1 s vlastností
M  R1 

R, kde

R je vnitřek obdélníku R. Protože množina M je měřitelná,
je funkce M integrovatelná na R a podle lemmatu 1.9 existuje dělení D  D(R)
s dílky Rij , (i, j)  I, takové, že S(D, M) - s(D, M) < . Nechť I
, I
a I
jsou podmnožiny I takové, že
(i, j)  I
, právě když Rij  M,
(i, j)  I
, právě když Rij  M = ,
(i, j)  I
, právě když Rij  M = .
Pak I
= I I
, I
 I
, I = I
(I
I
)I
, I
(I
I
) = , I
I
= 
a I
I
= . Množina I je tak rozdělena na tři disjunktní (ne nutně neprázdné)
třídy I
, I
I
a I
. Přitom platí
(i,j)I
Rij  M 
(i,j)I
Rij  R. Položme
Vij = sup{M(x, y) : [x, y]  Rij }, vij = inf {M(x, y) : [x, y]  Rij } pro
každé (i, j)  I.
Je-li (i, j)  I
, pak vzhledem k tomu, že Rij  M, platí Vij = vij = 1. Je-li
(i, j)  I
I
, pak Rij  M, Rij M =  a Vij = 1, vij = 0. Je-li (i, j)  I
,
pak vzhledem k tomu, že Rij  M = , máme Vij = vij = 0.
Ukážeme ve třech krocích, že h(M)  K, kde K =
(i,j)I I
Rij .
i) Protože M  R1 a obdélník R1 je uzavřený, je h(M)  R1 

R 
(i,j)I
Rij .
ii) Nechť A  h(M) a A  Rij , kde (i, j)  I
. Pak A /

Rij (jinak by A byl
vnější bod množiny M) a A / M. Tedy A je hromadný bod M, který leží
na některé straně obdélníku Rij a přitom M  Rij = . Musí tedy existovat
další dílky dělení D, na jejichž některé straně leží bod A, a alespoň jeden
z těchto dílků, nechť je to Rkl, je takový, že (k, l)  I
. Přitom z A / M
plyne, že (k, l) / I
. To znamená, že A  K. A byl libovolný bod s danou
vlastností, tedy h(M) 
(i,j)I
Rij  K.
iii) Nechť A  h(M) a A  Rij , kde (i, j)  I
. Pak A /

Rij (jinak by A
byl vnitřní bod M) a A  M. Dílek Rij není ,,krajním" dílkem dělení D
(tj. žádná jeho strana není částí některé strany obdélníku R -- ,,krajní" dílek
nemůže být podmnožinou M, protože M  R1 a R1 

R). Existují tedy
40 Dvojný integrál
další dílky Rrs, (r, s)  I
, na jejichž některé straně leží bod A, a alespoň
jeden z těchto dílků, nechť je to Rkl, je takový, že (k, l)  I
I
(jinak by
A byl vnitřní bod M). To znamená, že A  K. Bod A byl libovolný, tedy
h(M) 
(i,j)I
Rij  K.
Užitím věty 1.39 e) dostáváme
 > S(D, M) - s(D, M) =
(i,j)I
Vij m(Rij ) -
(i,j)I
vij m(Rij ) =
=
(i,j)I
m(Rij ) -
(i,j)I
m(Rij ) =
(i,j)I I
m(Rij ) = m(K).
Z dokázané inkluze K  h(M) plyne nerovnost K(x, y)  h(M)(x, y)  0
pro každé [x, y]  R, takže platí
 > m(K) =
R
K(x, y) dxdy =
R
K(x, y) dxdy 

R
h(M)(x, y) dxdy 
R
h(M)(x, y) dxdy  0.
Protože  > 0 bylo libovolné, je
R
h(M)(x, y) dxdy =
R
h(M)(x, y) dxdy =
R
h(M)(x, y) dxdy = 0,
tj. množina h(M) je měřitelná a m(h(M)) = 0.
Důsledek 1.41. Omezená množina M  R2
je jordanovsky měřitelná právě
tehdy, když m2(h(M)) = 0.
Definice 1.42. Nechť ,  jsou spojité funkce na intervalu a, b takové, že
(x)  (x) pro x  a, b . Označme A = {[x, y]  R2
: x  a, b , (x) 
 y  (x)}. Říkáme, že A je elementární množina vzhledem k ose x.
Podobně, jsou-li ,  spojité funkce na intervalu c, d takové, že (y)  (y)
pro y  c, d , a je-li A = {[x, y]  R2
: y  c, d , (y)  x  (y)},
řekneme, že A je elementární množina vzhledem k ose y.
Říkáme, že množina A  R2
je elementární, je-li elementární vzhledem k ose x
nebo vzhledem k ose y.
1.3 Měřitelné množiny v R2
41
x
y
a b
y = (x)
y = (x)
M1
a)
x
y
c
d
x = (y) x = (y)
M2
b)
Obr. 1.11: Příklady elementárních množin v rovině
Věta 1.43. Každá elementární množina je měřitelná.
Důkaz. Nechť A je pro určitost elementární množina vzhledem k ose x. Pak
h(A) = U1 U2 G1 G2, kde U1, U2 jsou úsečky (rovnoběžné s osou y), které
lze chápat jako grafy (konstantních) funkcí proměnné y spojitých na kompaktním
intervalu, a G1, G2 jsou grafy spojitých funkcí proměnné x na kompaktním
intervalu. Podle věty1.38 je m(U1) = m(U2) = m(G1) = m(G2) = 0. Abychom
dokázali, že A je měřitelná, stačí podle věty 1.35 ukázat, že m(h(A)) = 0. To
však plyne z věty 1.39, neboť
0  m(h(A)) = m(U1  U2  G1  G2) 
 m(U1) + m(U2) + m(G1) + m(G2) = 0.
Poznámka 1.44.
a) Obrazce studované v elementární geometrii (např. trojúhelník, čtverec, obdélník,
mnohoúhelník, kruh) jsou elementární množiny nebo sjednocení konečného
počtu elementárních množin. Jsou tedy měřitelné.
b) Z předchozích výsledků vyplývá, že systém jordanovsky měřitelných množin
v rovině má následující vlastnosti:
1) S každými dvěma množinami M1, M2 obsahuje i jejich rozdíl M1 M2.
2) S libovolnou konečnou posloupností množin M1, . . . , Mk obsahuje i jejich
sjednocení
k
i=1
Mi a průnik
k
i=1
Mi.
42 Dvojný integrál
Takový systém množin se nazývá množinový okruh. Říkáme také, že systém
jordanovsky měřitelných množin je uzavřený vzhledem k rozdílu a konečným
sjednocením a průnikům.
V řadě aplikací, zejména u limitních přechodů, je důležité, aby systém měřitelných
množin byl uzavřený i vzhledem ke spočetným sjednocením (tzv.
množinový -okruh) a spočetným průnikům (tzv. množinový -okruh), tj.
aby z měřitelnosti množin M1, M2, . . . plynula i měřitelnost množin

i=1
Mi
a

i=1
Mi. Tyto vlastnosti však systém jordanovsky měřitelných množin nemá
-- viz cvičení 27 k této kapitole. To je důvodem, proč se zavádějí obecnější
míry než Jordanova. Nejrozšířenější z nich je bezesporu Lebesgueova1
míra.
1.4. Dvojný integrál na měřitelné množině
Definice 1.45. Nechť M  R2
je měřitelná množina a nechť f je ohraničená
funkce na M. Funkci f nazveme integrovatelnou (integrace schopnou)
na množině M, jestliže funkce Mf určená předpisem
(Mf )(x, y) =
f (x, y) pro [x, y]  M,
0 pro [x, y]  M
je integrovatelná na nějakém obdélníku R  M. Dvojný integrál funkce f na
množině M (přes množinu M) pak definujeme vztahem
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy.
Poznámka 1.46.
a) Podobně jako u definice míry (definice 1.31) lze ukázat, že definice 1.45 je
korektní, tj. že integrál
M
f (x, y) dxdy nezávisí na volbě obdélníku R  M.
b) Je-li M obdélník, lze zvolit R = M. Pak
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy =
R
f (x, y) dxdy,
1Henri Léon Lebesgue (1875­1941) (čti lebeg) -- francouzský matematik. Zabýval se teorií
funkcí a integrálu. Jím zavedená míra a integrál významně ovlivnily matematiku 20. století.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 43
pokud aspoň jeden z uvedených integrálů existuje. Integrál funkce f přes
obdélník tedy nezávisí na tom, použijeme-li definici 1.3, nebo definici 1.45.
Následující věta je zobecněním dříve uvedené věty pro obdélník.
Věta 1.47. Funkce f spojitá a ohraničená na měřitelné množině M  R2
je na
množině M integrovatelná.
Důkaz. Buď  > 0 libovolné. Nechť R  M je libovolný obdélník. Vzhledem
k ohraničenosti funkce f na množině M existuje konstanta K > 0 taková, že
|(Mf )(x, y)|  K pro každé [x, y]  R. Protože množina M je měřitelná,
je podle věty 1.40 m(h(M)) = 0 a podle lemmatu 1.7 existuje číslo 1 > 0
s vlastností, že pro libovolné dělení D  D(R) s normou (D) < 1 platí
0 = m(h(M)) =
R
h(M)(x, y) dxdy  S(D, h(M)) <

4(K + 1)
.
Nechť Rij , (i, j)  I, značí dílky dělení D. Buď I
podmnožina množiny I
taková, že Rij , (i, j)  I
, jsou všechny dílky dělení D mající neprázdný průnik
s hranicí h(M) množiny M. Podobně nechť I
je podmnožina množiny I taková,
že Rij , (i, j)  I
, jsou všechny dílky dělení D, pro něž Rij  M, Rij h(M) =
= . Je I
 I
= . Položme M1 =
(i,j)I
Rij . Zřejmě je h(M)  M1  R
a s ohledem na větu 1.39 platí
m(M1) = m
(i,j)I
Rij =
(i,j)I
m(Rij ) = S(D, h(M)) <

4(K + 1)
.
Položme nyní M2 =
(i,j)I
Rij . Množina M2 je zřejmě kompaktní a platí M2 
 M  M1  M2.
Poslední inkluzi dokážeme takto: Nechť A  M M2. Jestliže A  h(M),
pak A  M1. Nechť A / h(M), tj. A 

M, a nechť A  Rij , kde Rij je dílek
dělení D, (i, j) / I
, tj. Rij  (R2

M) = . Připusťme, že h(M)  Rij = .
Pak Rij 

M  ext M, kde ext M = R2
(M  h(M)) je vnějšek množiny M.
Přitom

M, ext M jsou otevřené, disjunktní a Rij 

M = , Rij  ext M = . To
je spor s tím, že obdélník Rij je souvislá množina. Tedy (i, j)  I
a A  M1.
Protože množina M2 je kompaktní, existuje podle tvrzení před větou 1.11
číslo 2 > 0 takové, že pro [x1, y1]  M2, [x2, y2]  M2, ((x1, y1), (x2, y2)) <
< 2 platí |f (x1, y1)-f (x2, y2)| < /(2 m(R)). Položme  = min(1, 2). Nechť
D1 je dělení obdélníku R s dílky R1
kl, (k, l)  J, které je takovým zjemněním
dělení D, že (D1) < . Buď J
 J je takové, že R1
kl  M1 právě pro (k, l)  J
.
44 Dvojný integrál
Nechť J
 J je takové, že R1
kl  M2 právě pro (k, l)  J
. Snadno se ověří,
že
(i,j)I
Rij =
(k,l)J
R1
kl = M1 a
(i,j)I
Rij =
(k,l)J
R1
kl = M2. Položme
Vij = sup{(Mf )(x, y) : [x, y]  Rij }, vij = inf {(Mf )(x, y) : [x, y]  Rij }
pro (i, j)  I,
V 1
kl = sup{(Mf )(x, y) : [x, y]  R1
kl}, v1
kl = inf {(Mf )(x, y) : [x, y]  R1
kl}
pro (k, l)  J. Zřejmě platí V 1
kl = max{f (x, y) : [x, y]  R1
kl} pro (k, l)  J
a v1
kl = min{f (x, y) : [x, y]  R1
kl} pro (k, l)  J
, |V 1
kl|  K, |v1
kl|  K pro
(k, l)  J
a V 1
kl = v1
kl = 0 pro (k, l)  J (J
 J
). Nyní
0  S(D1, Mf ) - s(D1, Mf ) =
(k,l)J
V 1
kl m(R1
kl) -
(k,l)J
v1
kl m(R1
kl) =
=
(k,l)J
(V 1
kl - v1
kl) m(R1
kl) +
(k,l)J
V 1
kl m(R1
kl) -
(k,l)J
v1
kl m(R1
kl) 


2 m(R) (k,l)J
m(R1
kl) + 2K
(k,l)J
m(R1
kl) 


2 m(R)
m(R) + 2K
(i,j)I
m(Rij ) =
=

2
+ 2KS(D, h(M)) <

2
+ 2K

4(K + 1)
<

2
+

2
= .
Podle lemmatu 1.9 je funkce Mf integrovatelná na R, a tudíž funkce f je
integrovatelná na M.
Důsledek 1.48. Buď f spojitá funkce na kompaktní měřitelné množině M. Pak
funkce f je integrovatelná na M.
Podobně jako u dvojných integrálů přes daný obdélník mají integrály přes
měřitelnou množinu následující vlastnosti.
Věta 1.49. Nechť f , g jsou funkce integrovatelné na měřitelné množině M  R2
.
Pak platí:
a) Funkce f + g je integrovatelná na M a platí
M
[f (x, y) + g(x, y)] dxdy =
M
f (x, y) dxdy +
M
g(x, y) dxdy.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 45
b) Je-li c  R konstanta, pak funkce cf je integrovatelná na M a platí
M
cf (x, y) dxdy = c
M
f (x, y) dxdy.
c) Funkce |f | je integrovatelná na M a platí
M
f (x, y) dxdy 
M
|f (x, y)| dxdy.
d) Je-li f (x, y)  g(x, y) pro každé [x, y]  M, pak
M
f (x, y) dxdy 
M
g(x, y) dxdy.
Vlastnost z tvrzení b) se nazývá homogenita integrálu vzhledem k integrandu,
vlastnost z tvrzení a) se nazývá aditivita integrálu vzhledem k integrandu.
Důkaz. Protože každý dvojný integrál přes množinu M je definován vztahem
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy,
kde R  M je obdélník, plynou uvedená tvrzení z věty 1.20 a věty 1.23 pro
integrály přes obdélník, neboť pro každý bod [x, y] platí
(M(f + g))(x, y) = (Mf )(x, y) + (Mg)(x, y),
(M(cf ))(x, y) = c(Mf )(x, y),
-|(Mf )(x, y)| = -(M|f |)(x, y) 
 (Mf )(x, y)  (M|f |)(x, y) = |(Mf )(x, y)|,
(Mf )(x, y)  (Mg)(x, y), je-li f (x, y)  g(x, y).
Věta 1.50.
a) Je-li M  R2
měřitelná a je-li k  R konstanta, pak
M
k dxdy = k m(M).
46 Dvojný integrál
b) Nechť f je funkce ohraničená na množině M  R2
míry nula. Pak je f na M
integrovatelná a platí
M
f (x, y) dxdy = 0.
c) Je-li funkce f integrovatelná na měřitelné množině M1  R2
i na měřitelné
množině M2  R2
a je-li m(M1  M2) = 0, pak f je integrovatelná na
M1  M2 a platí
M1M2
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.
Vlastnost z tvrzení c) se v případě, kdy M1  M2 = , nazývá aditivita
integrálu vzhledem k integračnímu oboru.
Důkaz.
a) Konstantní funkce f daná předpisem f (x, y) = k pro každé [x, y]  M je
ohraničená a spojitá na M, takže podle věty 1.47 je integrovatelná na M. Je-li
R  M obdélník, platí
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy =
= k
R
M(x, y) dxdy = k m(M).
b) Protože funkce f je ohraničená na množině M, existuje konstanta K > 0
taková, že -K  f (x, y)  K, je-li [x, y]  M. Odtud -KM(x, y) 
 (Mf )(x, y)  KM(x, y) pro každé [x, y]  R, kde R  M je obdélník.
Tedy
s(D, -KM)  s(D, Mf )  s(D, KM),
S(D, -KM)  S(D, Mf )  S(D, KM)
pro libovolné D  D(R). Díky předpokladu m(M) = 0 tudíž
0 = -K m(M) =
R
(-K)M(x, y) dxdy 
R
(Mf )(x, y) dxdy 

R
(Mf )(x, y) dxdy 
R
KM(x, y) dxdy = K m(M) = 0.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 47
Odtud plyne integrovatelnost funkce f na M s výsledkem
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy =
=
R
(Mf )(x, y) dxdy = 0.
c) Buď R  M1  M2 libovolný obdélník. Zřejmě pro každý bod [x, y] platí
(M1M2
f )(x, y) = (M1
f )(x, y) + (M2
f )(x, y) - (M1M2
f )(x, y).
Protože m(M1  M2) = 0, je podle b)
M1M2
f (x, y) dxdy = 0. Celkově
s přihlédnutím k větě 1.49 dostáváme
M1M2
f (x, y) dxdy =
R
(M1M2
f )(x, y) dxdy =
=
R
(M1
f )(x, y) dxdy +
R
(M2
f )(x, y) dxdy -
-
R
(M1M2
f )(x, y) dxdy =
=
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy -
M1M2
f (x, y) dxdy =
=
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.
Věta 1.51. Nechť funkce f a g jsou integrovatelné na měřitelné množině M 
 R2
. Pak i jejich součin fg je integrovatelný na M.
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že funkce f a g jsou na M nezáporné. Nechť
R  M je obdélník. Z integrovatelnosti f a g plyne, že jsou ohraničené, takže
existuje konstanta K taková, že 0  (Mf )(x, y)  K, 0  (Mg)(x, y)  K,
kdykoliv [x, y]  R. Buď  > 0 libovolné. Podle lemmatu 1.9 k číslu /2K > 0
existují dělení D1, D2 obdélníku R tak, že S(D1, Mf )-s(D1, Mf ) < /(2K),
S(D2, Mg) - s(D2, Mg) < /(2K). Je-li D společné zjemnění D1 a D2, pak
s(D1, Mf )  s(D, Mf )  S(D, Mf )  S(D1, Mf ),
s(D2, Mg)  s(D, Mg)  S(D, Mg)  S(D2, Mg),
48 Dvojný integrál
a tedy
S(D, Mf ) - s(D, Mf )  S(D1, Mf ) - s(D1, Mf ) < /(2K) ,
S(D, Mg) - s(D, Mg)  S(D2, Mg) - s(D2, Mg) < /(2K) .
Nechť Rij , kde (i, j)  I = {(k, l) : k = 1, . . . , m; l = 1, . . . , n}, jsou dílky
dělení D. Pro každé (i, j)  I označme
uij = inf{(Mf )(x, y) : [x, y]  Rij }, Uij = sup{(Mf )(x, y) : [x, y]  Rij },
vij = inf{(Mg)(x, y) : [x, y]  Rij }, Vij = sup{(Mg)(x, y) : [x, y]  Rij },
wij = inf{(M(fg))(x, y) : [x, y]  Rij },
Wij = sup{(M(fg))(x, y) : [x, y]  Rij }.
Protože uij vij  (Mf )(x, y)  (Mg)(x, y)  Uij Vij pro každé [x, y]  Rij ,
platí uij vij  wij  Wij  Uij Vij . Odtud dostaneme
Wij - wij  Uij Vij - uij vij = Uij Vij - Uij vij + Uij vij - uij vij =
= Uij (Vij - vij ) + vij (Uij - uij )  K(Vij - vij + Uij - uij ).
Nyní vynásobíme tuto nerovnost číslem m(Rij ) a sečteme přes všechna (i, j)  I.
Vyjde:
S(D, M(fg)) - s(D, M(fg)) 
 K S(D, Mf ) - s(D, Mf ) + S(D, Mg) - s(D, Mg) <
< K

2K
+

2K
= .
Podle lemmatu 1.9 je funkce M(fg) integrovatelná na R, což vzhledem k definici
1.45 znamená, že funkce fg je integrovatelná na M.
Nechť nyní f a g jsou libovolné funkce integrovatelné na M. Z integrovatelnosti
plyne, že jsou na M zdola ohraničené. Tedy existuje konstanta L taková,
že f (x, y)  L, g(x, y)  L pro každé [x, y]  M. Funkce f - L a g - L
jsou nezáporné a podle vět 1.50, část a) a 1.49, část a) integrovatelné. Podle
první části důkazu je proto integrovatelná funkce (f - L)(g - L). Vzhledem
k rovnosti fg = (f - L)(g - L) + Lf + Lg - L2
je podle věty 1.49, části a)
a b) funkce fg integrovatelná na M.
Věta 1.52. Nechť funkce f je integrovatelná na měřitelné množině M  R2
a N  M je její měřitelná podmnožina. Pak je funkce f integrovatelná i na N.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 49
Důkaz. Nechť R  M je obdélník. Podle předpokladů existují integrály
R
(Mf )(x, y) dxdy a
R
N (x, y) dxdy.
Podle věty 1.51 existuje integrál
R
(Mf )(x, y)N (x, y) dxdy =
R
(N f )(x, y) dxdy,
neboť z N  M plyne Mf  N = N f . To znamená, že funkce f je integrovatelná
na N.
Věta 1.53. Nechť funkce f a g jsou definované na měřitelné množině M, přičemž
f je integrovatelná, g je ohraničená a platí m(M1) = 0, kde M1 =
= {[x, y]  M : f (x, y) = g(x, y)}. Pak funkce g je na množině M integrovatelná
a platí
M
f (x, y) dxdy =
M
g(x, y) dxdy.
Důkaz. Položme M2 = M M1. Podle věty 1.38, část d) je M2 měřitelná,
a protože M1
(g - f ) je ohraničená funkce, která je na M2 nulová, platí podle
věty 1.38 s přihlédnutím k m(M1) = 0 a k větě 1.50 rovnosti
M2
M1
(g - f )(x, y) dxdy = 0,
M1
M1
(g - f )(x, y) dxdy = 0.
Podle věty 1.50, část c) je funkce M1
(g - f ) integrovatelná na M a platí
M
M1
(g - f )(x, y) dxdy =
=
M1
M1
(g - f )(x, y) dxdy +
M2
M1
(g - f )(x, y) dxdy = 0.
Zřejmě f + M1
(g - f ) = g na M, takže podle věty 1.49 je funkce g na M
50 Dvojný integrál
integrovatelná a
M
g(x, y) dxdy =
M
f (x, y) + M1
(g - f )(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy +
M
M1
(g - f )(x, y) dxdy =
=
M
f (x, y) dxdy.
Poznámka 1.54. Předchozí věta říká, že změna integrovatelné funkce na množině
míry nula nemění integrovatelnost funkce ani hodnotu integrálu.
Jinak řečeno, funkce, která je definovaná a ohraničená na měřitelné množině,
avšak není integrovatelná, se po změně na množině míry nula nemůže
stát integrovatelnou (jinak by podle předchozí věty musela být původní funkce
integrovatelná, protože by se lišila od integrovatelné funkce pouze na množině
nulové míry).
Pro vyjádření dvojného integrálu přes elementární množinu pomocí dvojnásobného
integrálu platí
Věta 1.55 (Fubiniova věta). Buď M elementární množina v R2
vzhledem k ose x,
tj.
M = {[x, y]  R2
: x  a, b , (x)  y  (x)},
kde ,  jsou spojité funkce na a, b takové, že (x)  (x) pro každé
x  a, b . Je-li funkce f spojitá na M, pak platí
M
f (x, y) dxdy =
b
a
(x)
(x)
f (x, y) dy dx.
Důkaz. Elementární množina je kompaktní a měřitelná, tedy podle důsledku 1.48
je spojitá funkce f na množině M integrovatelná. Buď c < min{(x):x  a, b },
d > max{(x) : x  a, b }, R = a, b × c, d . Pro každý bod [x, y]  R
platí
(Mf )(x, y) =
f (x, y) je-li (x)  y  (x),
0 je-li y < (x), nebo y > (x).
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 51
Podle definice a podle Fubiniovy věty (věta 1.14) je
M
f (x, y) dxdy =
R
(Mf )(x, y) dxdy =
b
a
d
c
(Mf )(x, y) dy dx.
(1.17)
x
y
a bx
c
d
y = (x)
y = (x)
R
M
Mx
1
Mx
2
Mx
3
Obr. 1.12
Označme pro x  a, b
Mx
1 = c, (x) ,
Mx
2 = (x), (x) ,
Mx
3 = (x), d ,
viz obr. 1.12. Funkce (Mf )(x, )
je spojitá na intervalu Mx
2 , přičemž
(Mf )(x, y) = f (x, y) pro každé
y  Mx
2 , a je rovna nule (s případnou
výjimkou hodnoty v jednom krajním
bodě) na intervalech Mx
1 , Mx
3 . Tedy
je integrovatelná na Mx
1 , Mx
2 , Mx
3 ,
a tudíž i na intervalu c, d . Proto
d
c
(Mf )(x, y) dxdy =
d
c
(Mf )(x, y) dxdy =
=
(x)
c
(Mf )(x, y) dxdy +
(x)
(x)
(Mf )(x, y) dxdy +
+
d
(x)
(Mf )(x, y) dxdy =
(x)
(x)
f (x, y) dxdy.
Dosazením do (1.17) dostáváme tvrzení.
Poznámka 1.56.
a) Je-li M elementární množina vzhledem k ose y, tj.
M = {[x, y]  R2
: y  c, d , (y)  x  (y)},
kde ,  jsou spojité funkce na c, d takové, že (y)  (y) pro každé
y  c, d , a je-li funkce f spojitá na M, pak platí
M
f (x, y) dxdy =
d
c
(y)
(y)
f (x, y) dx dy.
52 Dvojný integrál
b) Zatímco integrál
M
f (x, y) dxdy se nazývá dvojný integrál, integrály
b
a
(x)
(x)
f (x, y) dy dx,
d
c
(y)
(y)
f (x, y) dx dy
se nazývají dvojnásobné integrály.
c) Předchozí věta zůstane v platnosti, i když bude funkce f pouze integrovatelná
(tj. ne nutně spojitá) na množině M. Ve vnitřních integrálech je však třeba
použít horní resp. dolní jednoduchý integrál (srov. s větou 1.14).
d) K označení dvojnásobných integrálů se používá rovněž zápisu
b
a
dx
(x)
(x)
f (x, y) dy, resp.
d
c
dy
(y)
(y)
f (x, y) dx.
Příklad 1.57. Vypočtěte:
a)
M
(x + y) dxdy, kde množina M je omezena křivkami y = x2
, y = x.
b)
M
xy dxdy, kde množina M je trojúhelník o vrcholech [0, 0], [1, 1], [2, 0].
Řešení.
a) Množina M je elementární vzhledem k ose x i vzhledem k ose y.
1. Zapíšeme-li množinu M jako elementární
množinu vzhledem k ose x,
máme
M :
0  x  1,
x2
 y  x. x
y
1
1
O
M
y = x2
y = x
Odtud
M
(x + y) dxdy =
1
0
x
x2
(x + y) dy dx =
1
0
xy +
y2
2
x
x2
dx =
=
1
0
x2
+
x2
2
- x3
+
x4
2
dx =
1
0
3
2
x2
- x3
-
x4
2
dx =
=
x3
2
-
x4
4
-
x5
10
1
0
=
1
2
-
1
4
-
1
10
=
10 - 5 - 2
20
=
3
20
.
1.4 Dvojný integrál na měřitelné množině 53
2. Ke stejnému výsledku dojdeme i v případě, uvažujeme-li množinu M jako
elementární množinu vzhledem k ose y:
M :
0  y  1,
y  x 

y.
Pak
M
(x + y) dxdy =
1
0

y
y
(x + y) dx dy =
1
0
x2
2
+ yx

y
y
dy =
=
1
0
y
2
+ y3/2
-
y2
2
+ y2
dy =
1
0
y
2
+ y3/2
-
3
2
y2
dy =
=
y2
4
+
2
5
y5/2
-
y3
2
1
0
=
1
4
+
2
5
-
1
2
=
5 + 8 - 10
20
=
3
20
.
b) Množina M je elementární vzhledem k ose y. Lze ji však rovněž vyjádřit
jako sjednocení dvou množin elementárních vzhledem k ose x. Příklad proto
vyřešíme opět dvěma způsoby.
1. Množinu M vyjádříme jako elementární
množinu vzhledem k ose y:
M :
0  y  1,
y  x  2 - y. x
y
1 2
1
O
[1, 1]
y = x y = 2 - x
M
Pak
M
xy dxdy =
1
0
2-y
y
xy dx dy =
1
0
x2
2
y
2-y
y
dy =
=
1
0
(2 - y)2
2
y -
y3
2
dy =
=
1
0
2y - 2y2
+
y3
2
-
y3
2
dy =
= y2
-
2
3
y3
1
0
= 1 -
2
3
=
1
3
.
54 Dvojný integrál
2. Nyní množinu M vyjádříme jako sjednocení dvou množin M1, M2 elementárních
vzhledem k ose x:
M = M1  M2, M1 :
0  x  1,
0  y  x,
M2 :
1  x  2,
0  y  2 - x.
Poněvadž m(M1  M2) = 0, platí podle části c) věty 1.50
M
xy dxdy =
M1
xy dxdy +
M2
xy dxdy.
Tudíž
M
xy dxdy =
1
0
x
0
xy dy dx +
2
1
2-x
0
xy dy dx =
=
1
0
x
y2
2
x
0
dx +
2
1
x
y2
2
2-x
0
dx =
=
1
0
x3
2
dx +
2
1
x(2 - x)2
2
dx =
=
x4
8
1
0
+
2
1
2x - 2x2
+
x3
2
dx =
=
1
8
+ x2
-
2
3
x3
+
x4
8
2
1
=
=
1
8
+ 4 -
16
3
+ 2 - 1 +
2
3
-
1
8
= 5 -
14
3
=
1
3
.
1.5. Další řešené příklady
Příklad 1.58. Vypočtěte I =
M
xy dxdy, kde M je množina bodů [x, y]
určená nerovnostmi 1  x  4, 1/x  y 

x.
Řešení. Integrační obor M je znázorněn na obr. 1.13. Integrand f (x, y) = xy je
spojitá funkce. Při označení a = 1, b = 4, (x) = 1/x a (x) =

x dostaneme
z Fubiniovy věty 1.55
I =
M
xy dxdy =
4
1

x
1/x
xy dy dx.
1.5 Další řešené příklady 55
x
y
1
1 4O
y =
1
x
y =

x
M
Obr. 1.13
Vnitřní integrál vyjde

x
1/x
xy dy = x
y2
2

x
1/x
=
x
2
x -
1
x2
=
1
2
x2
-
1
x
.
Celkový výsledek bude
I =
4
1
1
2
x2
-
1
x
dx =
1
2
x3
3
- ln |x|
4
1
=
=
1
2
64
3
- ln 4 -
1
2
1
3
- ln 1 =
21
2
- ln 2.
Příklad 1.59. Vypočtěte I =
M
y
3
dxdy, kde množina M je ohraničená přímkami
x = 0, x = 2, y = 0 a grafem funkce y = 2 + sin x.
x
y
2
20
y = 2 + sin x
M
Obr. 1.14
Řešení. Integrační obor M je znázorněn na
obr. 1.14. Jde o elementární množinu vzhledem
k ose x. Integrand f (x, y) = y/3 je
spojitá funkce. Použijeme-li tedy Fubiniovu
větu 1.55, obdržíme:
I =
M
y
3
dxdy =
2
0
2+sin x
0
y
3
dy dx.
Vnitřní integrál vyjde
2+sin x
0
y
3
dy =
y2
6
2+sin x
0
=
1
6
(2 + sin x)2
=
1
6
(4 + 4 sin x + sin2
x).
56 Dvojný integrál
Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme vzorec sin2
x = (1 - cos 2x)/2.
Dostaneme:
I =
2
0
1
6
4 + 4 sin x +
1 - cos 2x
2
dx =
=
2
0
3
4
+
2
3
sin x -
1
12
cos 2x dx =
=
3
4
x -
2
3
cos x -
1
24
sin 2x
2
0
=
3
2
.
Příklad 1.60. Vypočtěte I =
M
x3
y dxdy, kde množina M je čtvrtkruh o daném
poloměru r > 0 se středem v počátku O ležící v prvním kvadrantu.
x
y
r
rO
x2 + y2 = r2
M
Obr. 1.15
Řešení. Integrační obor je znázorněn na obr. 1.15. Je to
elementární množina jak vzhledem k ose x, tak vzhledem
k ose y. Vzhledem k jednoduchosti spojitého integrandu
f (x, y) = x3
y je pořadí integrace z hlediska její pracnosti
zcela lhostejné. Rozhodneme-li se pro popis čtvrtkruhu M
nerovnostmi 0  x  r, 0  y 

r2 - x2, z Fubiniovy
věty 1.55 dostaneme
I =
M
x3
y dxdy =
r
0

r2-x2
0
x3
y dy dx.
Pro vnitřní integrál dostáváme

r2-x2
0
x3
y dy = x3 y2
2

r2-x2
0
=
1
2
x3
(r2
- x2
).
Celkově tedy vyjde
I =
r
0
1
2
(x3
r2
- x5
) dx =
1
2
x4
r2
4
-
x6
6
r
0
=
r6
24
.
Příklad 1.61. Vypočtěte I =
M
y
x + y2
dxdy, kde množina M je ohraničena
křivkami y = 1, y = 1/2, x = 4 - y2
a x = y2
.
1.5 Další řešené příklady 57
x
y
1/2
1

2
y = 1/2
y = 1
P
x = y2
x = 4 - y2
M
Obr. 1.16
Řešení. První dvě křivky jsou přímky,
druhé dvě paraboly. Integrační obor
M je znázorněn na obr. 1.16. Určíme
ještě y-ovou souřadnici horního průsečíku
P obou parabol, abychom se
přesvědčili, že máme přímky y = 1
a y = 1/2 správně umístěny. Z rovnic
parabol dostaneme 4 - y2
= y2
,
tj. y2
= 2, a tedy y =

2. Množina
M je elementární vzhledem k y.
Vidíme, že c = 1/2, d = 1, (y) =
= y2
a (y) = 4 - y2
. Integrand
f (x, y) = y/(x + y2
) je spojitá funkce na M. Podle Fubiniovy věty bude
I =
M
y
x + y2
dxdy =
1
1/2
4-y2
y2
y
x + y2
dx dy.
Vnitřní integrál vyjde
4-y2
y2
y
x + y2
dx = y ln |x + y2
|
4-y2
y2 = y(ln 4 - ln 2y2
) =
= y(2 ln 2 - ln 2 - 2 ln y) = y ln 2 - 2y ln y,
vzhledem k tomu, že y > 0.
Při výpočtu vnějšího integrálu použijeme metodu per partes. Dostaneme:
I =
1
1/2
(y ln 2 - 2y ln y) dy = ln 2
1
1/2
y dy - 2
1
1/2
y ln y dy =
=
u = ln y u
= 1
y
v
= y v = y2
2
= ln 2
y2
2
1
1/2
- 2
y2
2
ln y
1
1/2
+ 2
1
1/2
y
2
dy =
= ln 2
1
2
-
1
8
-
1
4
ln 2 +
y2
2
1
1/2
=
1
8
ln 2 +
1
2
-
1
8
=
1
8
(ln 2 + 3).
Příklad 1.62. Označme M vystínovanou množinu na obr. 1.17, kde k je horní
půlkružnice se středem v počátku O a s poloměrem r = 2, l je kružnice se
středem v bodě B = [2, 0] s poloměrem r = 2 a C je jejich průsečík. Buď
A = [-2, 0]. Vypočtěte integrál I =
M
6xy dxdy.
58 Dvojný integrál
x
y
2-2 1 2

3
O
k
l
M
A B
C
M1
M2
Obr. 1.17
Řešení. Nalezneme souřadnice bodu C.
Platí k : x2
+y2
= 4, l : (x -2)2
+y2
= 4.
Odečtením rovnic dostaneme 4x - 4 = 0,
tj. x = 1 a odtud vypočteme y =

3.
Vyjde tudíž C = [1,

3].
Integrační obor M není zřejmě elementární
množinou ani vzhledem k ose x
ani vzhledem k ose y. Rozdělíme ho proto
na dvě části -- část M1, omezenou obloukem
AC půlkružnice k a její tětivou AC,
a část M2, omezenou obloukem BC půlkružnice k, obloukem OC kružnice l
a osou x. Z Thaletovy věty plyne, že BCA je pravý. To znamená, že tětiva AC
leží na tečně ke kružnici l v bodě C, takže má s obloukem OC kružnice l společný
jen bod C, jak je znázorněno na obrázku. Podle věty 1.50, část c) je
I =
M
6xy dxdy =
M1
6xy dxdy +
M2
6xy dxdy.
Obě části M1 i M2 jsou elementárními množinami jak vzhledem k ose x, tak
vzhledem k ose y. Množinu M1 popíšeme jako elementární množinu vzhledem
k ose x, zatímco M2 jako elementární množinu vzhledem k ose y. Bude to tak
vhodnější pro praktickou integraci.
Najdeme rovnici přímky procházející body A a C. Z pravoúhlého trojúhelníku
ADC, kde D = [1, 0], vypočítáme, že směrnice je

3/3, tedy
y = (

3/3)(x + 2). Z rovnice půlkružnice k určíme y = 

4 - x2 resp.
x =  4 - y2 a z rovnice kružnice l určíme x - 2 =  4 - y2. S pomocí
obr. 1.17 zvolíme správná znaménka u odmocnin. Celkem dostaneme
M1 :
-2  x  1,
3
3
(x + 2)  y  4 - x2,
M2 :
0  y 

3,
2 - 4 - y2  x  4 - y2.
Integrand f (x, y) = 6xy je spojitá funkce. Použijeme Fubiniovu větu a dosta-
neme:
I1 =
M1
6xy dxdy =
1
-2

4-x2

3
3 (x+2)
6xy dy dx.
1.5 Další řešené příklady 59
Vnitřní integrál bude

4-x2

3
3 (x+2)
6xy dy = 3x y2

4-x2

3
3 (x+2)
= 3x 4 - x2
-
3
9
(x + 2)2
=
= 8x - 4x2
- 4x3
a vnější integrál vyjde
I1 =
1
-2
(8x - 4x2
- 4x3
) dx = 4x2
-
4
3
x3
- x4
1
-2
=
= 4 -
4
3
- 1 - 16 +
32
3
- 16 = -9.
Podobně dostaneme:
I2 =
M2
6xy dxdy =

3
0

4-y2
2-

4-y2
6xy dx dy.
Vnitřní integrál bude

4-y2
2-

4-y2
6xy dx = 3y x2

4-y2
2-

4-y2
= 3y 4 - y2
- 2 - 4 - y2 2
=
= 3y 4 4 - y2 - 4 .
Při výpočtu vnějšího integrálu rozdělíme integrand na dvě části a na první integrál
použijeme substituční metodu. Vyjde nám:
I2 =

3
0
3y 4 4 - y2 - 4 dy =

3
0
12y 4 - y2 dy -

3
0
12y dy =
=
4 - y2
= u2
-2y dy = 2u du
y dy = -u du
0 ; 2,

3 ; 1
= -12
1
2
u2
du - 6 y2

3
0
= 4 u3 2
1
- 18 = 10.
Celkový výsledek je tedy
I = I1 + I2 = -9 + 10 = 1.
Příklad 1.63. Vypočtěte I =
M
x
1 + y2
dxdy, kde M je množina omezená
křivkami y = x2
a x2
+ y2
= 16 (část nad parabolou).
60 Dvojný integrál
x
y
4-4 x1 x2 4
4
y1 x2 + y2 = 16
O
y = x2
P1 P2
M
Obr. 1.18
Řešení. První křivka je parabola, druhá
kružnice. Integrační obor M je znázorněn
na obr. 1.18. Určíme souřadnice průsečíků
P1 = [x1, y1] a P2 = [x2, y2]. Vyloučením
x dostaneme kvadratickou rovnici
y2
+ y - 16 = 0, která má kořeny
-1 

65 /2. Pro nás má význam
jen kladný z nich, je tedy y1 = y2 =
= -1 +

65 /2. Odtud vyjde:
x2 = -x1 = -1 +

65 /2.
Integrační obor M je elementární množinou jak vzhledem k x, tak vzhledem
k y. Jednodušší je popis vzhledem k x:
M :
x1  x  x2,
x2
 y  16 - x2.
Integrand f (x, y) = x/(1 + y2
) je spojitá funkce. Z Fubiniovy věty dostaneme
I =
M
x
1 + y2
dxdy =
x2
x1

16-x2
x2
x
1 + y2
dy dx.
Vnitřní integrál vyjde

16-x2
x2
x
1 + y2
dy = x arctg y

16-x2
x2 =
= x arctg 16 - x2 - x arctg x2
= f (x).
Integrace funkce f (x) je však velmi nepříjemná, na každý sčítanec by se musela
použít postupně substituce a metoda per partes. Snadno je však vidět, že f (x)
je lichá funkce, tj. f (-x) = -f (x) pro každé x  -4, 4 . Protože integrační
obor je interval souměrný vzhledem k počátku (x2 = -x1), musí platit
I =
x2
x1
x arctg 16 - x2 - x arctg x2
dx = 0.
Zdlouhavé integrace jsme tedy byli ušetřeni.
Rovněž by šlo vyjádřit množinu M jako elementární množinu vzhledem
k ose y, museli bychom ji však nejprve rozdělit úsečkou P1P2, aby horní a dolní
meze vnitřního integrálu měly jednoduchý popis. Snadno se lze přesvědčit, že
oba vnitřní integrály jsou pak rovny nule, takže vnější integrály jsou triviální.
Cvičení 61
Poznámka 1.64. Je-li integrační obor dvojrozměrný interval J = a, b × c, d
a integrand má tvar součinu f (x)g(y), kde f je spojitá funkce na intervalu a, b
a g je spojitá funkce na intervalu c, d , je možné výpočet podle Fubiniovy věty
zjednodušit a výrazně urychlit:
J
f (x)g(y) dxdy =
b
a
d
c
f (x)g(y) dy dx = (1.18)
=
b
a
f (x)
d
c
g(y) dy dx =
b
a
f (x) dx 
d
c
g(y) dy.
Integrál
d
c g(y) dy je totiž konstanta, kterou lze z vnějšího integrálu vytknout.
Příklad 1.65. Vypočtěte
J
x sin y dxdy, kde J = 0, 2 × 0, /2 .
Řešení. Podle vztahu (1.18) bude
J
x sin y dxdy =
2
0
x dx 
/2
0
sin y dy =
x2
2
2
0
 - cos y
/2
0
=
= (2 - 0)  (0 + 1) = 2.
Cvičení
1. Dokažte bez použití lemmatu 1.12, že funkce f z poznámky 1.19 je integrovatelná
a její integrál je roven nule.
2. Nechť M, M1, M2 jsou obdélníky, M = M1  M2,

M1 

M2 =  a funkce f
je ohraničená na M. Dokažte, že
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy,
M
f (x, y) dxdy =
M1
f (x, y) dxdy +
M2
f (x, y) dxdy.