84
Kapitola 2
Integrály v prostorech obecné
dimenze
V kapitole 1 byl zaveden integrál funkcí dvou proměnných. Naprosto obdobně je
možné vybudovat integrál funkcí libovolného konečného počtu proměnných. Nejprve
se definuje integrál na n-rozměrných intervalech, pomocí něho se zavedou
měřitelné množiny a nakonec se definuje integrál na měřitelných množinách.
Veškeré definice i výsledky předchozí kapitoly se snadno přenesou na případ
obecného n, po technické stránce jsou důkazy všech tvrzení obdobné, jen zápisy
jsou komplikovanější. Proto většinou jejich formulace ani důkazy nebudeme
opakovat.
V následujících oddílech si všimneme nejprve případu n = 3. Ten je důležitý
v aplikacích a navíc si při něm dokážeme ještě představit integrační obory. Potom
se zmíníme o případu obecného n a nakonec krátce o případu n = 1, který
bude zobecněním konstrukce jednorozměrného integrálu na intervalu, známé ze
základního kurzu matematické analýzy.
2.1. Trojný integrál
Při definici trojného integrálu postupujeme zcela analogicky jako u integrálu
dvojného. Nejprve definujeme trojný integrál funkce f ohraničené na nedegenerovaném
trojrozměrném uzavřeném omezeném intervalu M = a, b × c, d ×
× q, r . Takový interval budeme stručně nazývat kvádrem. Pro dělení D kvádru
M používáme označení D = Dx × Dy × Dz, přičemž Dx : a = x0 < x1 <
<    < xm = b je dělení intervalu a, b , Dy : c = y0 < y1 <    < yn = d
je dělení intervalu c, d a Dz : q = z0 < z1 <    < zp = r je dělení intervalu
2.1 Trojný integrál 85
x
y
z
a
b
c d
q
r M
a)
x
y
z
a = x0
x1
b = x2
c = y0 y1 y2 y3 y4 = d
q = z0
z1
z2
r = z3 M
b)
Obr. 2.1: Trojrozměrný interval M a jeho dělení
q, r . Roviny x = xi, y = yj , z = zk (i = 1, . . . , m - 1; j = 1, . . . , n - 1; k =
= 1, . . . , p - 1) dělí kvádr M na menší kvádry zvané dílky, které se značí Mijk
(viz obr. 2.1); přitom Mijk = xi-1, xi × yj-1, yj × zk-1, zk . Horní a dolní
součty pro danou funkci f jsou nyní tvaru
S(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
Vijk(xi - xi-1)(yj - yj-1)(zk - zk-1),
s(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
vijk(xi - xi-1)(yj - yj-1)(zk - zk-1),
kde
Vijk = sup{f (x, y, z) : [x, y, z]  Mijk},
vijk = inf {f (x, y, z) : [x, y, z]  Mijk}.
Označíme-li m(Mijk) = (xi - xi-1)(yj - yj-1)(zk - zk-1), pak lze psát
S(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
Vijk m(Mijk),
s(D, f ) =
m
i=1
n
j=1
p
k=1
vijk m(Mijk),
86 Integrály v prostorech obecné dimenze
přičemž m(Mijk) budeme nazývat mírou (objemem) kvádru Mijk. Dolní a horní
integrál funkce f přes kvádr M definujeme vztahy
M
f (x, y, z) dxdydz = sup{s(D, f )}
a
M
f (x, y, z) dxdydz = inf{S(D, f )}.
Jejich případnou společnou hodnotu nazýváme trojný integrál a značíme
M
f (x, y, z) dxdydz.
Všechny vlastnosti uvedené pro dvojný integrál na obdélníku platí analogicky
i pro trojný integrál na kvádru. Vzorce Fubiniovy věty pro trojný integrál na
kvádru M = a, b × c, d × q, r mají pro různá pořadí proměnných integrace
tvar
M
f (x, y, z) dxdydz =
a,b × c,d
r
q
f (x, y, z) dz dxdy =
=
a,b × q,r
d
c
f (x, y, z) dy dxdz =
=
c,d × q,r
b
a
f (x, y, z) dx dydz =
=
a,b × c,d
r
q
f (x, y, z) dz dxdy =
=
a,b × q,r
d
c
f (x, y, z) dy dxdz =
=
c,d × q,r
b
a
f (x, y, z) dx dydz
a také (při jiném ,,sdružení" integračních proměnných)
M
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
c,d × q,r
f (x, y, z) dydz dx =
2.1 Trojný integrál 87
=
d
c
a,b × q,r
f (x, y, z) dxdz dy =
=
r
q
a,b × c,d
f (x, y, z) dxdy dz =
=
b
a
c,d × q,r
f (x, y, z) dydz dx =
=
d
c
a,b × q,r
f (x, y, z) dxdz dy =
=
r
q
a,b × c,d
f (x, y, z) dxdy dz.
Zejména pro funkci f spojitou na kvádru M = a, b × c, d × q, r platí
M
f (x, y, z) dxdydz =
b
a
d
c
r
q
f (x, y, z) dz dy dx =
=
b
a
r
q
d
c
f (x, y, z) dy dz dx =
=
d
c
b
a
r
q
f (x, y, z) dz dx dy =
=
d
c
r
q
b
a
f (x, y, z) dx dz dy =
=
r
q
b
a
d
c
f (x, y, z) dy dx dz =
=
r
q
d
c
b
a
f (x, y, z) dx dy dz.
Trojný integrál
M
f (x, y, z) dxdydz se někdy označuje jako integrál trojrozměrný,
zatímco integrály
b
a
d
c
r
q
f (x, y, z) dz dy dx,
b
a
r
q
d
c
f (x, y, z) dy dz dx,
d
c
b
a
r
q
f (x, y, z) dz dx dy,
d
c
r
q
b
a
f (x, y, z) dx dz dy
88 Integrály v prostorech obecné dimenze
a rovněž integrály
r
q
b
a
d
c
f (x, y, z) dy dx dz,
r
q
d
c
b
a
f (x, y, z) dx dy dz
jako integrály trojnásobné.
Poznámka 2.1. K označení trojnásobných integrálů se používá rovněž zápisů
b
a
dx
d
c
dy
r
q
f (x, y, z) dz,
b
a
dx
q
r
dz
d
c
f (x, y, z) dy
a čtyř dalších analogických zápisů pro zbývající permutace proměnných x, y, z.
Příklad 2.2. Vypočtěte trojný integrál I =
M
(x + 2y - 3z) dxdydz, kde
integrační obor M je kvádr 1, 3 × -1, 1 × 0, 2 .
Řešení. Integrand je funkce spojitá na M (dokonce na R3
). Podle Fubiniovy věty
platí
I =
M
(x + 2y - 3z) dxdydz =
3
1
1
-1
2
0
(x + 2y - 3z) dz dy dx.
Pro přehlednost vypočteme postupně jednotlivé jednoduché integrály samostatně.
2
0
(x + 2y - 3z) dz = xz + 2yz -
3
2
z2
2
0
= 2x + 4y - 6.
Dále
1
-1
(2x + 4y - 6) dy = 2xy + 2y2
- 6y
1
-1
=
= (2x + 2 - 6) - (-2x + 2 + 6) = 4x - 12.
Celkově dostaneme
I =
3
1
(4x - 12) dx = 2x2
- 12x
3
1
= (18 - 36) - (2 - 12) = -8.
Zvolili jsme pořadí integrace nejprve podle z, pak podle y a nakonec podle x.
Jakékoliv jiné pořadí by dalo díky Fubiniově větě stejný výsledek a výpočet by
byl přibližně stejně obtížný.
2.1 Trojný integrál 89
Také charakteristická funkce množiny M  R3
a její měřitelnost se definují
analogicky jako v R2
. Vzorec pro (Jordanovu) míru omezené množiny M  R3
je tvaru
m(M) =
R
M(x, y, z) dxdydz,
kde R je takový kvádr, že M  R a
M(x, y, z) =
1 pro [x, y, z]  M,
0 pro [x, y, z]  M
je charakteristická funkce množiny M. Někdy, abychom odlišili míru v R3
od měr
v prostorech jiných dimenzí, píšeme m3(M) místo m(M). Míra v R3
má stejné
vlastnosti jako v R2
. Je-li z = f (x, y) spojitá funkce na kompaktní množině
M  R2
, pak míra grafu této funkce v R3
je rovna 0. Analogické tvrzení platí
pro grafy funkcí y = f (x, z), x = f (y, z) spojitých na kompaktních množinách.
Trojný integrál funkce f ohraničené na měřitelné množině M  R3
definujeme
rovností
M
f (x, y, z) dxdydz =
R
(Mf )(x, y, z) dxdydz,
kde R  M je libovolný kvádr a funkce Mf je dána vztahem
(Mf )(x, y, z) =
f (x, y, z) pro každé [x, y, z]  M,
0 pro každé [x, y, z]  M.
Trojný integrál má stejné vlastnosti jako integrál dvojný. Elementární množina
vzhledem k rovině xy je definována takto:
Definice 2.3. Buď M elementární množina v R2
(vzhledem k ose x nebo
vzhledem k ose y) a nechť (x, y),  (x, y) jsou spojité funkce na M takové,
že (x, y)   (x, y) pro každé [x, y]  M. Množinu
 = [x, y, z]  R3
: [x, y]  M, (x, y)  z   (x, y)
nazýváme elementární množinou vzhledem k rovině xy v R3
(viz obr. 2.2).
Analogicky definujeme elementární množinu vzhledem k rovině xz, resp. vzhledem
k rovině yz v R3
.
Elementární množinou v R3
rozumíme elementární množinu vzhledem k některé
z rovin xy, resp. xz, resp. yz.
90 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
z = (x, y)
z =  (x, y)
M

O
Obr. 2.2: Elementární množina  v trojrozměrném prostoru
Podobně jako v R2
platí, že elementární množina v R3
je měřitelná a že
funkce spojitá na elementární množině v R3
je integrovatelná. Analogicky jako
v R2
platí věta:
Věta 2.4. Buď  elementární množina v R3
vzhledem k rovině xy, tj.  =
= [x, y, z]  R3
: [x, y]  M, (x, y)  z   (x, y) , kde ,  jsou
funkce spojité na M takové, že (x, y)   (x, y) pro každé [x, y]  M a M
je elementární množina v R2
. Je-li funkce f spojitá na , pak

f (x, y, z) dxdydz =
M
 (x,y)
(x,y)
f (x, y, z) dz dxdy. (2.1)
Předpokládáme-li např., že M je elementární množina vzhledem k ose x, tj.
M = [x, y]  R2
: a  x  b, (x)  y  (x) , přičemž ,  jsou funkce
spojité na a, b , takové, že (x)  (x) pro každé x  a, b , pak

f (x, y, z) dxdydz =
b
a
(x)
(x)
 (x,y)
(x,y)
f (x, y, z) dz dy dx. (2.2)
2.1 Trojný integrál 91
Poznámka 2.5.
a) Analogicky platí další dvě tvrzení, ve kterých vzorec (2.1) nabývá tvaru

f (x, y, z) dxdydz =
eM
e (x,z)
e(x,z)
f (x, y, z) dy dxdz,

f (x, y, z) dxdydz =
bM
b (y,z)
b(y,z)
f (x, y, z) dx dydz.
b) Záměnou pořadí proměnných v (2.2) dostáváme dalších pět vzorců:

f (x, y, z) dxdydz =
b
a
1(x)
1(x)
1(x,z)
1(x,z)
f (x, y, z) dy dz dx,

f (x, y, z) dxdydz =
d
c
2(y)
2(y)
2(x,y)
2(x,y)
f (x, y, z) dz dx dy,

f (x, y, z) dxdydz =
d
c
3(y)
3(y)
3(y,z)
3(y,z)
f (x, y, z) dx dz dy,

f (x, y, z) dxdydz =
r
q
4(z)
4(z)
4(x,z)
4(x,z)
f (x, y, z) dy dx dz,

f (x, y, z) dxdydz =
r
q
5(z)
5(z)
5(y,z)
5(y,z)
f (x, y, z) dx dy dz.
c) Integrál
M
f (x, y, z) dxdydz se nazývá trojný integrál, integrály na pravé
straně rovnosti (2.2) a na pravých stranách posledních pěti rovností se nazývají
trojnásobné integrály.
d) Tvrzení první části věty 2.4 a tvrzení části a) poznámky 2.5 zůstane v platnosti,
i když bude funkce f integrovatelná (tj. ne nutně spojitá) na množině .
Ve vnitřních integrálech je však třeba doplnit znaky pro horní resp. dolní
jednoduchý integrál.
Příklad 2.6. Vypočtěte

x2
dxdydz, kde   R3
je množina omezená
plochami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
92 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
1
1
1
O
a)
x
y
1
1
O
y = 1 - x
b)
Obr. 2.3
Řešení. Všechny čtyři plochy uvedené v zadání jsou roviny, přičemž první tři
jsou souřadnicové roviny. Integrační obor je čtyřstěn, který je znázorněn na
obr. 2.3 a). Jeho průmět do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.3 b).
Zapíšeme-li  jako elementární množinu vzhledem k rovině xy, máme
0  x  1,
 : 0  y  1 - x,
0  z  1 - x - y.
Integrovaná funkce je spojitá na  (dokonce na R3
). Užitím vzorce (2.2) dostá-
váme

x2
dxdydz =
1
0
1-x
0
1-x-y
0
x2
dz dy dx =
=
1
0
1-x
0
x2
z
1-x-y
0
dy dx =
1
0
1-x
0
(x2
- x3
- x2
y) dy dx =
=
1
0
x2
y - x3
y -
1
2
x2
y2
1-x
0
dx =
=
1
0
x2
- x3
- x3
+ x4
-
1
2
x2
(1 - x)2
dx =
=
1
0
x2
- 2x3
+ x4
-
1
2
x4
+ x3
-
1
2
x2
dx =
=
1
0
1
2
x4
- x3
+
1
2
x2
dx =
1
10
x5
-
1
4
x4
+
1
6
x3
1
0
=
=
1
10
-
1
4
+
1
6
=
6 - 15 + 10
60
=
1
60
.
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 93
2.2. Další příklady na výpočet trojného integrálu
Fubiniovou větou
Příklad 2.7. Vypočtěte I =
V
(x - y + 2z) dxdydz, kde množina V je dána
nerovnostmi:
V :
1  x  2,
x  y  2x,
x + y  z  2x + 3y.
Řešení. Integračním oborem je rovnoběžnostěn znázorněný na obr. 2.4 a integrand
je funkce, která je na něm spojitá. Podle Fubiniovy věty bude:
I =
V
(x - y + 2z) dxdydz =
2
1
2x
x
2x+3y
x+y
(x - y + 2z) dz dy dx.
Vypočteme postupně jednotlivé integrály:
2x+3y
x+y
(x - y + 2z) dz = (x - y)z + z2 2x+3y
x+y
=
= (x - y)(2x + 3y) + (2x + 3y)2
- (x - y)(x + y) + (x + y)2
=
= 4x2
+ 11xy + 6y2
,
x
y
1 2O
y = x
y = 2x
M
a)
x
y
z
1
2
M
V
z = x + y
z = 2x + 3y
b)
Obr. 2.4
94 Integrály v prostorech obecné dimenze
2x
x
(4x2
+ 11xy + 6y2
) dy = 4x2
y +
11
2
xy2
+ 2y3
2x
x
=
= 4x2
 2x +
11
2
x(2x)2
+ 2(2x)3
- 4x2
 x +
11
2
x  x2
+ 2x3
=
=
69
2
x3
,
takže celkový výsledek bude
I =
2
1
69
2
x3
dx =
69
2
x4
4
2
1
=
69
8
(16 - 1) =
1035
8
.
Příklad 2.8. Vypočtěte I =
M
1
1 - x - y
dxdydz, kde množina M je omezena
plochami x = 0, y = 0, z = 0 a x + y + z = 1/2.
Řešení. Integračním oborem je čtyřstěn, který je znázorněn na obr. 2.5 a). Jeho
průmět do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.5 b). Množinu M, která je elementární
vzhledem k rovině xy, popíšeme následovně:
M :
0  x  1/2,
0  y  1/2 - x,
0  z  1/2 - x - y.
x
y
z
1/2
1/2
1/2
O
a)
x
y
1/2
1/2
O
y = 1
2 - x
b)
Obr. 2.5
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 95
Integrand 1/(1-x -y) je funkce spojitá na množině M, neboť 1-x -y  1/2
pro každé [x, y, z]  M. Podle Fubiniovy věty platí:
I =
V
1
1 - x - y
dxdydz =
=
1/2
0
1/2-x
0
1/2-x-y
0
1
1 - x - y
dz dy dx.
Postupně vypočítáme:
1/2-x-y
0
1
1 - x - y
dz =
1
1 - x - y
z
1/2-x-y
0
=
1/2 - x - y
1 - x - y
=
=
1 - x - y - 1/2
1 - x - y
= 1 +
1
2(x + y - 1)
,
1/2-x
0
1 +
1
2(x + y - 1)
dy = y +
1
2
ln |x + y - 1|
1/2-x
0
=
=
1
2
- x +
1
2
ln x +
1
2
- x - 1 -
1
2
ln |x - 1| =
=
1
2
-
1
2
ln 2 - x -
1
2
ln(1 - x).
Při úpravě jsme využili toho, že pro 0  x  1/2 je x - 1 < 0, takže |x - 1| =
= 1 - x. Celkově tedy dostaneme s použitím metody per partes (všimněte si
drobného triku, když místo očekávaného v = x zvolíme v = x - 1, čímž se
následující integrál u
v dx značně zjednoduší):
I =
1/2
0
1
2
-
1
2
ln 2 - x -
1
2
ln(1 - x) dx =
1/2
0
1
2
-
1
2
ln 2 - x dx -
-
1
2
1/2
0
ln(1 - x) dx =
u = ln(1 - x) u
= 1
x-1
v
= 1 v = x - 1
=
=
1
2
-
1
2
ln 2 x -
x2
2
1/2
0
-
1
2
(x - 1) ln(1 - x)
1/2
0
+
1
2
1/2
0
dx =
=
1
4
(1 - ln 2) -
1
8
-
1
4
ln 2 +
1
2
x
1/2
0
=
1
8
-
1
2
ln 2 +
1
4
=
3
8
-
1
2
ln 2.
Příklad 2.9. Vypočtěte
M
2z dxdydz, kde množina M je část prvního oktantu
x, y, z  0 omezená plochami x2
+ y2
- z2
= -1, x + y = 1.
96 Integrály v prostorech obecné dimenze
x
y
z
1
1
M
z = x2 + y2 + 1
x + y = 1
a)
x
y
1
1
O
y = 1 - x
b)
Obr. 2.6
Řešení. První plochou je dvojdílný rotační hyperboloid s osou rotace v ose z.
Druhou plochou je rovina, která je rovnoběžná s osou z. Z hyperboloidu nás tedy
bude zajímat jen jeho horní část ležící v prvním oktantu. Integrační obor M je
znázorněn na obr. 2.6 a). Jeho průmětem do roviny xy je trojúhelník z obr. 2.6 b).
Integrační obor je tedy elementární množinou vzhledem k rovině xy. Z rovnice
hyperboloidu určíme, že z = x2 + y2 + 1. Množinu M popíšeme následovně:
M :
0  x  1,
0  y  1 - x,
0  z  x2 + y2 + 1.
Podle Fubiniovy věty bude:
I =
M
2z dxdydz =
1
0
1-x
0

x2+y2+1
0
2z dz dy dx =
=
1
0
1-x
0
z2

x2+y2+1
0
dy dx =
1
0
1-x
0
(x2
+ y2
+ 1) dy dx =
=
1
0
x2
y +
1
3
y3
+ y
1-x
0
dx =
=
1
0
x2
(1 - x) +
1
3
(1 - x)3
+ 1 - x dx =
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 97
=
1
0
-
4
3
x3
+ 2x2
- 2x +
4
3
dx =
= -
1
3
x4
+
2
3
x3
- x2
+
4
3
x
1
0
=
2
3
.
Poznámka 2.10. Podobně jako u dvojného integrálu (viz poznámka 1.64), v případě,
že integrační obor je trojrozměrný interval J = a, b × c, d × q, r
a integrand má tvar součinu g(x)h(y)k(z), kde g je funkce spojitá na intervalu
a, b , h je funkce spojitá na intervalu c, d a k je funkce spojitá na intervalu
q, r , lze výpočet podle Fubiniovy věty zjednodušit a výrazně urychlit:
J
g(x)h(y)k(z) dxdydz =
b
a
d
c
r
q
g(x)h(y)k(z) dz dy dx =
=
b
a
d
c
g(x)h(y)
r
q
k(z) dz dy dx =
=
b
a
g(x) 
r
q
k(z) dz
d
c
h(y) dy dx =
=
b
a
g(x) dx 
d
c
h(y) dy 
r
q
k(z) dz. (2.3)
Integrály
d
c h(y) dy a
r
q k(z) dz jsou totiž konstanty, které lze z integrálů vy-
tknout.
Příklad 2.11. Vypočtěte integrál

(1-x2
) 1 - y2 dxdydz, kde množina 
je omezena plochami x = 1, x = -1, y = 1, y = -1, z = 1, z = -1.
x
y
z

Obr. 2.7
Řešení. Integrační obor je krychle omezená šesti rovinami,
kolmými k souřadnicovým osám, která je znázorněná
na obr. 2.7. Jde tedy o trojrozměrný interval
-1, 1 3
, tj.
 :
-1  x  1,
-1  y  1,
-1  z  1.
Vzhledem ke tvaru integrandu, který je na  spojitý,
můžeme při použití Fubiniovy věty výpočet zjednodušit
98 Integrály v prostorech obecné dimenze
pomocí vzorce (2.3) (označíme g(x) = 1 - x2
, h(y) = 1 - y2 a k(z) = 1).
Vyjde (na druhý integrál použijeme substituční metodu):

(1 - x2
) 1 - y2 dxdydz =
1
-1
(1 - x2
) dx 
1
-1
1 - y2 dy 
1
-1
dz =
=
y = sin u
dy = cos u du
-1 ; -
2
, 1 ; 
2
=
= x -
1
3
x3
1
-1

/2
-/2
1 - sin2 u  cos u du  z
1
-1
=
=
8
3
/2
-/2
cos2
u du =
8
3
/2
-/2
1
2
(1 + cos 2u) du =
=
4
3
u +
1
2
sin 2u
/2
-/2
=
4
3
.
Při úpravách jsme využili, že

1 - sin2 u =

cos2 u = | cos u| = cos u, protože
cos u  0 pro každé u  -/2, /2 .
Příklad 2.12. Vypočtěte

dxdydz, kde  :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
 1, a, b, c > 0.
-a
0
a0
b
-b
0
c
-c x
y
z
a)
x
y
-a a
-b
b
O
b)
Obr. 2.8
2.2 Další příklady na výpočet trojného integrálu Fubiniovou větou 99
Řešení. Integrační obor  je tvořen obecným elipsoidem (včetně vnitřku), jehož
osy jsou umístěny v souřadnicových osách. Je znázorněn na obr. 2.8 a). Jeho
průmětem do roviny xy je elipsa (včetně vnitřku) z obr. 2.8 b) daná nerovností
x2
/a2
+ y2
/b2
 1, kterou dostaneme jako průsečnici daného elipsoidu a roviny
o rovnici z = 0. Jde tedy o elementární množinu vzhledem k rovině xy, kterou
lze popsat následovně:
 :
-a  x  a,
-b 1 -
x2
a2
 y  b 1 -
x2
a2
,
-c 1 -
x2
a2
-
y2
b2
 z  c 1 -
x2
a2
-
y2
b2
.
Integrand je roven konstantě jedna, takže integrál vyjadřuje objem m3()
množiny , tj. obecného elipsoidu. Podle Fubiniovy věty dostaneme:
m3() =

dxdydz =
a
-a
b
r
1- x2
a2
-b
r
1- x2
a2
c
r
1- x2
a2 - y2
b2
-c
r
1- x2
a2 - y2
b2
dz dy dx =
=
a
-a
b
r
1- x2
a2
-b
r
1- x2
a2
z
c
r
1- x2
a2 - y2
b2
-c
r
1- x2
a2 - y2
b2
dy dx =
=
a
-a
b
r
1- x2
a2
-b
r
1- x2
a2
2c 1 -
x2
a2
-
y2
b2
dy dx.
Nyní určíme samostatně vnitřní integrál. Při výpočtu rozlišíme dva případy. Pro
pevné x, kde -a < x < a, je 1 - x2
/a2
> 0. Užitím substituce tedy vyjde:
b
r
1- x2
a2
-b
r
1- x2
a2
2c 1 -
x2
a2
-
y2
b2
dy =
y = b 1 - x2
a2 sin t
dy = b 1 - x2
a2 cos t dt
-b 1 - x2
a2 ; -
2
, b 1 - x2
a2 ; 
2
=
= 2c

2
- 
2
1 -
x2
a2
- 1 -
x2
a2
sin2 t  b 1 -
x2
a2
cos t dt =
= 2bc 1 -
x2
a2

2
- 
2
1 - sin2 t  cos t dt =
100 Integrály v prostorech obecné dimenze
= 2bc 1 -
x2
a2

2
- 
2
cos2
t dt = bc 1 -
x2
a2

2
- 
2
(1 + cos 2t) dt =
= bc 1 -
x2
a2
t +
1
2
sin 2t

2
- 
2
= bc 1 -
x2
a2
.
Přitom pro t  -/2, /2 je

1 - sin2 t =

cos2 t = | cos t| = cos t.
Pro x = a je 1 - x2
/a2
= 0, takže v tomto případě má vnitřní integrál tvar
0
0
2c -
y2
b2
dy = 0.
Tedy pro libovolné x, kde -a  x  a, platí:
b
r
1- x2
a2
-b
r
1- x2
a2
2c 1 -
x2
a2
-
y2
b2
dy = bc 1 -
x2
a2
.
Celkově tudíž dostaneme:
m3() =
a
-a
bc 1 -
x2
a2
dx = bc x -
x3
3a2
a
-a
=
4
3
abc.
Ve speciálním případě a = b = c = r dostáváme známý vzorec pro objem
koule.
Předchozí výpočet byl poměrně komplikovaný. V kapitole 3 si ukážeme, jak
lze vypočítat objem obecného elipsoidu podstatně snáze a rychleji (příklad 3.27).
2.3. n-rozměrný integrál
Zcela analogicky, jako tomu bylo u dvojných a trojných integrálů, lze definovat
integrály přes množiny v prostorech libovolné dimenze n, kde n  2, a vyšetřovat
jejich vlastnosti. V této souvislosti mluvíme o n-rozměrných integrálech. K jejich
označení používáme zápisu
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn,
přičemž f je funkce integrovatelná (integrace schopná) na měřitelné množině M
v Rn
. Při označení x = [x1, x2, . . . , xn], dx = dx1dx2    dxn, lze n-rozměrný
2.3 n-rozměrný integrál 101
integrál psát rovněž ve tvaru
  
M
f (x) dx1 dx2    dxn nebo   
M
f (x) dx.
Míru měřitelné množiny M v prostoru Rn
značíme m(M) nebo mn(M). Je-li M
speciálně n-rozměrný uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rn
, značí
symboly
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn,
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn
dolní resp. horní integrál ohraničené funkce f na intervalu M. Fubiniovu větu
lze zformulovat například následujícím způsobem:
Věta 2.13 (Fubini). Je-li funkce f integrace schopna na n-rozměrném intervalu
M = M1 × M2, kde M1 je uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rm
,
přičemž m < n, a M2 je uzavřený omezený nedegenerovaný interval v Rn-m
,
pak obě funkce
  
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2    dxn,
  
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2    dxn
jsou integrovatelné na M1 a platí
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn =
=   
M1
  
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2    dxn dx1 dx2    dxm =
=   
M1
  
M2
f (x1, x2, . . . , xn) dxm+1 dxm+2    dxn dx1 dx2    dxm.
102 Integrály v prostorech obecné dimenze
Platí také modifikace poslední věty: za předpokladů uvedených ve větě 2.13
jsou rovněž funkce
  
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxm,
  
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxm
integrovatelné na množině M2 a platí
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn =
=   
M2
  
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxm dxm+1 dxm+2    dxn =
=   
M2
  
M1
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxm dxm+1 dxm+2    dxn.
Pro funkci f spojitou na n-rozměrném intervalu M = a1, b1 × a2, b2 ×
×    × an, bn dostáváme
  
M
f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn =
=
b1
a1
b2
a2
  
bn
an
f (x1, x2, . . . , xn) dxn    dx2 dx1. (2.4)
Integrál na pravé straně rovnosti (2.4) se nazývá n-násobný integrál. Analogické
vzorce lze obdržet záměnou pořadí proměnných.
Pojem elementární množiny v Rn
pro n > 3 zavádíme induktivně: elementární
množinou v Rn
vzhledem k nadrovině x1x2 . . . xn-1 (tj. nadrovině o rovnici
xn = 0) rozumíme množinu tvaru
 = {[x1, x2, . . . , xn]  Rn
: [x1, x2, . . . , xn-1]  M,
(x1, x2, . . . , xn-1)  xn   (x1, x2, . . . , xn-1},
kde M je elementární množina v Rn-1
a ,  jsou funkce n - 1 proměnných
spojité na množině M. Pro funkci f spojitou na této elementární množině 
2.3 n-rozměrný integrál 103
platí
  

f (x1, x2, . . . , xn) dx1 dx2    dxn =
=   
M
 (x1,...,xn-1)
(x1,...,xn-1)
f (x1, x2, . . . , xn) dxn dx1 dx2    dxn-1.
(2.5)
Příklad 2.14. Vypočítejte čtyřrozměrný integrál
M
(1 - x - y - z - u) dxdydzdu,
kde M = [x, y, z, u]  R4
: x +y +z+u  1, x  0, y  0, z  0, u  0 .
Řešení. Funkce f (x, y, z, u) = 1 - x - y - z - u je spojitá na množině M.
Přitom množina M je elementární množina, kterou lze vymezit nerovnostmi
M :
0  x  1,
0  y  1 - x,
0  z  1 - x - y,
0  u  1 - x - y - z.
Označíme-li M1 = {[x, y, z] : 0  x  1, 0  y  1 - x, 0  z  1 - x - y},
M2 = {[x, y] : 0  x  1, 0  y  1-x}, můžeme v souladu se vzorcem (2.5)
psát
M
(1 - x - y - z - u) dxdydzdu =
=
M1
1-x-y-z
0
(1 - x - y - z - u) du dxdydz =
=
M2
1-x-y
0
1-x-y-z
0
(1 - x - y - z - u) du dz dxdy =
=
1
0
1-x
0
1-x-y
0
1-x-y-z
0
(1 - x - y - z - u) du dz dy dx =
104 Integrály v prostorech obecné dimenze
=
1
0
1-x
0
1-x-y
0
(1 - x - y - z)u -
u2
2
1-x-y-z
0
dz dy dx =
=
1
0
1-x
0
1-x-y
0
1
2
(1 - x - y - z)2
dz dy dx =
=
1
2
1
0
1-x
0
(1
- x - y - z)3
3
1-x-y
0
dy dx =
=
1
6
1
0
1-x
0
(1 - x - y)3
dy dx =
=
1
6
1
0
(1
- x - y)4
4
1-x
0
dx =
1
24
1
0
(1 - x)4
dx =
=
1
24
(1
- x)5
5
1
0
=
1
120
.
Příklad 2.15. Pro dané přirozené n vypočtěte
  
M
x2
1 + x2
2 +    + x2
n dx1 dx2    dxn,
kde M = [x1, x2, . . . , xn]  Rn
: 0  xj  1 (j = 1, . . . , n) .
Řešení. Ukážeme si dva způsoby výpočtu tohoto integrálu ze spojité funkce přes
n-rozměrnou krychli 0, 1 n
.
Užitím vzorce (2.4) dostáváme
  
M
(x2
1 + x2
2 +    + x2
n) dx1 dx2    dxn =
=
1
0
1
0
  
1
0
1
0
(x2
1 + x2
2 +    + x2
n) dxn dxn-1    dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
  
1
0
(x2
1 + x2
2 +    + x2
n-1)xn +
x3
n
3
1
0
dxn-1    dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
  
1
0
x2
1 + x2
2 +    + x2
n-1 +
1
3
dxn-1    dx2 dx1 =
=
1
0
1
0
  
1
0
x2
1 + x2
2 +    + x2
n-2 +
1
3
xn-1 +
+
x3
n-1
3
1
0
dxn-2    dx2 dx1 =
2.4 Jednorozměrný integrál 105
=
1
0
1
0
  
1
0
x2
1 + x2
2 +    + x2
n-2 +
1
3
+
1
3
dxn-2    dx2 dx1 =
=    =
=
1
0
n - 1
3
+ x2
1 dx1 =
n - 1
3
x1 +
x3
1
3
1
0
=
n
3
.
Druhou možností je využití symetrie integračního oboru a integrandu. Zřejmě
  
M
(x2
1 + x2
2 +    + x2
n) dx1 dx2    dxn = n   
M
x2
1 dx1 dx2    dxn.
Analogicky jako v poznámkách 1.64 a 2.10 platí
  
M
x2
1 dx1 dx2    dxn =
1
0
x2
1 dx1
1
0
dx2   
1
0
dxn =
x3
1
3
1
0
=
1
3
,
což dává celkově stejný výsledek.
2.4. Jednorozměrný integrál
Postupujeme-li analogickým způsobem u integrálu v R1
, pak definici integrálu
přes uzavřený omezený nedegenerovaný interval odpovídá integrál přes jednorozměrný
kompaktní interval a, b , což je zřejmě Riemannův určitý integrál definovaný
v základním kurzu integrálního počtu. Definujeme-li charakteristickou
funkci množiny M  R1
analogicky jako dříve, pak vzorec pro míru měřitelné
množiny je
m(M) =
b
a
M(x) dx,
kde a, b je takový interval, že a, b  M. Míru v R1
značíme také m1(M).
Jednoduchý (jednorozměrný) integrál na měřitelné množině M definujeme rov-
ností
M
f (x) dx =
b
a
(Mf )(x) dx,
kde a, b  M a funkce Mf je dána vztahem
(Mf )(x) =
f (x) pro každé x  M,
0 pro každé x  M.
106 Integrály v prostorech obecné dimenze
Jednorozměrný integrál má stejné základní vlastnosti jako integrál dvojrozměrný
či trojrozměrný a je zobecněním Riemannova určitého integrálu s mezemi
a, b na integrál přes obecnější množinu než je interval a, b .
Příklad 2.16. Vypočítejte integrál M x dx, kde M = M1 M2 I1 I2, přičemž
M1 = {1, 2}, M2 = {4 + 1/k : k  N}, I1 = -2, -1), I2 = 3, 4 .
Řešení. Charakteristická funkce množiny M je znázorněna na obr. 2.9. Množina
M1 je konečná, takže m1(M1) = 0 (viz cvičení 18 ke kapitole 1). Pro každé
 > 0 lze psát M2 = M
2  M
2 , kde M
2 = {4 + 1/k : k  N, k > 1/ + 1},
M
2 = {4+1/k : k = 1, 2, . . . , 1/+1}, přičemž 1/ značí celou část čísla
1/ (obecně pro a  R platí a - 1 < a  a). Pak M2
= M
2
+ M
2
, protože
M
2  M
2 = .
Jelikož M
2 je konečná, platí
5
4+1/(1+1/)M
2
(x) dx = m1(M
2 ) = 0 pro
každé  > 0. Dále pro každé  > 0 máme 0 
4+1/(1+1/)
4 M
2
(x) dx 
 m1 4, 4 + 1
1+1/
= 1
1+1/
< . Podle poznámky 1) na str. 16 před
Fubiniovou větou (viz též cvičení 2 ke kapitole 1) dostáváme
0 
5
4
M2
(x) dx =
4+1/(1+1/)
4
M2
(x) dx +
5
4+1/(1+1/)
M2
(x) dx =
=
4+1/(1+1/)
4
M
2
(x) dx +
5
4+1/(1+1/)
M
2
(x) dx =
=
4+1/(1+1/)
4
M
2
(x) dx,
tedy 0 
5
4 M2
(x) dx <  pro každé  > 0. To znamená, že
5
4 M2
(x) dx = 0.
Jelikož funkce M2
je nezáporná, platí 0 
5
4 M2
(x) dx 
5
4 M2
(x) dx  0,
x
y
2-2 1-1 1 2 3 4 5
1 M(x)
Obr. 2.9: Charakteristická funkce množiny M
Cvičení 107
takže
5
4 M2
(x) dx =
5
4 M2
(x) dx = 0. Tudíž integrál
5
4 M2
(x) dx existuje
a je roven nule. Množina M2 je proto měřitelná a m1(M2) =
5
4 M2
(x) dx = 0.
Protože funkce f (x) = x je ohraničená na množinách M1, M2 míry 0, platí
M1
x dx = 0, M2
x dx = 0. Užitím aditivity integrálu vzhledem k integračnímu
oboru dostáváme
M
x dx =
M1
x dx +
M2
x dx +
I1
x dx +
I2
x dx =
=
I1
x dx +
I2
x dx =
-1
-2
x dx +
4
3
x dx =
=
x2
2
-1
-2
+
x2
2
4
3
=
1
2
- 2 + 8 -
9
2
= 2.
Poznámka 2.17. Pro úplnost si všimněme v předchozím příkladu podrobněji integrálu
I1
x dx, jehož integračním oborem je polootevřený interval I1 = -2, -1). Označme
I = -2, -1 . Podle definice integrálu přes obecnou měřitelnou množinu pak je
I1
x dx =
I
(I1
x)(x) dx =
-1
-2
(I1
x)(x) dx =
-1
-2
x dx,
protože funkce (I1
x)(x) a x se na intervalu I liší jen v pravém konci x = -1. Přitom
poslední dva integrály mají za integrační obor kompaktní interval, jsou to tedy
Riemannovy určité integrály, se kterými jste se seznámili v základním kurzu.
Cvičení
1. Ověřte, že úlohy 2­29 ze cvičení k první kapitole lze formulovat pro integrály
libovolné dimenze. Udělejte potřebné úpravy a rozmyslete si, jak by bylo
nutné modifikovat důkazy.
2. Vypočtěte integrál

dxdydz přes danou množinu :
a)  : - 1  x  0, -/4  y  -x, -1  z  x2
,
b)  : -

y  x 

y, 0  y  1, 0  z  4 - x - y,
c)  : x  0, y  0, z  0, z  1 - x - 2y,