119
Kapitola 3
Transformace integrálů
V předchozí kapitole jsme se seznámili se základní metodou výpočtu vícerozměrných
integrálů -- převodem na násobné integrály. Z teorie jednorozměrného
Riemannova integrálu na intervalu víme, že významnou metodou výpočtu určitého
Riemannova integrálu je substituční metoda, kterou lze formulovat v následující
podobě:
Je-li funkce f spojitá na intervalu a, b a funkce na intervalu , , přičemž
(t) a, b pro každé t , , pak za předpokladu spojitosti funkce
na
intervalu (, ) platí
()
()
f (x) dx =
f ((t))
(t) dt. (3.1)
Při užití této metody nás zajímá především změna integrandu, který chceme
,,zjednodušit", abychom dokázali najít primitivní funkci a mohli ji použít pro
výpočet určitého integrálu (Newtonova-Leibnizova formule). Rovněž v případě
vícerozměrných integrálů má substituční metoda značný význam pro jejich výpočet.
Motivace je zde však poněkud jiná. Často nám totiž jde zejména o změnu
integračního oboru do podoby, která umožní snadnější převod na násobné integrály,
a to mnohdy i za cenu případného zkomplikování integrandu. Místo
o substituční metodě se u vícerozměrných integrálů často mluví o záměně proměnných
v integrálu nebo o transformaci integrálu. Než vyslovíme příslušná
tvrzení, uveďme poněkud pozměněnou formulaci věty o substituci v jednorozměrném
integrálu, která bude více připomínat formulace vět o transformaci ve
vícerozměrných integrálech.
Věta 3.1. Nechť je funkce definovaná na kompaktním intervalu I a má derivaci
spojitou a různou od nuly v každém bodě z I. Nechť f je funkce spojitá na
120 Transformace integrálů
intervalu (I). Pak platí
(I)
f (x) dx =
I
f ((t))|
(t)| dt. (3.2)
Důkaz. Protože I je kompaktní interval, existují reálná čísla , taková, že
I = , . Funkce má derivaci na intervalu I, je tedy na tomto intervalu
spojitá. Odtud vyplývá, že (I) je skutečně (kompaktní) interval. Protože
je spojitá a od nuly různá na I, platí buď
(t) > 0 pro každé t I, nebo
(t) < 0 pro každé t I. V prvním případě je funkce rostoucí, takže platí
(I) = a, b , kde a = (), b = () a (t) a, b pro každé t , .
Pak dostáváme
(I)
f (x) dx =
b
a
f (x) dx =
f ((t))
(t) dt =
I
f ((t))|
(t)| dt.
Ve druhém případě je funkce klesající, takže platí (I) = a, b , kde
a = (), b = () a (t) a, b pro každé t , . V tomto případě
dostáváme
(I)
f (x) dx =
b
a
f (x) dx = -
a
b
f (x) dx = -
f ((t))
(t) dt =
=
f ((t))[(t)]
dt =
I
f ((t))|
(t)| dt.
Poznámka 3.2. Všimněte si, že v integrálu na levé straně vzorce (3.1) může
být () (). Integrály ve vzorci (3.1), můžeme tedy chápat jako integrály
přes ,,orientované" intervaly. Naproti tomu na levé straně rovnosti (3.2) vystupuje
integrál s integračním oborem (I), což je interval ,,neorientovaný", jehož levý
krajní bod nemůže být větší než jeho pravý krajní bod.
Věty o transformaci integrálu v této kapitole nejprve uvedeme bez důkazů
a na konkrétních příkladech ukážeme způsoby jejich užití. Důkazům bude věnován
závěrečný oddíl celé kapitoly.
3.1. Transformace dvojného integrálu
Ve formulaci věty o transformaci dvojného integrálu budeme potřebovat, aby
funkce g a h, které realizují záměnu obou proměnných, měly spojité parciální
derivace. To má smysl jen ve vnitřních bodech množiny, na které funkce g, h
uvažujeme. Proto zavedeme následující pojem.
3.1 Transformace dvojného integrálu 121
Definice 3.3. Nechť g, h jsou funkce definované na dané množině B R2
. Buď
F : B R2
zobrazení přiřazující každému bodu [u, v] B bod F(u, v) =
= [g(u, v), h(u, v)]. Řekneme, že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v B,
jestliže existuje otevřená množina B taková, že funkce g, h lze rozšířit
na takovým způsobem, že funkce g, h mají v spojité parciální derivace
prvního řádu podle obou proměnných u, v.
Je-li F : B R2
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, nazývá se při
označení použitém v definici 3.3 determinant
J =
gu gv
hu hv
jakobián zobrazení F. Jakobián J : B R je funkcí proměnných u a v.
Definice 3.4. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B R2
na otevřené množině
B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém bodě
množiny B.
Nyní již můžeme zformulovat základní větu o transformaci dvojného inte-
grálu.
Věta 3.5. Nechť B R2
je uzavřená měřitelná množina a R2
je otevřená
množina, B . Nechť F : R2
je prosté regulární zobrazení takové, že
F(u, v) = [g(u, v), h(u, v)] pro každé [u, v] B. Nechť funkce f proměnných
x a y je spojitá v množině A = F(B).
Pak platí vztah
A
f (x, y) dxdy =
B
f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| dudv. (3.3)
Poznámka 3.6.
1. Všimněme si, že vzorec (3.3) je analogický vzorci (3.2).
2. Vysvětlíme si význam jakobiánu ve vzorci (3.3). Zvolíme-li f (x, y) = 1 pro
každé (x, y) A a předpokládáme-li pro jednoduchost, že jakobián zobrazení
F má konstantní hodnotu J = 0, dostáváme z (3.3) rovnost
A
dxdy =
=
B
|J| dudv = |J|
B
dudv. Podle definice 1.31 a 1.45 to znamená, že
m2(F(B)) = m2(A) = |J|
B
dudv = |J| m2(B). Lze tedy očekávat, že
122 Transformace integrálů
,,malá" souvislá množina B zobrazením F přejde v množinu A = F(B)
o míře m2(A) rovné m2(A) = |J(u, v)| m2(B) pro vhodné [u, v] B i v případě,
že jakobián není konstantní.
Ilustrujme tuto skutečnost na příkladě: Nechť B je obdélník 0, × 0, ,
kde > 0, > 0. Zřejmě m2(B) = . Uvažujme lineární zobrazení F
takové, že F(u, v) = [au + bv, cu + dv], kde a, b, c, d R jsou takové
konstanty, že ad -bc = 0. Pro jakobián J zobrazení F v každém bodě [u, v]
platí
J =
a b
c d
= ad - bc = 0
a množina A = F(B) je rovnoběžník s vrcholy [0, 0], [a, c], [b, d],
[a + b, c + d]. Z elementární geometrie plyne m2(A) = det a c
b d =
= |ad - bc| = |J| m2(B). Vzhledem k linearitě zobrazení F vyšla rovnost
m2(A) = |J(u, v)| m2(B) přesně pro každý bod [u, v] B.
Srovnejte též cvičení 4 k této kapitole.
Příklad 3.7. Vypočtěte
A
dxdy, kde množina A leží v prvním kvadrantu a je
omezena křivkami xy = 1, xy = 3, y = x/2 a y = 2x.
Řešení. První dvě křivky jsou hyperboly, druhé dvě přímky. Integrační obor A
je znázorněn na obr. 3.1 a). Množinu A lze popsat jako elementární množinu,
popřípadě sjednocení elementárních množin, vzhledem k ose x nebo vzhledem
k ose y. Najít tento popis by však bylo poměrně pracné. Ukážeme, že volbou
vhodné transformace se výpočet značně zjednoduší. Každým vnitřním bodem
x
y
O
xy = 1
xy = 3
y = x/2
y = 2x
A
a)
u
v
O
u = 1 u = 3
v = 1/2
v = 2
B
b)
Obr. 3.1
3.1 Transformace dvojného integrálu 123
prvního kvadrantu s kartézskými souřadnicemi [x0, y0] prochází právě jedna
z hyperbol xy = u0 a právě jedna z přímek y = v0x, kde u0 > 0, v0 > 0
jsou parametry. Čísla u0 a v0 jsou jednoznačně určena: u0 = x0y0 a v0 =
= y0/x0. Dvojici [u0, v0] lze tedy zvolit za nové souřadnice daného bodu. Vztah
mezi původními a novými souřadnicemi je tudíž dán rovnicemi (vynecháme
pro jednoduchost index nula) xy = u a y/x = v. Z nich snadno vypočítáme
x =
u/v , y =
uv. Dostáváme tedy prosté zobrazení se souřadnicovými
funkcemi g(u, v) =
u/v a h(u, v) =
uv. Tyto funkce mají uvnitř prvního
kvadrantu spojité první parciální derivace podle obou proměnných. Vypočteme
jakobián:
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
1
2
uv
-1
2
u
v3
1
2
v
u
1
2
u
v
=
1
4v
+
1
4v
=
1
2v
.
Jakobián je tedy uvnitř prvního kvadrantu nenulový, takže zobrazení je regulární.
Body ležící na hyperbole xy = 1 mají všechny novou první souřadnici u = 1.
Analogicky body ležící na hyperbole xy = 3 mají všechny novou první souřadnici
u = 3. Podobně body ležící na přímce y = x/2 mají všechny novou druhou
souřadnici v = 1/2 a body ležící na přímce y = 2x mají všechny novou druhou
souřadnici v = 2. Odtud je vidět, že množina A je v transformaci F dané
funkcemi g a h obrazem dvojrozměrného intervalu B = 1, 3 × 1/2, 2 -- viz
obr. 3.1 b).
S použitím vztahů (3.3) a (1.18) dostaneme:
A
dxdy =
B
1
2v
dudv =
1
2
3
1
du
2
1/2
1
v
dv =
=
1
2
u
3
1
ln v
2
1/2
=
1
2
(3 - 1) ln 2 - ln
1
2
= 2 ln 2.
Poznamenejme, že výsledné číslo 2 ln 2 je rovno míře množiny A.
V dalším uvedeme některé speciální transformace vhodné pro výpočet dvojných
integrálů. Než se jimi začneme zabývat jednotlivě, všimneme si podmínek
použití věty 3.5. Ukazuje se, že její univerzálnost má určité nedostatky. Předně,
integrand musí být spojitá funkce a integrační obor uzavřená množina. Závažnější
však je, že i u velmi jednoduchých transformací, se kterými se budeme
dále seznamovat, protože jsou důležité v aplikacích, často nelze splnit předpoklady
o transformačním zobrazení. Požadavek, aby je bylo možné prostě rozšířit
na otevřenou nadmnožinu integračního oboru při zachování regularity, je
124 Transformace integrálů
často nesplnitelný. Proto nyní uvedeme větu o transformaci dvojného integrálu
za obecnějších předpokladů. Formulace je sice komplikovanější, ale uplatnění
je mnohem širší, což uvidíme níže při řešení příkladů. Stručně řečeno, obecnější
věta 3.8 postihuje případy, kdy předpoklady věty 3.5 nejsou splněny na
množinách míry nula. V konkrétních úlohách je ověření předpokladů obvykle
snadné.
Věta 3.8. Nechť B1 B R2
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí m2(B B1) = 0.
Buď F : B R2
spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které
je regulární a prosté v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme,
že množina A je měřitelná a platí m2(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce s hodnotou f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| v každém bodě [u, v] B je
ohraničená.
Pak platí vztah (3.3), tj.
A
f (x, y) dxdy =
B
f (g(u, v), h(u, v))|J(u, v)| dudv.
3.1.1. Některé běžné typy transformací dvojného integrálu
Všimněme si nyní podrobněji několika běžných často užívaných transformací
x = g(u, v) , y = h(u, v) dvojného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x = u + a,
y = v + b,
(3.4)
kde a, b jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
1 0
0 1
= 1.
3.1 Transformace dvojného integrálu 125
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a > 0, b > 0 změna měřítek na souřadnicových
osách) je dána rovnicemi
x = au,
y = bv,
(3.5)
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v) =
gu gv
hu hv
=
a 0
0 b
= ab.
Transformace do polárních souřadnic
Transformace do polárních souřadnic je dána rovnicemi
x = cos ,
y = sin ,
(3.6)
přičemž nové proměnné (tzv. polární souřadnice bodu [x, y]) značíme ,
namísto u, v. Jakobián zobrazení (3.6) je roven
J(, ) =
g g
h h
=
cos - sin
sin cos
= (cos2
+ sin2
) = .
x
y
x
y
O
T
Obr. 3.2
Připomeňme význam polárních souřadnic v rovině:
Je-li T bod s kartézskými souřadnicemi [x, y],
značí vzdálenost bodu T od počátku O kartézské
souřadnicové soustavy a úhel, který svírá vek-
tor
OT
s kladnou poloosou x (viz obr. 3.2). Proměnná
nabývá nezáporných hodnot, proměnná
obvykle hodnot z vhodného intervalu délky 2.
Zobrazení do polárních souřadnic je regulární na
množinách neobsahujících počátek. Transformace
do polárních souřadnic se používá zvláště v případech,
kdy popis množiny A v polárních souřadnicích
je tvaru
B :
,
r() R(),
přičemž < jsou konstanty a r, R jsou spojité funkce na intervalu , , viz
obr. 3.3. Označíme-li F zobrazení dané rovnicemi (3.6), platí F(B) = A.
126 Transformace integrálů
r()
x
y
O
R()
A
a)
= r()
= R()
O
B
b)
Obr. 3.3: Transformace do polárních souřadnic
Poznámka 3.9. V předchozím textu bylo uvedeno, že polární souřadnice nabývá
obvykle hodnot z vhodného intervalu délky 2. Slovo ,,obvykle" bylo
použito záměrně, neboť existují i množiny, pro které toto tvrzení neplatí -- viz
obr. 3.4, kde 0, 3 .
Transformace do eliptických (zobecněných polárních) souřadnic
Transformace do eliptických souřadnic , je dána rovnicemi
x = a cos ,
y = b sin ,
(3.7)
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(, ) =
g g
h h
=
a cos -a sin
b sin b cos
= ab(cos2
+ sin2
) = ab.
Transformace do zobecněných eliptických souřadnic
Transformace do zobecněných eliptických souřadnic , je dána rovnicemi
x = a cosn
,
y = b sinn
,
(3.8)
3.1 Transformace dvojného integrálu 127
x
y
O
A
a) Kartézské souřadnice [x, y]
O 3
B
= 2
3 + e-/50
= 2
3 + (3/2) e/50
b) Polární souřadnice [, ]
Obr. 3.4: Množina, jejíž polární souřadnice nenabývá hodnot
z intervalu délky 2.
kde a = 0, b = 0 a n N jsou konstanty. Pro jakobián zobrazení (3.8) v tomto
případě platí
J(, ) =
g g
h h
=
a cosn
-na cosn-1
sin
b sinn
nb sinn-1
cos
=
= nab cosn-1
sinn-1
(cos2
+ sin2
) = nab cosn-1
sinn-1
.
Poznámka 3.10. Kromě uvedených obvyklých transformací připadají v úvahu
i jiné transformace vhodné pro danou oblast integrace nebo daný integrand.
Při výpočtu některých složitějších integrálů je mnohdy účelné provádět několik
transformací postupně za sebou.
Příklad 3.11. Vypočtěte
A
(x2
+ y2
) dxdy, kde množina A je určena podmínkami
1 x2
+ y2
4, y |x|.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
= 1 a x2
+ y2
= 4 určují kružnice k1 a k2 se středy
v počátku O a poloměry 1 a 2. První podmínka tedy zadává mezikruží. Dále
graf funkce y = |x| je tvořen dvěma polopřímkami (osami prvního a druhého
kvadrantu) o rovnicích y = x a y = -x. Body splňující nerovnost y |x| leží
nad tímto grafem. Dohromady tudíž obě podmínky zadávají výseč mezikruží A
z obr. 3.5 a).
Určíme, jak bude tato výseč popsána v polárních souřadnicích. Polopřímky
vycházející z počátku O, které protínají množinu A, svírají s kladnou částí osy x
128 Transformace integrálů
x
y
1 2O
y = xy = -x
k1
k2
A
a)
/4 3/4
1
2
O
B
b)
Obr. 3.5
úhel v rozmezí /4 (y = x je osa prvního kvadrantu) až 3/4 (y = -x je osa
druhého kvadrantu). Tedy /4 3/4.
Libovolná taková polopřímka protíná množinu A v úsečce, jejíž koncové
body mají od počátku O stále stejné vzdálenosti, a to r = 1 a R = 2. Tedy
1 2. To znamená, že množina B uspořádaných dvojic [, ] bude dvojrozměrný
interval v rovině s kartézskými souřadnicemi , -- viz obr. 3.5 b).
Snadno se ověří, že jsou splněny předpoklady věty 3.5. Za množinu z této
věty lze zvolit libovolný otevřený dvojrozměrný interval, který bude obsahovat
uzavřený interval B, bude ležet v prvním kvadrantu a jehož horizontální rozměr
bude menší než 2. Zobrazení F dané rovnicemi (3.6) pak bude na prosté
a regulární. Protože integrand f (x, y) = x2
+ y2
je funkce spojitá na A, lze
zmíněnou větu skutečně použít. Podle (3.3) platí:
I =
A
(x2
+ y2
) dxdy =
B
( cos )2
+ ( sin )2
dd =
=
B
3
(cos2
+ sin2
) dd =
B
3
dd =
3/4
/4
d
2
1
3
d =
=
3/4
/4
4
4
2
1
=
3
4
-
4
16
4
-
1
4
=
15
8
.
Při výpočtu transformovaného integrálu jsme použili kromě Fubiniovy věty rovněž
vztah (1.18).
3.1 Transformace dvojného integrálu 129
Příklad 3.12. Vypočtěte
A
(2x -3y) dxdy, kde množina A je určena podmínkou
x2
+ y2
9.
Řešení. Integračním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic O a poloměrem
3 (obr. 3.6 a)). Použijeme opět transformaci do polárních souřadnic.
Tentokrát integrační obor protíná libovolná polopřímka vycházející z počátku O.
Tedy 0 2. Průnikem každé takové polopřímky s integračním oborem
je úsečka délky 3 vycházející z počátku O, tedy 0 3. Množinou B
uspořádaných dvojic [, ] je dvojrozměrný interval (obr. 3.6 b)).
Předpoklady věty 3.5 tentokrát nelze splnit. Zobrazení F : B A není
prosté na množině B. Všechny body dolní hraniční úsečky obdélníku B se zobrazí
na počátek O. Dále pro každé c 0, 3 se body [0, c] a [2, c] ležící na
levé resp. pravé hraniční úsečce obdélníku B zobrazí na tentýž bod [c, 0] A.
Pokud bychom za B zvolili např. obdélník popsaný nerovnostmi 0 < 2,
0 < 3 doplněný o bod [0, 0], bylo by sice zobrazení F prosté, ale B by
nebyla uzavřená množina.
Lze však použít větu 3.8. Za množinu B1 z této věty lze zvolit vnitřek intervalu
B. Pak množina B B1 je tvořena čtyřmi hraničními úsečkami intervalu B
a množina F(B) F(B1) je tvořena hraniční kružnicí kruhu A a úsečkou spojující
jeho střed O s bodem [3, 0]. Na množině B1 je zobrazení F regulární
i prosté a rovněž všechny další předpoklady věty 3.8 jsou splněny. Platí proto:
I =
A
(2x - 3y) dxdy =
B
(2 cos - 3 sin ) dd =
x
y
O
x2 + y2 = 9
3
A
a)
2
3
O
B
b)
Obr. 3.6
130 Transformace integrálů
=
B
2
(2 cos - 3 sin ) dd =
2
0
(2 cos - 3 sin ) d
3
0
2
d =
= 2 sin + 3 cos
2
0
3
3
3
0
= (0 + 3 - 0 - 3)(9 - 0) = 0.
Při výpočtu transformovaného integrálu jsme opět použili kromě Fubiniovy věty
i vztah (1.18).
Příklad 3.13. Vypočtěte
A
x2 + y2 dxdy, kde množina A je určena podmínkou
x2
+ y2
- 2ax 0, kde a > 0 je daná konstanta.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
- 2ax = 0 zadává nějakou kuželosečku. Doplněním na
čtverec určíme jakou:
x2
+ y2
- 2ax = (x - a)2
- a2
+ y2
= 0, takže (x - a)2
+ y2
= a2
.
Jde o kružnici se středem v bodě [a, 0] a poloměrem a. Integračním oborem A
je tedy kruh -- viz obr. 3.7 a). S ohledem na tvar integrované funkce použijeme
transformaci do polárních souřadnic. Kdybychom se místo o zjednodušení
integrandu pokusili zjednodušit integrační obor posunutím středu kruhu A do
počátku s následným zavedením polárních souřadnic, integrovaná funkce by se
nepříjemně zkomplikovala. Vzhledem k poloze množiny A (leží v prvním a čtvrtém
kvadrantu) bude výhodnější volit rozmezí úhlů z intervalu (-, . Polopřímky
vycházející z počátku O, které protínají množinu A i v jiných bodech než
x
y
a 2aO
(x - a)2 + y2 = a2
T
A
a)
/2-/2 /2O
= 2a cos
B
b)
Obr. 3.7
3.1 Transformace dvojného integrálu 131
v počátku O, svírají totiž s kladnou částí osy x úhly z intervalu (-/2, /2).
Budeme tedy mít -/2 /2.
Nyní určíme omezení pro . Z obrázku je zřejmé, že délky úseček OT ,
které jsou průnikem uvažovaných polopřímek s množinou A, se budou měnit
a budou záviset na úhlu . Dosazením polárních souřadnic do rovnice kružnice
obdržíme:
( cos )2
+ ( sin )2
- 2a cos = 0, odkud ( - 2a cos ) = 0.
Hodnotě = 0 odpovídá počátek O, pro druhý průsečík polopřímky s kružnicí
platí = 2a cos . (Tento výsledek lze snadno zdůvodnit i geometricky.
V trojúhelníku s vrcholy O, [2a, 0] a T (obr. 3.7 a)) je podle Thaletovy věty
u vrcholu T pravý úhel. Z definice kosinu vyplývá, že = OT = 2a cos .)
Celkově tedy dostáváme, že
B :
-
2
2
,
0 2a cos .
Množina B je tudíž elementární vzhledem k (obr. 3.7 b)).
Použitím věty 3.8 dostaneme (zdůvodněte sami obdobně jako v předchozím
příkladu, že všechny její předpoklady jsou splněny):
I =
A
x2 + y2 dxdy =
B
( cos )2 + ( sin )2 dd =
=
B
2
dd =
/2
-/2
2a cos
0
2
d d =
/2
-/2
3
3
2a cos
0
d =
=
/2
-/2
8
3
a3
cos3
d =
8
3
a3
/2
-/2
(1 - sin2
) cos d =
=
sin = t
cos d = dt
-
2
; -1,
2
; 1
=
8
3
a3
1
-1
(1 - t2
) dt =
8
3
a3
t -
t3
3
1
-1
=
32
9
a3
.
Na výpočet transformovaného integrálu jsme použili Fubiniovu větu 1.55, vzniklý
jednoduchý integrál jsme pak počítali substituční metodou.
Příklad 3.14. Vypočtěte
A
(x+y2
) dxdy, kde množina A je dána nerovnostmi
(x - 2)2
9
+
(y - 1)2
4
1, 2x -
3y +
3 - 4 0 a 2x + 3y - 7 0.
132 Transformace integrálů
x
y
2O
p1
p2
1
A
a)
u
v
O
p
1p
2
3
2
B
b)
/3 3/4O
1
C
c)
Obr. 3.8: Eliptická výseč a eliptické souřadnice
Řešení. První nerovnost vyjadřuje elipsu (vnitřek včetně hranice) se středem
v bodě [2, 1], která má poloosy o velikostech 3 a 2 a jejíž osy jsou rovnoběžné
se souřadnicovými osami. Další dvě nerovnosti určují poloroviny. Označme
p1 : 2x -
3y +
3 - 4 = 0 a p2 : 2x + 3y - 7 = 0 jejich hraniční přímky.
Dosazením se můžeme přesvědčit, že obě tyto přímky procházejí středem elipsy.
Přímka p1 má kladnou směrnici 2/
3, přímka p2 má zápornou směrnici -2/3.
Integrační obor A je znázorněn na obr. 3.8 a). Jde o výseč elipsy.
K výpočtu integrálu použijeme nejdříve posunutí
x = u + 2,
y = v + 1,
|J| = 1,
po kterém přejde střed původní elipsy do počátku. Dosazením do nerovnosti
určující původní elipsu a do rovnic hraničních přímek dostaneme
u2
9
+
v2
4
1, 2u -
3v = 0, 2u + 3v = 0.
Po posunutí tedy množina A přešla v množinu B = [u, v] R2
: u2
9
+ v2
4
1, 2u -
3v 0, 2u + 3v 0 , což je shodná výseč shodné elipsy
3.1 Transformace dvojného integrálu 133
se středem v počátku souřadnicové soustavy proměnných u, v; přímky p1, p2
přitom přešly v přímky p
1, p
2 procházející počátkem (obr. 3.8 b)).
Nyní provedeme transformaci množiny B do eliptických souřadnic
u = 3 cos ,
v = 2 sin ,
|J| = 6.
Dosazením do nerovnosti určující elipsu dostaneme
(3 cos )2
9
+
(2 sin )2
4
1, takže 2
1.
Tedy 0 1.
Dále dosadíme do rovnic posunutých přímek. Vyjde nám
p
1 : 2 3 cos -
3 2 sin = 0,
p
2 : 2 3 cos + 3 2 sin = 0,
odkud
tg =
3,
tg = -1.
Přímce p
1 tudíž odpovídá hodnota = /3 a přímce p
2 hodnota = 3/4,
takže /3 3/4. Množina B tedy přešla v množinu C, která je obdélníkem
(obr. 3.8 c)):
C :
/3 3/4 ,
0 1.
Použijeme větu 3.8 (ověřte sami, že všechny její předpoklady jsou splněny):
I =
A
(x + y2
) dxdy =
B
u + 2 + (v + 1)2
1 dudv =
=
B
u + v2
+ 2v + 3 dudv =
=
C
3 cos + (2 sin )2
+ 4 sin + 3 6 dd =
= 6
C
(32
cos + 43
sin2
+ 42
sin + 3) dd =
= 24
C
3
sin2
dd + 6
C
2
(3 cos + 4 sin ) dd +
+ 18
C
dd = I1 + I2 + I3.
134 Transformace integrálů
Další výpočet provedeme odděleně pro každý ze tří integrálů I1, I2, I3. Na každý
z nich použijeme Fubiniovu větu a vztah (1.18). V prvním integrálu použijeme
identitu sin2
= (1 - cos 2)/2.
I1 = 12
1
0
3
d
3/4
/3
(1 - cos 2) d = 3 4 1
0
-
1
2
sin 2
3/4
/3
=
= 3
3
4
-
1
2
(-1) -
3
+
1
2
3
2
=
5
4
+
3
2
+
3
3
4
,
I2 = 6
1
0
2
d
3/4
/3
(3 cos + 4 sin ) d =
= 2 3 1
0
3 sin - 4 cos
3/4
/3
=
= 2
3
2
2
- 4 -
2
2
- 3
3
2
+ 4
1
2
= 7
2 - 3
3 + 4,
I3 = 18
1
0
d
3/4
/3
d = 9 2 1
0
3/4
/3
= 9
3
4
-
3
=
15
4
.
Sečtením dostaneme celkový výsledek:
I = 5 +
11
2
-
9
3
4
+ 7
2.
Příklad 3.15. Transformací u = x+y, v = x-y vypočtěte
M
(x2
- y2
)2
dxdy,
kde M = [x, y] R2
: 0 y x 1 .
Řešení. Množinu M lze zapsat ve tvaru [x, y] R2
: 0 x 1, 0 y x .
Geometricky se jedná o trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1, 0], [0, 1] (obr. 3.9 a)).
Inverzní transformace k transformaci u = x + y, v = x - y je transformace
F : x = (u + v)/2, y = (u - v)/2. Snadno se ověří, že pro její jakobián platí
J = -1/2. Dosazením vztahů x = (u + v)/2, y = (u - v)/2 do nerovností
0 x 1, 0 y x dostáváme
0
1
2
(u + v) 1, 0
1
2
(u - v)
1
2
(u + v).
Odtud plynou nerovnosti
0 v, u v, v 1, u 2 - v.
Naopak se snadno ověří, že z posledních nerovností plynou původní nerovnosti
0 x 1, 0 y x. Množina M tedy transformací F-1
přejde v množinu
3.1 Transformace dvojného integrálu 135
x
y
1
1
O
M
a)
v
u
1
1
2
O
M
b)
Obr. 3.9: Afinní transformace
M
= [u, v] R2
: 0 v 1, v u 2-v (obr. 3.9 b)). Užitím věty 1.55
nyní dostáváme
M
(x2
- y2
)2
dxdy =
M
u2
v2 1
2
dudv =
1
2
1
0
2-v
v
u2
v2
du dv =
=
1
2
1
0
u3
v2
3
2-v
v
dv =
1
2
1
0
8v2
- 12v3
+ 6v4
- v5
- v5
3
dv =
=
1
6
1
0
8v2
- 12v3
+ 6v4
- 2v5
dv =
1
3
4
3
v3
-
6
4
v4
+
3
5
v5
-
1
6
v6
1
0
=
=
1
3
4
3
-
3
2
+
3
5
-
1
6
=
1
3
40 - 45 + 18 - 5
30
=
4
45
.
Příklad 3.16. Vypočtěte integrál
M
(x + 1) dxdy, kde
M = [x, y] R2
:
x
2
2/3
+
y
3
2/3
1 .
Řešení. Množina M je omezena uzavřenou křivkou , která je dána rovností
x
2
2/3
+
y
3
2/3
= 1, (3.9)
136 Transformace integrálů
x
y
2-2 2
3-3
3
g1g2
g3 g4
M
Obr. 3.10:
Množina M omezená křivkou
: x
2
2/3
+ y
3
2/3
= 1
prochází body [2,0], [0,3], [-2,0], [0,-3] a je tvořena
grafy čtyř funkcí gj (x) (j = 1, 2, 3, 4) --
viz obr. 3.10. Ze vztahu (3.9) lze snadno získat
funkční předpisy pro funkce gj (x) a výpočtem jejich
první a druhé derivace ověřit, že grafy těchto
funkcí mají skutečně tvar nakreslený v obr. 3.10.
K výpočtu zadaného integrálu použijeme
transformace do zobecněných eliptických souřadnic
x = 2 cos3
, y = 3 sin3
-- viz 3.8. Pro
příslušný jakobián platí J = 18 cos2
sin2
.
Dosazením transformačních vztahů do nerovnosti
x
2
2/3
+
y
3
2/3
1
dostáváme 2/3
(cos2
+ sin2
) 1, což je splněno
právě tehdy, když 1. Množině M v polárních
souřadnicích odpovídá obdélník M
=
= [, ] R2
: 0 2, 0 1 .
Ověřte si sami, že na jeho vnitřku je transformace prostá. Nyní
M
(x + 1) =
M
(2 cos3
+ 1)18 cos2
sin2
dd =
= 36
2
0
cos5
sin2
d
1
0
2
d + 18
M
cos2
sin2
dd =
= 36
2
0
(1 - sin2
)2
sin2
cos d
1
0
2
d +
9
2
M
sin2
2 d =
= 36
2
0
(sin6
- 2 sin4
+ sin2
) cos d
1
0
2
d +
+
9
2
2
0
sin2
2 d
1
0
d =
= 36
sin7
7
- 2
sin5
5
+
sin3
3
2
0
1
0
2
d +
+
9
2
2
0
1 - cos 4
2
d
1
2
=
= 0
1
0
2
dr +
9
8
sin
4
4
2
0
=
9
8
2 =
9
4
.
3.2 Transformace trojného integrálu 137
3.2. Transformace trojného integrálu
Problematika transformace trojného integrálu je zcela analogická jako u transformace
dvojného integrálu. Definice spojitě diferencovatelného zobrazení, jeho
jakobiánu a regulárního zobrazení mají v trojrozměrném případě následující po-
dobu:
Definice 3.17. Nechť B R3
a nechť g, h, k jsou funkce definované na množině
B. Buď F : B R3
zobrazení přiřazující každému bodu [u, v, w] B
bod F(u, v, w) = [g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)]. Řekneme, že zobrazení
F je spojitě diferencovatelné v B, jestliže existuje otevřená množina
B taková, že funkce g, h, k lze rozšířit na takovým způsobem, aby
měly v spojité parciální derivace prvního řádu podle všech tří proměnných
u, v, w.
Je-li F : B R3
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, determinant
J =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
se při označení použitém v definici 3.17 nazývá jakobián zobrazení F. Jakobián
J : B R je funkcí proměnných u, v a w.
Definice 3.18. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B R3
na otevřené
množině B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém
bodě množiny B.
Větu o transformaci trojného integrálu analogickou větě 3.5 lze zformulovat
takto:
Věta 3.19. Nechť B R3
je uzavřená měřitelná množina a R3
je otevřená
množina, B . Nechť F : R3
je prosté regulární zobrazení
s jakobiánem J takové, že F(u, v, w) = [g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)] pro
každé [u, v, w] B. Nechť funkce f proměnných x, y a z je spojitá v množině
A = F(B).
138 Transformace integrálů
Pak platí vztah
A
f (x, y, z) dxdydz =
=
B
f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw.
(3.10)
Podobně jako u dvojného integrálu je někdy užitečná následující obecnější,
avšak poněkud komplikovanější věta, analogická větě 3.8:
Věta 3.20. Nechť B1 B R3
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí m3(B B1) = 0.
Buď F : B R3
spojitě diferencovatelné zobrazení s jakobiánem J, které
je regulární a prosté v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme,
že množina A je měřitelná a platí m3(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce s hodnotou f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| v každém
bodě [u, v, w] B je ohraničená.
Pak platí vztah (3.10), tj.
A
f (x, y, z) dxdydz =
=
B
f (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw.
3.2.1. Některé běžné typy transformací trojného integrálu
Uveďme nyní podrobněji několik běžných, často užívaných transformací x =
= g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = k(u, v, w) trojného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x = u + a,
y = v + b,
z = w + c,
(3.11)
3.2 Transformace trojného integrálu 139
kde a, b, c jsou konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v, w) =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= 1.
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a > 0, b > 0, c > 0 změna měřítek na souřadnicových
osách) je dána rovnicemi
x = au,
y = bv,
z = cw,
(3.12)
kde a, b, c jsou nenulové konstanty. Jakobián tohoto zobrazení je roven
J(u, v, w) =
gu gv gw
hu hv hw
ku kv kw
=
a 0 0
0 b 0
0 0 c
= abc.
Transformace do válcových souřadnic
Transformace do válcových (cylindrických) souřadnic , , z je dána vztahy
x = cos ,
y = sin ,
z = z.
(3.13)
Jakobián zobrazení (3.13) je roven
J(, , z) =
g g gz
h h hz
k k kz
=
cos - sin 0
sin cos 0
0 0 1
= cos2
+ sin2
= .
Všimněme si nyní geometrického významu cylindrických souřadnic bodu T
majícího kartézské souřadnice [x, y, z]. Označme T
kolmý průmět bodu T do
souřadnicové roviny xy, tedy T
má souřadnice [x, y, 0]. Bod T
vyjádříme
v polárních souřadnicích [, ] v rovině xy. Polohu bodu T v prostoru lze
nyní určit trojicí čísel [, , z], což jsou cylindrické souřadnice bodu T -- viz
obr. 3.11. Podotkněme ještě, že vzdálenost je nezáporná, úhel obvykle volíme
140 Transformace integrálů
x
y
z
O
T
T
z
x
y
z
Obr. 3.11: Cylindrické souřadnice
z vhodného intervalu délky 2 a souřadnice z se nemění. Všimněme si, že při
konstantním 0 > 0 je rovnicí = 0 určena ,,nekonečná" rotační válcová
plocha s osou v souřadnicové ose z, zatímco při 0 R je rovnicí = 0 v R3
dána polorovina, jejíž hranicí je souřadnicová osa z. Transformace do válcových
je výhodné užívat zejména v případech, kdy integrační obor je rotační těleso
s osou rotace v ose z, nebo jeho vhodná část. V případě, že integrand je těleso
mající osu rotace v ose x nebo v ose y, je možné použít patřičně modifikované
transformace do válcových souřadnic.
Transformace do sférických souřadnic
Transformace do sférických (kulových) souřadnic , , je dána vztahy
x = cos sin ,
y = sin sin ,
z = cos .
(3.14)
Jakobián zobrazení (3.14) je roven
J(, , ) =
g g g
h h h
k k k
=
cos sin - sin sin cos cos
sin sin cos sin sin cos
cos 0 - sin
=
= -2
cos2
sin3
- 2
sin2
cos2
sin - 2
cos2
cos2
sin -
2
sin2
sin3
= -2
(sin2
+ cos2
) cos2
sin +
- 2
(sin2
+ cos2
) sin3
= -2
sin (cos2
+ sin2
) = -2
sin .
3.2 Transformace trojného integrálu 141
x
y
z
O
T
T
x
y
z
Obr. 3.12: Sférické souřadnice
Věnujme nyní pozornost geometrickému významu sférických souřadnic bodu
T majícího kartézské souřadnice [x, y, z]. Označme T
kolmý průmět bodu T
do souřadnicové roviny xy, který má souřadnice [x, y, 0]. Označme vzdálenost
bodu T od počátku O kartézské souřadnicové soustavy. Dále označme úhel,
který svírá polopřímka
--
OT
s kladnou částí osy x (analogicky jako v polárních
souřadnicích). Konečně označme úhel, který svírá polopřímka
OT
s kladnou
částí osy z. Polohu bodu T v prostoru pak určíme trojicí čísel [, , ], což
jsou sférické souřadnice bodu T -- viz obr. 3.12. Protože OT
T je pravoúhlý
s pravým úhlem u vrcholu T
, platí OT
= sin a z = cos . Přitom
vzdálenost je nezáporná, úhel volíme obvykle z intervalu délky 2 a úhel
je obvykle z intervalu 0, . Všimněme si, že při konstantním 0 > 0 je
rovnicí = 0 určena kulová plocha se středem v počátku o poloměru 0, při
konstantním 0 (0, /2) (/2, ) je rovnicí = 0 v R3
dána část rotační
kuželové plochy s vrcholem v počátku a osou v souřadnicové ose z, zatímco
při konstantním 0 R rovnice = 0 v R3
popisuje polorovinu, jejíž hranicí
je souřadnicová osa z. Transformace do sférických souřadnic se používá hlavně
v případě, kdy integrační obor je koule nebo její vhodná část.
Transformace do zobecněných válcových souřadnic
Transformace do zobecněných válcových (cylindrických) souřadnic , , z je
dána vztahy
x = a cos ,
y = b sin ,
z = z,
(3.15)
142 Transformace integrálů
kde a = 0, b = 0 jsou konstanty. Jakobián zobrazení (3.15) je roven
J(, , z) =
g g gz
h h hz
k k kz
=
a cos -a sin 0
b sin b cos 0
0 0 1
=
= ab(cos2
+ sin2
) = ab.
Používá se nejčastěji, je-li integrační obor eliptický válec nebo jeho vhodná část.
Transformace do zobecněných sférických souřadnic
Transformace do zobecněných sférických (kulových) souřadnic , , je dána
vztahy
x = a cos sin ,
y = b sin sin ,
z = c cos ,
(3.16)
kde a = 0, b = 0, c = 0 jsou konstanty. Jakobián zobrazení (3.16) je roven
J(, , ) =
g g g
h h h
k k k
=
a cos sin -a sin sin a cos cos
b sin sin b cos sin b sin cos
c cos 0 -c sin
=
= abc
cos sin - sin sin cos cos
sin sin cos sin sin cos
cos 0 - sin
= -abc2
sin .
Používá se nejčastěji, je-li integrační obor elipsoid nebo jeho vhodná část.
Příklad 3.21. Vypočtěte
A
xz x2 + y2 dxdydz, kde množina A je množina
omezená plochami x2
+ y2
= 1, x2
+ y2
= 4, z = 0, z = 3 a ležící v průniku
poloprostorů x 0, y 0.
Řešení. Rovnice x2
+ y2
= 1 a x2
+ y2
= 4 zadávají rotační válcové plochy
s osou v souřadnicové ose z o poloměrech 1 a 2. Ty určují dutý válec, z něhož
je rovinami z = 0 a z = 3 odříznuta část o výšce 3. Z ní pak nerovnosti
x 0 a y 0 určí jednu čtvrtinu -- viz obr. 3.13 a). Průmětem tohoto tělesa
do roviny xy je množina M, představující jednu čtvrtinu mezikruží ve druhém
kvadrantu -- viz obr. 3.13 b).
3.2 Transformace trojného integrálu 143
-2
-1
0
0 1 2
0
1
2
3
x
y
z
a)
y
1 2
-2
-1
O
x
M
b)
Obr. 3.13
Vyjádření množiny M v polárních souřadnicích je snadné -- zřejmě /2
a 1 2. Obrazem množiny A v transformaci do cylindrických
souřadnic je tedy množina
B :
2
,
1 2,
0 z 3,
což je trojrozměrný interval. Použijeme větu 3.19. Za množinu v ní lze zvolit
trojrozměrný otevřený interval B, který bude mít jen nepatrně větší rozměry
než B. Na něm bude zobrazení F dané rovnicemi (3.13) regulární a prosté.
Vzniklý trojný integrál vypočteme pomocí Fubiniovy věty. Výpočet proběhne
takto:
I =
A
xz x2 + y2 dxdydz =
=
B
cos z 2 cos2 + 2 sin2 dddz =
=
B
3
z cos dddz =
/2
cos d
2
1
3
d
3
0
z dz =
= sin
/2
1
4
4
2
1
1
2
z2
3
0
= (0 - 1)
16 - 1
4
9 - 0
2
= -
135
8
.
144 Transformace integrálů
Příklad 3.22. Vypočtěte
A
4xyz dxdydz, kde množina A je určena podmínkami
z x2
/2 + y2
/2, x2
+ y2
+ z2
3, x 0 a y 0.
Řešení. Rovnice z = x2
/2+y2
/2 určuje rotační paraboloid s osou v souřadnicové
ose z a vrcholem v počátku. Rovnice x2
+ y2
+ z2
= 3 určuje kulovou plochu se
středem v počátku o poloměru
3. Půjde tedy o rotační těleso, které je zdola
omezené paraboloidem a shora kulovou plochou. Nerovnosti x 0 a y 0 pak
říkají, že z tohoto tělesa máme uvažovat jen čtvrtinu -- viz obr. 3.14 a).
Abychom množinu A popsali v cylindrických souřadnicích, uvažujme její řez
souřadnicovou rovinou x = 0. Výsledek je znázorněn na obr. 3.14 b). Určíme
souřadnice průsečíku paraboly z = y2
/2 a kružnice y2
+ z2
= 3. Dosazením
první rovnice do druhé obdržíme kvadratickou rovnici z2
+ 2z - 3 = 0, která
má kořeny 1 a -3. Pro nás má smysl pouze kladný kořen. K němu pak určíme,
že y =
2. Průsečíky tedy mají souřadnice
2, 1 . Z toho je vidět, že
0
0
2 xy
z
0
1
3
x2
+ y2
+ z2
= 3
z = 1
2
x2
+ 1
2
y2
a)
y
z
2-
2
2O
z = 1
2 y2
3y2 + z2 = 3
1
b)
y
x
O
2
2 x2 + y2 = 2
M
c)
Obr. 3.14
3.2 Transformace trojného integrálu 145
kolmým průmětem M množiny A do roviny xy je čtvrtkruh se středem v počátku
a poloměrem
2, ležící v prvním kvadrantu -- viz obr. 3.14 c).
Vyjádření množiny M v polárních souřadnicích je snadné: 0 /2
a 0
2. Dále dosazením z rovnic (3.13) do rovnice paraboloidu dosta-
neme
z =
1
2
x2
+
1
2
y2
=
1
2
(2
cos2
+ 2
sin2
) =
1
2
2
a do rovnice kulové plochy (její horní poloviny) dostaneme
z = 3 - x2 - y2 = 3 - 2 cos2 - 2 sin2 = 3 - 2.
Množina A se tedy při přechodu k cylindrickým souřadnicím transformuje na
množinu B, jejíž popis je:
B :
0
2
,
0
2,
1
2
2
z 3 - 2.
Větu 3.19 tentokrát není možné použít. Všechny body z B tvaru [0, , z],
kde 0 /2, se transformací F danou rovnicemi (3.13) zobrazí na body
[0, 0, z], tj. F není prosté ani na množině B. Jsou však splněny předpoklady
věty 3.20, když za množinu B1 zvolíme vnitřek množiny B. Na vzniklý integrál
použijeme Fubiniovu větu. Vzhledem k popisu množiny B je přitom nutné,
aby integrace vzhledem k proměnné z proběhla dříve než integrace vzhledem
k proměnné . Pořadí integrace vzhledem k proměnné je libovolné. Při výpočtu
použijeme mimo jiné vzorec 2 sin cos = sin 2. Vyjde nám:
I =
A
4xyz dxdydz =
B
4 cos sin z dddz =
=
B
23
z sin 2 dddz =
=
/2
0
2
0
3-2
2/2
23
z sin 2 dz d d =
=
/2
0
2
0
3
sin 2 z2
3-2
2/2
d d =
=
/2
0
2
0
3
sin 2 3 - 2
-
1
4
4
d d =
146 Transformace integrálů
=
/2
0
2
0
sin 2 33
- 5
-
1
4
7
d d =
=
/2
0
sin 2
3
4
4
-
1
6
6
-
1
32
8
2
0
d =
=
/2
0
sin 2 3 -
4
3
-
1
2
d =
7
6
/2
0
sin 2 d =
= -
7
12
cos 2
/2
0
= -
7
12
(-1 - 1) =
7
6
.
Příklad 3.23. Vypočtěte
A
dxdydz
x2 + z2 + 1
, kde množina A je omezená plochami
y = 2 -
x2 + z2 a y = 1.
Řešení. Rovnice první plochy je rovnicí části rotační kuželové plochy v poloprostoru
y 2 s osou rotace v souřadnicové ose y a vrcholem v bodě [0, 2, 0].
Toto je vidět ze skutečnosti, že řezy plochy rovinami y = c, kde c < 2, jsou
kružnice, zatímco průměty plochy do rovin x = 0, resp. z = 0, mají rovnice
y = 2 - |z|, resp. y = 2 - |x|. Množina A je tedy kuželem na obr. 3.15 a).
Můžeme ji snadno popsat v cylindrických souřadnicích, jen musíme oproti rovnicím
(3.13) zaměnit role souřadnicových os, což nemá vliv na vyjádření jakobiánu
v polárních souřadnicích příslušné souřadnicové roviny. Zvolíme
x = cos ,
z = sin ,
y = y,
|J| = .
Průmětem M množiny A do souřadnicové roviny xz je kruh. Jeho rovnici dostaneme
dosazením vztahu y = 1 do rovnice kuželové plochy. Vyjde x2
+ z2
= 1,
takže poloměr kruhu je jedna (obr. 3.15 b)). Bude tedy 0 2 a 0 1.
Dále dosadíme vyjádření x a z pomocí a do rovnice poloviny kuželové plochy.
Vyjde
y = 2 - x2 + z2 = 2 - 2 cos2 + 2 sin2 = 2 - .
Množina A se tedy transformuje na množinu B, jejíž popis je:
B :
0 2,
0 1,
1 y 2 - .
3.2 Transformace trojného integrálu 147
0
1
-1
0 1 x
y
2
z 0
1
-1
y = 2 -
x2 + z2
a)
x
z
O
x2 + z2 = 1
1
M
b)
Obr. 3.15
Použijeme větu 3.20. Za množinu B1 se v ní zvolí vnitřek množiny B. Výsledný
integrál upravíme pomocí Fubiniovy věty. Vzhledem k popisu množiny B
musí integrace podle y předcházet integraci podle . Integrace podle může
proběhnout kdykoli. Dostaneme:
I =
A
dxdydz
x2 + z2 + 1
=
B
dddy
2 + 1
=
=
1
0
2-
1
2
0
d
2 + 1
dy d =
1
0
2-
1
2 + 1
2
0
dy d =
=
1
0
2
2 + 1
y
2-
1
d = 2
1
0
- 2
2 + 1
d =
= 2
1
0
-2
- 1 + + 1
2 + 1
d = 2
1
0
-1 +
1
2
2
2 + 1
+
1
2 + 1
d =
= 2 - +
1
2
ln(2
+ 1) + arctg
1
0
= 2 -1 +
1
2
ln 2 +
4
.
Příklad 3.24. Vypočtěte
A
(x + y + z) dxdydz, kde množina A je určena
nerovnostmi x2
+ y2
+ z2
4, y 0, z 0.
Řešení. Rovnice x2
+y2
+z2
= 4 je rovnicí kulové plochy se středem v počátku O
souřadnicového systému a poloměrem 2. První podmínka tedy určuje kouli. Další
148 Transformace integrálů
-2
0
20
2
0
2
x
y
z
a)
y
z
O 2
2
b)
y
x
O 2
-2
2
M
c)
Obr. 3.16
dvě podmínky určují poloprostory, vymezené rovinami xz a xy. Celkově dostáváme,
že množina A je čtvrtina koule, která je znázorněná na obr. 3.16 a). Pro
výpočet integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic.
Libovolná rovina, která prochází osou z a svírá s kladnou částí osy x úhel
z intervalu (0, ), protne množinu A ve čtvrtkruhu -- viz obr. 3.16 b), kde je
znázorněn řez rovinou yz. Z toho vidíme, že 0 /2.
Dále průmětem M množiny A do roviny xy je půlkruh z obr. 3.16 c). To
znamená, že 0 . Konečně je zřejmě 0 2. Obrazem množiny A
v transformaci do sférických souřadnic tudíž bude množina
B :
0 2,
0 ,
0
2
,
což je trojrozměrný interval. Zobrazení dané rovnicemi (3.14) není na této
množině prosté. Např. (0, , ) = (0, 0, 0) pro libovolná a , tj. celá jedna
stěna kvádru B se zobrazí na počátek O. Proto použijeme větu 3.20. Za množinu
B1 z této věty lze zvolit vnitřek intervalu B. Transformovaný integrál rozdělíme
na dva a na každý z nich pak použijeme Fubiniovu větu. S použitím
vztahů (3.14) a |J| = 2
sin pro sférické souřadnice a jejich jakobián dosta-
neme:
I =
A
(x + y + z) dxdydz =
3.2 Transformace trojného integrálu 149
=
B
( cos sin + sin sin + cos )2
sin ddd =
=
B
3
(cos + sin ) sin2
ddd +
B
3
cos sin ddd =
=
2
0
3
d
0
(cos + sin ) d
/2
0
1
2
(1 - cos 2) d +
+
2
0
3
d
0
d
/2
0
1
2
sin 2 d =
=
4
4
2
0
sin - cos
0
1
2
sin
2
2
/2
0
+
4
4
2
0
0
×
×
1
2
cos
2
2
/2
0
= 4 2
1
2
2
+ 4
1
2
1 = 4.
Příklad 3.25. Vypočtěte
A
x2 + y2 + z2 dxdydz, kde množina A je určená
nerovnostmi z x2 + y2, 1 x2
+ y2
+ z2
4.
Řešení. Rovnice z = x2 + y2 určuje rotační kuželovou plochu v poloprostoru
z 0 s osou v souřadnicové ose z a vrcholem v počátku. První nerovnost
tedy zadává množinu bodů ležících na a nad horní polovinou zmíněné rotační
kuželové plochy. Dále rovnice x2
+y2
+z2
= r2
je pro každé r > 0 rovnicí kulové
plochy se středem v počátku O a poloměrem r. Podmínka 1 x2
+y2
+z2
4
tudíž říká, že množina A je rovněž omezena dvěma soustřednými kulovými
plochami o poloměrech 1 a 2. Výsledek je znázorněn na obr. 3.17 a). Pro výpočet
integrálu použijeme transformaci do sférických souřadnic.
Protože zadané těleso je rotační, bude řez libovolnou rovinou procházející
rotační souřadnicovou osou z stejný. Na obr. 3.17 b) je znázorněn takový řez
rovinou yz. Z něho určíme rozmezí pro úhel . Protože přímka y = z je osou
prvního kvadrantu, svírá s osou z úhel 45
, což znamená, že 0 /4.
Průmětem M množiny A do roviny xy je zřejmě kruh se středem v počátku
O, jehož hraniční kružnice je průmětem kružnice, kterou dostaneme jako
průnik kuželové plochy a větší kulové plochy -- srovnejte obr. 3.17 a). Vyloučením
proměnné z z rovnic z2
= x2
+ y2
a x2
+ y2
+ z2
= 4 dostaneme, že
x2
+ y2
= 2, tj. poloměr kruhu M je
2 -- viz obr. 3.17 c). Tento údaj však
není důležitý, určili jsme jej jen pro úplnost; podstatné je, že pro úhel platí
0 2.
150 Transformace integrálů
x2
+ y2
+ z2
= 4
x2
+ y2
+ z2
= 1
z2
= x2
+ y2
a)
y
z
1 2
z = yz = -y
b)
y
x
O
2
M
c)
Obr. 3.17
Konečně pro sférickou souřadnici zřejmě platí 1 2. Obrazem
množiny A při transformaci do sférických souřadnic tedy je množina
B :
1 2,
0 2,
0
4
,
což je trojrozměrný interval. Zobrazení F dané rovnicemi (3.14) není na B
prosté. Platí totiž např. F(, 0, ) = F(, 2, ) pro libovolná 1 2
a 0 /4 nebo F(, , 0) = F(, 0, 0) pro libovolná 1 2 a 0
2. Proto použijeme větu 3.20. Za množinu B1 z této věty lze zvolit vnitřek
3.2 Transformace trojného integrálu 151
intervalu B. Na transformovaný integrál použijeme Fubiniovu větu. S použitím
vztahů (3.14) pro sférické souřadnice a jejich jakobián a rovnosti x2
+y2
+z2
= 2
dostaneme:
I =
A
x2 + y2 + z2 dxdydz =
B
2
sin ddd =
=
2
1
3
d
2
0
d
/4
0
sin d =
4
4
2
1
2
0
- cos
/4
0
=
=
15
4
2 -
2
2
+ 1 =
15 2 -
2
4
.
Příklad 3.26. Vypočtěte
A
yz dxdydz, kde množina A je určena nerov-
nostmi
x2
9
+
y2
4
1 a 0 z -y.
Řešení. Rovnice x2
9
+ y2
4
= 1 určuje eliptický válec s osou v souřadnicové ose z.
Dále z = 0 a z = -y jsou rovnice dvou rovin, které ze zmíněného válce
vytnou ,,klín" znázorněný na obr. 3.18 a). Kolmým průmětem množiny A do
roviny xy je polovina elipsy znázorněná na obr. 3.18 b). Použijeme transformaci
do zobecněných cylindrických souřadnic. V (3.15) zvolíme a = 3, b = 2:
x = 3 cos ,
y = 2 sin ,
z = z,
|J| = 6.
-3
0
30-2
0
2
x
y
z
a)
y
x
3
-3
O-2
M
b)
Obr. 3.18
152 Transformace integrálů
Změna měřítek na souřadnicových osách x a y způsobí, že polovina elipsy přejde
v polovinu jednotkového kruhu, který musíme vyjádřit v polárních souřadnicích.
Pro ně bude tudíž platit 2 a 0 1. Dosazením transformačních
rovnic do omezení pro z dostaneme 0 z -2 sin . Množina A se tedy
transformuje na množinu
B :
2,
0 1,
0 z -2 sin .
Použijeme větu 3.20 (můžete se přesvědčit, že transformace není na B prostá).
Vzniklý integrál vypočítáme pomocí Fubiniovy věty. Množina B je elementární
vzhledem k . Nejprve tedy musíme integrovat podle proměnné z (v mezích
pro tuto proměnnou figuruje i ), další pořadí je libovolné. Dostaneme:
I =
A
yz dxdydz =
B
2 sin z 6 dddz =
=
B
122
z sin dddz =
=
2
1
0
-2 sin
0
122
z sin dz d d =
=
2
1
0
62
sin z2 -2 sin
0
d d =
2
1
0
244
sin3
d d =
=
2
24
5
sin3
5 1
0
d =
24
5
2
(1 - cos2
) sin d =
=
cos = t
- sin d = dt
sin d = -dt
; -1, 2 ; 1
= -
24
5
1
-1
(1 - t2
) dt = -
24
5
t -
t3
3
1
-1
= -
32
5
.
Příklad 3.27. Vypočtěte
A
dxdydz, kde A:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
1, a, b, c > 0.
Řešení. Integračním oborem A je elipsoid z obrázku 3.19 a). Vzhledem k definicím
měřitelné množiny a trojného integrálu přes měřitelnou množinu bude
3.2 Transformace trojného integrálu 153
-a
0
a0
b
-b
0
c
-c x
y
z
a)
x
y
-a a
-b
b
O
b)
Obr. 3.19
výsledkem vzorec pro míru elipsoidu s poloosami a, b, c. Použijeme zobecněné
sférické souřadnice. Zvolíme
x = a cos sin ,
y = b sin sin ,
z = c cos ,
|J| = abc2
sin .
Změna měřítek na souřadnicových osách způsobí, že elipsoid přejde v jednotkovou
kouli. Tu musíme vyjádřit ve sférických souřadnicích. Množina A se přitom
transformuje v množinu
B :
0 2,
0 1,
0 .
To je trojrozměrný interval, takže na integrál vzniklý po použití věty 3.20 můžeme
snadno aplikovat Fubiniovu větu. Dostaneme:
A
dxdydz =
B
abc2
sin ddd =
= abc
2
0
d
1
0
2
d
0
sin d =
= abc
2
0
3
3
1
0
- cos
0
= abc 2
1
3
2 =
4
3
abc.
154 Transformace integrálů
3.3. Transformace n-rozměrného integrálu
Pokud jde o transformaci n-rozměrného integrálu, je situace naprosto analogická
jako u transformace dvojného či trojného integrálu. Uvedeme proto přímo definice
spojitě diferencovatelného zobrazení, jakobiánu a regulárního zobrazení.
Definice 3.28. Předpokládejme, že B Rn
a nechť gj , j = 1, 2, . . . , n,
jsou funkce definované na množině B. Buď F : B Rn
zobrazení, které
přiřazuje libovolnému bodu [u1, u2, . . . , un] B bod F(u1, u2, . . . , un) =
= [g1(u1, u2, . . . , un), g2(u1, u2, . . . , un), . . . , gn(u1, u2, . . . , un)]. Řekneme,
že zobrazení F je spojitě diferencovatelné v B, jestliže existuje otevřená množina
B taková, že funkce gj (j = 1, 2 . . . , n) lze rozšířit na takovým
způsobem, aby měly v spojité parciální derivace prvního řádu podle všech
svých proměnných.
Je-li F : B Rn
spojitě diferencovatelné zobrazení v B, determinant
J =
g1|u1 g1|u2 . . . g1|un
g2|u1 g2|u2 . . . g2|un
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn|u1 gn|u2 . . . gn|un
,
kde gi|uj =
uj
gi, se při označení použitém v definici 3.28 nazývá jakobián
zobrazení F. Jakobián J : B R je funkcí proměnných u1, u2, . . . , un.
Definice 3.29. Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B Rn
na otevřené
množině B se nazývá regulární, je-li jeho jakobián J různý od nuly v každém
bodě množiny B.
Věty o transformaci n-rozměrného integrálu lze zformulovat takto:
Věta 3.30. Nechť B Rn
je uzavřená měřitelná množina a Rn
je otevřená
množina, B . Nechť F : Rn
je prosté regulární zobrazení
s jakobiánem J takové, že F(u1, u2, . . . , un) = [g1(u), g2(u), . . . , gn(u)] pro
každé u = [u1, u2, . . . , un] B. Označme A = F(B) a předpokládejme,že
funkce f : A R je spojitá.
Pak platí vztah
A
f (x) dx1 dx2 dxn =
=
B
f (g1(u), g2(u), , gn(u))|J(u)| du1 du2 . . . dun.
(3.17)
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 155
Věta 3.31. Nechť B1 B Rn
, kde B1 je otevřená množina, B je měřitelná
množina a platí mn(B B1) = 0.
Buď F spojitě diferencovatelné zobrazení B do Rn
, které je regulární a prosté
v B1. Označme A = F(B), A1 = F(B1). Předpokládejme, že množina A je
měřitelná a platí mn(A A1) = 0.
Buď funkce f ohraničená na množině A a spojitá na množině A1. Nechť
funkce, která každému u B přiřazuje hodnotu f (g1(u), g2(u), . . . , gn(u))|J(u)|,
je ohraničená.
Pak platí vztah (3.17), tj.
A
f (x) dx1 dx2 dxn =
=
B
f (g1(u), g2(u), . . . , gn(u))|J(u)| du1 du2 dun.
3.3.1. Některé běžné typy transformací n-rozměrného integrálu
Uveďme, podobně jako u dvojného a trojného integrálu, některé běžně užívané
transformace x1 = g1(u1, u2, . . . , un), x2 = g2(u1, u2, . . . , un), . . . , xn =
= gn(u1, u2, . . . , un) n-rozměrného integrálu.
Posunutí
Posunutí (translace) je dáno rovnicemi
x1 = u1 + a1, x2 = u2 + a2, . . . , xn = un + an, (3.18)
kde a1, a2, . . . , an jsou konstanty. Jakobián této transformace je J = 1.
Dilatace
Dilatace (ve speciálním případě a1 > 0, a2 > 0, . . . , an > 0 změna měřítek na
souřadnicových osách) je dána rovnicemi
x1 = a1u1, x2 = a2u2, . . . , xn = anun (3.19)
kde a1, a2, . . . , an jsou nenulové konstanty. Pro jakobián tohoto zobrazení platí
J(u1, u2, . . . , un) = a1a2 an.
156 Transformace integrálů
Transformace do sférických souřadnic
Transformace do sférických souřadnic , , 1, 2, . . . , n-2 (používá se též název
hypersférické souřadnice), kde n 2 (pro n = 2 jde o polární souřadnice),
je dána vztahy
x1 = cos sin 1 sin 2 sin n-4 sin n-3 sin n-2,
x2 = sin sin 1 sin 2 sin n-4 sin n-3 sin n-2,
x3 = cos 1 sin 2 sin n-4 sin n-3 sin n-2,
x4 = cos 2 sin n-4 sin n-3 sin n-2,
...
xn-2 = cos n-4 sin n-3 sin n-2,
xn-1 = cos n-3 sin n-2,
xn = cos n-2.
(3.20)
Označme Jn = Jn(, , 1, 2, . . . , n-2) jakobián transformace (3.20). Pak,
značí-li gn
1 , gn
2 , . . . , gn
n pravé strany ve vztazích (3.20) (horní index n znamená,
že jde o transformaci v Rn
), máme
Jn =
gn
1| gn
1| gn
1|1
. . . gn
1|n-3
gn
1|n-2
gn
2| gn
2| gn
2|1
. . . gn
2|n-3
gn
2|n-2
...
...
...
...
...
...
gn
n-1| gn
n-1| gn
n-1|1
. . . gn
n-1|n-3
gn
n-1|n-2
gn
n| gn
n| gn
n|1
. . . gn
n|n-3
gn
n|n-2
. (3.21)
Platí gn
k = gn-1
k sin n-2, k = 1, . . . , n - 1. Označme ještě hn
1, hn
2, . . . , hn
n
pravé strany ve vztazích (3.20) bez proměnné , tj. gn
k = hn
k, k = 1, . . . , n.
Vypočteme-li všechny parciální derivace vystupující v determinantu (3.21), vidíme,
že z druhého až (n - 1)-ního sloupce lze vytknout sin n-2 a z n-tého
sloupce lze vytknout . Dále vynásobíme první sloupec determinantu Jn funkcí
sin n-2 a přičteme k němu poslední sloupec vynásobený cos n-2. Postupně
dostaneme
Jn =
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
gn-1
1| sin n-2 gn-1
1| sin n-2 gn-1
1|1
sin n-2 . . . gn-1
1|n-3
sin n-2 gn-1
1 cos n-2
gn-1
2| sin n-2 gn-1
2| sin n-2 gn-1
2|1
sin n-2 . . . gn-1
2|n-3
sin n-2 gn-1
2 cos n-2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
gn-1
n-1| sin n-2 gn-1
n-1| sin n-2 gn-1
n-1|1
sin n-2 . . . gn-1
n-1|n-3
sin n-2 gn-1
n-1 cos n-2
cos n-2 0 0 . . . 0 - sin n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 157
= sinn-2
n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
hn-1
1 sin n-2 gn-1
1| gn-1
1|1
. . . gn-1
1|n-3
hn-1
1 cos n-2
hn-1
2 sin n-2 gn-1
2| gn-1
2|1
. . . gn-1
2|n-3
hn-1
2 cos n-2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
hn-1
n-1 sin n-2 gn-1
n-1| gn-1
n-1|1
. . . gn-1
n-1|n-3
hn-1
n-1 cos n-2
cos n-2 0 0 . . . 0 - sin n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
= sinn-3
n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
hn-1
1 (sin2 n-2 + cos2 n-2) gn-1
1| gn-1
1|1
. . . gn-1
1|n-3
hn-1
1 cos n-2
hn-1
2 (sin2 n-2 + cos2 n-2) gn-1
2| gn-1
2|1
. . . gn-1
2|n-3
hn-1
2 cos n-2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
hn-1
n-1(sin2 n-2 + cos2 n-2) gn-1
n-1| gn-1
n-1|1
. . . gn-1
n-1|n-3
hn-1
n-1 cos n-2
0 0 0 . . . 0 - sin n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
=
= sinn-3
n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
gn-1
1| gn-1
1| gn-1
1|1
. . . gn-1
1|n-3
hn-1
1 cos n-2
gn-1
2| gn-1
2| gn-1
2|1
. . . gn-1
2|n-3
gn-1
2 cos n-2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
gn-1
n-1| gn-1
n-1| hn-1
n-1|1
. . . gn-1
n-1|n-3
hn-1
n-1 cos n-2
0 0 0 . . . 0 - sin n-2
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
= - sinn-2
n-2Jn-1.
Opakovaným užitím tohoto výsledku postupně plyne
Jn = - sinn-2
n-2Jn-1 = 2
sinn-3
n-3 sinn-2
n-2Jn-2 = =
= (-1)n-2
n-2
sin 1 sin2
2 sinn-2
n-2J2.
Protože
J2 =
cos - sin
sin cos
= ,
a (-1)n-2
= (-1)n
, dostáváme
Jn = (-1)n
n-1
sin 1 sin2
2 sinn-2
n-2. (3.22)
Snadno lze ověřit, že
x2
1 + x2
2 + + x2
n = 2
.
Přitom souřadnice je nezáporná, úhel obvykle volíme z intervalu délky
2 a úhly j (j = 1, 2, . . . , n - 2) jsou obvykle z intervalu 0, . Zobrazení
dané vztahy (3.20) zobrazí takovou množinu na celý prostor Rn
a je prosté
a regulární na jejím vnitřku -- viz cvičení 2 k této kapitole. Geometricky lze
vzorce (3.20) interpretovat následujícím způsobem: Hodnota je vzdálenost
bodu x = [x1, x2, . . . , xn] od počátku, tj. =
x2
1 + x2
2 + + x2
n. Pro kolmý
průmět bodu x na souřadnicovou osu xn platí xn = cos n-2, kde n-2 je úhel,
158 Transformace integrálů
který svírá průvodič bodu x, tj. vektor určený počátkem a bodem x, s kladným
směrem osy xn. Označme x[1]
kolmý průmět bodu x do prostoru xn = 0, tj. do
podprostoru Rn
určeného souřadnicemi x1, x2, . . . , xn-1. Pro ,,délku" 1 průvodiče
bodu x[1]
platí 1 = sin n-2. Kolmý průmět bodu x[1]
do souřadnicové
osy xn-1 je tedy xn-1 = 1 cos n-3 = cos n-3 sin n-2, kde n-3 je úhel,
který svírá průvodič bodu x[1]
s kladným směrem souřadnicové osy xn-1. Nyní
bod x[1]
kolmo promítneme do podprostoru proměnných x1, x2, . . . , xn-2 a jeho
průmět označíme x[2]
. Tímto způsobem postupujeme dále, až po konečném počtu
kroků získáme všechny rovnosti v (3.20). Transformace do sférických souřadnic
se u n-rozměrného integrálu používá hlavně v případě, kdy integrační obor je
n-rozměrná koule nebo její vhodná část.
Příklad 3.32. Vypočtěte
V
x2
1 + x2
2 + + x2
n
dx1 dx2 . . . dxn, kde
V = [x1, x2, . . . , xn] Rn
: x2
1 + x2
2 + + x2
n R2
, přičemž R > 0, 0
jsou konstanty a n 2 je dané celé číslo.
Řešení. Předpokládejme, že n 3 a použijme transformaci do sférických souřadnic
(3.20). Množina V touto transformací přejde v množinu V
, která je
vymezena následujícími nerovnostmi:
V
:
0 R,
0 2,
0 1 ,
...
0 n-2 .
Pro absolutní hodnotu jakobiánu zvolené transformace platí
|J| = n-1
sin 1 sin2
2 sinn-2
n-2.
Aplikací věty 3.31 a Fubiniovy věty dostáváme
V
x2
1 + x2
2 + + x2
n
dx1 dx2 . . . dxn =
=
V
2+n-1
sin 1 sin2
2 sinn-2
n-2 d d d1 dn-2 =
=
R
0
2
0
0
0
2+n-1
sin 1 sin2
2 sinn-2
n-2 ×
3.3 Transformace n-rozměrného integrálu 159
× d1 dn-2 d d =
=
R
0
2+n-1
d
2
0
d
0
sin 1 d1
0
sinn-2
dn-2. (3.23)
Užitím rekurentního vzorce
0
sink
d =
k - 1
k
0
sink-2
d,
který platí (viz pozn. 3.33) pro každé k N, k 2, snadno zjistíme, že
0
sink
d =
k - 1
k
k - 3
k - 2
2
3
0
sin d =
=
(k - 1)!!
k!!
[- cos ]
0 = 2
(k - 1)!!
k!!
pro k liché
a
0
sink
d =
k - 1
k
k - 3
k - 2
1
2
0
d =
(k - 1)!!
k!!
pro k sudé.
Přitom k!! definujeme vztahem k!! = k (k - 2) (k - 4) 3 1, je-li k 3
liché, a vztahem k!! = k (k -2)(k -4) 42, je-li k 2 sudé; dále klademe
0!! = 1, 1!! = 1. Položíme-li n = pro n sudé a n = 2 pro n liché, dostáváme
dosazením do (3.23)
V
x2
1 + x2
2 + + x2
n
dx1 dx2 . . . dxn =
=
2+n
2 + n
R
0
[]2
0 2
1
2
2
2
3
3 1
4 2
2
4 2
5 3
n
(n - 3)!!
(n - 2)!!
=
=
R2+n
2 + n
2 2
¨ n-1
2
˝
¨ n-2
2
˝
2
1
2
2
3
3 1
4 2
4 2
5 3
(n - 4)!!
(n - 3)!!
(n - 3)!!
(n - 2)!!
=
=
R2+n
(2 + n)(n - 2)!!
2
¨ n+1
2
˝
¨ n
2
˝
.
Přitom x značí celou část čísla x. Snadno se ověří, že výsledek platí i pro
n = 2. Podrobněji viz příklad 4.7 v kapitole 4.
160 Transformace integrálů
Poznámka 3.33. Při výpočtu integrálu v předcházejícím příkladu byl užit rekurentní
vzorec pro integrál z k-té mocniny funkce sinus. Tento vzorec se snadno
odvodí metodou per partes. Označme Ik =
0 sink
d, kde k N, k 2. Pak
Ik =
0
sink
d =
u = sink-1
u
= (k - 1) sink-2
cos
v
= sin v = - cos
=
= - sink-1
cos
0
+ (k - 1)
0
sink-2
cos2
d =
= (k - 1)
0
sink-2
(1 - sin2
) d =
= (k - 1)
0
sink-2
d -
0
sink
d = (k - 1)(Ik-2 - Ik).
Odtud dostáváme kIk = (k - 1)Ik-2, takže Ik = k-1
k
Ik-2, což je dokazovaný
rekurentní vzorec. Všimněte si, že stejný vzorec zůstává v platnosti, když funkci
sinus nahradíme funkcí kosinus, nebo když horní mez nahradíme libovolným
z čísel /2, 3/2, 2.
Příklad 3.34. Vypočtěte integrál
V
dxdydzdu,
je-li V = [x, y, z, u] R4
: x2
+ y2
z2
+ u2
1 .
Řešení. S ohledem na oblast integrace použijeme transformace do nových proměnných
, , r, , které jsou s původními proměnnými vázány vztahy
x = cos , z = r cos ,
y = sin , u = r sin .
Jde vlastně o pár polárních souřadnic v rovinách xy a zu. Jakobián této transformace
je
J =
cos - sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 cos -r sin
0 0 sin r cos
= r.
Podmínky vymezující množinu V se v nových souřadnicích vyjádří nerovnostmi
2
r2
1. Napíšeme-li odpovídající množinu V
ve tvaru elementární mno-
3.4 Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu 161
žiny, máme
V
:
0 2,
0 2,
0 r 1,
0 r,
přičemž transformace je na vnitřku množiny V
prostá a regulární. Označme
M = [, r] R2
: 0 r 1, 0 r . Užitím věty 3.31 a Fubiniovy věty
dostáváme
V
dxdydzdu =
V
r d d dr d =
=
2
0
2
0
M
r ddr d d =
2
0
d
2
0
d
M
r ddr =
= 2 2
1
0
r
0
r d dr = 42
1
0
r
2
2
r
0
dr =
= 42
1
0
r3
2
dr = 22 r4
4
1
0
= 22
1
4
=
2
2
.
3.4. Důkaz věty o transformaci n-rozměrného integrálu
Cílem tohoto oddílu je dokázat věty 3.30 a 3.31. Důkazy těchto tvrzení jsou technicky
poměrné náročné a rozsáhlé. Rozčleníme je proto do několika pomocných tvrzení. Hlavní
kroky důkazu budou tyto:
* Najdeme vzorec pro jakobián složeného zobrazení (lemma 3.35).
* Odvodíme některé vlastnosti prostých regulárních zobrazení. Zejména ukážeme, jak
zobrazují vnitřní a hraniční body (lemma 3.39), že obrazem množiny nulové míry je
opět množina nulové míry a že obrazem kompaktní měřitelné množiny je měřitelná
množina (lemma 3.43).
* Ukážeme, že regulární zobrazení je možné lokálně vyjádřit jako složení dvou regulárních
zobrazení s jistými speciálními vlastnostmi (lemma 3.44).
* Dokážeme, že jestliže vzorec (3.17) platí pro mnohorozměrné intervaly, platí pro
libovolné kompaktní měřitelné množiny v prostoru téže dimenze (lemma 3.46).
* Indukcí vzhledem k dimenzi dokážeme (s využitím předchozích dvou bodů a Fubiniovy
věty) platnost vzorce (3.17) pro intervaly libovolné dimenze (lemma 3.49).
* Z předchozích dvou bodů dostaneme důkaz věty 3.30.