197
Kapitola 4
Aplikace vícerozměrných integrálů
Integrální počet funkcí více proměnných má rozsáhlé použití jak v matematice a fyzice, tak i v oborech, které na nich staví. V této kapitole uvedeme některé geometrické a fyzikální aplikace, přičemž se omezíme jen na základní z nich. Vesměs se jedná o výpočet podobných veličin, které se vyskytují u aplikací jednoduchého určitého integrálu, nyní je však budeme umět určit v podstatně obecnější situaci (objem a hmotnost nepravidelných nehomogenních těles apod.).
4.1. Geometrické aplikace
Z geometrických aplikací se zaměříme na výpočet obsahů rovinných množin, obsahů ploch v prostoru a objemů prostorových množin.
4.1.1. Míra (obsah) rovinné množiny
Nechť M je rovinná měřitelná množina. Z definic 1.31 a 1.45, popřípadě z tvrzení a) věty 1.50 vyplývá, že pro míru (obsah) m2(M) této množiny platí
m2(M) =   / / áxáy.                                    (4.1)
M
Podle důsledku 1.41 víme, že omezená množina je měřitelná právě tehdy, když její hranice má míru nula. Tuto vlastnost mají všechny „rovinné obrazce", se kterými se setkáváme v geometrii a v dalších běžných aplikacích.
198
Aplikace vícerozměrných integrálů
Příklad 4.1. Vypočtěte obsah rovinné množiny M omezené křivkami xy = a2,
x2 = ay, y = 2a, x = 0, kde a > 0 je konstanta.
Řešení. Zjistíme nejprve průsečík křivek xy = = a2, x2 = ay.Z první z těchto rovnic vidíme, že obě souřadnice průsečíku musí být různé od nuly. Vypočítáme-li z první rovnice neznámou y a dosadíme do druhé rovnice, obdržíme x2 = a3/x, takže x3 = a3. Odtud plyne, že x = a, a z rovnic křivek snadno určíme y = a. Jediným průsečíkem uvažovaných dvou křivek je tedy bod [a, a]. Množina M je znázorněna na obr. 4.1.
Obr. 4.1 Označíme-li
Mi
OS y S a,
M2:
a ^ y ^ 2a,
OSxS «Jay,             ' 0 ^ x ^ a2/y,
máme M = Mi U M2, m2(Mi n M2) = 0. Užitím tvrzení c) věty 1.50 dostáváme
m2(M) =
dxdy =        dxdy + / / dxdy =
M
Mi
ay
dx
o
dy +
M2 2a r   ľa ly
dx
dy =
= *Ja
9           l a
-y3'2
2             o
+ a2 ľln y li a = - a2 + a2 ln 2
= a
+ hi2
Příklad 4.2. Vypočtěte obsah množiny A omezené kardioidou, mající v polárních souřadnicích rovnici q = a{\ + cos<p), —tt ^ cp ^ tt, a > 0 je konstanta.
Řešení. Množina je znázorněna na obr. 4.2 a). Vzhledem ke způsobu zadání kardioidy je vhodné použít transformaci do polárních souřadnic. Množina A se transformuje na množinu
B
-TT ^ (p ^
It,
0 S Q S «U +cos<p),
4.1 Geometrické aplikace
199
a)
Obr. 4.2
což je elementární množina vzhledem k ose <p (obr. 4.2 b)). Na integrál transformovaný podle věty 3.8 proto můžeme použít Fubiniovu větu 1.55. Dostaneme:
m2(^4) =  / / dxdy =  / / gdgdip =
A                          B
n
a(l+cos(p)
g dg ) dep =
n 1
[*2]
a
jt WO 2    m
0
iiaíl+cosc))   ,           <-i       I        .        _                         2     \   -
d<p = — j   (1 f- 2 cos <p + cos <p)d<p =
TT
TT
a2   í™/,     „              l+cos2<p\ ,
11+2 cos <p H---------------- I d<p =
2     m
a ~4
4
(3+4 cos <p + cos 2<p) d<p =
1                        3itď
3(p + 4 sin <p + - sin 2<p
Příklad 4.3. Vypočtěte obsah vnitřku elipsy A o poloosách a a b, a, b > 0.
Řešení. Abychom si usnadnili výpočet, umístíme střed elipsy do počátku souřadnicové soustavy a osy souměrnosti do souřadnicových os  (na obsah to nemá vliv) — viz
2               2
obr. 4.3. Rovnice elipsy pak bude ^ + fi = = 1. Nyní použijeme transformaci do eliptických souřadnic (3.7), konkrétně
x = ag cos <p, y = bg sin <p,
\J\ = abg.
200
Aplikace vícerozměrných integrálů
Změnou měřítek na osách se elipsa transformuje na jednotkový kruh, který vyjádříme v „obyčejných" polárních souřadnicích. Obrazem množiny A tedy bude množina
0 < <p < 2tt, B:     -
což je obdélník. S použitím věty 3.8 a následně Fubiniovy věty 1.14 nám vyjde: ni2(A) =  / / dxdy =        abgdod(p =  /     abd(p-       gdg =
2n
0                         JO
= ab [(p]
o
1
= ab • 2tt • - = nab.
2
^ JO
Pro a = b = r, kde r > 0, dostáváme jako speciální případ obsah itr2 kruhu o poloměru r.                                                                                              Á
4.1.2. Míra (objem) měřitelné množiny v trojrozměrném prostoru
Nechť A je měřitelná množina v trojrozměrném prostoru. Z definice míry v IR3 a z definice trojného integrálu vyplývá, že pro objem 1113(A) této množiny platí
1113(A) =  ííí dxdy dz.                                  (4.2)
A
Příklad 4.4. Vypočtěte objem tělesa A omezeného plochami 2(x2+y2) — z2 = 0
a x2 + y2 — z2 = —9, leží-li A v poloprostoru z ^ 0.
Řešení. První plochou je rotační kužel s osou z, druhou rotační dvojdílný hyperboloid s osou z. To lze snadno nahlédnout pomocí řezů plochy rovinami x = 0, j = 0 a z = c, kde c G IR je konstanta. Množina A je znázorněna na obr. 4.4 a). Na obr. 4.4 b) je řez této množiny rovinou x = 0. Zadané plochy se protínají v kružnici. Její rovnici dostaneme odečtením rovnic obou kvadrik. Vyjde x2 + y2 = 9. Tedy kolmým průmětem množiny A do roviny x y je kruh K se středem v počátku o poloměru 3 (obr. 4.4 c)).
Použijeme transformaci do cylindrických souřadnic. Nejprve vyjádříme průmět K v polárních souřadnicích, tj.0^<p^27T,0^£^3.Z rovnic ploch určíme, že
4.1 Geometrické aplikace
201
z1 = 2y1
a)
Odtud dosazením za x = gcosy, y = QÚn(p dostaneme, že */2q S z S = V' Q1 + 9. Množina A má v cylindrických souřadnicích tedy popis
OS Q S3, 0S(pS2it,
B
V2qSzS V Q2 + 9.
To je elementárni množina vzhledem k souřadnicové rovině Q<p. Na transformovaný integrál použijeme Fubiniovu větu. Integrace podle proměnné z musí předcházet integraci podle proměnné q, na pořadí integrace podle proměnné cp nezáleží. Dostaneme:
m3(A) =
dxdydz =  / / / q dgdydz =
A                                       B
-3
V^+9
=[{Ľ/xred«)dz}de=io{Ľ+*eM°'dz}de=
202
Aplikace vícerozměrných integrálů
"V?+9
/O    I J~J1q r3
2tiq dz>dg =       j 2tzq [z] ^ +9 >ÚQ =
2tt /   (g^Q2 + 9-Q2V2)dQ = Jo
2tt /   q\Jq2 + 9de -2tt /   £2\/2de = Jo                                Jo
ř?2 + 9 = ř 2^dg) = d/ £>dg> = ^ d/ 0^9, 3^ 18
"18
= TT /    Vřdř -2ttV2
2tt
T
18 9
18tta/2 =
= -^ (54V2 - 27) - 18tta/2 = 18tt(a/2 - l).
▲ množina
Častý je případ, kdy těleso A, jehož objem hledáme, je elementární vzhledem k rovině xy, tj.
A = {[x, y, z]eť: [x, y] g M, f(x, y) ^ z ^ g(x, y)},
kde M c ]R2 je uzavřená měřitelná množina a/ag jsou spojité funkce na M přičemž f(x, y) S g(x, y) pro každé [x, y] g M (srovnejte obr. 2.2). Pak j< možné vzorec (4.2) pro výpočet objemu upravit pomocí Fubiniovy věty na tvai
m3(A) =  / / (g(x, y) - f{x, y)) dxdy,
(4.3)
M
v němž figuruje jen dvojný integrál.
Příklad 4.5. Vypočtěte objem tělesa A určeného nerovnostmi z ^ l-x2az^ ^ y1 + 2, přičemž —l^jc^l,—l^j^l.
Řešení. Plochy, které omezují množinu A zdola resp. shora, jsou parabolické válce, jejichž povrchové přímky jsou rovnoběžné se souřadnicovou osou y resp. x — viz obr. 4.5. Kolmým průmětem množiny A do roviny xy je čtverec M: (— -l,l)x(-l,l).
Použijeme vzorec (4.3), v němž zvolíme f{x,y) = \—x2dLg{x,y) = y2+2. Vzniklý integrál vypočítáme pomocí Fubiniovy věty. Vyjde:
1113(A) =  / / ((/ + 2) - (1 - x1)) dxdy =
M
4.1 Geometrické aplikace
203
Obr. 4.5
M
(x2 + y2 + l)dxdy =
dx =
v:
(x2 + y2 + l)ďy   dx
Ĺ	x2y +	y3 3	+ y	i
2x . 3	3      8jc" -+3.	i -1	z	,0 3"
\{2x2+í)dx =
4.1.3. Míra měřitelné množiny v «-rozměrném prostoru
Stejně jako ve dvojrozměrném a trojrozměrném prostoru plyne z definice míry a z definice integrálu pro míru měřitelné množiny M v Mn vzorec
mn(M) =
dxid^2 • • -dxn.
(4.4)
M
Příklad 4.6. Vypočtěte míru Tn «-rozměrného jehlanu (simplexu)
Mn = {[xux2, ...,xn]: x\ ^ 0, x2 ^ 0, ...,xn ^ 0, x\ +x2-\-------\-xn^h) ,
kde h > 0 je konstanta.
Řešení. Proveďme nejprve dilataci x\  = hu\,x2 = hu2,...,xn = hun. Pro jakobián J této transformace platí J = hn — viz (3.19). Množina Mn přejde po
204
Aplikace vícerozměrných integrálů
zmíněné transformaci v množinu
M* = {[u\, u2, ...,«„]: u\ ^ 0, u2 ^ 0,... ,un ^ 0, u\ + u2 H-------\-un ^ l}.
Množinu M* jakožto elementární množinu můžeme vymezit pomocí nerovností:
0Sun     ^1,
0 ^ «w_i ^ 1 —un,
0 ^ Ww_2 ^  1 -«„ —Un-\,
M*:
0 ^ «2       ^ 1 — «, 0 ^ «i        ^  1 — W,
Dostáváme pak
«3,
W3 — U2.
dxidx2 • • • dxn =     • • •     h du\dii2 ... dun = h an,
Mn                                                    M*
kde
an =  / • • • / du\dii2 • • • dun.
M*
Označíme-li při pevném un € (0, 1)
Mn-\ = {[u\, u2,..., un-\\: u\ ^ 0, u2 ^ 0,..., un-\ ^ 0,
«i + «2 H-------V un-\ S 1 - ««},
vidíme, že
du\du2 • • • dun~\ )dww.
Provedeme-li ve vnitřním integrálu novou dilataci wi = (1 — un)v\,u2 = (1 — — un) v2,..., un-\ = (1 — un) vn-\ s jakobianem Jn-\ = (1 — un)n~x, obdržíme
<Xn=        {\-Unf~XOLn-\dUn=OLn-\   \    (\ ~ Un)R~l dun =
Jo                                                    Jo
1 — Un = t
—dun = dt
(W 1,    W0
o   _              i
I   ŕ x dt = an-\ -i                         n
Protože an = an-\/n, a\ = 1, snadno zjistíme, že an = 1/ra! pro každé n ^ 1. Odtud vyjde Tn=hn/n\.                                                                              k
4.1 Geometrické aplikace
205
Příklad 4.7. Vypočtěte míru Vn «-rozměrné koule Kn = {[x\, X2,..., xn] g W : x\ + x\ H-----+ ^ = R2}, kde R > 0 je její poloměr.
Řešení. Podle vzorce (4.4) máme Vn = J ••• Jdxid*2 • • • dxn. Užitím příkladu
K„
3.32, kde volíme a = 0, dostáváme pro n ^ 2
pn
/v         _ I n+1 I            lni
«!!
kde «!! = «(« — 2) • • • 3 • 1 pro n liché, «!! = «(« — 2) • • • 4 • 2 pro n sudé a |_*J značí celou část čísla x. Výsledek zřejmě platí i pro n = 1.
Pro míru (objem) Vn «-rozměrné jednotkové koule odtud dostáváme vzorce
2kJtk                                                                    2k+1Ttk
V2k =--------   pro  « = 2k,     resp.    VWi =-------------   pro  « = 2k + 1,
(2£)!!   F                           F          +       (2fc + l)!!   F
přičemž & g N, resp. & g No.
Vypočtěme ještě pro zajímavost, jakou část objemu Vn = 2n «-rozměrné krychle o hraně 2, do níž je koule Kn vepsána, představuje objem Vn. Pro n = 2k máme
(4.5)
			Vn Vn	Ti	nk
				2k ■ (2k)\\	22kk\ '
zatímco pro n	= 2k + 1 vychází				
		Vn Vn	= >	Trk	Tíkk\
				lk ■ (2k+ 1)!!	(2k+l)\
Souhrnně pro	všechna n	eN	můžeme psát		
				Vn      /tc\L!J Vn~~=^J	1
(4.6)
(Zvažte, že pro libovolné celé n platí |_— |J = — L^^J' takže Pro exponent mocniny čísla 2 bude v předchozím podílu platit [^^J ~ n = l^^r ~ n\ = |_—^r^J = ~~ |_f J •)
Dodejme, že poslední výraz má nulovou limitu pro n ->  00. To lze ověřit ná-
00               00
sledovně: Uvažujme nekonečné řady J2 cik,  J2 bk, kde obecný člen a# je dán vztáhl        k=\
hem (4.5) a obecný člen £# je dán vztahem (4.6). Platí cik+\/cik = tc/(4(& + 1)) -> 0, bk+\/bk = 7i/{2{2k + 3)) -> 0 pro k ^- 00. Z limitního podílového kritéria pro řady s nezápornými členy (viz [8, str. 17]) plyne, že obě řady jsou konvergentní. Podle nutné podmínky konvergence číselných řad to znamená, že a^ -> 0, bk -> 0 pro & -> 00. Z toho již plyne, že i Vn/Vn -> 0 pro n -> 00.                                                        A
206
Aplikace vícerozměrných integrálů
4.1.4. Míra (obsah) plochy v trojrozměrném prostoru
Další geometrickou aplikací je výpočet obsahu plochy v prostoru. Definice plochy je ovšem v obecném případu poměrně obtížná a stejně tak je tomu s definicí jejího obsahu. Omezíme se proto na speciální případ plochy vytvořené grafem funkce dvou proměnných. Příslušnou teorii, pojmy a vzorce lze nalézt v [26] nebo [27].
Nechť Q c IR2 je omezená oblast (tj. souvislá otevřená množina), jejíž hranice je sjednocením konečně mnoha po částech hladkých křivek. Předpokládejme, že funkce / má spojité a ohraničené první parciální derivace na Q a je spojitá na uzávěru Q. Označme
G = {[x, y, f(x, y)] G R3 : [x, y] G Q)                        (4.7)
její graf. Pak lze dokázat, že pro obsah tohoto grafu platí:
Si(G) = J J ^l+{f>(x,y)]2+{f;(x,y)]2dxdy.           (4.8)
Náznak odvození vzorce (4.8). Nechť v R3 je dána rovina o rovnici z = ax + by + c, kde a, b, c e R jsou konstanty, a nechť [xo, yo] e R2. Položme zo = axo + byo + c. Pro libovolná v absolutní hodnotě malá nenulová čísla h, k uvažujme v rovině xy trojrozměrného prostoru xyz obdélník M s vrcholy [xo, yo, 0], [xo + h, yo, 0], [xo, yo + k, 0], [xo + h,yo + k, 0]. Přímky kolmé k rovině xy procházející těmito vrcholy protnou danou rovinu v bodech A = [xo, yo, zo], B = [xo + h, yo, zo + ah], C = [xo, yo + + k, zo + bk], D = [xo + h, yo + k, zo + ah + bk]. Tyto čtyři body jsou vrcholy rovnoběžníku M ležícího v dané rovině. Označíme-li ~a = AB = (h, 0, ah), ß = AC = = (0, k, bk), můžeme pomocí známého vzorce z lineární algebry vypočítat obsah tohoto rovnoběžníku: S2(M) = [a x ~ß \ = \{-ahk,-bhk,hk)\ = ^l+a2 + b2\hk\ = = Vl + a2 + b2 m2(M). Vezmeme-li nyní speciálně v úvahu tečnou rovinu ke grafu funkce / v bodě [x*,y*, f(x*,y*)], kde [x*, y*, 0] e M, máme a = fx(x*,y*), b = f y (x*, y*), c = f(x\y*) - x*fx(x*,y*) - y*fy(x*,y*). Přijmeme-li předpoklad, že obsah „kousku" G grafu funkce / ležícího nad obdélníkem M je přibližně roven obsahu „kousku" M tečné roviny ležícího nad obdélníkem M, platí přibližně S2(G) = Vl + a2 + b2 m2(M) = Vl + [f^x*, y*)]2 + [/;(**, y*)]2 m2(M).
Příklad 4.8. Vypočtěte obsah grafu G funkce /, která je definovaná na množině Q : x2 + y2 ^ 4, je-li
a) f (x, y) =x2 + y2,                                 b) f (x, y) = xy.
4.1 Geometrické aplikace
207
z  0
x
a) Eliptický paraboloid
b) Hyperbolický paraboloid
Obr. 4.6
Řešení. Na výpočet použijeme vzorec (4.8). Množina Q je kruh se středem v počátku a poloměrem 2, takže na vzniklý integrál v obou případech použijeme transformaci do polárních souřadnic. Protože funkce / má v obou případech spojité parciální derivace v celé rovině IR2, můžeme integrál počítat přes uzavřený kruh Q a ne jen přes otevřený kruh Q (tyto množiny se liší o hraniční kružnici a ta má dvojrozměrnou míru nula). Obrazem Q bude množina
0 ^ <p S 2tt,
B
0SqS2,
což je dvojrozměrný interval, takže na transformovaný integrál můžeme použít Fubiniovu větu.
a) Jde o část eliptického paraboloidu. Platí f'x(x, y) = 2x a f'(x, y) = 2y, takže
S2(G) =        y/l + 4x2 + Ay1 dxdy =
\/\ + Aq1 cos2 (p + Aq1 sin2 (p • q dgd(p =
=    // Q\f\+AQ2áQá(p =    /       á(p-    I    Q\f\+AQ2áQ =
\+Ae2 = t Sq dg = dt q dg = £ dt 0^> i    2^ 17
ŕ11
208
Aplikace vícerozměrných integrálů
ji 4
ř3/2
3/2
17
JI
= -(17VÍ7- 1). 6 v                 ;
b) Jde o část hyperbolického paraboloidu. Platí f'x(x, y) = y a fý(x,y) = x, takže
S2(G) = // ^\+y2+x2dxdy =
Q
\/\ + q2 sin2 <p + g>2 cos2 (p • q dgd(p =
=  / / qV^ + Q2dgd(p =        d(p ■  /   g-y/l + £2d£ =
1 + Q2 = t2
2q dg = 2ř dt q dg = t dt
V5
= 2jt-
/•V5
= Wo"71 ř2dř =
= ^(5V5-l).
Všimněte si, že pro procvičení jsme na zcela obdobný jednoduchý určitý integrál vzhledem k proměnné q použili pokaždé poněkud odlišnou substituci.           Á
4.1.5. Míra (obsah) (n — l)-rozměrné plochy v «-rozměrném prostoru
Vzorec pro (« — \)-rozměrnou míru (obsah) v «-rozměrném prostoru grafu
G = {[xux2, ...,xn-u f(xux2, ...,*„_i)] g M.n: [xux2,. ..,*„_i] g Q) funkce / o n — 1 proměnných je analogický vzorci (4.8):
/„ p              re—1
• • •/ i+^2f?Mi'x2,• • •'Xn-^
1/2
dx\dx2- • -dxn-\.   (4.9)
Přitom předpokládáme, že Q c Mw_1 je omezená oblast, funkce / je spojitá na Q a má spojité a ohraničené parciální derivace na oblasti Q, jejíž hranice je po částech hladká (tj. je sjednocením konečně mnoha grafů diferencovatelných funkcí n — 2 proměnných x7l,..., x/„_2, 1 ^ ji ^ • • • ^ jn-i = n — í, definovaných na kompaktních množinách, přičemž různé grafy mají společné nejvýše
4.1 Geometrické aplikace
209
body svých „okrajů"). Přesný výklad pojmů plocha v W a míra plochy v W viz např. [26] nebo [27].
Příklad 4.9. Vypočtěte obsah Sn-\ povrchu «-rozměrné koule Kn v «-rozměrném prostoru, která má daný poloměr R > 0.
Řešení. Výpočet nejprve provedeme pro « ^ 4. Určíme obsah „horní" poloviny povrchu (hranice) koule Kn. Užitím vzorce (4.9) dostáváme:

kde f{x\,x2, ...,xn-\) = V/?2 - x\ - x\---------x2n_x
1/2
dxid^2 • • -dxw_i,
^re-1  =  {[*1, X2, . . . , Xn-\]
i>n — \ .   „2   ,   „2
Xi   + *o H--------hl„_,   <
■\ ~ A2
n-\
R2}.
>2 __ v2 __ v2
1       x2
Protože f'x.{x\, X2,..., xn-i) = —Xj/vR2 — x
n-\
1 + S f*){XX' *2' • • • ' *w-l} =   P2        Y2      '2
A           Ai          Ai          * * *
x^_\, mame
R'
7 = 1
-1       A2
X
n-1
Dosazením do vzorce z úvodu řešení dostáváme
Sn-l =
7?
K„-i
V/?2 - JC? - x}
áx\áx2 • • -áxn-\.
-1       A2
X
n-\
Použitím transformace do sférických souřadnic
X\ =	Q	20S	(p sin ů\ sin Ů2
X2 =	Q	sin	(p sin ů\ sin Ů2
x3 =	Q		cos ů\ sin Ů2
X4 =	Q		COS Ů2
Xn—3 —	Q		
Xfi—2 —	Q		
Xn—\ —	Q		
•  sin ůn-5 sin ůn-4 sin #w_3,
•  sin ůn-5 sin íV4 sin #w_3,
•  sin#w_5sin#w_4sin#w_3,
•  sin ůn-5 sin íV4 sin #w_3,
cos #w_5 sin #w_4 sin #w_3,
cos#„_4sin#n_3,
cos #w_3
210
Aplikace vícerozměrných integrálů
přejde množina Kn_\ y množinu
OSq < R,
n—l •
0 S 1V3 S it. Pro absolutní hodnotu jakobianu této transformace platí
\J\ = Qn~2 siní^i sin2 ů2 ■■ ■ sinw"3 ůn_3-
Užitím vztahu x2 + x\ -\-----+ x2_x = g2 dostáváme
1
Sn-l = R
1
K
v^3^
n-1
= R
R (    ľ2n
0     UO
Qn 2 sin ů\ sin2 Ů2 • • • sin" 3 ůn-3 x
x dg dep dů\ dí^2 • • • d#w-2 =
Jt             n-2
sin ů\ sin2 #2 • • • sin""3 ůn-3 x
o
2jt
v^3^
x d#i    • • • diV
d<p >dg> =
"Ä      ow~2 = 7? /                      dg I     d<p I   sin #1 d#i
/o    WR2-g2      Jo          Jo
sinw-3íV3d#w_3.
Platí
Ä           n-2
v^^F
dg =
p = 7? sin ř                 „£   DW_2   •   n-2 .
*                               fiRnz sinw L t
dg = R cost dt     =   /    -----------------7?cosřdř =
(WO,  R^l        Jo        Rc0í;t
2 Rn~2 sin""21 dt = Rn~2 ľ sinw"2řdř.
o                                                          Jo
Pomocí rekurentního vzorce Jq únk ů dů = ^p- Jq únk 2 ů dů (viz poznámka
3.33) a jeho analogie JQ    únk ů dů obdobně, obdržíme
_   k-\   c*ß Q\nk-2
Jq    úvŕ 2ůdů, která se dokáže
1                        „_i   „(«-3)!!            1      2      3-1              (ra-4)!!
- Sn-\ = 2jT R        y„  ------------ • 2 • 7T - • 2 - • 7T------ • • • Yn-\------------
2                               n (ra-2)!!            2      3       4-2      r     (ra-3)!!
4.2 Fyzikální aplikace
211
kde Yn = it, Yn = ^/^ Pro n sudé, Yn = 2, Yn = 1 Pro n liché. Tedy
i                                   r>n— 1                „                  „                 i?«— 1
1                                      iv                    I n—3 I           I n — 2 I                iv                    I n —1 I            In
-5n_i =2tt-----------2L—J • jtL—J =-----------2L—J -jt^J,
2                  (w-2)ü                           (« -2)!!
kde L* J značí celou část čísla x. Obsah povrchu celé koule je tedy roven číslu
pn-l
J\                    I H+l I            In
Sw_i =-----------2L—J • jtW.
(«-2)1!
Výsledek je zřejmě správný i pro n = 2 a n = 3. Poznamenejme ještě závěrem, že pro limitu podílu objemu «-rozměrné koule o poloměru R (viz příklad 4.7) a obsahu jejího povrchu platí
lim —— = lim — = 0.
n^oo Sn-\      re^oo n                                                 A
Poznámka 4.10. Pozorný čtenář si jistě všiml, že provedený výpočet nebyl zcela korektní. Integrovaná funkce totiž nebyla na Kn_\ ohraničená. Náš výpočet však lze ospravedlnit, předpokládáme-li, že obsah \S^_X (n — 1)-rozměrných kulových vrchlíků s osou v ose xn, středem v počátku, o středovém úhlu 2ý, kde \[r G (0, tt/2), je spojitou funkcí proměnné ý. Skutečně, podobným postupem jako dříve dostaneme
ls: 1=27t/?w-1 rsinB-2řdř.2L^U¥J
2   n~X                   Jo                                           (n-m
pre—1           í-ip
= —---- /   sin^ídí^LlV^J.
(«-3)!!7o
Vzhledem k tomu, že J0 sinw~21 dt -> Yn (w-2)n Pro ^ ~^ ^12—, odtud snadno zjistíme, že
1                                              1        ,                      t\                     ,       I n I       I n —1 I                /v                    I n —1 I       In
-5n_i =    lim    -S* 1 =-----------k^^JjtL—J =-----------2L—J7TL2J.
2           f^x/2-2   w_1      (n-2)V/n                    (ra-2)!!
Lze ukázat, že vzorec (4.9) platí i v případě, že integrál stojící na jeho pravé straně je nevlastní (viz kapitola 5) a konvergentní (parciální derivace f'x. tedy nemusí být nutně ohraničené na Q). Srovnejte poznámku 5.27.
4.2. Fyzikální aplikace
Z fyzikálních aplikací uvedeme výpočet hmotnosti, souřadnic těžiště, momentu setrvačnosti a elektrického náboje. Odvození uvedených vzorců patří do teoretické fyziky.