\def\TBS#1#2#3{%
\bb{b}(#1,#2):=%
\sum_{%
\begin{array}{c}
i, j, k\geq 0\\
i+j+k=#3
\end{array}
}%
\bb{b}_{i,j, k}\cdot B_{i, j, k}^{#3}(#1, #2, 1-#1-#2)
}
\def\TBSI#1#2#3#4{%
\bb{b}^{#4}(#1,#2):=%
\sum_{%
\begin{array}{c}
i, j, k\geq 0\\
i+j+k=#3
\end{array}
}%
\bb{b}^{#4}_{i,j, k}\cdot B_{i, j, k}^{#3}(#1, #2, 1-#1-#2)
}
\def\CBS#1#2#3#4{
\bb{b}(#1,#2):=%
\sum_{i=0}^{#3}\sum_{j=0}^{#4}%
\bb{b}_{i,j}\cdot B_{i}^{#3}(#1)\cdot B_{j}^{#4}(#2)%
}
\def\CBSI#1#2#3#4#5{
\bb{b}^{#5}(#1,#2):=%
\sum_{i=0}^{#3}\sum_{j=0}^{#4}%
\bb{b}^{#5}_{i,j}\cdot B_{i}^{#3}(#1)\cdot B_{j}^{#4}(#2)%
}
\def\binom#1#2{
\hbox{$\left(\!\!\begin{array}{c}
#1\\
#2
\end{array}
\!\!\right)
$}
}

\def\matdvadva#1#2#3#4{
\hbox{$\left(\!\!\begin{array}{c c}
#1&#2\\
#3&#4
\end{array}
\!\!\right)
$}
}

\def\matjednatri#1#2#3{
\hbox{$\left(\!\!\begin{array}{c c c}
#1&#2&#3
\end{array}
\!\!\right)
$}
}

\def\matdvatri#1#2#3#4#5#6{
\hbox{$\left(\!\!\begin{array}{c c c}
#1&#2&#3\\
#4&#5&#6
\end{array}
\!\!\right)
$}
}


\begin{theorem}
{\bf Integrování Bézierových segmentů} Integrál Bézierova
segmentu je opět Bézierův segment se stupněm o jedničku vyšším.
Můžeme přitom nové Bézierovy body psát jako lineární kombinaci
původních:
\begin{eqnarray*}
\int\bb{b}(t)dt&=&\int\bb{b}_{0}B_{0}^{n}(t)+%
\dots+\bb{b}_{n}B_{n}^{n}(t)dt\\
&=&\bb{b}_{0}^{*}B_{0}^{n+1}(t)+%
\dots+\bb{b}_{n+1}^{*}B_{n+1}^{n+1}(t),\\
\end{eqnarray*}

\noindent
kde $\bb{b}_{0}^{*}$ je integrační konstanta a platí
$$
\bb{b}^{*}_{i}:=\frac{1}{n+1}\cdot %
\sum_{j=0}^{i-1}\bb{b}_{j}+\bb{b}_{0}^{*},\ i=1,\dots, n+1.
$$

Určitý integrál určený celým segmentem je pak těžiště
$$
\int_{0}^{1}\bb{b}(t)dt=\frac{1}{n+1}\left(%
\bb{b}_{0}+\bb{b}_1+\dots+\bb{b}_{n}\right)
$$
\noindent
Bézierových bodů.
\end{theorem}
\begin{proof}
Viz cvičení. \cbd
\end{proof}


\begin{theorem}
{\bf Afinní transformace Bézierových křivkových segmentů }
 Buď $\overline{\bb{p}}~=~\bb{A}\bb{p}+\bb{t}$ afinní zobrazení,
$\bb{b}(t)=\bb{b}_{0}B_{0}^{n}(t)+%
\dots+\bb{b}_{n}B_{n}^{n}(t)$ Bézierův křivkový segment,
$\overline{\bb{b}}(t)$ jeho afinní transformace v zadaném
zobrazení. Pak je
$$
\overline{\bb{b}}(t)=\overline{\bb{b}}_{0}B_{0}^{n}(t)+%
\dots+\overline{\bb{b}}_{n}B_{n}^{n}(t),
$$
\noindent
kde
$$
\overline{\bb{b}}_{i}=\bb{A}\bb{b}_i+\bb{t}
$$
\end{theorem}
\begin{proof}
\rm Dosazením. \cbd
\end{proof}




\section{Splinové a B-splinové funkce}

Funkce, které jsou po částech složené
z polynomů a ve společných bodech jsou dostatečně mnohokrát
diferencovatelné, označujeme jako {\em polynomiální spliny}:

\begin{definition}{\bf Polynomiální splinová funkce}:

Buďte $x_{0}\leq x_{1}\leq \dots\leq x_{k}$, $x_{i}\in\RR{}$.
Funkce $S$ se nazývá splinová funkce stupně $d\in {\bf N}$
resp. řádu $d+1$, jsou-li splněny následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $S$ je polynom stupně $d$ v každém dílčím intervalu
$[x_{i}, x_{i+1}]$, $0\leq i< k$.
\item $S\in C^{(d-1)}[x_{0}, x_{k}]$.
\end{enumerate}

Vektor $\xi:=(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k})$ se nazývá
{\em uzlový vektor } B-spline funkce.

Funkce složené po částech z polynomů, které nesplňují
druhou podmínku, se nazývají také {\em subspline funkce}. Při
použití B-spline metody se Bernsteinovy polynomy
$B_{i}^{n}$ nahradí speciálními B-spline funkcemi $N_{i}^{m}$.

\end{definition}

\begin{definition}
Buď $\xi=(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k})$ uzlový vektor.
{\bf B-spline funkce} je definována jako
$$
\begin{array}{l c l}
N_{i}^{0}(x)&:=&\left\{\begin{array}{l l}
1&\hbox{pro}\ x\in [x_{i}, x_{i+1}),\\
0&\hbox{jinak},\\
\end{array}\right. \ i=0, \dots, k-1.\\
& & \\
N_{i}^{n}(x)&:=&\frac{%
\hbox{$x-x_i$}}{\hbox{$x_{i+n}-x_{i}$}}\cdot N_{i}^{n-1}(x)+%
\frac{%
\hbox{$x_{i+n+1}-x $}}{\hbox{$x_{i+n+1}-x_{i+1}$}}%
\cdot N_{i+1}^{n-1}(x),\\
& & \\
& &0\leq i\leq k-n-1, 1\leq n\leq k-1, \frac{0}{0}:=0.
\end{array}
$$
\end{definition}


Od komponent uzlového vektoru je požadována pouze monotonie,
nikoliv silná monotonie. Pro případ, že $x_{i+n}-x_{i}=0$
definujeme výsledek dělení $0$ jako $0$.

%\begin{example}
Spočtěme B-spline funkce pro uzlový vektor
$\xi=(0,0,0,1,2,3,4,4,4)$. Výpočet lze provést následovně:
\begin{supertabular}{l c l}
& &\\
$N_{0}^{0}(x)$&=&$0$\\
& &\\
$N_{1}^{0}(x)$&=&$0$\\
& &\\
$N_{2}^{0}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
1,&x\in [0,1)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{3}^{0}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
1,&x\in [1,2)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{4}^{0}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
1,&x\in [2,3)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{5}^{0}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
1,&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{6}^{0}(x)$&=&$0$\\
& &\\
$N_{7}^{0}(x)$&=&$0$\\
& &\\
\end{supertabular}
\eject
\begin{supertabular}{l c l}
$N_{0}^{1}(x)$&=&$0$\\
%& &\\
$N_{1}^{1}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
1-x,&x\in [0,1)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{2}^{1}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
x,&x\in [0,1)\\
2-x,&x\in [1,2)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{3}^{1}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
x-1,&x\in [1,2)\\
3-x,&x\in [2,3)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{4}^{1}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
x-2,&x\in [2,3)\\
4-x,&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{5}^{1}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
x-3,&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{6}^{1}(x)$&=&$0$\\
& &\\
$N_{0}^{2}(x)$&=&%
$\left\{%
\begin{array}{l l}
(1-x)^{2},&x\in [0,1)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{1}^{2}(x)$&=&%
$\left\{%
\begin{array}{l l}
(2x\cdot (1-x)+x\cdot (2-x))/2,&x\in [0,1)\\
(2-x)^{2}/2,&x\in [1,2)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{2}^{2}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
x^{2}/2,&x\in [0,1)\\
(x\cdot (2-x)+(3-x)\cdot (x-1))/2,&x\in [1,2)\\
(3-x)^{2}/2,&x\in [2,3)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{3}^{2}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
(x-1)^{2}/2,&x\in [1,2)\\
((x-1)\cdot (3-x)+(4-x)\cdot (x-2))/2,&x\in [2,3)\\
(4-x)^{2}/2,&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{4}^{2}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
(x-2)^{2}/2,&x\in [2,3)\\
(4-x)\cdot (3x-8)/2,&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
$N_{5}^{2}(x)$&=&$\left\{%
\begin{array}{l l}
(x-3)^{2},&x\in [3,4)\\
0,&\hbox{\rm jinak}\\
\end{array}\right.$\\
& &\\
\end{supertabular}
\begin{comment}
\end{supertabular}
\end{comment}
%\end{example}