Diferenciální rovnice a jejich užití I
1. cvičná písemka
I. část
1. Najděte obecné řešení rovnice tx
- x = t tg
x
t
.
2. Rozhodněte, zda počáteční úloha x
= -t 3

x , x(0) = 0 je jednoznačně řešitelná. Odpověď
zdůvodněte.
3. Najděte první tři členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací řešení úlohy
x
- x
= 0, x(0) = 0, x
(0) = 1.
4. Odhadněte řešení problému
x
= t +
x
1 + x2
, x(0) = 0,
tj. najděte funkce ,  takové, že (t) x(t) (t) pro všechna t > 0 z definičního oboru
řešení x.
5. Zjistěte, zda autonomní systém
x
= 2x - y,
y
= -x + 2y
má nekonstantní periodické řešení.
6. Určete, pro které hodnoty parametru a je řešení x(t) = t rovnice x
= a(x-t)+1 stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
II. část
1. Najděte řešení počátečního problému
x
+ x
+ 2x
+ 2x = 3, x(0) = 1, x
(0) =
1
2
, x
(0) = -
1
2
.
2. Vývoj dvou populací o velikostech x = x(t), y = y(t) je modelován systémem rovnic
x
= x - (x - k)y,
y
= -ay + (x - k)y;
parametry a, k,  jsou kladné. Určete, o jaký typ interakce (vztahu populací) jde, najděte
rovnovážné velikosti populací a vyšetřete jejich stabilitu.
3. Sestavte model epidemie SEI bez vitální dynamiky. Načrtněte fázové portréty a popište vývoj
epidemie v případě, že na počátku je jeden infekční jedinec a žádný nakažený v latentním stádiu.
Čas na vypracování: I. část 90 minut, II. část 60 minut.
Bodování: I. část 6 × 1 bod, II. část 3 × 2 body.
Hodnocení: I. část: dosáhnout více než 3 bodů.
II. část: [5,6]=A, [4,5)=B, [3,4)=C, [2,3)=D, (0,2)=E.
Výsledky:
I1. x(t) = t arcsin Ct
I2. Ano; řešení je x  0 a řešení jednoznačně řešitelné úlohy s počáteční podmínkou x(t0) = a = 0 pro t0 = 0 není
řešením zadané úlohy.
I3. x0(t) = 0, x1(t) = t x2(t) = t +
t2
2
I4.
t2
2
- t x(t)
t2
2
+ t
I5. Reálné části vlastních čísel matice jsou nenulové, imaginární nulové; proto nestacionární periodické řešení nemůže
existovat.
I6. a < 0.
II1. 1
2
`
3 - e-t
´
.
II2. Dravec-kořist; úživnost prostředí pro populaci kořisti je neomezená a obsahuje úkryt, který pojme populaci kořisti
o velikosti k a ochrání ji před dravcem; koeficient úmrtnosti dravce bez potravy je a, efektivita, s níž přemění zničenou
kořist na růst své populace je . Stacionární řešení x  k +
a

, y  1 +
k
a
je asymptoticky stabilní. (Pro k <
2a2
1 +
r
1 +
1
a
!
se jedná o ohnisko, pro k > 2a2
1 +
r
1 +
1
a
!
se jedná o uzel.)
II3.
S
= -IS,
E
= IS - E,
I
= E,
S(0) = N - 1, E(0) = 0, I(0) = 1.
(N označuje velikost populace). Počet zdravých jedinců monotonně klesá k nule, počet infekčních monotonně roste k N,
počet nakažených v latentním stadiu nejdříve roste a po dosažení jistého maxima klesá k nule.
Diferenciální rovnice a jejich užití I
2. cvičná písemka
I. část
1. Najděte obecné řešení rovnice y
sin x = y ln y.
2. Zjistěte, zda je lokálně jednoznačně řešitelná počáteční úloha
x
+ x
sin 2t +
x
(cos t)2
= 0, x(0) = 1, x
(0) = 0.
3. Ukažte, že funkce x1(t) = t a x2(t) = et
tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice
přidružené k rovnici
(t - 1)x
- tx
+ x = (t - 1)2
.
Pak najděte řešení této nehomogenní rovnice s počátečními podmínkami x(0) = 0, x
(0) = 0.
4. Najděte maximální a minimální řešení úlohy x
=
x
t
, x(0) = 0.
5. Určete parametr a tak, aby autonomní systém
x
= 2x - 5y
y
= x + ay
měl periodické řešení.
6. Zjistěte, zda řešení x  3 rovnice x
= x3
- 27 je stabilní nebo asymptoticky stabilní.
II. část
1. Najděte řešení počátečního problému
x
+ 8x
+ 16x = cos t, x(0) =
1
9
, x
(0) = 0, x
(0) = -
1
9
, x
(0) = 0.
2. Uvažujte model konkurence dvou populací takových, že pro druhou z nich je kapacita prostředí
neomezená:
dN1
dt
= r1N1 1 -
N1
K1
- a12N2 ,
dN2
dt
= r2N2 (1 - a21N1) .
Najděte nezáporná stacionární řešení a určete jejich typ a stabilitu. Určete podmínky, za kterých
může druhá populace vyhynout.
3. Sestavte model epidemie SIS s vitální dynamikou za předpokladů: Potomky má pouze zdravá
část (S) populace; úmrtnosti ve zdravé (S) a infekční (I) části populace mohou být rozdílné;
omezenost zdrojů (vnitrodruhová konkurence) se neprojevuje, tj. zdravá populace by rostla
neomezeně (exponenciálně).
Může epidemie tohoto typu stabilizovat populaci? Jaká musí být úmrtnost infikovaných
jedinců, aby se růst populace zastavil?
Čas na vypracování: I. část 90 minut, II. část 60 minut.
Bodování: I. část 6 × 1 bod, II. část 3 × 2 body.
Hodnocení: I. část: dosáhnout více než 3 bodů.
II. část: [5,6]=A, [4,5)=B, [3,4)=C, [2,3)=D, (0,2)=E.
Výsledky:
I1. y = exp
n
C tg
x
2
o
.
I2. Ano. Jedná se o lineární rovnici se spojitými koeficienty.
I3. et
- t2
- t - 1.
I4. Maximální ani minimální řešení neexistuje.
I5. Systém má vždy řešení x  0, y  0, tj. řešení konstantní tedy periodické s libovolnou periodou. Pro a = -2 má
nekonstantní periodické řešení.
I6. Řešení je nestabilní.
II1. x(t) = 1
9
cos t.
II2. Pokud a21K1  1, existuje jediné stacionární řešení: sedlo (K1, 0) a druhá populace nemůže vymřít, roste nade
všechny meze. Pokud a21K1 > 1, existují dvě stacionární řešení: stabilní uzel (K1, 0) a sedlo
,,
1
a21
,
a21K1 - 1
a12a21K1

; v tomto
případě tedy může druhá populace vymřít, pokud její počáteční velikost je ,,dostatečně malá a počáteční velikost první
populace je ,,dostatečně blízko kapacitě prostředí K1.
II3.
S
= mS - d1S - IS + I,
I
= IS - I - d2I.
Všechny parametry jsou kladné, m > d1.
Systém má jediný rovnovážný bod ,,
 + d2

,
(m - d1)( + d2)
d2

,
který je pro
m - d1 >
,,
2d2

2
( + d2)
stabilním uzlem a pro
m - d1 <
,,
2d2

2
( + d2)
stabilním ohniskem. Epidemie, která potlačuje plodnost, tedy může zastavit růst malthusovské populace bez ohledu na
to, jaký vliv má na úmrtnost.