logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LITERATURA
þHolčík,J.: přednáškové prezentace
þ
þProakis,J.G., Rader,C.M., Ling,F., Nikias,C.L.: Advanced Digital Signal Processing. Macmillan
Publ. Comp, New York 1992, 608s. þKay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Analysis - A Modern
Perspective. Proc. IEEE, roč.69, č.11, Nov. 1981, s.1380-1418.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
skenování0004.jpg

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
I. CO UŽ UMÍME?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þDEFINICE
þ
þSignál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí
informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þprimární oblast popisu (prostor definovaný nezávislými původními proměnnými)– čas, prostorové
souřadnice, pořadí þsekundární oblast popisu – transformace (zobrazení) z primární oblasti –
vytváříme obraz (latinsky spectrum) signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ SPEKTRUM
þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých
harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci.
þ
þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah
þ (je paráda, když je lineární!)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah
þ (je paráda, když je lineární!)
þCo to je, když je lineární?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INTEGRÁLNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE
þJe-li jádro transformace a(f,t)=e-j2pft, resp. akn=e-j2pkFnT, pak realizujeme rozklad signálu na
jeho harmonické složky
þß
þFourierovské spektrum
spojitý signál diskrétní signál
(časová řada)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM
þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !
þ
þspojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu
řadu; þspojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili
Fourierovu transformaci.
þ
þ! A VĚDĚT PROČ !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !
þ
þdiskrétní periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace;
þdiskrétní jednorázový signál z nekonečného časového intervalu má spojité frekvenční spektrum –
Fourierova transformace s diskrétním časem transformace; þdiskrétní jednorázový signál z konečného
časového intervalu má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace;
þ! A VĚDĚT PROČ !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM
þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu:
þSignál - 1) periodický
þ 2) neperiodický
qs konečnou energií;
qs nekonečnou energií

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
II.
SIGNÁLY
DALŠÍ POJMY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þokamžitá práce vykonaná na odporu R:
þ A(t) = u(t).i(t)
þpodle Ohmova zákona:
þ U = R.I,
þ a tedy můžeme po dosazení psát
þA(t) = R.i(t) . i(t) = R.i2(t) = u(t). u(t)/R = u2(t)/R.
þ Když je R = 1 Ω je
þA(t) = i2(t) = u2(t)
þ a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná)  za čas T na jednotkovém odporu je
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þz té úvahy energie spojitého signálu s(t)
þ
þ
þenergie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VÝKON
þvýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE
þvzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů
(funkcí) o téže periodě T je definována
þ
þ
þpopisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí
þje periodická s periodou T

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE
001.jpg
þVypočtěte vzájemnou korelační funkci signálů s1(t)=2cos2pt a s2(t)=sin2pt. þOba signály mají tutéž
periodu T=1, takže

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE
þvýpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce
þ
þ
þVypočtěte autokorelační funkci signálu s(t)=C.cos(ωt+φ)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE
þvypočtená korelační funkce je:
èsudá;
èperiodická s periodou T;
èR(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu;
è"tÎR: R(0) ³ R(t).
þtyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů.
è

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ
þkorelační funkce R(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t1 a
hodnotami náhodného procesu v okamžiku t2. Může být spočítána pomocí vztahu
þ
þ
þkovarianční funkce (covariance function) K(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného
procesu v okamžiku t1 od m(t1) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t2 od m(t2). Může být
spočítána pomocí vztahu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þtyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů
þß
þ
þstacionarita
þ
þergodicita
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU
þzhruba:
þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním
001.jpg 002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřesněji:
þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou
závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách
časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2) þ v tom případě, tj. s t = t2 – t1, můžeme funkce
p(x1,x2,t1,t2), R(t1,t2) a K(t1,t2) nahradit funkcemi p(x1,x2,t), R(t) a K(t)
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají
stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu
z jediné libovolné realizace
þaritmetický průměr
þ
þ nebo
þ
þ
þ Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší.
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdisperze
þ
þ
þautokorelační funkce
þ
þ
þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a
y(t)
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a
y(t)
þ
þ
þpro diskrétní případ
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
III. PRINCIPY TOHO,
 JAK NA TO

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA
þopakování
èperiodický signál

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA
þopakování
èperiodický signál není to pod vaší úroveň?!

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þopakování
èperiodický signál Fourierova řada
èneperiodický signál
qs konečnou energií
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPOJITÝ SIGNÁL
þFourierova transformace
þ
þ
þ
• Parsevalova věta
spektrální hustota energie Sxx(f)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE
autokorelační funkce signálu xa(t)
obě funkce tvoří Fourierovský pár
pro autokorelační funkci a spektrální hustotu energie platí:

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ SIGNÁL
X(nT), definovaný na nekonečném intervalu
nÎá-¥;¥ñ; je frekvenčně omezený na pásmo o šířce ±B Þ vzorkovací frekvence F = 1/T > 2B
x(nT) = xa(nT) = ? x(n)
energie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Vztah spektra analogového a diskrétního signálu:
DISKRÉTNÍ SIGNÁL
Spektrální vyjádření diskrétního signálu
spektrální periodicita

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
skenování0001.jpg
DISKRÉTNÍ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SIGNÁLU
skenování0002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RAYLEIGHOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þz toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat
dvěma způsoby:
èpřímá metoda:
è Sxx(f) = |X(f)|2 = |T.Σx(nT).exp(-2πjfnT)|2
è
ènepřímá metoda:
è 1) Rxx(mT) = T. Σx(nT). x(nT+mT);
è 2) Sxx(f) = ΣRxx(mT).exp(-2πjfmT)
DISKRÉTNÍ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ
þ(je to vůbec možné ?!?!?)
þSPOJITÝ SIGNÁL:
þ není konečná energie Þ není definována F.T. Þ není F. spektrum

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þVÝKONOVÝ EXKURZ:
þstřední výkon periodického signálu:
þ
þ
þ
þneperiodický signál je takový periodický signál, jehož perioda T0 ® ¥
þstřední výkon neperiodického signálu
þ
þ
þ
þje-li E< ¥, pak P ® 0 (nezajímavé);
þ    E> ¥, pak P=lim ¥/ ¥ = KÎá0, ¥) !
þ         = ® ¥
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þspektrální hustota výkonu:
þ
þ
þWiener-Khinchinovy vztahy:
þ
þ
þ
þ kde
þ
þ
þ
þAKF náhodných stacionárních ergodických procesů
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þodhad pouze z konečného intervalu
þ
þ
þodhad spektrální hustoty výkonu ze signálu v konečném intervalu
þ
þ
þ
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þDISKRÉTNÍ SIGNÁL
èvzorkováním signálu xa(t) vzorkovací frekvencí
è F > 2fmax;
èvýsledná posloupnost xnT má N hodnot
è (0 £ n £ N-1)
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
èodhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda)
è
è
èodhady AK posloupnosti:
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þperiodogram (Schuster 1898) (přímá metoda)
NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ