Základy kvantové mechaniky, p. s. r. 2010/2011
Dodatky a příklady- 12. týden
Hilbertův prostor soustavy mnoha částic, postulát o symetrii/antisymetrii
Uvažujme nejprve o soustavě N odlišitelných částic.
Hilbertův prostor je tenzorovým součinem Hilbertových prostorů jednotlivých částic:
H = H1 ⊗ H2 ⊗ H3 ⊗ ... ⊗ HN .
Souřadnicová & sz reprezentace (ve srovnání s přednáškou doplněn spin).
Báze na H:
{|1; r1, sz1 ⊗ |2 : r2, sz2 ⊗ |3 : r3, sz3 ⊗ ... ⊗ |N : rN , szN } ,
r1, r2 , ... rN ∈ R3
, sz1, sz2 , ... szN ∈ {−S ... S}
nebo zkráceně
{|r1, sz1, r2, sz2 , ... rN , szN } .
Nechť |Ψ ∈ H, |Ψ lze v bázi vyjádřit následovně:
|Ψ = dr1 ... drN
sz1 ...szN
Ψ(r1, sz1, ... rN , szN )|r1, sz1, r2, sz2 , ... rN , szN .
Ψ(r1 ...) ... souřadnicová reprezentace |Ψ .
Postulát o symetrii/antisymetrii
HS
HA
H
Obrázek 1: K postulátu o symetrii a antisymetrii. Hilbertův prostor souboru
N odlišitelných částic je označen symbolem H. Pro systém totožných bosonů
(fermionů) se uplatní pouze podprostor HS (HA) obsahující stavové vektory,
které jsou symetrické (antisymetrické) vůči záměně libovolných dvou částic.
Def. (symetrie a antisymetrie vůči záměně, ve srovnání s přednáškou doplněn spin).
Ψ je funkce symetrická (antisymetrická) vůči záměně i-té a j-té č., pokud
Ψ(r1, sz1, ... rj, szj, ... ri, szi, ... rN , szN ) = ±Ψ(r1, sz1, ... ri, szi, ... rj, szj, ... rN , szN ) .
1
Na levé straně jsou argumenty rj a szj na i-tém místě a argumenty ri a szi na j-tém
místě, na pravé straně argumenty ri a szi na i-tém místě a argumenty rj a szj na j-tém
místě.
Příklady
1. Uvažujte o soustavě dvou neinteragujících odlišitelných částic o stejné hmotnosti
(m) v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce l.
(a) Zapište hamiltonián, nalezněte, s využitím metody separace proměnných, vlastní
hodnoty energie a úplný soubor vlastních funkcí.
(b) Dále uvažujte o stavu, kde se první částice nachází v základním jednočásticovém
stavu a druhá částice v prvním excitovaném jednočásticovém stavu. Vyjádřete hustotu
pravděpodobnosti současného pozorování částice v místě o souřadnici a a částice
v místě o souřadnici b, na pořadí nezávisí.
(c) Navazuje na předchozí. Jaký výsledek bychom dostali pro totožné bosony? Jaký
výsledek bychom dostali pro identické fermiony? Na spinové stupně volnosti neberte
ohled (lze si představit, že všechny částice mají nastavenu stejnou orientaci spinu,
a projeví se jen souřadnice). Diskutujte o souvislosti s úvahami o srážce totožných
částic.
2. Uvažujte o soustavě N neinteragujících částic o hmotnosti m v jednorozměrné nekonečně
hluboké potenciálové jámě o šířce l při teplotě T. Stanovte poměr mezi pravděpodobností
nalezení soustavy v základním stavu (o energii NE1, kde E1 je energie
základního jednočásticového stavu) a pravděpodobností nalezení soustavy ve stavu
o energii (N −1)E1 +E2 (E2 je energie prvního excitovaného jednočásticového stavu)
(a) pro případ, že jde o odlišitelné částice a
(b) pro případ, že jde o totožné bosony.
Neberte ohled na spinové stupně volnosti. Pravděpodobnost nalezení soustavy ve stavu
popsaném daným vlastním vektorem o energii E je úměrná e−E/kBT
.
3. Uvažujte o soustavě N neinteragujících fermionů o hmotnosti m v jednorozměrné
nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce l. Vyjádřete sílu, kterou působí na stěnu
jámy - tzv. Pauliho tlak. Neberte ohled na spinové stupně volnosti.
2