Základy kvantové mechaniky, p. s. r. 2010/2011
Příklady - 3. týden
Obecné vlastnosti řešení jednorozměrné stacionární Schrödingerovy rovnice
Uvažujeme o řešení rovnice
−
¯h2
2m
d2
dx2
+ V (x) ψ = Eψ .
Teorémy probrané na přednášce:
I. (O energiovém spektru). Označení:
V+ ... limx→∞V ,
V− ... limx→−∞V ,
Vmin ... inf{V (x)}.
Předpokládáme, že limity existují a že V+ ≥ V−. Dále:
A ... (−∞, Vmin),
B ... (Vmin, V−),
C ... (V−, V+),
D ... (V+, ∞).
A ... Neexistuje řešení.
B ... Ř. existuje jen pro diskrétní množinu hodnot energie, mluvíme o diskrétní části
energiového spektra. Ke každé energiové hladině z diskrétní části spektra existuje
právě jedno řešení (až na konstantu).
C ... Jedno řešení ke každé hodnotě energie z tohoto intervalu.
D ... Dvě řešení ke každé hodnotě energie z tohoto intervalu.
C & D ... tzv. spojitá část energiového spektra.
II. (O reálnosti). Řešení odpovídající hodnotě energie z diskrétní části spektra je
reálné (až na konstantu).
III. (O ortogonalitě). Nechť ψ1, ψ2 jsou řešení odpovídající hodnotám energie E1, E2,
E1 = E2 z diskrétní části energiového spektra. Pak ∞
−∞ ψ1(x)ψ2(x) dx = 0.
IV. (O uzlech). Nechť E1, E2, ... jsou vzestupně uspořádané hodnoty energie z diskrétní
části energiového spektra, ψ1, ψ2, ... odpovídající vlnové funkce. ψn má n − 1
uzlů.
V. (O sudosti/lichosti). Nechť V (x) je sudá funkce: V (−x) = V (x). Pak řešení odpovídající
hodnotě energie z diskrétní části spektra je sudá nebo lichá funkce.
Příklady
1. Ukažte, že ke každé energiové hladině z diskrétní části spektra existuje právě jedno
řešení (až na konstantu).
2. Dokažte teorém o ortogonalitě.
3. Dokažte teorém o sudosti/lichosti.
1
K pravděpodobnostní interpretaci
Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě s polohovým vektorem r jest
P(r) = |ψ(r)|2
. Platí
P(r) dr = |ψ(r)|2
dr = 1 .
Tj. takzvaná normovací podmínka pro funkci ψ.
Hustota pravděpodobnosti nalezení částice ve stavu s hybností p jest Π(p) =
|ϕ(p)|2
, kde ϕ je Fourierova transformace funkce ψ:
ϕ(p) =
1
(2π¯h)3/2
ψ(r)e−ipr/¯h
dr , ψ(r) =
1
(2π¯h)3/2
ϕ(p)eipr/¯h
dp .
Platí
Π(p) dp = |ϕ(p)|2
dp = 1 .
Tj. normovací podmínka pro funkci ϕ.
Příklady
4. Uvažujte o částici, která se nachází v nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce
l, ve stavu s vlnovou funkcí ψn(x) = A sin nπx
l
.
(a) Určete hodnotu konstanty A, pro kterou funkce ψ splňuje normovací podmínku.
(b) Stanovte hustotu pravděpodobnosti nalezení částice ve stavu s x-ovou složkou
hybnosti px.
Použijte jednorozměrné analogie vztahů uvedených v úvodní části.
5. (a) S využitím časově závislé Schrödingerovy rovnice
−
¯h2
2m
∇2
+ V (r) ψ = i¯h
∂ψ
∂t
ukažte, že hustota pravděpodobnosti P(r, t) = |ψ(r, t)|2
vyhovuje rovnici kontinuity
∂P
∂t
+ divj = 0 ,
kde j(r, t) je hustota toku pravděpodobnosti definovaná následovně:
j(r, t) = −Re
i¯h
m
ψ∗
∇ψ =
i¯h
2m
[ψ∇ψ∗
− ψ∗
∇ψ] .
(b) S využitím integrálního tvaru rovnice kontinuity a předpokladu, že vlnová funkce
dostatečně rychle klesá pro |r| → ∞, ukažte, že pokud normovací podmínka platí
v čase t = 0, pak platí ustavičně.
(c) Vyjádřete hustotu toku pravděpodobnosti pro de Broglieho vlnu.
Poznámka: podmínkou postačující pro spojitost hustoty toku pravděpodobnosti je
spojitost funkce ψ a jejich derivací. Tuto podmínku jsme využili při „sešívání” řešení
v úlohách z minulého tydne.
2
Střední hodnoty funkcí závislých na poloze a na hybnosti, relace neurčitosti
Střední hodnota F(r) funkce F(r) je dána následovně:
F(r) = P(r)F(r) dr .
Pro střední hodnotu G(p) funkce G(p) máme
G(p) = Π(p)G(p) dp .
Pro odvození relací neurčitosti potřebujeme následující teorémy:
I. Fourierovou transformací funkce hybnosti pxϕ(p) je funkce −i¯h ∂
∂x
ψ, kde ψ(r) je
Fourierova transformace funkce ϕ(p),
ψ(r) =
1
(2π¯h)3/2
ϕ(p)eipr/¯h
dp .
II. Nechť ψ1(r) a ψ2(r) jsou funkce, jejich Fourierovy transformace označme ϕ1(p) a
ϕ2(p). Platí
ψ∗
1(r)ψ2(r) dr = ϕ∗
1(p)ϕ2(p) dp .
O všech funkcích vystupujících v teorémech I a II se předpokládá, že jsou kvadraticky
integrovatelné (tj., že existuje integrál |f|2
).
Příklady
6. S využitím teorémů I a II ukažte, že (a)
px = ϕ(p)pxϕ(p) dp = ψ∗
(r) −i¯h
∂
∂x
ψ(r) dr
a (b)
p2
x = ϕ(p)p2
xϕ(p) dp = ψ∗
(r) −¯h2 ∂2
∂x2 ψ(r) dr .
7. Odvození relací neurčitosti pro x a px v jednorozměrném případě. Relace neurči-
tosti:
∆x × ∆px ≥ ¯h/2 ,
kde ∆x = (x − ¯x)2 a ∆px = (px − ¯px)2 , ¯x = x , ¯px = px . V dalším se pro
jednoduchost omezíme na případ, kdy ¯x = 0 a ¯px = 0. Uvažujme o výrazu I(λ),
I(λ) =
∞
−∞
xψ + λ¯h
∂ψ
∂x
2
dx .
Výraz je pozitivně definitní. Ukažte nejprve, že
I(λ) = x2
− λ¯h + λ2
p2
.
Postup: roznásobení, integrace per partes, využití výsledku předchozí úlohy.
S využitím pozitivní definitnosti I(λ) dále odvoďte relace neurčitosti.
3
8. S využitím relací neurčitosti proveďte řádový odhad energie základního stavu elektronu
v nekonečně hluboké potenciálové jámě o šířce l = (a) 10−8
cm a (b) 10−12
cm.
9. S využitím relací neurčitosti odhadněte energii základního stavu harmonického
oscilátoru.
Návod.
(i) S pomocí Schrödingerovy rovnice a výsledků př. 6 nejprve ukažte, že pro vlastní
funkce platí
E =
p2
x
2m
+
1
2
kx2
.
Pro harmonický oscilátor zřejmě navíc platí x = 0 a px = 0, tedy ∆x = x2 a
∆px = p2
x .
(ii) S využitím relací neurčitosti ukažte, že E ≥ (¯hω)/2, kde ω = k/m.
10. S využitím relací neurčitosti odhadněte poloměr atomu vodíku a energii základního
stavu.
Návod.
(i) S pomocí Schrödingerovy rovnice a výsledků př. 6 nejprve ukažte, že pro vlastní
funkce platí
E =
p2
x
2m
+
p2
y
2m
+
p2
z
2m
+ −
e2
4πε0
1
r
,
kde r =
√
x2 + y2 + z2. Pro atom vodíku zřejmě platí x = y = z = 0, px =
py = pz = 0, x2
= y2
= z2
a p2
x = p2
y = p2
z .
(ii) Výraz 1
r
aproximujte výrazem 1√
r2
. Podobně jako v předchozím příkladě dále
odhadněte minimální hodnotu E a odpovídající hodnotu r2 .
Poznámka: výsledky se liší od přesných výsledků o faktor řádu 1, více variant postupu.
4