M1101 Matematická analýza I – 10. 01. 2011 – řešení
1. (6 bodů) Vypočtěte limitu posloupnosti:
lim
n→∞
n2
− 1
n2 − 2
3n2
.
Řešení:
lim
n→∞
n2
− 1
n2 − 2
3n2
= (1∞
) = lim
n→∞
1 +
1
n2 − 2
3n2
=
= lim
n→∞
1 +
1
n2 − 2
n2−2
3n2
n2−2
= e
lim
n→∞
3n2
n2−2
= e3
2. (5 bodů) Vypočtěte limitu funkce:
lim
x→0
sin x
sin 3x
2
.
Řešení:
lim
x→0
sin x
sin 3x
2
= lim
x→0
sin x
x
·
3x
sin 3x
·
x
3x
2
= 1 · 1 ·
1
3
2
=
1
9
3. (10 bodů) Vyšetřete průběh funkce a načrtněte její graf:
f(x) =
x3
x2 − 1
.
Řešení:
• D(f) = R − {−1, 1}, je lichá, nie je periodická
• nulový bod x = 0, funkcia je záporná na (−∞, −1), (0, 1) a kladná
na (−1, 0), (1, ∞)
1
• body nespojitosti x = −1, x = 1 – nespojitosť II. druhu:
lim
x→−1−
x3
x2 − 1
= −∞, lim
x→−1+
x3
x2 − 1
= ∞,
lim
x→1−
x3
x2 − 1
= −∞, lim
x→1+
x3
x2 − 1
= ∞.
• monotónnosť a extrémy:
f (x) =
x2
(x2
− 3)
(x2 − 1)2
body podozrivé na extrém – −1, 1, 0, −
√
3,
√
3
• konkávnosť, konvexnosť a inflexné body:
f (x) =
2x(x2
+ 3)
(x2 − 1)3
body podozrivé na inflexiu – −1, 1, 0
(−∞, −
√
3) −
√
3 (−
√
3, −1) −1 (−1, 0) 0
f + 0 − nedef. − 0
f − − − nedef. + 0
f rast. lok. max. kles. nedef. kles. inflexia
f konkáv. −3
√
3
2 konkáv. nedef. konvex. 0
(0, 1) 1 (1,
√
3)
√
3 (
√
3, ∞)
f − nedef. − 0 +
f − nedef. + + +
f kles. nedef. kles. lok. min. rast.
f konkáv. nedef. konvex. 3
√
3
2 konvex.
• asymptoty – bez smernice – x = −1, x = 1
so smernicou – y = x (pre x → ∞ i pre x → −∞)
• graf – z predchádzajúcej diskusie sa dá už ľahko načrtnúť :).
4. (5 bodů) Najděte první derivaci funkce a napište rovnice tečny a normály
v bodě x = 0:
g(x) = (x2
+ 1)arctg x
.
Řešení:
g(x) = (x2
+ 1)arctg x
= eln(x2+1)arctg x
= earctg x·ln(x2+1)
2
g (x) = earctg x·ln(x2+1)
= earctg x·ln(x2+1)
arctg x · ln(x2
+ 1) =
= (x2
+ 1)arctg x 1
1 + x2
· ln(x2
+ 1) + arctg x ·
1
x2 + 1
· 2x
Rovnica tečny v bode x = 0:
y = g (0)x + g(0) =⇒ y = 1
Normála v bode x = 0 je kolmica na tečnu, teda rovnica normály je
x = 0.
5. (8 bodů) Integrujte:
2x − 10
√
1 + x − x2
dx.
Návod: Integrál vhodně rozdělte na dva integrály, výraz pod odmocninou
upravte na čtverec.
Řešení:
2x − 10
√
1 + x − x2
dx = −
−2x + 1
√
1 + x − x2
dx − 9
1
√
1 + x − x2
dx
−2x + 1
√
1 + x − x2
dx =
t = 1 + x − x2
dt = (1 − 2x)dx
=
1
√
t
dt = 2
√
t + C =
= 2
√
1 + x − x2 + C.
1
√
1 + x − x2
dx =
1
√
5
2
2
− x − 1
2
2
dx = arcsin
x − 1/2
√
5/2
+ C.
2x − 10
√
1 + x − x2
dx = −2
√
1 + x − x2 − 9 arcsin
2x − 1
√
5
+ C.
6. (6 bodů) Vypočtěte obsah elementární oblasti M:
M = {[x, y] ∈ R2
: 0 ≤ x ≤ π, x ≤ y ≤ x + sin2
x}.
Řešení:
S(M) =
π
0
sin2
x + x − x dx =
π
0
sin2
x dx =
π
0
1 − cos 2x
2
dx =
3
=
x
2
−
sin 2x
4
π
0
=
π
2
4